for-mado pela união dos intervalos de vértices de H. Esse resultado garante o balanceamento local que precisamos para aplicar o Lema de Explosão.
Lema 4.15. Para todo ξ > 0 e todo inteiro ˆ` ≥ 1, existe n0 tal que se H = (W, E) é um grafo com W = {w1, . . . , wn}, onde n ≥ n0, então para toda 2-coloração β-balanceada χ de W com β ≤ 2/ˆ`, e para toda partição de W em intervalos I1, . . . , I`ˆcom |I1| ≤ . . . ≤ |I`ˆ| ≤ |I1| + 1 existe uma permutação σ : [ˆ`] → [ˆ`] tal que, para todos os inteiros 1 ≤ a < b ≤ ˆ` com b − a ≥ 7/ξ, temos
|C1(σ, a, b) − C2(σ, a, b)| ≤ ξC2(σ, a, b),
Demonstração. Fixe ξ > 0, ˆ` ≥ 1 e seja n0 obtido pelo Corolário 4.14 aplicado com ˆ`. Seja H = (W, E) um grafo com W = {w1, . . . , wn}, onde n ≥ max{n0, (4/3)ˆ`}, e fixe uma 2-coloração β-balanceada χ de W , onde β ≤ 2/ˆ`, e uma partição de W em intervalos I1, . . . , I`ˆ, com |I1| ≤ . . . ≤ |Iˆ`| ≤ |I1| + 1.
Seja σ a permutação dada pelo Corolário 4.14. Fixe inteiros 1 ≤ a < b ≤ ˆ` tais que b − a > 7/ξ. Lembre que a conclusão do Corolário 4.14 implica que
|C1(σ, a, b) − C2(σ, a, b)| ≤ 2(n/ˆ` + 1). (4.6) A desigualdade acima e o fato de C1(σ, a, b) + C2(σ, a, b) = (b − a)n/ˆ` implicam que
C2(σ, a, b) ≥ b − a 2 ! n ˆ ` − (n/ˆ` + 1). Pela escolha de a, b e n0, temos
C2(σ, a, b) ≥ (2/ξ)(n/ˆ` + 1). (4.7)
Combinando as desigualdades (4.6) e (4.7), concluímos a prova.
4.3 Prova do Teorema 3-Ramsey
Antes de detalhar a prova, explicamos rapidamente de que modo conectaremos os resultados discutidos na Seção 4.2. Para uma abordagem mais geral sobre as ideias envolvidas na prova do Teorema 3-Ramsey (Teorema 4.3), veja a Seção 4.1.
Para todo γ > 0 e todo n suficientemente grande, dada uma 3-coloração arbitrária das arestas de KN, para N = (2 + γ)n, provaremos que se H é um (β, ∆)-bigrafo balanceado com n vértices, então KN possui uma cópia monocromática de H.
A estratégia para provar o Teorema 4.3 é aplicar o Lema de Explosão (Lema 4.7) para encontrar a cópia desejada de H em KN. Para fazer isso, utilizaremos o Lema 4.12 para en-contrar um subgrafo monocromático G de KN composto por pares regulares suficientemente
44 NÚMEROS DE RAMSEY PARA GRAFOS BIPARTIDOS 4.3 densos. Assim, utilizando as Afirmativas 4.8 e 4.9, é fácil ver que, removendo poucos vértices de G, podemos encontrar um subgrafo monocromático G0 ⊂ G que contém uma partição regular contendo pares super-regulares que cobrem (1 + o(1))n vértices.
Por fim, construímos uma partição de VH e fazemos uso do Lema 4.15 para mostrar que essa partição é compatível com a partição regular de G0. Assim, podemos aplicar o Lema de Explosão para encontrar a cópia monocromática de H, concluindo a prova.
Prova do Teorema 3-Ramsey (Teorema 4.3)
Fixe γ > 0 e um natural ∆ ≥ 1. O Lema 4.12, aplicado com γ, fornece ε0. Agora, aplicamos o Lema 4.7 com parâmetros d = 1/4 e ∆, recebendo ε1. Defina
ε = min{ε0, ε1/2, γ/19}.
Como ε ≤ ε0, Lema 4.12 fornece um natural K0. Fixe ξ = γ/304 e seja n0 dado por uma aplicação do Lema 4.15 com parâmetros ξ e K0. Defina
β = εξ(1 + 2ξ)/36∆2K02.
Seja H = (W, EH) um (β, ∆)-bigrafo balanceado com n ≥ max{n0, K0}/(2 + γ) vértices. Defina N = b(2 + γ)nc e considere uma coloração arbitrária χKN: E(KN) → [3]. Nosso objetivo é mostrar que a coloração χKN leva a uma cópia monocromática de H.
Particionando os vértices de KN.
Vamos encontrar um subgrafo monocromático G0 de KN suficientemente regular. Pelo Lema 4.12, sabemos que existe uma cor (digamos que seja a cor 1), inteiros `, `0, k com `, `0 ≤ k ≤ K0 e ` ≥ (1 − γ/4)k/4, uma árvore T com conjunto de vértices
V (T ) = {x1, . . . , x`, y1, . . . , y`, z1, . . . , z`0},
contendo um emparelhamento EM = {xiyi: i = 1, . . . , `}, onde a distância entre quaisquer xi e xj em T é par, tal que existe uma partição (Vi)i∈[k] de V = VKN, onde K1
N é (ε, 1/3)-regular em T e |V1| = . . . = |Vk| = m ≥ (1 − ε)N/k. Seja GT o subgrafo de K1
N induzido pelas classes em (Vi)i∈[k] que correspondem aos vértices de T .
Para aplicar o Lema de Explosão, precisamos que as classes de GT que correspon-dem às arestas do emparelhamento EM formem pares super-regulares, e os outros pares de classes sejam suficientemente regulares. Podemos garantir isso deletando alguns poucos vértices de GT. De fato, aplicando a Afirmativa 4.9 e depois aplicando a Afirmativa 4.8, é fácil ver que encontramos um subgrafo G0T ⊂ GT com classes A1, . . . , A`, B1, . . . , B`, C1, . . . , C`0 de tamanho pelo menos (1 − ε)m, correspondendo, respectivamente, aos
vér-4.3 PROVA DO TEOREMA 3-RAMSEY 45 tices x1, . . . , x`, y1, . . . , y`, z1, . . . , z`0 da árvore T , de modo que os grafos bipartidos induzidos por Aie Bisão (2ε, 1/3−ε)-super-regulares, e os grafos bipartidos induzidos por todos os ou-tros pares são (2ε, 1/3 − ε)-regulares. Ademais, seja Dmin o conjunto de menor cardinalidade dentre os conjuntos A1, . . . , A`, B1, . . . , B`, C1, . . . , C`0. Como ε ≤ γ/19, m ≥ (1 − ε)N/k e ` ≥ (1 − γ/4)k/4, podemos facilmente verificar que
|Dmin| ≥ (1 + γ/152)n/2`. (4.8)
Particionando os vértices de H.
Agora iremos construir uma partição de W pronta para uma aplicação do Lema 4.7. Como H é um (β, ∆)-bigrafo balanceado, sabemos que existe uma coloração χ : VH → [2] tal que
|χ−1(1)| − |χ−1(2)|
≤ β|χ−1(2)|.
Seja (w1, . . . , wn) uma ordenação de W que respeita a largura de banda, i.e., |i − j| ≤ βn para toda aresta wiwj ∈ EH. Defina ˆ` como o menor inteiro dividindo n tal que ˆ` ≥ (7K0/ξ) + ` ≥ `(7/ξ + 1). Considere a partição de VH em intervalos I1, . . . , Iˆ`, com |I1| = . . . = |I`ˆ| = n/ˆ`, levando em conta a ordenação (w1, . . . , wn), i.e., Ii = w(i−1)n/ˆ`+1, . . . , win/ˆ` para i = 1, . . . , ˆ`. Pelo Lema 4.15, como β ≤ 2/ˆ`, existe uma permutação σ : [ˆ`] → [ˆ`] tal que
|C1(σ, a, b) − C2(σ, a, b)| ≤ ξC2(σ, a, b)
para todos os inteiros 1 ≤ a < b ≤ ˆ` com b − a ≥ 7/ξ. Defina ai = (i − 1)ˆ`/` + 1 e bi = iˆ`/`, e considere os blocos Ji = {Iσ(ai), Iσ(ai+1), . . . , Iσ(bi)} para i = 1, . . . , `. Por simplicidade, escrevemos C1(Ji) para C1(σ, ai, bi) e C2(Ji) para C2(σ, ai, bi). Assim, para i = 1, . . . , `, como bi− ai = ˆ`/` − 1 ≥ 7/ξ, temos
|C1(Ji) − C2(Ji)| ≤ ξC2(Ji), (4.9) Lembre que a árvore T possui conjunto de vértices {x1, . . . , x`, y1, . . . , y`, z1, . . . , z`0} e contém o emparelhamento M = {xiyi: i = 1, . . . , `}, onde a distância em T entre quaisquer xi e xj é par. A partição de W será composta por classes X1, . . . , X`, Y1, . . . , Y`, Z1, . . . , Z`0
que correspondem, respectivamente, aos vértices x1, . . . , x`, y1, . . . , y`, z1, . . . , z`0.
para todo i ∈ [`], colocaremos a maioria dos vértices de Jinas classes Xi e Yi, dependendo da cor que recebem de χ. Os restantes serão distribuídos de modo a tornar possível ‘caminhar’ entre as classes Xi e Yi. Vamos nos referir às classes Xi e Yi como classes emparelhadas.
Dividimos cada intervalo Ii em duas partes. A primeira, chamada de conector de Ii, é denotada por CONi. Os conectores são responsáveis por fazer a conexão entre duas classes emparelhadas. Pomos CON`ˆ = ∅. Para 1 ≤ i ≤ ˆ` − 1, se Ii e Ii+1 estão no mesmo bloco Jr, então CONi = ∅. Suponha agora que Ii ∈ Jr e Ii+1 ∈ Js com r 6= s e 1 ≤ i ≤ ˆ` − 1. Seja PT(r, s) o caminho em T entre xr e xs, e considere o caminho PT0(r, s) ⊂ PT(r, s),
46 NÚMEROS DE RAMSEY PARA GRAFOS BIPARTIDOS 4.3 obtido a partir da remoção dos vértices do conjunto {xr, yr, xs, ys} de PT(r, s), i.e., PT0(r, s) é a parte ‘interna’ do caminho de T que é utilizado para alcançar xs a partir de xr. Por simplicidade, faça tr,s = |PT0(r, s)|. Nesse caso, dividimos os (tr,s + 1)βn últimos vérti-ces de Ii em tr,s + 1 ‘pedaços’ de tamanho βn, obedecendo a sequência em que estão no intervalo. O j-ésimo pedaço é denotado por CONi(j) para 1 ≤ j ≤ tr,s + 1. Pomos CONi = {CONi(1), . . . , CONi(tr,s), CONi(tr,s+ 1)}
Agora que já descrevemos os conectores, podemos definir a parte principal dos intervalos. Definimos NUCi = Ii\ CONi como o núcleo do intervalo Ii, que será colocado nas classes emparelhadas Xi e Yi.
Construiremos agora as classes que irão compor a partição de VH. Inicialmente, cada classe em {X1, . . . , X`, Y1, . . . , Y`, Z1, . . . , Z`0} está vazia. Para cada 1 ≤ i ≤ `, considere o bloco Ji. Agora, para cada intervalo Ip ∈ Ji, incluímos em Xi todos os vértices w do núcleo NUCp com χ(w) = 1 e incluímos em Yi todos os vértices w de NUCp com χ(w) = 2.
O próximo passo é acomodar todos os vértices que estão em conectores. Fixe 1 ≤ i ≤ ˆ` − 1. Iremos acomodar os conectores de Ii. Assuma que Ii está contido em Jr e que Ii+1 está con-tido em Js com r 6= s, caso contrário, os conectores que estamos considerando são vazios e não há nada a fazer. Seja {u1, . . . , utr,s} o caminho interno P0
T(r, s) e seja u0 e utr,s+1, respec-tivamente, os vértices de T conectados a u1 e utr,s em PT(r, s). Lembre que a árvore T possui conjunto de vértices {x1, . . . , x`, y1, . . . , y`, z1, . . . , z`0}. Sem perda de generalidade, suponha que u0 = xr. Então, colocamos os vértices w de CONi(1) com χ(w) = 1 em Xr e aqueles com χ(w) = 2 nós colocamos na classe correspondente a u1. Agora, pomos os vértices w de CONi(2) com χ(v) = 2 na classe correspondente a u1 e aqueles com χ(w) = 1 nós coloca-mos na classe correspondente a u2. Continuando o procedimento, ponha os vértices w de CONi(3) com χ(w) = 1 na classe correspondente a u2 e aqueles com χ(w) = 2 nós colocamos na classe correspondente a u3, e assim por diante, até que precisamos cuidar dos vértices em CONi(tr,s). Suponha, s.p.g., que tr,s é par. Assim, como xr e xs estão à distância par em T , sabemos que wtr,s+1 = ys. Assim, para o último pedaço do conector de Ii, colocamos os vértices w de CONi(tr,s+ 1) com χ(w) = 1 na classe correspondente a utr,s e aqueles com χ(w) = 2 colocamos em Ys. Note que não existem arestas dentro das classes, e se existem arestas entre duas classes, então a aresta correspondente está presente em T .
Aplicando o Lema de Explosão.
Seja M o grafo com o mesmo conjunto de vértices de T e com conjunto de arestas EM (Lembre que EM é o emparelhamento obtido por nossa aplicação do Lema 4.12). Iremos mostrar que a partição de VH que construímos é (2ε1, T, M )-compatível com a partição de VG0 que construímos. Assim, podemos aplicar o Lema de Explosão para encontrar a cópia desejada de H em KN.
Primeiramente, limitamos por cima o tamanho de cada classe na partição de VH dada pelas classes X1, . . . , X`, Y1, . . . , Y`, Z1, . . . , Z`0. Para todo 1 ≤ i ≤ ` sabemos que C1(Ji) +
4.3 PROVA DO TEOREMA 3-RAMSEY 47 C2(Ji) = n/`. Utilizando esse fato e (4.9), podemos facilmente obter que, para todo 1 ≤ i ≤ `,
(1 − ξ)n
2` ≤ C1(Ji), C2(Ji) ≤ (1 + ξ)n
2`. (4.10)
Por construção, todo Xi (Yi) é composto somente por vértices v com χ(v) = 1 (χ(v) = 2). Ademais, esses vértices podem vir dos núcleos dos intervalos de Ji e de no máximo dois pedaços de cada conector. Assim,
|Xi|, |Yi| ≤ (1 + ξ)n 2`+ 2ˆ`βn =1 + ξ + 4`ˆ`β n 2` ≤ |Dmin|, (4.11)
onde a última desigualdade segue de (4.8) e da escolha de ξ e β.
Para as classes Zi com 1 ≤ i ≤ `0, sabemos que essas classes são compostas somente por vértices em no máximo dois pedaços de cada conector. Logo,
|Zi| ≤ 2ˆ`βn = (4ˆ``β)n 2` ≤ ε ∆2|Dmin|, (4.12)
onde a última desigualdade segue de (4.8) e da escolha de β.
Agora podemos verificar que as partições de VH e VG0 que construímos são compatíveis. Baseado na Definição 4.6, definimos conjuntos Uj0, para 1 ≤ j ≤ 2` + `0, relacionados à partição {X1, . . . , X`, Y1, . . . , Y`, Z1, . . . , Z`0} de VH. Ponha Wj = Xj se 1 ≤ j ≤ `, defina Wj = Yj−` se ` + 1 ≤ j ≤ 2`, e defina Wj = Zj−2` se 2` + 1 ≤ j ≤ 2` + `0. Iremos verificar que as quatro condições da Definição 4.6 são satisfeitas:
(i): Pela construção da partição de VH, se existe uma aresta entre duas classes, então a aresta correspondente está presente em T .
(ii): Por (4.8), sabemos que cada conjunto D em {A1, . . . , A`, B1, . . . , B`, C1, . . . , C`0} pos-sui tamanho |D| ≥ |Dmin|. Assim, as desigualdades (4.11) e (4.12) confirmam que a condição (ii) é satisfeita.
(iii): Fixe 1 ≤ j ≤ 2` + `0. Defina Uj como o conjunto de vértices em Wj com vizinhos em algum Wk com j 6= k e {j, k} /∈ M . Considere os seguintes casos.
(a) 2` + 1 ≤ j ≤ 2` + `0: Temos Uj = Zj−2`. Por (4.12), |Uj| ≤ ε|Dmin|/∆.
(b) 1 ≤ j ≤ 2`: Neste caso, Uj é composto somente por vizinhos de vértices em exatamente um conjunto em {Z1, . . . , Z`0}. Assim, como ∆ é o grau máximo de H, por (4.12), concluímos que |Uj| ≤ ε|Dmin|/∆.
48 NÚMEROS DE RAMSEY PARA GRAFOS BIPARTIDOS 4.4 Portanto, para todo j = 1, . . . , 2` + `0, temos
|Uj| ≤ ε
∆|Dmin|, (4.13)
o que confirma que a condição (iii) é satisfeita.
(iv): Defina o conjunto Uj0 = NH(U ) ∩ (Wj\ U ), onde U =S2`+`0
i=1 Ui. Considere os seguintes casos.
(a) 2` + 1 ≤ j ≤ 2` + `0: Note que Uj0 = ∅ se 2` + 1 ≤ j ≤ 2` + `0, pois cada vértice de Zj−2` pertence a Uj. Assim, é óbvio que |Uj0| ≤ ε|Dmin|.
(b) ` + 1 ≤ j ≤ 2`: Aqui, temos Uj0 ⊂ Wj = Yj−`. Logo, Uj0 é composto somente por vizinhos de vértices em Uj−` ⊂ Xj−`. Portanto, utilizando (4.13), obtemos |U0
j| ≤ ∆|Uj−`| ≤ ε|Dmin|.
(c) 1 ≤ i ≤ `: Este caso é análogo ao anterior. Isso mostra que a condição (iv) é satisfeita.
Portanto, provamos que as quatro condições da Definição 4.6 são satisfeitas. Assim, a par-tição {X1, . . . , X`, Y1, . . . , Y`, Z1, . . . , Z`0} de VH é (2ε, T, M )-compatível (logo, é (ε1, T, M )-compatível) com a partição {A1, . . . , A`, B1, . . . , B`, C1, . . . , C`0} de VG0. Com isso, usamos o Lema 4.7 para concluir que H ⊂ G0, finalizando a prova, dado que G0 é um subgrafo monocromático de KN.