2.2 Singularidades tangenciais
2.2.1 Prova do Teorema 2.2.2
A seguir mostraremos o Teorema 2.2.2. O sistema de coordenadas ξ = (x1, x2, x3, x4) pode ser escolhido do Teorema 1.1.4 aplicado ao campo X. Assim, temos que N é dado por x1 = 0, ξ(p) = 0, e ξ∗X = X0. Nestas coordenadas escrevemos ξ∗Y = (Y1, Y2, Y3, Y4). A transversalidade de Y com N em p significa que Y1(0)̸= 0. A tarefa é construir uma equivalência topológica entre ξ∗Z = (X0, ξ∗Y ) e Z0 = (X0, Y0).
Observação 2.2.5. Observe que se definirmos f sendo a identidade em Σ+ e estendemos para Σ− usando o Lema 2.1.3, a aplicação f não necessariamente leva órbitas do campo deslizante (ξ∗Z)Σ em órbitas do campo deslizante (Z0)Σ; logo, f assim definido não é uma equivalência entre ξ∗Z e Z0.
A idéia da construção do homeomorfismo é basicamente a mesma feita para dimensões dois e três para a dobra-regular e cúspide-regular [8]. Começamos definindo a equivalência em SLR levando órbitas deslizantes em órbitas deslizantes e preservando alguns conjuntos distinguidos, tais como conjuntos de tangencia. Então estendemos para SW R+ usando as órbitas do campo X0. Depois estendemos para M+ identificando órbitas por comprimento de arco ou usando o Lema 2.1.3. Finalmente estendemos para M− usando o Lema 2.1.3. A primeira parte desta construção é a mais delicada, de fato, devemos definir quais são os conjuntos distinguidos a ser preservados e logo estudar o contato das órbitas deslizantes com estes conjuntos distinguidos.
Temos três casos a considerar:
Dobra: X = (ϵx2, 1, 0, 0) onde ϵ = sgn(X2h(p)), Cúspide: X = (ϵx2, x3, 1, 0) onde ϵ = sgn(X3h(p)),
Os casos Dobra-regular e Cúspide-Regular são bem conhecidos. Em [8] é mostrado que estas singularidades são localmente estruturalmente estáveis e é construído o homeomorfismo desejado em dimensão três. A construção do homeomorfismo feito em [8] pode ser estendido para dimensão maior sem dificuldade. Portanto, somente resta o caso Rabo de andorinha-Regular, singularidade genérica exclusivamente em dimensão maior ou igual do que 4.
Construiremos uma equivalência f entre ξ∗Z = (X0, ξ∗Y ) e Z0 = (X0, Y0), onde X0 = (ϵx2, x3, x4, 1) com ϵ =±1, Y0 = (δ, 0, 0, 0) com δ = ±1, e ξ∗Y = (Y1, Y2, Y3, Y4) com Y1(0)δ > 0. Vamos a supor que Y1(0) > 0 e δ = 1, nesse caso a singularidade está na fronteira do SLR. Noutro caso a equivalência é construída similarmente, com ESCR em lugar de SLR, e com SW R− em lugar de SW R+.
Conjuntos distinguidos na singularidade Rabo de andorinha-Regular
Aqui vamos a definir algumas linhas e superfícies que serão distinguidas. Estes conjuntos serão associados a Z = ξ∗Z e respectivamente a Z0. Eles serão distinguidos porque qualquer equivalência entre ξ∗Z e Z0 deve preservar tais conjuntos.
É claro que a superfície de tangencia SX ={x ∈ Σ, x2 = 0}, como também a linha de cúspide C = {x ∈ Σ, x2 = 0, x3 = 0}, devem ser distinguidas. Agora, as órbitas de X0 que passam por SX formam uma variedade D que também deve ser distinguida. Mais ainda, o conjunto D ∩ Σ também deve ser distinguido. Temos que D∩ Σ = SX ∪ ∆, onde ∆ é o conjunto de pontos onde as órbitas tangentes de X0 encontram Σ de novo. Similarmente, as órbitas de X0 que passam por C formam uma variedade E a qual deve ser distinguida, e E ∩ Σ também deve ser distinguida.
Temos E∩ Σ = C ∪ L onde L é a curva onde as órbitas de X0 que passam por C encontram de novo Σ. A seguir determinaremos explicitamente as equações que definem a superfície ∆ e a linha
L.
Integrando o campo X0 = (ϵx2, x3, x4, 1) obtemos explicitamente a órbita que passa por um ponto x = (0, x2, x3, x4)∈ Σ x1(t) = 24ϵ t(t3+ 4x4t2+ 12x3t + 24x2), x2(t) = 16t3+ 21x4t2+ x3t + x2, x3(t) = 12t2+ x4t + x3, x4(t) = t + x4.
Observe que esta órbita encontra de novo Σ num tempo t que satisfaz a seguinte equação
t3+ 4x4t2+ 12x3t + 24x2 = 0. (2.2.3) Denotaremos o discriminante desta equação por
d = 192(36x33− 12x24x23+ 32x2x34+ 81x22− 108x2x3x4
)
. (2.2.4)
É conhecido que se d > 0 a Equação (2.2.3) tem uma única raiz real, se d = 0 a Equação (2.2.3) tem raízes repetidas, e se d < 0 ela tem exatamente três raízes reais.
Devemos distinguir a variedade algébrica d = 0, de fato temos que ∆ ={x = (0, x2, x3, x4)∈ Σ/ 36x33− 12x 2 4x 2 3+ 32x2x34+ 81x 2 2− 108x2x3x4 = 0}.
d > 0
d = 0
d < 0
Σ
Esta variedade divide Σ em dois pedaços correspondentes a d > 0 e d < 0, as quais denotaremos: ∆1 ={x ∈ Σ/ 36x33− 12x 2 4x 2 3+ 32x2x34+ 81x 2 2− 108x2x3x4 > 0}, ∆3 ={x ∈ Σ/ 36x33− 12x 2 4x 2 3+ 32x2x34+ 81x 2 2− 108x2x3x4 < 0}. Temos que ∆ é suave exceto sobre a linha
L := { x∈ ∆, x2 = 8 81x 3 4, x3 = 4 9x 2 4, x4 ≤ 0 } .
As órbitas de X0 que passam por C encontram de novo Σ transversalmente em pontos de L. Também devemos distinguir a curva algébrica SX ∩ ∆ = {x ∈ SX, x23(3x3− x24) = 0}. Observe que SX ∩ ∆ = C ∪ L1, onde C é a linha de cúspide e L1 ={x ∈ SX, x3 = 13x24} é onde há ligação de dobras.
Agora estudaremos o comportamento do campo deslizante ZN sobre ∆. O seguinte lema estabelece o contato entre ∆ e o campo deslizante.
Lema 2.2.6. Em uma vizinhança da origem temos que o campo deslizante ZN é transversal a ∆ exceto em L∪L1∪C. O campo deslizante tem contato quadrático com ∆ sobre as linhas L1∪C. O contato de ZN com ∆ sobre a linha L, não é quadrático, mas é equivalente ao contato quadrático.
Demonstração. O vetor normal a ∆ é dado por η = (0, η2, η3, η4), onde η2 = 32x34+ 162x2− 108x3x4,
η3 = 108x23− 24x24x3− 108x2x4, η4 =−24x4x23+ 96x2x24− 108x2x3.
Assim, pontos de tangencia de ZN com ∆ são encontrados resolvendo
ZN(x)· η(x) = (x3η2+ x4η3+ η4)Y1− ϵx2(η2Y2+ η3Y3+ η4Y4) = 0. Próximo da origem temos que ZN(x)· η(x) = 0 se e somente se x ∈ L ∪ L1∪ C. Agora, se x∈ C então ¯ZN.∇( ¯ZN.η) = 8x4 4(Y1(x))2 > 0. E se x ∈ L1 temos ¯ ZN.∇( ¯ZN.η) = 1 3x 4 4(Y 1 (x))2(14Y1(x) + 4ϵx4Y2(x)− 4ϵx24Y 3 (x) + 8 3ϵx 3 4Y 4 (x))
que é maior do que zero se x está próximo da origem. Portanto, o contato em C∪ L1 é quadrático. Por outra parte, o vetor normal em L é nulo, o que entendemos por tangencia degenerada. Como as únicas tangencias estão em L∪ L1∪ C então vale a última afirmação do lema.
As órbitas do campo deslizante ZN que passam por L∪ L
1∪ C formam uma variedade K(Z) que deve ser distinguida, em particular devemos distinguir K(Z)∩ ∆ e K(Z) ∩ SX. Temos que K(Z)∩ ∆ = L2(Z) e K(Z)∩ SX = L3(Z)∪ L4(Z)∪ L5(Z) onde os Li(Z) são linhas com um extremo na origem. Analogamente, associado a Z0 temos K(Z0), L2(Z0), L3(Z0), L4(Z0) e L5(Z0). Construção da equivalência entre Z e Z0, ambos com singularidade Rabo de andorinha- Regular
Primeiro provamos o seguinte Lema. Lema 2.2.7. Sejam X, ˜X ∈ Xr(Rn) e R
1, R2, ˜R1, ˜R2 subconjuntos de uma subvariedade R ⊂ Rn. Suponha que as órbitas de X aplicam pontos de R1 sobre pontos de R2 de maneira injetiva, isto é, para todo x ∈ R1 existe tx > 0 tal que Xtx ∈ R2, {Xt(x); 0 < t < tx} ∩ R = ∅, e a aplicação x∈ R1 7→ Xtx(x)∈ R2 é uma bijeção. Também suponha que para todo ponto ˜x∈ ˜R1 existe ˜tx˜ > 0 tal que ˜X˜tx˜(˜x) ∈ ˜R2, { ˜X˜tx˜(x); 0 < ˜x < ˜xx˜} ∩ R = ∅, e a aplicação ˜x ∈ ˜R1 → ˜Xt˜x˜(˜x)∈ ˜R2 é uma
bijeção.
Se um homeomorfismo f0: R1 → ˜R1 é definido, então podemos estender para um homeomorfismo f : W → ˜W , tal que:
1. f|R1= f0;
2. f (R2) = ˜R2; 3. f (R)⊂ R;
4. f leva órbitas de X em órbitas de ˜X;
onde W e ˜W são as caixas de fluxo tubular correspondentes, W = {Xt(x); x ∈ R1, 0 < t < tx} e ˜
W ={ ˜X˜t; ˜x∈ ˜R1, 0 < ˜t < ˜tx˜}.
Demonstração. Para cada y ∈ R2 existem x ∈ R1 e tx > 0 tal que y = Xtx(x). Seja ˜x = f0(x). Então definimos f (y) = ˜X˜tx˜(˜x). Logo, identificamos por comprimento de arco a órbita de X de
extremos x e y com a órbita de ˜X de extremos ˜x e ˜y.
Observação 2.2.8. O Lema anterior é usado para estender homeomorfismos quando desejamos
preservar alguma subvariedade distinguida. Cada vez que usamos este Lema diremos que estende- mos identificando órbitas pelo comprimento de arco.
Agora indicaremos como pode ser construído uma equivalência entre ξ∗Z = (X0, ξ∗Y ) e Z0 = (X0, Y0) onde X0 = (ϵx2, x3, x4, 1) e Y0 = (1, 0, 0, 0) e ξ∗Y = (Y1, Y2, Y3, Y4) com ϵ = ±1 e Y1(0) > 0.
Seja R = R1 ∪ R2 a região em SX compreendida entre C e L1. Mais precisamente R ={x ∈ SX, 0≤ x3 ≤
1 3x
2 4}. O homeomorfismo f desejado é construído da seguinte maneira: • Começamos definindo f : R→ R sendo a identidade.
• Usando as órbitas de X0 e as órbitas deslizantes, estendemos para f : SLR(Z)→ SLR(Z0). A extensão deve ser feita de tal maneira que sejam preservados os conjuntos distinguidos, e leve órbitas deslizantes de ZN em órbitas deslizantes de ZN
0 (usamos os Lemas 2.1.3 e 2.2.7). • Estendemos para f : SW R+(Z)→ SW R+(Z
0) (usamos os Lemas 2.1.3 e 2.2.7).
• Estendemos para f : Σ+ → Σ+, identificando órbitas de X0 com órbitas de X0 por compri- mento de arco (usamos os Lemas 2.1.3 e 2.2.7).
• Finalmente estendemos para f : Σ−→ Σ− (usamos o Lema 2.1.3).