3.3 Uma cota superior para os n´ umeros de Betti e prova do teorema de
4.2.2 Quatro pontos n˜ ao colineares
Seja X = {p1, p2, p3, p4} um conjunto de pontos n˜ao colineares em P2. Temos dois
casos para verificar.
(a) Suponha que trˆes pontos de X n˜ao estejam numa mesma reta, segue que X est´a contido em duas cˆonicas, onde cada uma ´e a uni˜ao de duas retas
C1 = p1, p2∪ p3, p4 e C2 = p1, p3∪ p2, p4,
neste caso, X ´e a interse¸c˜ao completa de C1e C2 como demostra a figura abaixo
Figura 4.2:
a qual tem o seguinte diagrama de Betti
0 1 2 0 1 - - 1 - 2 - 2 - - 1
.
(b) Por outro lado, suponha que trˆes pontos, digamos p1, p2, p3estejam numa mesma
dos pontos p1, p2, p3, segue que X est´a sobre as duas cˆonicas
C1 = L ∪ L1 e C2 = L ∪ L2
e a intersec¸c˜ao dessa duas cˆonicas cont´em toda reta L, assim X n˜ao ´e a in- tersec¸c˜ao dessas duas cˆonicas, tendo em vista o corol´ario 4.1.13 obtemos que o ideal de X tem exatamente 3 geradores e da proposi¸c˜ao 4.1.12 juntamente com o corol´ario 4.1.15 temos
fi ≥ ei, fi ≥ ei+1 e deg X =
X
i≤j
eifj = 3
neste caso, se e1 ou e2 fosse igual a 2 teriamos deg X > 3, pois fi ≥ ei, assim
e1 = e2 = 1, por outro lado, se f1 = 1 ter´ıamos f2 = 1, ou seja, deg X < 3,
portanto f1 = 2 e f2 = 1. E o ideal de X ´e gerado por C1 e C2 juntamente
com uma equa¸c˜ao c´ubica, ou seja, os quatro pontos, onde trˆes est˜ao na mesma reta, s˜ao a interse¸c˜ao de duas cˆonicas e uma c´ubica e tem o seguinte diagrama de Betti 0 1 2 0 1 - - 1 - 2 1 2 - 1 1 . Figura 4.3:
4.3
A existˆencia de conjuntos de pontos com inva-
riantes num´ericos prescritos
Usaremos K para designar um corpo infinito com o intuito de mostrar a rec´ıproca da Proposi¸c˜ao 4.1.12 na qual ser´a o principal resultado do nosso trabalho, ou seja, dado um ideal monomial J mostraremos como produzir um conjunto de pontos dis- tintos X ⊂ P2 cujo ideal de defini¸c˜ao I(X) tenha resolu¸c˜ao livre com os mesmos
invariantes num´ericos da resolu¸c˜ao de J .
Teorema 4.3.1. Seja I um ideal com os n´umeros inteiros ei, fi ≥ 1 para i = 1, . . . , t
como acima, ent˜ao existe um conjunto de pontos X ⊂ P2 tal que SX tem uma re-
solu¸c˜ao livre minimal cujo o segundo mapa tem diagonal com graus ei e fi como na
Proposi¸c˜ao 4.1.12.
Faremos a prova em dois momentos, iniciaremos exibindo um ideal monomial J ⊂ K[x, y] contendo uma potˆencia de x e de y cuja resolu¸c˜ao do anel de coordenadas tenha tais invariantes e em seguida finalizaremos com o teorema 4.3.5.
No Pr´oximo resultado consideramos S = K[x, y], I = (m1, . . . , mt+1) e ai, bi dados
pela f´ormula da proposi¸c˜ao 4.1.12.
Proposi¸c˜ao 4.3.2. Se e1, . . . , et e f1, . . . , ft s˜ao n´umeros inteiros positivos e para
i = 1, . . . , t + 1 defina mi = Y j<i xejY j≥i yfj,
ent˜ao o anel S/I tem a seguinte resolu¸c˜ao livre minimal
F : 0 −→ t X i=1 S(−bi) ϕ −→ t+1 X i=1 S(−ai) −→ S −→ S/I −→ 0, onde ϕ = xe1 0 . . . . . . 0 yf1 xe2 0 . . . 0 0 . .. ... ... ... .. . . .. ... ... 0 0 . . . 0 . .. xet 0 · · · 0 yft , e a imagem de S(−ai) ´e mi ou −mi e ∂mi = ai.
Prova. Pelas propriedades dos determinantes temos que mi ´e o determinante da
submatriz de ϕ omitindo a i-´esima linha. Assim, pelo teorema 4.1.6 ´e suficiente mostrar que o ideal dos menores de ϕ tem profundidade de tamanho pelo menos 2, mas esse ideal cont´em
t Y i=1 xei e t Y i=1 yfi e, portanto, t Y i=1 xei ⊂ t Y i=1 xei, t Y i=1 yfi ! ´e uma sequˆencia regular de comprimento 2.
O pr´oximo resultado nos fornece uma ferramenta para mostrar que duas resolu¸c˜oes tˆem o mesmo diagrama de Betti.
Lema 4.3.3. Se y ∈ S ´e um n˜ao divisor de zero de S e de M , ent˜ao qualquer resolu¸c˜ao livre de M sobre S reduz m´odulo y para uma resolu¸c˜ao livre de M/yM sobre S/y. Assim, se S ´e um anel de polinˆomios graduado, M um m´odulo graduado e y uma forma linear, ent˜ao o diagrama de Betti de M ´e o mesmo que o diagrama de Betti de M/yM .
Prova. Seja F : · · · −→ F1 −→ F0 uma resolu¸c˜ao livre de M . Mostraremos que
o complexo livre F /yF := S/(y) ⊗SF ´e realmente uma resolu¸c˜ao livre, isto ´e, sua
homologia ´e trivial exceto em F0 que ´e M/yM . A i-´esima homologia de F /yF ´e
por defini¸c˜ao TorSi (S/(y), M ), tendo em vista que y ´e um n˜ao divisor de zero de S, o complexo 0 −→ S −→ S −→ S/(y) −→ 0 ´e exato, ou seja, ´e uma resolu¸c˜y ao livre de S/(y), desta forma podemos usar essa resolu¸c˜ao livre em vez da outra para calcular o Tor (veja por exemplo [Eisenbud 1995, p.674]) e portanto TorSi(S/(y), M ) ´
e a homologia da sequencia 0 −→ M −→ M −→ M/(y)M −→ 0 e novamente peloy fato que y ´e um n˜ao divisor de zero as homologias ´e nulas exceto quando i = 0 e, neste caso, ´e M/yM .
Defina r mergulhos ηi : N ,→ K nos quais usaremos para construir o mergulho
η : K[x1, . . . , xr] ,→ P2 dado por η(m) = (1, η1(p1), . . . , ηr(pr)), onde m = xp1 1 · · · xprr e fixe fm = r Y i=1 pi−1 Y j=0 (xi − ηi(j)x0),
tendo como dom´ınio as potˆencias de cada xi, fazendo x0 = 0 teremos fm = m, ou
seja,
Lema 4.3.4. Com a nota¸c˜ao como a de acima temos:
(a) Se f ∈ S ´e uma forma de grau menor ou igual a d que se anula em η(m) ∈ Pr
para cada monˆomio m de grau menor ou igual a d, ent˜ao f = 0; (b) fm(η(m)) 6= 0;
(c) fm(η(n)) = 0 se m 6= n e o grau n ≤ grau m.
Prova. (a) Os casos em que d = 0 ou r = 1 s˜ao triviais, pois se d = 0 segue que f ´e uma forma constante que se anula em um ponto, ou seja, f = 0. No caso r = 1 podemos escrever f = d0 X i=0 αixi0x d0−i 1 onde d
0 ≤ d. Por hip´otese, temos f (η(m)) =
f (1, η(p1)) = 0 para todo monˆomio m com grau menor ou igual a d0. Como η ´e
injetora temos que o n´umero de ra´zes de f ´e maior que o grau de f. Desta maneira conclu´ımos f = 0.
Sem perda de generalidade, podemos supor que f = (xr − ηr(0)x0)q + g ´e uma
forma de grau d, com q ∈ S sendo uma forma de grau d − 1 e g ∈ K[x0, . . . , xr−1]
uma forma de grau menor ou igual a d n˜ao envolvendo xr. Por hip´otese temos
f (η(m)) = f (1, η1(p1), . . . , ηr(pr)) = 0 para cada monˆomio m com grau menor ou
igual a d e assim a forma linear xr − ηr(0)x0 se anula em η(m) se e somente se
ηr(pr) = ηr(0) temdo em vista que ηr ´e injetiva temos pr = 0, ou seja, m n˜ao ´e
divis’ivel por xr, assim g se anula em η(m) para todo monˆomio m de grau menor ou
igual a d que n˜ao seja divis´ıvel por xr desta maneira observa-se que g tem as mesmas
propriedades de f mas com uma vari´avel a menos, sendo assim verificaremos que g = 0 por indu¸c˜ao em r.
No caso r = 2 segue de maneira an´aloga ao que foi feito para f com r = 1, agora suponha que f = (xr−1− ηr(0)x0)q com r − 1 vari´aveis e vamos mostra que f tenha
essa cara em r vari´aveis. Por hip´otese temos
f = (xr− ηr(0)x0)q + g = (xr− ηr(0)x0)q + (xr− ηr(0)x0)q0+ g0,
por hip´otese de indu¸c˜ao temos que g0 = 0, assim
f = (xr− ηr(0)x0)(q + q0) = (xr− ηr(0)x0)q00.
Tendo em vista que f = (xr− ηr(0)x0)q, a forma q se anula em η(xrn) para todo
η0i = ηi para i < r e ηr0(p) = ηr(p + 1) de modo que
η0(n) = (η10(p1), · · · , ηr−10 (pr−1), ηr0(pr)) = (η1(p1), · · · , ηr−1(pr − 1), ηr(pr+ 1)),
logo q se anula em η0(n) para todo monˆomio n com grau pelo menos d − 1, repetindo esse processo d − 2 vezes segue que f = (xr− ηr(0)x0)d−1q0 onde q0 ´e uma forma de
grau 1 que se anula em η0(n) para todo monˆomio n de grau menor ou igual a d − 1 donde segue o resultado.
(b) Fixe m = xp1 1 · · · xprr assim η(m) = (1, η1(p1), · · · , ηr(pr)) e, portanto, fm(η(m)) = r Y i=1 pi−1 Y j=0 (ηi(pi) − ηi(j)) = 0 ⇒ ηi(pi) − ηi(j) = 0 para algum i, j
⇒ ηi(pi) = ηi(j) tendo em vista que ηi ´e injetiva temos pi = j →← .
Logo fm(η(m)) 6= 0.
(c) Sejam m = xp1
1 · · · xprr e n = x q1
1 · · · xqrr sabendo que ∂n < ∂m temos qi < pi
para algum i e assim
fm(η(n)) = r Y i=1 pi−1 Y j=0 (ηi(qi) − ηi(j)) = r Y i=1 pi−1 Y j=0 e j6=qi (ηi(qi) − ηi(j))(ηi(qi) − ηi(qi)) = 0
No cap´ıtulo 3 vimos como determinar uma resolu¸c˜ao minimal de um ideal mono- mial. Agora vamos ver que ´e poss´ıvel encontrar um conjunto de pontos em P2 tal que
sua resolu¸c˜ao minimal tenha o mesmo diagrama de Betti do que a resolu¸c˜ao minimal de um ideal monomial dado.
Teorema 4.3.5. Sejam J um ideal monomial em K[x1, · · · , xr] e Xj ⊂ Pr o conjunto
XJ = {p ∈ Nr ⊂ Pr|xp ∈ J}./
Ent˜ao o ideal IXJ ⊂ S tem o mesmo diagrama de Betti que J, na verdade x0 ´e um
n˜ao divisor de zero m´odulo IXJ e os geradores de J s˜ao congruentes m´odulo x0 aos
geradores de IXJ. Mais ainda IXJ ´e gerado pelas formas fm onde m ´e um gerador
monomial de J .
mostraremos que I = IXJ.
Sejam m = xp1
1 · · · xprr ∈ J e n = x q1
1 · · · xqrr ∈ J, isto ´e, f/ m ∈ I e n /∈ J, assim
∂qi < ∂pi para algum i e pela prova do lema anterior temos fm(η(n)) = 0 e, portanto,
fm ∈ IXJ.
Agora seja f ∈ IXJ um forma de grau d e suponha que para algum e ≤ d a forma
f se anule em todos os pontos η(n) com ∂n < e, mas n˜ao se anule em algum η(m) com ∂m = e. Pelo algoritmo da divis˜ao temos que
f = axd−e0 fm+ g para algum a ∈ S,
onde ∂g = d, pois f ´e homogˆeneo e g n˜ao envolve a vari´avel x0. Assim, f difere de
um elemento de I pela forma g de grau d que se anulam em η(n) para todo monˆomio n de grau e ≤ d, isto ´e, g tem as mesmas propriedades de f mas com uma vari´avel a menos e aplicando a parte (a) do lema 4.3.4 temos que g = 0, assim f ∈ I, isto prova que I = IXJ.
Como nenhum dos pontos η(m) encontra-se no hiperplano x0 = 0, temos que x0
´
e um n˜ao divisor de zero m´odulo os fm = r Y i=1 pi−1 Y j=0
(xi − ηi(j)x0). Por outro lado, j´a
vimos que fm ∼= m mod(x0). Aplicando o lema 4.3.3 segue que a resolu¸c˜ao minimal
de I sobre S reduz m´odulo x0 para uma resolu¸c˜ao minimal de J sobre K[x1, · · · , xr],
em particular os diagramas de Betti das duas resolu¸c˜oes minimais s˜ao os mesmos. Faremos dois exemplos que esclarecer˜ao os resultados do teorema acima.
Exemplo 4.3.6. No caso de um ideal momomial J em K[x1, · · · , xr] no qual con-
tenha uma potˆencia de cada vari´avel xi tais como aqueles em K[x, y, z] descritos na
Proposi¸c˜ao 4.1.5 resulta em um conjunto XJ finito, assim o teorema 4.3.5 e a Pro-
posi¸c˜ao 4.1.5 juntos garantem a existˆencia de um conjunto de pontos em P2 cuja a
resolu¸c˜ao livre minimal do ideal de defini¸c˜ao tenha invariantes num´ericos satisfazendo a Proposi¸c˜ao 4.3.2. Por exemplo o diagrama de Betti
0 1 2 0 1 - - 1 - - - 2 - 1 - 3 - 2 1 4 - - 1 ,
descrito na subse¸c˜ao 2.2.1 corresponde para os seguintes invariantes num´ericos (e1, e2) = (2, 1), (f1, f2) = (2, 2)
e o ideal monomial J = (y3, x4, x3y) onde substituindo x
1 por x, x2 por y, x0 por z
e assumindo para simplificar a nota¸c˜ao que ηi(n) = n, o conjunto de pontos XJ no
plano afim Z = 1 ´e
Figura 4.4:
cujo o ideal IXJ ´e gerado pelas formas
y(y − 1)(y − 2), x(x − 1)(x − 2)y e x(x − 1)(x − 2)(x − 3). J´a no caso geral, o ideal IXJ ⊂ K[x, y, z] ´e gerado pelas formas
fy3 = y(y − z)(y − 2z), fx3y = x(x − z)(x − 2z)y e fx4 = x(x − z)(x − 2z)(x − 3z).
Exemplo 4.3.7. Agora suponha que J n˜ao contenha qualquer potˆencia de x1. Desta
maneira, existe um n´umero infinito de pontos em XJ correspondentes aos elementos
1, x1, x21, . . . /∈ J. Por exemplo, se J = (x3, x2y, xy2) ent˜ao XJ ´e representado por
Figura 4.5: .
Referˆencias Bibliogr´aficas
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