Jesus Enrique Achire Quispe
Estabilidade estrutural de campos de vetores suave
por partes
CAMPINAS 2014
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Achire Quispe, Jesus Enrique,
Ac47e AchEstabilidade estrutural de campos de vetores suave por partes / Jesus Enrique Achire Quispe. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.
AchOrientador: Marco Antonio Teixeira.
AchTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Ach1. Estabilidade estrutural. 2. Teoria da bifurcação. 3. Singularidades (Matemática). 4. Sistemas dinâmicos. I. Teixeira, Marco Antonio,1944-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Structural stability of piecewise smooth vector fields Palavras-chave em inglês:
Structural stability Bifurcation theory
Singularities (Mathematics) Dynamical systems
Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:
Marco Antonio Teixeira [Orientador] Ricardo Miranda Martins
Regilene Delazari dos Santos Oliveira Luis Fernando de Osório Mello
Cláudio Gomes Pessoa
Data de defesa: 14-11-2014
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Abstract
Recently, the Theory of Non-smooth Dynamic Systems has been developed, motivated mostly by their applications in physics and engineering, and also by its attractive mathematical beauty.
In this work, we consider piecewise-smooth vector fields, called Filippov’s vector fields, and we use the Filippov’s convex method to define orbits solutions of this type of vector fields. Thus, orbit solution through any point always exists. But, there are two main differences with the classic differentiable case: the first is that orbits in this case are piecewise smooth curves while that in the differentiable case they are smooth curves. The second is that there is not uniqueness of solutions, this is, it may exist two or more than two orbits passing through a point.
We are interested in to study qualitatively the Filippov’s vector fields, especially those that are generic and structurally stable. Thus, in this text we describe generic properties necessary for a vector field to be structurally stable. In particular, we analyze local structural stability at tangential singularities, such as swallowtail-regular, fold-fold, fold-cusp, and additionally
pseudo-equilibriums and closed orbits.
Keywords: Structural stability, Bifurcation Theory, Singularities, Dynamic systems.
Resumo
Recentemente, a Teoria de campos descontínuos (Non-Smooth Dynamic Systems) tem-se de-senvolvido rapidamente, motivado principalmente pelas aplicações na física e nas engenharias, e também pela atraente beleza matemática.
Neste trabalho, consideraremos campos de vetores suaves por partes, denominados campos de Filippov, e usamos o método convexo de Filippov para definir órbita solução deste tipo de campo. Assim, órbitas soluções passando por um ponto qualquer sempre existem. Há duas principais diferenças com o clássico caso diferenciável: a primeira é que as órbitas neste caso são curvas suaves por partes, enquanto que no caso diferenciável são curvas suaves. A segunda é que as órbitas soluções não tem a propriedade da unicidade, ou seja, podem existir duas ou mais órbitas passando pelo mesmo ponto. São esses fatos que fazem essa teoria um pouco diferente da teoria clássica de campos diferenciáveis.
Estamos interessados em estudar qualitativamente os campos de Filippov, especialmente os que são genéricos e estruturalmente estáveis. Assim, nesta tese descrevemos propriedades genéricas necessárias para um campo de Filippov ser estruturalmente estável. Particularmente analisamos estabilidade estrutural local de singularidades tangenciais tais como o rabo de andorinha, a
dobra-dobra, e dobra-cúspide, e adicionalmente pseudoequilíbrios e órbitas fechadas.
Palavras-chave: Estabilidade estrutural, Teoria da bifurcação, Singularidades, Sistemas di-namicos.
Sumário
Dedicatória xi
Agradecimentos xiii
Introdução 1
1 Campos vetoriais suaves por partes em variedades 5
1.1 Campos de vetores diferenciáveis em variedades com bordo . . . 5
1.2 Campos de vetores suaves por partes . . . 7
1.3 Estabilidade estrutural . . . 12
2 Estabilidade estrutural local 17 2.1 Caso Regular-Regular . . . 17
2.2 Singularidades tangenciais . . . 20
2.2.1 Prova do Teorema 2.2.2 . . . 24
2.3 Caso Singular-Singular . . . 28
2.4 Pseudo-equilíbrios . . . 31
3 Variedades invariantes e órbitas fechadas 35 3.1 Variedades suaves por partes . . . 35
3.2 Variedades invariantes para pseudo-equilíbrios . . . 36
3.3 Variedades invariantes para conjuntos de tangência . . . 37
3.4 Órbitas fechadas . . . 40
3.4.1 Órbita regular fechada . . . 40
3.4.2 Órbita tangente fechada . . . 42
3.4.3 Órbita deslizante fechada . . . 46
3.4.4 Órbita mista fechada . . . 47
3.5 Pseudo-órbitas fechadas . . . 49
3.5.1 Pseudo-órbita regular fechada . . . 50
3.5.2 Pseudo-órbita mista fechada . . . 51
4 Estabilidade estrutural em dimensão dois 57
4.1 Separatrizes e Pseudo-separatrizes . . . 58
4.2 Recorrência . . . 59
4.3 Campos de vetores suaves por partes tipo Morse-Smale . . . 62
4.4 Estabilidade estrutural dos campos tipo Morse-Smale . . . 64
4.5 Sobre a densidade dos campos tipo Morse-Smale . . . 66
5 Singularidades tangenciais em dimensões 3 e 4 69 5.1 Dobra-Dobra . . . 69
5.1.1 Forma normal da Dobra-Dobra . . . 70
5.1.2 Campo vetorial deslizante . . . 71
5.1.3 Aplicação de primeiro retorno . . . 72
5.2 Dobra-Dobra em R3 . . . 74 5.2.1 Dobra-dobra visível-visível . . . 74 5.2.2 Dobra-dobra visível-invisível . . . 75 5.2.3 Dobra-dobra invisível-invisível . . . 81 5.3 Dobra-Dobra em R4 . . . 90 5.3.1 Dobra-Dobra Semilinear em R4 . . . 90
5.3.2 Mild-estabilidade estrutural da Dobra-Dobra em R4 . . . 92
5.4 Dobra-Cúspide . . . 93
5.4.1 Forma normal da dobra-cúspide . . . 93
5.4.2 Campo vetorial deslizante . . . 94
5.4.3 Aplicação de primeiro retorno . . . 95
5.4.4 Mild-estabilidade estrutural da Dobra-Cúspide em R4 . . . 95
6 Estabilidade estrutural de n-uplas de campos de vetores 97 6.1 N-uplas de campos de vetores . . . 98
6.2 Estabilidade estrutural local de n-uplas de campos de vetores . . . 99
6.2.1 Duplas de campos de vetores em R2 . . . 99
6.2.2 Triplas de campos de vetores em R2 . . . 104
6.3 Conexões entre ESCR e SLR . . . 107
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus pois sem ele nada teria acontecido.
Aos meus pais, Meliton Achire e Agripina Quispe, que sempre lutaram para dar uma boa educação e formação aos seus filhos.
Aos meus irmãos Cinthya e Jhonny pela amizade, apoio e grandes incentivos em todos os momentos de minha vida.
A minha esposa Marina Ramos, pela ajuda, companheirismo, carinho e total apoio que me fez alcançar este objetivo.
A minha linda filha Camila, que foi a força e inspiração nos momentos difíceis.
Aos meus amigos peruanos Claudia, David, Julio, Milton, Renato, Paty, Norbil, Miguel, Lorena, Claudio, Eduardo, pela convivência e companheirismo.
Aos meus amigos e colegas brasileiros Wender, Thais, Felipe, Juliana, pela amizade.
Ao meu orientador Marco Antonio Teixeira pela dedicação, incentivo, paciência e amizade. Aos professores Joan Torregosa, Mike Jefrey, Ricardo Martins, Thiago de Carvalho, pela ajuda e principalmente pelas contribuições valorosas.
Aos professores do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Campinas, pelos ensinamentos concedidos.
Aos professores do Departamento de Matemática da Universidad Nacional de San Agustin de Arequipa, pela recomendação e incentivo. Em especial aos professores Richard Mamani e Walter Torres, pela confiança, amizade e por ter colaborado com a minha formação acadêmica.
A CAPES e CNPq pelo apoio financeiro, fundamental para o desenvolvimento da tese. Aos participantes da banca examinadora, pelas sugestões.
Introdução
A teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos, iniciada desde Poincaré, tradicionalmente estuda fluxos diferenciáveis provenientes de campos suaves, e paralelamente estuda a dinâmica dos dife-omorfismos. O objetivo central desta teoria é procurar propriedades genéricas e necessárias para a estabilidade estrutural. Nesta teoria existem importantes e bem conhecidos resultados, tais como, Teorema do fluxo tubular, Teorema de Hartman-Grobman, Teorema de Poincaré Bendixon, Teorema de Kupka-Smale, Teorema de Peixoto. Por outro lado, muitos dos problemas da física e das engenharias são modelados por campos não-suaves, obtendo assim um sistema dinâmico não-suave. Os teoremas acima não podem ser aplicados diretamente para este tipo de sistemas descontínuos, por isto foi necessário criar uma Teoria para Campos Descontínuos, conhecida como Teoria de Sistemas Dinâmicos Não-Suaves. O objetivo específico da tese é adaptar os teoremas acima para campos de vetores suaves por partes. Como veremos, neste processo de adaptação aparecem algumas novidades e dificuldades.
Seja M uma variedade compacta. Um campo suave por partes em M é um campo tangente a M diferenciável em todo ponto exceto sobre uma subvariedade N de codimensão 1, que chamaremos de superfície de descontinuidade. Para este tipo de campos, especial consideração deve ser tomada para o comportamento do campo próximo da superfície de descontinuidade, porque é ali onde o comportamento das órbitas difere do caso diferenciável. Assim, é necessário estudar o contato do campo com a superfície de descontinuidade. Em [19], [20], [23], e [24], os autores descrevem o contato genérico de um campo e uma subvariedade de codimensão um.
No magistral livro de Filippov [8], o autor estabeleceu convenções para definir órbita solução para um campo descontínuo (em particular para campos suaves por partes) usando inclusões diferenciais. Usaremos estas definições porque são matematicamente consistentes e compatíveis com as aplicações. Um caso especial, é quando as órbitas do campo estão chegando à superfície de descontinuidade de cada lado dela, a convenção é que as órbitas devem se mover sobre a superfície de descontinuidade, este movimento é chamado de deslize (veja seção 2 capitulo 1).
Usando a convenção de Filippov, temos que um campo suave por partes gera um sistema dinâmico generalizado, isto é, sem a propriedade de unicidade de órbita passando por um ponto. Isto sugere que podemos aplicar métodos qualitativos para estudar campos de vetores suaves por partes. Neste estudo, como proposto pelo programa de Thom-Smale, deveríamos começar estudando os campos genéricos e estáveis que tem uma descrição simples de suas órbitas.
Em dimensão dois a teoria local foi estudada em [9] e [13], os autores classificaram os cam-pos localmente estruturalmente estáveis e as bifurcações de codimensão um e dois. No aspecto global, em [2] os autores estenderam o Teorema de Peixoto para campos suave por partes
defini-dos sobre uma variedade bidimensional. No capitulo 4, reformulamos o Teorema de classificação de [2], porque temos observado que pseudo-órbitas são invariantes topológicos os quais não foram considerados nesse artigo.
Em dimensão três, estabilidade estrutural local foi estudado em [21]. Neste artigo foi estudado pela primeira vez a singularidade dobra-dobra, isto é, um ponto sobre a superfície de desconti-nuidade onde de cada lado o contato é quadrático. Depois disto, esta singularidade, que aparece genericamente em dimensão maior ou igual a 3, foi estudada em uma série de artigos [3], [4], e [7]. Os estudos foram direcionados a entender a dinâmica, genericidade e estabilidade estrutural da dobra-dobra. Começaram analisando a linearização do campo deslizante e a aplicação de retorno associadas (veja Capítulo 5). Também foram considerados algumas perturbações do sistema line-arizado. Assim, os autores encontraram infinitas classes de equivalência. Mas, ainda hoje é uma questão aberta a classificação de todos os tipos topológicos de dobra-dobra que são estrutural-mente estáveis. Além desta singularidade, uma outra singularidade de codimensão um, a chamada dobra-cúspide foi estudada em [5] e [22]. Esta singularidade é a transição entre dobras visíveis e dobras invisíveis.
Em dimensão maior do que quatro há poucos trabalhos. A dificuldade em dimensão maior é que aparecem novas singularidades tangenciais cujas dinâmicas são cada vez mais complicadas. Por exemplo, em dimensão maior ou igual do que quatro, a dobra-cúspide aparece genericamente. Esta singularidade é acumulada por singularidades dobra-dobra. Assim, é essencial entender primeiro a dinâmica da dobra-dobra, em dimensão três como também em dimensão maior.
Nesta tese exibimos propriedades genéricas necessárias para estabilidade estrutural de campos suaves por partes, principalmente em dimensão maior ou igual do que três. Por simplicidade assumimos que N divide M em dois pedaços. Denotamos por Ωr(M, N ) o conjunto de campos suaves exceto talvez em N , onde tem descontinuidades de primeira espécie, munido da Crtopologia. Os resultados obtidos são sumarizados a seguir:
Resultado A: Em dim(M ) = 4, obtemos formas normais para campos de vetores suaves por par-tes em uma vizinhança de um ponto sobre a superfície de descontinuidade onde: de um lado as órbitas são transversais e do outro lado as órbitas tem tangencia genérica (dobra, cúspide ou rabo de andorinha). Daí concluímos que estes tipos de singularidades são localmente estruturalmente estáveis. (ver Teorema 2.2.2 e corolário 2.2.4)
Resultado B: O conjunto de campos suaves por partes com as seguintes propriedades formam um conjunto aberto e denso em Ωr(M, N ),
1. As tangências do campo com a superfície de descontinuidade são genéricas.
2. Os conjuntos de tangência correspondentes aos campos de cada lado da superfície de descontinuidade se encontram transversalmente.
3. Os pontos críticos são hiperbólicos e estão fora da superfície de descontinuidade. 4. Os pseudo-equilíbrios são hiperbólicos e estão no interior das regiões de deslize e escape. Estas condições são necessárias para estabilidade estrutural em Ωr(M, N ). (Ver Teorema 2.4.4)
Resultado C: Um campo suave por partes, genérico e estruturalmente estável, pode ter apenas três tipos de órbitas fechadas:
1. Órbita regular fechada hiperbólica; 2. Órbita deslizante fechada hiperbólica; 3. Órbita mista fechada simples.
(Ver Teorema 3.4.14)
Resultado D: Para um campo suave por partes satisfazendo as condições do Resultado B, asso-ciamos certas variedades suaves por partes (que são invariantes topológicos). A transversa-lidade destas variedades é uma condição necessária para estabitransversa-lidade estrutural do campo. (Ver Teorema 3.6.1)
Resultado E: Se dim(M ) = 2, o conjunto de campos suaves por partes estruturalmente estáveis em Ωr(M, N ) é caracterizado pelas seguintes propriedades:
1. Há um número finito de pontos críticos, todos eles são hiperbólicos e estão fora da superfície de descontinuidade.
2. As tangencias são quadráticas e não há pontos dobra-dobra. 3. Os pseudo-equilíbrios são hiperbólicos.
4. Não há ligação nem pseudo-ligação entre as seguintes singularidades: dobras, selas e pseudo-equilíbrios.
5. Há um número finito de órbitas regulares fechadas e pseudo-órbitas regulares fechadas, todas elas hiperbólicas.
6. Os conjuntos limites das órbitas consistem de um único elemento crítico (ponto estaci-onário ou órbita fechada). E os conjuntos limites das pseudo-órbitas regulares também consistem de um único elemento crítico (ponto estacionário ou órbita fechada ou pseudo-órbita fechada).
(Ver Teorema 4.4.1)
Resultado F: Em dimensões 3 e 4. Consideramos a parte semilinear, das expressões dos campos, nas singularidades dobra-dobra e dobra-cúspide, e classificamos os respectivos tipos topoló-gicos. Baseado nesta classificação, obtemos algumas propriedades genéricas necessárias para estabilidade estrutural destas singularidades. (Ver Teoremas 5.3.1 e 5.4.1)
Resultado G: Em dimensão dois, obtemos uma classificação das duplas de campos de vetores localmente estruturalmente estáveis. (Ver Corolário 6.2.5 e Proposição 6.2.8)
Organizamos o texto da seguinte forma.
No Capítulo 1 apresentamos as definições e as notações que serão usadas no trabalho. Aqui apresentamos o espaço dos campos suaves por partes, os quais serão nosso principal objeto de estudo. E introduzimos o conceito de estabilidade estrutural neste espaço.
No Capítulo 2 estudamos estabilidade estrutural local de campos suaves por partes. Aqui apresentamos as principais singularidades para campos suaves por partes, tais como singularidades tangenciais e pseudo-equilíbrios, e mostramos que campos com estes tipos de singularidades formam um conjunto aberto e denso em Ωr(M, N ). Neste capítulo provamos os Resultados A e B.
No Capítulo 3, consideramos aspectos globais. Na primeira parte deste capítulo, associamos variedades invariantes as singularidades tangenciais e aos pseudo-equilíbrios. E na segunda parte, classificamos órbitas fechadas genéricas e localmente estruturalmente estáveis. Além disso, estu-damos estabilidade estrutural de pseudo-órbitas fechadas.
No Capítulo 4 classificamos os campos suaves por partes estruturalmente estáveis em variedades bidimensionais. Apresentamos vários exemplos de campos estruturalmente estáveis na esfera e no toro. Neste capítulo provamos o Resultado E. Também aqui comentamos sobre a densidade do conjunto de campos estruturalmente estáveis.
No Capítulo 5 estudamos as singularidades dobra-dobra e dobra-cúspide. Primeiro expressa-mos os campos nestas singularidades num sistema de coordenadas convenientes, ou seja, na sua forma normal. Logo estudamos a dinâmica e estabilidade estrutural da parte linear ou semilinear dos campos nestas singularidades. Para a dobra-dobra em dimensão 3 estudamos estabilidade es-trutural, assim encontramos varias bifurcações, muitas delas já apareceram nos artigos [4], [3] e [7]. Em dimensão 4, devido à dificuldade, estudamos Mild-estabilidade estrutural das singularidades dobra-dobra e dobra-cúspide, ou seja, somente estudamos estabilidade do campo deslizante.
No Capítulo 6 apresentamos o problema de estabilidade estrutural de n-uplas de campos de vetores suaves. Sendo o problema em geral difícil, começamos estudando estabilidade estrutural local. Neste capítulo obtemos condições de estabilidade estrutural local para duplas e triplas de campos de vetores em R2. Finalmente aplicamos estes resultados no estudo de estabilidade estrutural de conexões, isto é, órbitas regulares conectando a região de deslize com a região de escape.
Capítulo 1
Campos vetoriais suaves por partes em
variedades
1.1
Campos de vetores diferenciáveis em variedades com
bordo
Seja M uma variedade n+1 dimensional compacta, orientável, com bordo ∂M ̸= ∅. Denotemos por Xr(M ) ( com r ≥ 1 ou r = ∞ ), o espaço dos campos vetoriais, de classe Cr, tangentes a M . Munimos o espaço Xr(M ) com a topologia Cr, assim dois campos de vetores neste espaço estarão próximos se os campos e suas derivadas até ordem r estiverem próximos em todos os pontos de M . Os seguintes fatos são bem conhecidos em variedades sem bordo e podem ser facilmente esten-didas para variedades com bordo.
Proposição 1.1.1. O espaço Xr(M ) é um espaço de Baire separável, e todo campo vetorial em Xr(M ) pode ser aproximado por um campo vetorial de classe C∞.
Proposição 1.1.2. Todo campo vetorial X ∈ Xr(M ) define um fluxo de classe Cr, isto é, uma aplicação ϕ: D → M, tal que ϕ(0, p) = p e ∂t∂ϕ(t, p) = X(ϕ(t, p)), onde D ⊂ R × M é um subconjunto fechado.
Seja ϕ(t, p) a solução maximal de X que passa por um ponto p em t = 0. Definimos a órbita de X pelo ponto p como sendo a imagem de ϕ. Assim, uma órbita de X pode ser:
• difeomorfa a um intervalo fechado deR de uma das formas (−∞, +∞), [a, +∞),(−∞, b] ou [a, b],
• um ponto, ou
• difeomorfa a um circulo.
Agora definimos uma equivalência no espaço Xr(M ) para decidir quando dois campos tem espaços de fase equivalentes.
Definição 1.1.3. Dois campos X, Y ∈ Xr(M ) são topologicamente equivalentes se existe um ho-meomorfismo f : M → M que leva órbitas de X em órbitas de Y preservando a orientação das órbitas, f é chamada de equivalência topológica entre X e Y .
Temos assim definido uma relação de equivalência no espaço Xr(M ). Desta definição segue naturalmente o conceito de estabilidade estrutural em Xr(M ). Dizemos que X ∈ Xr(M ) é estrutu-ralmente estável se existe uma vizinhançaV de X em Xr(M ) tal que todo Y ∈ V é topologicamente equivalente a X.
Em variedades com bordo é importante descrever o comportamento de um campo nas proxi-midades do bordo. Se X é um campo vetorial definido em M , então tem-se que uma órbita de X ou é transversal ou é tangente ao ∂M .
Seja uma função h: M → R tal que h−1(0) = ∂M e 0 valor regular de h. Dado X ∈ Xr(M ), denotaremos a derivada de Lie de h na direção do campo X por Xh(p) = X(p)·∇h(p), e definimos por indução Xk+1h(p) = XXkh(p).
Seja p ∈ ∂M. Chamamos p um ponto regular de X se a órbita que passa por p encontra transversalmente o bordo de M em p, isto é, Xh(p) ̸= 0.
Chamamos p de singularidade tangencial de X se a órbita que passa por p é tangente ao bordo de M em p, isto é, Xh(p) = 0 e X(p) ̸= 0. Supondo que dim(M) = n + 1, dizemos que p é uma
singularidade tangencial genérica de X se cumpre uma das seguintes condições:
• Xh(p) = 0 e X2h(p)̸= 0 (dobra ou singularidade tangencial de ordem 1).
• Xh(p) = X2h(p) = 0, X3h(p) ̸= 0 e o conjunto {Dh(p), DXh(p), DX2h(p)} é linearmente
independente (cúspide ou singularidade tangencial de ordem 2).
• Xh(p) = X2h(p) = X3h(p) = 0, X4h(p) ̸= 0 e o conjunto {Dh(p), DXh(p), DX2h(p), DX3h(p)} é linearmente independente (rabo de andorinha ou singularidade tangencial de ordem 3).
• ...
• Xh(p) = X2h(p) = ... = Xnh(p) = 0, Xn+1h(p) ̸= 0 e o conjunto {Dh(p), DXh(p), DX2h(p), ..., DXnh(p)} é linearmente independente (singularidade tangencial de ordem n). O seguinte resultado devido a Vishik [24] exibe as formas normais para as singularidades ge-néricas.
Teorema 1.1.4. Seja X ∈ Xr(M ) e suponha que dim(M ) = n + 1 e r = ∞. Se p ∈ ∂M é uma singularidade tangencial genérica de X de ordem k (1≤ k ≤ n), então existe um sistema de coordenadas locais x1, x2, ..., xn+1 em p tal que
• ∂M é dado por x1 = 0 e
• X = (ϵx2, x3, ..., xk+1, 1, 0, ..., 0), onde ϵ = sgn(Xk+1h(p)).
Denotamos Xr0(M ) o conjunto de campos X ∈ Xr(M ) tal que todo ponto de ∂M ou é regular ou é uma singularidade genérica de X. O seguinte resultado é conseqüência das formas normais de Vishik:
Teorema 1.1.5. Se X ∈ Xr(M ) é estruturalmente estável então X ∈ Xr
0(M ). O conjunto Xr0(M ) é um conjunto aberto e denso em Xr(M ).
Demonstração. Se X /∈ Xr
0(M ), pela densidade podemos aproximar X por um campo X1 ∈ Xr0(M ). Por outro lado, podemos encontrar um campo X2 próximo de X que não é equivalente a X1 (veja [19], [20]).
A abertura e densidade é provado em [19] para o caso r = ∞. Como todo campo de classe
Cr pode ser aproximado por um campo de classe C∞, então este teorema segue do Teorema de Percell em [19].
1.2
Campos de vetores suaves por partes
Seja M uma variedade compacta sem bordo. Seja N uma subvariedade compacta sem bordo de
M , que divide M em dois pedaços, isto é, tal que M = M+∪ M−, onde M+ e M− são variedades com bordo comum ∂M+ = ∂M− = N . Fixaremos uma aplicação h: M → R tal que h−1(0) = N ,
h−1[0,∞) = M+, h−1(−∞, 0] = M− e 0 um valor regular da aplicação h. Um exemplo de esta situação é mostrada na figura abaixo, um toro dividido em duas partes.
M
+M
−N
Denotamos por Ωr(M, N ) o espaço dos campos de vetores Z tangentes a M da seguinte forma: Z(p) =
{
X(p) se h(p) > 0,
Y (p) se h(p) < 0, (1.2.1) onde X ∈ Xr(M ) e Y ∈ Xr(M ). O campo de acima será denotado por Z = (X, Y ). Assim, fazemos a identificação Ωr(M, N ) = Xr(M )× Xr(M ) munido da Cr topologia produto.
Chamaremos Ωr(M, N ) de espaço dos campos suaves por partes e um elemento Z ∈ Ωr(M, N ) de campo suave por partes. Para Z ∈ Ωr(M, N ) as descontinuidades acontecem sobre a subvari-edade N e são descontinuidades de primeira espécie. Por causa destas descontinuidades a teoria dos campos suaves por partes difere do clássico caso contínuo, principalmente porque não temos unicidade de soluções.
O primeiro a fazer é definir órbita solução para um campo Z ∈ Ωr(M, N ). Usaremos a conven-ção de Filippov [8] para definir órbitas soluções de Z.
Consideremos a equação diferencial com lado direito descontínuo associada ao campo vetorial
Z,
˙x = Z(x), x∈ M. (1.2.2)
As soluções da equação diferencial (1.2.2) estão bem definidas em M+ pelas soluções de X e em
M− pelas soluções de Y , agora precisamos definir como continuam as soluções que encontram a superfície de descontinuidade N . Filippov, em [8], considera inclusões diferenciais para definir soluções da equação (1.2.2), que explicaremos abaixo.
Consideremos o campo conjunto-valuado em M
Z(p) = X(p) se h(p) > 0, λX(p) + (1− λ)Y (p), λ ∈ [0, 1] se h(p) = 0, Y (p) se h(p) < 0. (1.2.3)
Observemos que sobre a superfície de descontinuidade N o campo Z é multivaluado, e é definido em p∈ N como o conjunto de vetores que são combinação convexa de X(p) e Y (p).
Agora consideremos a inclusão diferencial associada a Z,
˙x∈ Z(x), x ∈ M. (1.2.4) Definição 1.2.1. Uma solução da equação (1.2.2) é uma curva absolutamente contínua x(t),
definida sobre um intervalo I, que satisfaz a inclusão diferencial (1.2.4), isto é, ˙x(t) ∈ Z(x(t)) para quase todo t∈ I.
A formalização da existência de soluções para a inclusão diferencial (1.2.4) é dada no livro de Filippov [8]. Ele mostra que sempre existe solução de (1.2.2) passando por um ponto p ∈ M em t = 0. Porém, estas soluções não necessariamente são únicas sobre N . Como M é compacto estas soluções podem ser continuadas e definidas em todo R. No livro de Filippov também é estabelecido que as soluções dependem continuamente dos parâmetros no lado direito da equação diferencial (1.2.2) e, o limite de uma seqüencia de soluções uniformemente convergente também é uma solução. Portanto podemos usar métodos qualitativos clássicos para estudar os campos de vetores descontínuos.
Para Z = (X, Y ), podemos distinguir dois subconjuntos sobre a variedade de descontinuidade
N :
• OZ = {p ∈ N, Xh(p)Y h(p) ̸= 0}, o conjunto de pontos de N onde ambos campos X e Y encontram transversalmente N , e
Genericamente SZ é um subconjunto magro em N . Os pontos em SZ são chamados de singu-laridades tangenciais e serão estudados neste trabalho.
O conjunto OZ é um subconjunto aberto de N . Sobre este conjunto podemos ainda distinguir os seguintes subconjuntos:
• SW R+(Z) = {p ∈ N, Xh(p) > 0, e Y h(p) > 0}, o conjunto de pontos de N onde o campo X e Y apontam para M+,
• SW R−(Z) = {p ∈ N, Xh(p) < 0, e Y h(p) < 0}, o conjunto de pontos de N onde o campo
X e Y apontam para M−,
• SLR(Z) = {p ∈ N, Xh(p) < 0, Y h(p) > 0}, o conjunto de pontos de N onde o campo X aponta para M− e o campo Y para M+,
• ESCR(Z) ={p ∈ N, Xh(p) > 0, Y h(p) < 0}, o conjunto de pontos de N onde o campo X aponta para M+ e o campo Y para M−,
• SW R(Z) = SW R+(Z)∪ SW R−(Z), conjunto de pontos de N onde X e Y apontam para o mesmo lado de N .
Em SW R+ as órbitas de Y chegam a N e as órbitas de X saem de N , então uma solução é formada concatenando os segmentos de órbita de X e Y . Além disso, é fácil ver que localmente esta solução deve ser única. Similarmente há unicidade local de soluções passando por pontos em
SW R−.
Em SLR as órbitas de X e Y estão chegando a variedade N , e portanto a única forma de continuar estas órbitas é sobre a superfície N . De fato, sobre SLR é definido um campo vetorial
ZN tangente a N tal que ZN(p) ∈ Z(p). O vetor ZN(p) é escolhido como o vetor em Z(p) que é tangente a N (veja Figura 1.1). Como X e Y apontam para lados distintos de N então este vetor sempre existe e é dado por :
ZN(p) = λX(p) + (1− λ)Y (p) , onde λ = Y h(p)
Y h(p)− Xh(p) (1.2.5)
O campo ZN definido acima é chamado de campo vetorial deslizante associado a Z. Observemos que uma solução de ˙y = ZN(y), y ∈ N, é uma solução da equação diferencial (1.2.2). Outras soluções que passam por p ∈ SLR são formadas concatenando os segmento de órbitas de X e Y que chegam a p com o segmento de órbita de ZN que começa em p. Assim, existe uma familia a um parâmetro de soluções que passam por um ponto qualquer em SLR.
Similarmente em ESCR é definido o campo vetorial deslizante ZN pela equação (1.2.5). Solu-ções passando por pontos em ESCR são formadas concatenando os segmento de órbitas do campo deslizante ZN com as órbitas de X e Y que deixam N . Neste caso também não temos unicidade de soluções.
Um ponto p tal que 0∈ Z(p) é chamado de ponto estacionário. Neste caso a função constante
x(t) = p é uma solução de (1.2.2).
Observemos que se p ∈ SLR∪ESCR e X(p) com Y (p) são antiparalelos, ou seja são linearmente dependentes e de direções opostas, então temos que ZN(p) = 0, logo p é um ponto estacionário. Um ponto crítico do campo vetorial deslizante é chamado de pseudo-equilíbrio.
p Y(p) X(p) ZN(p) N TpN
Figura 1.1: O campo deslizante ZN(p) é definido como o vetor que é combinação convexa de X(p) e Y (p) e que pertence ao plano tangente TpN .
Definição 1.2.2. Um segmento de órbita de Z pelo ponto p é a imagem de uma solução ϕ da
equação diferencial (1.2.2) com ϕ(0) = p. Uma órbita do campo Z pelo ponto p é a imagem de uma solução maximal ϕ:R → M da equação diferencial (1.2.2) com ϕ(0) = p.
Com esta definição, uma órbita é uma curva suave por partes que poderia ter auto-intersecções, nesse caso estas devem acontecer sobre N . Genericamente, órbitas para Z = (X, Y ) são formadas concatenando segmentos de órbitas dos campos X, Y e do campo deslizante ZN, todos com a mesma orientação. Assim, órbitas tem uma orientação definida e são parametrizadas pelo fluxo. Existem também outros tipos de órbitas, estas são órbitas contidas na superfície de descontinuidade e que não são órbitas do campo deslizante ZN. Estas acontecem em casos degenerados e não estamos interessados em estuda-las. Segmentos de órbita e órbitas deste tipo são chamadas de órbitas deslizantes de ordem superior. Na figura abaixo apresentamos alguns exemplos de órbitas deslizantes de ordem superior.
N X
Y
SW R−
SW R+
Figura 1.2: Órbitas deslizantes de ordem superior.
Vamos classificar as órbitas de um campo qualquer Z = (X, Y )∈ Ωr(M ) da seguinte forma: Órbitas regulares São órbitas γ formadas concatenando segmentos de órbitas de X e Y e tal
que γ∩ N ⊂ SW R. Este inclui órbitas de X e Y que não encontram a descontinuidade N. Órbitas tangentes São órbitas γ formadas concatenando segmentos de órbitas de X e Y e tal
que γ∩ SZ ̸= ∅.
Órbitas mistas São órbitas formadas concatenando órbitas de X, Y e do campo deslizante. Similarmente são classificados os segmentos de órbita em: segmentos de órbita regular, tan-gente, deslizante e mista.
Definição 1.2.3. Um segmento de pseudo-órbita do campo Z é uma curva contínua formada
concatenando segmentos de órbitas de X, de Y e do campo deslizante ZN sem importar suas orientações. Uma pseudo-órbita é um segmento de pseudo-órbita maximal.
Pseudo-órbitas podem ser parametrizadas pelo fluxo de duas maneiras, assim elas não tem orientação definida.
Para um campo Z = (X, Y ) também vamos classificar as pseudo-órbitas da seguinte forma: Pseudo-órbitas regulares São pseudo-órbitas formadas concatenando segmentos de órbitas de
X e Y que somente encontram transversalmente N ;
Pseudo-órbitas tangentes São pseudo-órbitas formadas concatenando segmentos de órbitas de
X e Y , e que passam por alguma tangência;
Pseudo-órbitas mistas São pseudo-órbitas formadas concatenando segmentos de órbitas de X,
Y e do campo deslizante, e que contém um segmento de órbita deslizante.
Similarmente classificamos os segmentos de pseudo-órbitas como: regular, tangente, e mista. Neste caso não tem sentido de falar de pseudo-órbita deslizante.
d a b c e f g h
N
X
Y
Figura 1.3: Campo de vetores suave por partes exibindo os vários tipos de órbitas e pseudo-órbitas.
Na figura 1.3 encontramos vários tipos de órbitas. A órbita que nasce em a segue a órbita de
Y até b e logo a órbita de X morrendo em c é uma órbita regular. A órbita que nasce em a segue
a órbita de Y até d e logo segue a órbita de X até c é uma órbita tangente. A curva que começa em a, segue a órbita de Y até e, logo a órbita de X até g, então desliza até h, e finalmente morre em c é uma órbita mista. A curva que começa em a e segue a órbita de Y até e, logo a órbita de
a, e segue a órbita de Y até d, então segue a órbita de X até h, e logo segue a órbita de Y até a é
uma pseudo-órbita tangente. A curva que começa em a, segue a órbita de Y até f e logo desliza até g, então volta para a seguindo a órbita de X é uma pseudo-órbita mista. O segmento em N de f até h é um segmento de órbita deslizante.
1.3
Estabilidade estrutural
Agora definimos uma relação de equivalência no espaço Ωr(M, N ).
Definição 1.3.1. Dois campos Z = (X, Y ) e ˜Z = ( ˜X, ˜Y ) em Ωr(M, N ) são topologicamente equivalentes se existe um homeomorfismo N -invariante f : M → M, que leva órbitas de Z em órbitas de ˜Z preservando a orientação das órbitas. Uma tal f será chamada de equivalência topológica ou simplesmente equivalência entre Z e ˜Z.
Na literatura existem varias definições de equivalência entre campos suaves por partes ( ver por exemplo [1], [2], [8] e [9]). Naturalmente uma equivalência deve levar órbitas em órbitas preservando a orientação das órbitas. Assim, vemos que a variedade de definições de equivalência entre campos suaves por partes depende, em parte, das varias definições de órbita para campos suaves por partes. Então fixada a definição de órbita em 1.2.2, formulamos naturalmente a definição 1.3.1.
Também é natural pensar que uma equivalência deve preservar a superfície de descontinuidade, embora alguns autores relaxem essa condição, esta condição é importante em aplicações. Na definição acima, requeremos que uma equivalência preserve a superfície de descontinuidade N .
É importante observar que como uma equivalência preserva órbitas, então também deve pre-servar pseudo-órbitas.
Proposição 1.3.2. Seja f : M → M uma equivalência entre Z1 = (X1, Y1) e Z2 = (X2, Y2). Então h leva pseudo-órbitas de Z1 em pseudo-órbitas de Z2.
Demonstração. Seja γ = γ1 + γ2 + ... + γk um segmento de pseudo-órbita de Z1, onde cada γi é um segmento de órbita de Z1. Como h preserva órbitas, então segue que os h(γi) são segmentos de órbitas de Z2. Pela continuidade de h, segue que h(γ) = h(γ1) + h(γ2) + ... + h(γk) é uma curva contínua, logo h(γ) é um segmento de pseudo-órbita de Z2.
Agora, da Definição 1.3.1 segue naturalmente o conceito de estabilidade estrutural em Ωr(M, N ). Definição 1.3.3. Dizemos que um campo Z ∈ Ωr(M, N ) é estruturalmente estável, se existe uma
vizinhança V de Z em Ωr(M, N ) tal que todo ˜Z ∈ V é topologicamente equivalente a Z.
Observemos que para que um campo Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ) seja estruturalmente estável é necessário que X, Y sejam estruturalmente estáveis em Xr(M+), Xr(M−), respectivamente. Assim, é necessário que X ∈ Xr0(M+) e Y ∈ Xr0(M−). Portanto temos uma pré-classificação dos campos estruturalmente estáveis em Ωr(M ). Em um ponto qualquer p ∈ N, um campo suave por partes estruturalmente estável Z = (X, Y ) deve satisfazer uma das seguintes condições:
• Regular-Singular: Um dos campos X ou Y é transversal a N em p e o outro tem uma singularidade tangencial genérica em p.
• Singular-Singular: Os campos X e Y são tangentes a N em p, e ambos tem uma singularidade tangencial genérica em p.
O objetivo principal do trabalho é exibir propriedades genéricas necessárias para que um campo seja estruturalmente estável. No aspecto local estudaremos cada um dos casos Regular-Regular, Regular-Singular e Singular-Singular. Além disso vamos estudar aspectos globais tais como órbitas fechadas, variedades invariantes e recorrência.
A seguir damos alguns exemplos de campos estruturalmente instáveis. No capítulo 4 encontra-mos vários exemplos de campos estruturalmente estáveis em superfícies.
Exemplo 1.3.4. Considere o quadrado [0, 1] × [0, 1] dividido pelo segmento L1 com extremos (12, 0) e (12, 1) (veja Figuras 1.4 e 1.5). O segmento L1 divide o quadrado em dois pedaços, num deles definimos o campo constante X = (1, a) e no outro pedaço o campo constante Y = (1, b). Construindo um toro pela identificação dos lados do quadrado passamos o fluxo de X e Y para o toro. Denotemos por L2 o segmento de reta com extremos (0, 0) e (0, 1). Neste exemplo, a superfície de descontinuidade é formado por dois círculos correspondentes a L1 e L2. Observe que nestes círculos as órbitas se costuram. Como conhecido, definimos uma aplicação de primeira retorno: para cada ponto x ∈ L1, seja ϕ(x) o primeiro ponto onde a órbita começando em x encontra L1. A aplicação ϕ: L1 → L1 é uma rotação ϕ(x) = x +(a+b)2 ( mod 1). Logo, se a + b∈ Q todas as órbitas são fechadas, e se a + b /∈ Q então toda órbita é densa no toro. Portanto, o campo Z = (X, Y ) definido no toro é estruturalmente instável.
x φ(x) L1 L2 L1 X= (1, a) Y= (1, b) x φ(x) L1 L2
Figura 1.4: Campo suave por partes no toro com órbitas regulares.
Agora, troquemos Y por −Y = (−1, −b). Observemos que o segmento L1 é de deslize e o segmento L2 é de escape. Que todas as órbitas nascem da órbita fechada deslizante em L1 e morrem na órbita fechada deslizante em L2. Assim, existem apenas duas órbitas fechadas e são deslizantes. Como anteriormente podemos definir uma aplicação de retorno ϕ(x) = x + (a+b)2
mod 1, para x∈ L1. Se a + b∈ Q toda pseudo-órbita regular é fechada, e se a + b /∈ Q então toda pseudo-órbita regular é densa no toro. Da Proposição 1.3.2, vemos que W = (X,−Y ) também é estruturalmente instável no toro.
x φ(x) L1 L2 L1 X= (1, a) Y= (−1, −b) x φ(x) L1 L2
Figura 1.5: Campo suave por partes no toro com pseudo-órbitas regulares.
Exemplo 1.3.5. Sejam M = S1 = {(x, y) ∈ R2, x2+ y2 = 1} e a superfície de descontinuidade N ={a = (−1, 0), b = (1, 0)}. Vamos analisar estabilidade estrutural de campos em Ωr(S1, N ).
Seja X0 um dos campos unitários em S1. Qualquer campo X ∈ Xr(S1) escreve-se de maneira única como X(p) = f (p)X0(p), p ∈ S1, onde f : S1 → R de classe Cr. Para Z = (X, Y ), como X = f X0 e Y = gX0, então temos Z = σX0 onde σ: S1 → R é de classe Cr exceto nos pontos a e b.
Observemos que se f (a) e g(a) tem sinais diferentes então os vetores X(a) e Y (a) estão apon-tando em direções opostas, portanto o ponto a é um pseudo-equilíbrio. E se f (a) e g(a) tem o mesmo sinal, então os vetores X(a) e Y (a) estão apontando na mesma direção, logo a é um ponto de costura. As mesmas conclusões valem para o ponto b.
Observe também que os pontos críticos de Z são os pontos onde σ(p) = 0. Uma condição necessária para estabilidade estrutural de Z é que pontos críticos não estejam sobre N , isto é, f (a)f (b)g(a)g(b) ̸= 0. Uma outra condição necessária para a estabilidade estrutural é que os pontos críticos de Z sejam hiperbólicos, isto é, σ′(p)̸= 0 se σ(p) = 0.
Denotemos Ωr0(S1, N ) o conjunto de campos Z = (X, Y ) tais que, os pontos críticos de X e Y são hiperbólicos e são diferentes de a e b. Podemos mostrar que o conjunto Ωr
0(S1, N ) coincide com o conjunto de campos estruturalmente estáveis em Ωr(S1, N ). Além disso, não é difícil mostrar que Ωr0(S1, N ) é aberto e denso em Ωr(S1, N ).
Uma outra relação de equivalência que consideraremos, é a "mild-equivalência"(ela foi introdu-zida em [10]).
Para Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ) definimos o tipo topológico local de Z em p como o grafo local formado pelos segmentos de órbitas de Z que passam ou tendem para p.
Definição 1.3.6. Dois campos Z = (X, Y ) e ˜Z = ( ˜X, ˜Y ) em Ωr(M, N ) são mild-equivalentes se:
• X é topologicamente equivalente a ˜X em M+,
• Y é topologicamente equivalente a ˜Y em M−,
• Existe um homeomorfismo f : N → N que preserva o tipo topológico local, isto é, para cada p∈ N, Z em p tem o mesmo tipo topológico local que ˜Z em f (p).
Observemos que uma equivalência topológica preserva o tipo topológico, portanto dois campos topologicamente equivalentes são mild-equivalentes. A recíproca nem sempre é verdade. Por exemplo, na dobra-dobra invisível-invisível temos dois ingredientes juntos, o campo deslizante e a aplicação de retorno (veja capítulo 5). Neste caso temos dois tipos topológicos estruturalmente estáveis para o campo deslizante e portanto dois tipos topológicos de dobra-dobra invisível-invisível com relação a mild-equivalência. Mas, se combinamos estes tipos topológicos com a aplicação de retorno obtemos infinitos tipos topológicos com relação a equivalência topológica.
Capítulo 2
Estabilidade estrutural local
Seja M uma variedade compacta n + 1-dimensional, e N uma subvariedade que divide M em dois pedaços. Denotamos por Ωr(M, N ) o espaço de campos de vetores em M suaves exceto tal vez sobre a subvariedade N . Definimos equivalência topológica local para campos de vetores suaves por partes.
Definição 2.0.7. Sejam Z, ˜Z ∈ Ωr(M, N ) e p, q ∈ M. Dizemos que Z e ˜Z são topologicamente equivalentes em p e q respectivamente se existem vizinhanças Vp e Vq e um homeomorfismo f : Vp → Vq que leva órbitas de Z em órbitas de ˜Z, preservando a orientação das órbitas e com f (p) = q. Definição 2.0.8. Sejam Z ∈ Ωr(M, N ) e p ∈ M. Dizemos que Z é localmente estável em p se existem vizinhanças V de Z em Ωr(M, N ) e U de p em M tais que, para cada ˜Z ∈ V, Z em p é topologicamente equivalente a ˜Z em q, para algum q ∈ U.
Neste capitulo fazemos um estudo local das singularidades para campos suaves por partes, pontos estacionários e pontos de tangencia.
O estudo local de singularidades (pontos críticos e órbitas fechadas) que não encontram a superfície de descontinuidade N é o correspondente ao caso diferenciável. Neste caso temos os im-portantes Teoremas do fluxo tubular, o Teorema de Hartman-Grobman, Teorema de Kupka-Smale, que mostram que as singularidades genéricas são os pontos críticos hiperbólicos e as órbitas fecha-das hiperbólicas, e que os campos de vetores com singularidades hiperbólicas formam um conjunto aberto e denso no espaço de campos diferenciáveis numa variedade compacta. Com o objetivo de estender estes resultados para campos suaves por partes, precisamos estudar o comportamento destes campos em pontos sobre a superfície de descontinuidade.
2.1
Caso Regular-Regular
No estudo local podemos supor que M é Rn+1 e que a subvariedade de descontinuidade é o hiperplano Σ = {x ∈ Rn+1, x
1 = 0}. Assim, consideraremos o espaço Ωr(Rn+1, Σ, 0) de (germes de) campos de vetores Z definidos em uma vizinhança da origem que são da forma:
Z(x) = {
X(x) se x1 > 0, Y (x) se x1 < 0,
onde X e Y são campos de classe Cr em Σ+ ={x ∈ Rn+1, x
1 ≥ 0} e Σ− = {x ∈ Rn+1, x1 ≤ 0}, respectivamente. Denotaremos o campo em (2.1.1) por Z = (X, Y ).
Para campos de vetores suave por partes Z ∈ Ωr(Rn+1, Σ, 0) também definimos as órbitas da mesma maneira como nas definições 1.2.1 e 1.2.2, usando inclusões diferenciais.
Definição 2.1.1. Dois germes de campos de vetores Z, ˜Z ∈ Ωr(Rn+1, Σ, 0) são topologicamente equivalentes se existem vizinhanças da origem U e ˜U e um homeomorfismo f : U → ˜U tais que f (0) = 0, f (U∩ Σ) = ˜U∩ Σ, e f leva órbitas de Z em U sobre órbitas de ˜Z em ˜U preservando a orientação. Uma tal f será chamada de equivalência topológica entre Z e ˜Z.
Se p ∈ N e se ξ = (x1, x2, ..., xn+1) é um sistema de coordenadas locais de M em p tal que ξ(p) = 0 e ξ(N ) = Σ, então, dado qualquer campo Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ), o sistema de coordenadas induz um campo suave por partes ξ∗Z ∈ Ωr(Rn+1, Σ, 0), o "pull-back"de Z, definido pela seguinte expressão:
ξ∗Z(x) = {
ξ∗X(x) = Dξ(p)X(p) ; se x1(p) > 0, ξ(p) = x ξ∗Y (x) = Dξ(p)Y (p) ; se x1(p) < 0, ξ(p) = x.
(2.1.2) Se η é outro sistema de coordenadas locais, com η(p) = 0 e η(N ) = Σ, então os campos induzidos ξ∗Z e η∗Z são equivalentes segundo a definição acima. Portanto podemos pensar ξ∗Z
como uma representação local do campo Z independentemente do sistema de coordenadas. As seguintes proposições são versões do Teorema do fluxo tubular para campos suave por partes. Estes descrevem o comportamento local das órbitas na vizinhança de um ponto em SW R, SLR e
ESCR.
Proposição 2.1.2. Seja Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ), p ∈ SW R e ξ um sistema de coordenadas locais de M em p tal que ξ(N ) = Σ e ξ(p) = 0. Então o campo induzido ξ∗Z é topologicamente equivalente ao campo constante Z0 = (X0, Y0) = (1, 0, ..., 0).
Demonstração. Suponhamos que p ∈ SW R+. Como ξ é um difeomorfismo, então os campos induzidos ξ∗X e ξ∗Y são transversais ao plano Σ = {x ∈ Rn+1, x
1 = 0} em uma vizinhança da origem. Definimos fΣ sendo a identidade sobre uma vizinhança da origem em Σ, onde ξ∗X e ξ∗Y são transversais a Σ. Os campos ξ∗X, ξ∗Y , X0 e Y0 estão apontando para Σ+, logo, o Lema 2.1.3 nos diz que podemos estender fΣ para Σ+e Σ−, e assim obtemos uma equivalência entre ξ∗Z e Z0. Lema 2.1.3. Sejam X, ˜X campos Cr definidos numa vizinhança da origem em Rn+1. Suponha que existe um homeomorfismo fΣ: UΣ → VΣ onde UΣ e VΣ são vizinhanças compactas da origem em Σ. Além disso suponha que Xh(x) ˜Xh(y) > 0 para todo x ∈ UΣ e y ∈ VΣ. Então podemos estender fΣ para Σ+ e Σ− a fim de obter um homeomorfismo f : U → V , que leva órbitas de X em órbitas de ˜X preservando a orientação das órbitas, onde U e V são vizinhanças da origem com U ∩ Σ = UΣ e V ∩ Σ = VΣ.
Demonstração. Consideremos as caixas de fluxo tubular T = {Xt(x), t ∈ R e x ∈ UΣ} e ˜T = { ˜X(y), t ∈ R e y ∈ VΣ}. Pelo Teorema do Fluxo Tubular, e como UΣ e VΣ são compactos, existe ϵ > 0 tal que Tϵ ={Xt(x),|t|< ϵ e x ∈ UΣ} e ˜Tϵ ={ ˜X(y),|t|< ϵ e y ∈ VΣ} são tais que Tϵ∩Σ = UΣ e ˜Tϵ∩ Σ = VΣ.
Agora definiremos f : Tϵ → ˜Tϵ da seguinte maneira. Para cada x ∈ Tϵ existe um único tx tal que Xtx(x) ∈ Σ então definimos f(x) = ˜X−tx ◦ fΣ◦ Xtx(x). É fácil ver que f é uma conjugação entre X e ˜X que deixa Σ invariante.
x f(x)
y f
Σ(y)
U
ΣV
ΣfΣ
Figura 2.1: Extensão do homeomorfismo fΣ para Σ+.
Se p ∈ SW R− construímos como acima uma equivalência entre ξ∗Z e o campo −Z0 = (−1, 0, ..., 0). Como Z0 e−Z0 são equivalentes concluímos que ξ∗Z e Z0 são equivalentes.
Proposição 2.1.4. Seja Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ), p ∈ SLR com ZN(p) ̸= 0, e seja ξ um
sistema de coordenadas locais de M em p tal que ξ(N ) = Σ e ξ(p) = 0. Então o campo induzido ξ∗Z é topologicamente equivalente ao campo Z0 = (X0, Y0), onde X0 = (−1, 1, 0, ..., 0) e Y0 = (1, 1, 0, ..., 0).
Demonstração. Os campos induzidos ξ∗X e ξ∗Y são transversais ao plano Σ e 0 ∈ SLR(ξ∗Z).
Observemos que o campo vetorial deslizante associado a Z0é definido em uma vizinhança da origem em Σ, e é dado por ZΣ
0 = (0, 1, 0, .., 0). Agora, como ZN(p) ̸= 0 então (ξ∗Z)Σ(0) = ξ∗ZN(0) ̸= 0, isto é, o campo deslizante associado a ξ∗Z é regular na origem. Assim, aplicando o Teorema do
fluxo tubular, existem vizinhanças UΣ, VΣ da origem em Σ e um homeomorfismo fΣ: VΣ → VΣ tais que fΣ(0) = 0 e que leva órbitas de (ξ∗Z)Σ em órbitas de Z0Σ = (0, 1, 0, .., 0) preservando orientação das órbitas. Finalmente, podemos usar o Lema 2.1.3 para estender fΣ para Σ+ e para Σ−, e assim obter uma equivalencia entre ξ∗Z e Z0.
Proposição 2.1.5. Seja Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ), p ∈ ESCR com ZN(p) ̸= 0 e seja ξ um
sistema de coordenadas local de M em p tal que ξ(N ) = Σ e ξ(p) = 0. Então o campo induzido ξ∗Z é topologicamente equivalente ao campo Z0 = (X0, Y0), onde X0 = (1, 1, 0, ..., 0) e Y0 = (−1, 1, 0, ..., 0).
Demonstração. Análoga a prova da Proposição 2.1.4.
Corolário 2.1.6. Sejam Z, ˜Z ∈ Ωr(M, N ) e p, q ∈ M.
• Se p∈ SW R+(Z) e q ∈ SW R+( ˜Z) então Z em p é equivalente a ˜Z em q. • Se p∈ SW R−(Z) e q ∈ SW R−( ˜Z) então Z em p é equivalente a ˜Z em q.
• Se p∈ SLR(Z) e q ∈ SLR( ˜Z) com ZN(p) ̸= 0 e ˜ZN(q)̸= 0 então Z em p é equivalente a ˜Z em q.
• Se p∈ ESCR(Z) e q ∈ ESCR( ˜Z) com ZN(p) ̸= 0 e ˜ZN(q)̸= 0 então Z em p é equivalente a ˜Z em q.
Corolário 2.1.7. Seja Z ∈ Ωr(M, N ) e p ∈ SW R ∪ SLR ∪ ESCR com ZN(p) ̸= 0, então Z é localmente estável em p.
Demonstração. Consideremos a aplicação F : Ωr(M, N ) × M → R2 definida por F ( ˜Z, q) = ( ˜Xh(q), ˜Y h(q)) se ˜Z = ( ˜X, ˜Y ). Pela continuidade da F , existem vizinhanças V ⊂ M de p e V ⊂ Ωr(M, N ) de Z tais que para todo ˜Z = ( ˜X, ˜Y ) ∈ V e q ∈ V tem-se Xh(p) ˜Xh(q) < 0 e Y h(p) ˜Y (q) > 0.
Se p∈ SW R±(Z) então segue que q ∈ SW R±( ˜Z) para qualquer ˜Z ∈ V e q ∈ V ∩ N, e assim Z em p é equivalente a ˜Z em q.
Se p ∈ SLR(Z) então segue que q ∈ SLR( ˜Z) para qualquer ˜Z ∈ V e q ∈ V ∩ N. Como ZN(p) ̸= 0 e ZN(p) depende continuamente de Z e p, então podemos reduzir as vizinhanças V e
V a fim de que ˜ZN(q)̸= 0 para todo ˜Z ∈ V e q ∈ V ∩ N. Agora, segue do corolário anterior que Z em p é equivalente a ˜Z em q.
O caso p ∈ ESCR(Z) se prova similarmente ao caso anterior.
2.2
Singularidades tangenciais
Na seção anterior estudamos o comportamento local em pontos não estacionários onde o campo é transversal a N . Além deste caso, num ponto não estacionário o campo poderia ser tangente a
N . Estes pontos são chamados de singularidades tangenciais e o objetivo desta seção é estudar o
comportamento genérico nestes pontos. Seja Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ) e p ∈ S
Z. O estudo local das singularidades tangenciais será dividido em dois subcasos:
Singular-Regular: Quando somente um dos campos X ou Y é tangente a N no ponto p. Singular-Singular: Quando ambos campos X e Y são tangentes a N no ponto p.
Da pré-classificação das singularidades tangenciais apresentada no Capitulo 1, temos que as singularidades genéricas no caso Singular-Regular são os pontos p tais que: um dos campos X ou Y é transversal a N em p e o outro campo tem uma singularidade tangencial genérica em p. Assim, se dim(M ) = n + 1, para Z genérico e estável, uma singularidade de tipo Singular-Regular
p é uma das seguintes singularidades:
• 1-Singular-Regular (Dobra-Regular): Quando X ou Y é transversal a N em p e o outro campo tem um ponto de dobra em p.
• 2-Singular-Regular (Cúspide-Regular): Quando X ou Y é transversal a N em p e o outro campo tem um ponto de cúspide em p.
• 3-Singular-regular (Rabo de andorinha-Regular): Quando X ou Y é transversal a N em p e o outro campo tem um ponto de rabo de andorinha em p.
• ...
• n-Singular-Regular: Quando X ou Y é transversal a N em p e o outro campo tem uma singularidade tangencial de ordem n em p.
Lembramos que o número de tipos de singularidades tangenciais que são genéricas depende da dimensão da variedade. Se a variedade M tem dimensão n + 1 então existem exatamente n tipos de singularidades tangenciais que são genéricas, os quais estão listados acima.
No que segue estudaremos campos em singularidades de tipo Regular. O caso Singular-Singular terá um tratamento diferenciado e será estudado na próxima seção e no Capitulo 5.
Seja Z = (X, Y ) e p ∈ N uma singularidade do tipo k-Singular-Regular. Suponhamos que
X tem uma singularidade tangencial de ordem k e Y é transversal a N em p. O conjunto de
tangência SX é uma subvariedade de N de codimensão 1, e localmente ela separa a superfície de descontinuidade em dois pedaços cada um dos quais é SLR e SW R− (ou ESCR e SW R+, dependendo do sinal de Y h(p)). Quando Y h(p) > 0 então a singularidade está na fronteira do
SLR, e quando Y h(p) < 0 a singularidade esta na fronteira do ESCR. Em SLR (ou ESCR) é
definido o campo vetorial deslizante ZN. A seguinte proposição caracteriza o comportamento do campo vetorial deslizante em uma singularidade do tipo Singular-Regular.
Proposição 2.2.1. Sejam Z = (X, Y ) e p ∈ N. Se p é uma singularidade tangencial do tipo
k-Singular-Regular de Z (1≤ k ≤ n) então p é uma singularidade tangencial de ordem k − 1 para o campo deslizante ZN com respeito a S
Z, ou seja, o campo vetorial deslizante ZN é tangente a SZ em p, e a tangencia é de ordem k− 1.
Demonstração. O campo vetorial deslizante é definido em SLR ⊂ N (ou ESCR dependendo do
sinal de Y h(p)), e pode ser estendido a uma vizinhança de p pela fórmula
ZN = (Y h− Xh)−1(Y hX− XhY ) Primeiro provaremos, usando indução sobre l, que vale
(ZN)lXh = l+1
∑
i=1
gi,lXih (2.2.1)
onde gi,l são funções de classe Cr e gl+1,l = (Y h)l(Y h− Xh)−l. Para l = 1 temos
ZNXh = (Y h− Xh)−1(Y hX− XhY ) · ∇Xh = (Y h− Xh)−1(Y hX2h− XhY Xh)
=−Y Xh(Y h − Xh)−1Xh + Y h(Y h− Xh)−1X2h
(ZN)l+1Xh = (Y h− Xh)−1(Y hX− XhY ) · ∇ ( (ZN)lXh ) = (Y h− Xh)−1(Y hX− XhY ) · ∇ (l+1 ∑ i=1 gi,lXih ) = (Y h− Xh)−1(Y hX− XhY ) · (l+1 ∑ i=1 gi,l∇Xih + Xih∇gi,l ) = (Y h− Xh)−1 l+1 ∑ i=1 (
gi,lY hXi+1h + Y hXgi,lXih− Xh(gi,lY Xih + Y gi,lXih)
) = (Y h− Xh)−1 (l+1 ∑ i=1 gi,lY hXi+1h + l+1 ∑ i=1 Y hXgi,lXih −Xh∑l+1 j=1 (gj,lY Xjh + Y gj,lXjh) = (Y h− Xh)−1 (l+2 ∑ i=2 gi−1,lY hXih + Y hXg1,lXh + l+1 ∑ i=2 Y hXgi,lXih −Xh l+1 ∑ j=1 (gj,lY Xjh + Y gj,lXjh) = (Y h− Xh)−1 Y hXg1,l−l+1∑ j=1 (gj,lY Xjh + Y gj,lXjh) Xh + l+1 ∑ i=2 Y h(gi−1,l+ Xgi,l)Xih + Y hgk+1,lXk+2h ] de onde gl+2,l+1= (Y h− Xh)−1Y hgl+1,l = (Y h− Xh)−(l+1)(Y h)l+1. Por indução, fica mostrado que vale (2.2.1).
Derivando a Equação (2.2.1) obtemos
∇(ZN)lXh = l+1
∑
i=1
Xih∇gi,l+ gi,l∇Xih (2.2.2)
Agora, suponhamos que X tem uma singularidade tangencial de ordem k em p e Y é transversal a N em p , isto é, h(p) = Xh(p) = ... = Xkh(p) = 0, Xk+1h(p) ̸= 0, Y h(p) ̸= 0 e o conjunto {∇h(p), ∇Xh(p), ..., ∇Xkh(p)} é linearmente independente em T
pM . Provaremos que:
(i) A fronteira do SLR é suave em p e é dado por Xh = 0;
(ii) Xh(p) = (ZN)Xh(p) = ... = (ZN)k−1Xh(p) = 0 e (ZN)kXh(p)̸= 0;
(iii) O conjunto{∇Xh(p), ∇(ZN)Xh(p), ...,∇(ZN)kXh(p)} é linearmente independente em T pN .
Estes itens significam que o campo deslizante ZN tem uma singularidade tangencial de ordem k− 1 no ponto p.
Já tínhamos observado que vale (i). Para mostrar (ii) é suficiente avaliar as Equações (2.2.1), para l ≤ k, no ponto p.
Para mostrar (iii), avaliamos a Equação (2.2.2) no ponto p e obtemos
∇(ZN )lXh(p) = l+1 ∑ i=1 gi,l(p)∇Xih(p) para 1≤ l ≤ k
Daqui, a matriz de passagem de {∇Xh(p), ∇X2h(p), ...,∇Xkh(p)} para {∇Xh(p), ∇(ZN)Xh(p), ...,∇(ZN)kXh(p)} é B = 1 g1,1(p) g1,2(p) · · · g1,k−1(p) 0 g2,1(p) g2,2(p) · · · g2,k−1(p) 0 0 g3,2(p) · · · g3,k−1(p) .. . ... ... . .. ... 0 0 0 · · · gk,k−1(p)
Como gl+1,l(p) = (Y h(p)− Xh(p))−l(Y h(p))l̸= 0 então det(B) =
∏k−1
l=1 gl+1,l(p) ̸= 0. Portanto o conjunto em (iii) é linearmente independente.
O seguinte teorema apresenta formas normais para campos vetoriais suave por partes com singularidades do tipo: dobra-regular, cúspide-regular e rabo de andorinha-regular. Em dimensão 4 estas são as únicas singularidades genéricas de tipo Singular-Regular, e como conseqüência deste teorema temos que todas estas singularidades são estáveis (Corolário 2.2.4). Conjecturamos que o teorema vale em qualquer dimensão, de fato, em vista da proposição anterior, achamos que é possível mostrar esta conjectura usando indução sobre k.
Teorema 2.2.2. Suponha dim(M ) = n + 1 = 4. Sejam Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ) e p ∈ N tais
que X tenha uma singularidade tangencial de ordem k em p (1 ≤ k ≤ n) e Y é transversal a N em p. Seja ξ um sistema de coordenadas local de M em p tal que: ξ(N ) = Σ, ξ(p) = 0. Então ξ∗Z é topologicamente equivalente a Z0 = (X0, Y0) com X0 = (ϵx2, x3, ..., xk+1, 1, 0, ..., 0) e Y0 = (δ, 0, ..., 0), onde ϵ = sgn(Xk+1h(p)) e δ = sgn(Y h(p)).
Corolário 2.2.3. Suponha dim(M ) = n + 1 = 4. Sejam Z = (X, Y )e ˜Z = ( ˜X, ˜Y ) em Ωr(M4, N ) e p, q ∈ N. Suponha que X e ˜X tenham uma singularidade tangencial de ordem k em p e q respectivamente, Y e ˜Y são transversais a N em p e q, respectivamente, que Xk+1h(p) ˜Xk+1h(q) > 0 e Y h(p) ˜Y h(q) > 0. Então Z em p é topologicamente equivalente a ˜Z em q.
Corolário 2.2.4. Suponha dim(M ) = n + 1 = 4. Seja Z = (X, Y ) ∈ Ωr(M, N ) e p ∈ N uma singularidade de tipo Singular-Regular de Z. Então Z é localmente estável em p.
Demonstração. Suponha que X tenha uma singularidade tangencial de ordem k em p (1≤ k ≤ 3)
F : Xr(M )× M → Rk+1, por F ( ˜X, q) = (h(q), ˜Xh(q), ˜X2h(q), ..., ˜Xkh(q)), G : Xr(M )× M → R, por G( ˜X, q) = ˜Xk+1h(q),
H : Xr(M )× M → R, por H( ˜Y , q) = ˜Y h(q).
Para F usamos o Teorema da Aplicação Implícita. Como ∂qF (X, q) = (∇h(q), ∇Xh(q), ..., ∇Xkh(q)) tem colunas linearmente independentes, então existem vizinhanças V
1 ⊂ M de p e V1 ⊂ Xr(M ) de X tais que:
• para cada ˜X ∈ V1 existe q = q( ˜X) ∈ V1 tal que F ( ˜X, q) = 0 e ∂qF ( ˜X, q) tem coluna linearmente independentes;
• a aplicação ˜X 7→ q( ˜X) é de classe C1.
Agora, pela continuidade da aplicação G temos que, reduzindo as vizinhanças se necessário, para todo ˜X ∈ V1 e q ∈ V1 vale ˜Xk+1h(q)Xk+1h(p) > 0. Por outro lado, pela continuidade de H existem vizinhanças V2 de Y e V2 de p tais que para todo ˜Y ∈ V2 e q ∈ V2 vale ˜Y h(q)Y h(p) > 0. Portanto existem vizinhanças V = V1 ∩ V2 e V = V1× V2 de p e Z, respectivamente, tais que todo ˜Z ∈ V tem uma singularidade q ∈ V de tipo k-Singular-Regular. Segue do Corolário 2.2.3 que o campo
˜
Z em q é topologicamente equivalente a Z em p.
2.2.1
Prova do Teorema 2.2.2
A seguir mostraremos o Teorema 2.2.2. O sistema de coordenadas ξ = (x1, x2, x3, x4) pode ser escolhido do Teorema 1.1.4 aplicado ao campo X. Assim, temos que N é dado por x1 = 0, ξ(p) = 0, e ξ∗X = X0. Nestas coordenadas escrevemos ξ∗Y = (Y1, Y2, Y3, Y4). A transversalidade de Y com N em p significa que Y1(0)̸= 0. A tarefa é construir uma equivalência topológica entre ξ∗Z = (X0, ξ∗Y ) e Z0 = (X0, Y0).
Observação 2.2.5. Observe que se definirmos f sendo a identidade em Σ+ e estendemos para Σ− usando o Lema 2.1.3, a aplicação f não necessariamente leva órbitas do campo deslizante (ξ∗Z)Σ em órbitas do campo deslizante (Z0)Σ; logo, f assim definido não é uma equivalência entre ξ∗Z e Z0.
A idéia da construção do homeomorfismo é basicamente a mesma feita para dimensões dois e três para a dobra-regular e cúspide-regular [8]. Começamos definindo a equivalência em SLR levando órbitas deslizantes em órbitas deslizantes e preservando alguns conjuntos distinguidos, tais como conjuntos de tangencia. Então estendemos para SW R+ usando as órbitas do campo X0. Depois estendemos para M+ identificando órbitas por comprimento de arco ou usando o Lema 2.1.3. Finalmente estendemos para M− usando o Lema 2.1.3. A primeira parte desta construção é a mais delicada, de fato, devemos definir quais são os conjuntos distinguidos a ser preservados e logo estudar o contato das órbitas deslizantes com estes conjuntos distinguidos.
Temos três casos a considerar:
Dobra: X = (ϵx2, 1, 0, 0) onde ϵ = sgn(X2h(p)), Cúspide: X = (ϵx2, x3, 1, 0) onde ϵ = sgn(X3h(p)),
