O número graduado de Betti

(1)

Universidade Federal de Sergipe

Centro de Ciˆ

encias Exatas e Tecnologia

Programa de P´

os-Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Curso de Mestrado em Matem´

atica

O n´

umero graduado de Betti

por

Jos´

e ´

Everton de Jesus Rezende

2013

(2)

Universidade Federal Sergipe

Centro de Ciˆ

encias Exatas e da Tecnologia

Programa de P´

os-Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Curso de Mestrado em Matem´

atica

O n´

umero graduado de Betti

por

Jos´

e ´

Everton de Jesus Rezende

sob a orienta¸c˜ao do

Prof

o

. Dr. Andr´

e Vinicius Santos D´

oria

Disserta¸cão apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática - PROMAT - UFS, como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Dezembro/2013 S˜ao Cristov˜ao - SE

(3)

(4)

(5)

(6)

Sum´

ario

1 Preliminares 3

1.1 An´eis noetherianos . . . 3

1.2 M´odulos . . . 4

1.3 An´eis e m´odulos graduados . . . 7

1.4 Um breve apanhado homol´ogico . . . 9

1.5 _{O espa¸co projetivo P}n _{. . . .} ₁₂

2 Resolu¸cões Livres e Fun¸cão de Hilbert 14 2.1 Contribui¸cões de Hilbert . . . 14

2.1.1 O Estudo de siz´ıgias . . . 14

2.1.2 O Polinˆomio de Hilbert . . . 18

2.2 Resolu¸c˜ao livre minimal . . . 20

2.2.1 Descrevendo resolu¸c˜ao atrav´es do diagrama de Betti . . . 24

2.2.2 N´umero Graduado de Betti . . . 25

3 Exemplos de Resolu¸c˜oes Livres 28 3.1 Ideais monomiais e complexos simplicial . . . 28

3.1.1 Complexo simplicial . . . 28

3.1.2 Representa¸c˜ao monomial . . . 29

3.2 Siz´ıgias de ideais monomiais . . . 31

3.2.1 Exemplos . . . 33

3.3 Uma cota superior para os n´umeros de Betti e prova do teorema de Hilbert das siz´ıgias . . . 35

4 _{Pontos em P}2 37 4.1 O ideal de um conjunto finito de pontos . . . 37

(7)

4.1.2 Invariantes da resolu¸c˜ao . . . 43

4.2 Exemplos . . . 47

4.2.1 Pontos em uma conica . . . 47

4.2.2 Quatro pontos não colineares . . . 50 4.3 A existência de conjuntos de pontos com invariantes numéricos prescritos 52

(8)

Resumo

Esta disserta¸cão tem como objetivo um estudo detalhado da fun¸cão de Hilbert e do número graduado de Betti e as demonstra¸cões de alguns teoremas que relacionam essas duas teorias. Faremos também um breve apanhado sobre resolu¸cões livres mi-nimais e complexo simplicial para demonstrar o teorema de Bayer, Peeva e Sturmfels e por fim e não menos importante concluiremos com o seguinte resultado: dado um ideal J exibiremos um conjunto X ⊂ P2 tal que a resolu¸cão minimal do ideal de defini¸cão de X tenha o mesmo diagrama de Betti da resolu¸cão minimal de J .

Palavras - chave: número graduado de Betti; invariantes numéricos; fun¸cão de Hilbert.

(9)

Abstract

This dissertation aims at a detailed study of the Hilbert function and graded Betti number and the statements of some theorems that relate these two theories. We will also a brief overview on free resolutions and minimal simplicial complex to demonstrate the theorem of Bayer, Sturmfels and Peeva and then, we will conclude with the following result: given an ideal J we will display a set X ⊂ P2 such that the minimal resolution the ideal of definition of X has the same Betti diagram of the minimal resolution of J.

(10)

Introdu¸

c˜

ao

Esta disserta¸cão tem como metas a serem atingidas a apresenta¸cão da no¸cão de siz´ıgia e da fun¸cão de Hilbert as quais relacionamos com os números graduado de Betti para descobrir algumas de suas propriedades. Essa teoria é um tópico clássico e fun-damental da álgebra comutativa e da geometria algébrica, justificando a abordagem do tema.

Uma das motiva¸cões desta disserta¸cão é a inexistência de referências sobre o as-sunto na literatura em português. Além disso, a mera transcri¸cão do conteúdo de referência notável, tal como a de [Eisenbud 2002], não seria poss´ıvel em uma dis-serta¸cão de mestrado. Nosso desafio foi o de repensarmos a teoria, em muitos detalhe além do usual, de modo a darmos um formato próprio, adequando à deteçcão dos principais resultados.

Usamos como principal referência o livro [Eisenbud 2002]. Outras referências muito usadas nesta disserta¸cão farão [Bayer et al. 1998] e [Bruns and Herzog 1998] entre outras.

Este trabalho está dividido em quatro cap´ıtulos. No primeiro teremos as prelimi-nares, com o intuito de fornecer alguns conceitos essenciais para melhor compreensão desta disserta¸cão. Nesta parte fazemos uma revisão sucinta, sem demonstra¸cões, de anéis e módulos graduados, an´_{eis noetherianos, homologia, o espa¸co projetivo P}n _e

para o texto não ficar exaustivo faremos alguns exemplos sobre tais conceitos. No segundo cap´ıtulo, iniciamos com a teoria de siz´ıgias e da fun¸cão de Hilbert, juntamente com o teorema de Hilbert das siz´ıgias. Dando continuidade, definiremos resolu¸cões minimal, demonstramos o lema de Nakayama e enunciaremos o teorema de unicidade de uma resolu¸cão livre minimal os quais serviram como suporte para as demonstra¸cões de alguns resultados, em seguida come¸caremos a trabalhar com os números de Betti, com o intuito de construir uma rela¸cão com a fun¸cão de Hilbert.

Já no terceiro cap´ıtulo, construiremos um complexo de módulos por meio de com-plexo simplicial e estabeleceremos um critério para saber quando este complexo é uma

(11)

resolu¸c˜ao minimal e em seguida faremos alguns exemplos.

No ´_{ultimo cap´ıtulo, trabalharemos com pontos em P}na fim de exibir um conjunto X em Pn, de modo que a resolu¸c˜ao minimal do ideal I(X) formado pelas formas que se anulam em X tenha o mesmo diagrama de Betti do que a resolu¸c˜ao minimal de um ideal dado.

Esperamos proporcionar ao leitor um material de f´acil entendimento e de leitura envolvente, que seja capaz de incit´a-los a buscar mais sobre este assunto, que tanto nos cativou.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Enunciaremos alguns resultados importantes que serão necessários para uma me-lhor compreensão desta disserta¸cão.

Observamos que nesse trabalho a palavra anel significar´a anel comutativo com identidade.

1.1 An´

eis noetherianos

A propriedade noetheriana é central na teoria dos anéis e em áreas que utilizam de forma intensiva o conceito de anéis, como a álgebra comutativa, a geometria algébrica e a teoria de singularidades. A razão para isto é que a propriedade noetheriana é um conceito de finitude que mantém sobre controle diversos aspectos na teoria de anéis. Defini¸cão 1.1.1. Dizemos que um anel S é noetheriano quando todo ideal de S é finitamente gerado.

Exemplo 1.1.2. Um corpo é um anel noetheriano, pois os únicos ideais são h0i e h1i.

Exemplo 1.1.3. Todo dom´ınio de ideais principais é noetheriano. Em particular, o anel dos n´_{umeros inteiros Z e o anel de polinômios sobre um corpo em uma variável} K[x] são noetherianos.

Caracteriza¸cões alternativas para a no¸cão de anel noetheriano são dadas pelo seguinte teorema

(13)

(1) S ´e noetheriano;

(2) Toda cadeia de ideais I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ · · · , estabiliza, isto ´e, existe um k ∈ N tal

que Ik = Ij para j ≥ k.

(3) Toda fam´ılia n˜ao-vazia de ideais de S admite elemento maximal na fam´ılia.

Mediante a condi¸c˜ao (2) fica f´acil argumentar que dado um anel S, o anel S[x1, . . . , xn, . . .]

n˜ao ´e noetheriano pois a cadeia de ideais

hx1i ⊂ hx1, x2i ⊂ · · · ⊂ hx1, x2, . . . , xni ⊂ · · ·

n˜ao estabiliza.

Uma maneira prof´ıcua de criar exemplos de anéis noetherianos é através do célebre Teorema da Base de Hilbert o qual enunciamos logo abaixo.

Teorema 1.1.5. (Teorema da base de Hilbert (1890)) Se S é um anel noetheriano, então o anel de polinômios em uma variável S[x] é noetheriano.

Utilizando o Teorema da base de Hilbert recursivamente tem-se:

Corolário 1.1.6. Se S é um anel noetheriano, então S[x1, . . . , xn] é noetheriano.

Em particular, se K é um corpo então K[x1, . . . , xn] é noetheriano.

1.2 M´

odulos

Um dos conceitos mais importantes da álgebra moderna é o conceito de módulo. No caso em que S é um corpo, temos que um S-módulo é um S-espa¸co vetorial. Dentro desse ponto de vista podemos dizer, a grosso modo, que a no¸cão de módulo é uma generaliza¸cão da no¸cão de espa¸co vetorial. Contudo, em geral, as propriedades de módulos são diferentes das propriedades de espa¸co vetorial.

Defini¸cão 1.2.1. Sejam S anel e M um conjunto não vazio. Dizemos que M é um S-módulo quando existe duas opera¸cões

+ : M × M −→ M

(x, y) 7−→ x + y e

• : S × M −→ M (a, x) 7−→ a • x

(14)

(1) a • (x + y) = a • x + a • y; (2) (a + b) • x = a • x + b • x; (3) (a • b) • x = a • (b • x); (4) 1 • x = x.

Defini¸cão 1.2.2. Sejam M um S-módulo e N um subconjunto de M . Dizemos que N é submódulo de M quando N for um subgrupo aditivo de M e fechado em rela¸cão a multiplica¸cão por elementos de S.

Sejam M um S-m´odulo e X um subconjunto n˜ao vazio de M. O conjunto N = {x1a1+ x2a2+ . . . + xkak| xi ∈ X, ai ∈ S para cada i}

´

e um submódulo de M , e é chamado de submódulo gerado pelo conjunto X. Se M = N , então dizemos que X é um conjunto de geradores de M . Se M admite um conjunto finito de geradores, dizemos que ele é um módulo finitamente gerado.

Também temos a defini¸cão de módulos noetherianos

Defini¸cão 1.2.3. Um S-módulo M é dito noetheriano se todo submódulo de M é finitamente gerado.

Proposi¸cão 1.2.4. Seja M um S-módulo finitamente gerado. Se S é noetheriano então M é noetheriano.

Um ponto crucial em que a no¸cão de módulo distingue-se da de espa¸co vetorial é com rela¸cão a existência de base (i.e., conjunto gerador e linearmente independente). Mesmo que o módulo seja finitamente gerado pode ocorrer dele não possuir uma base (ver Exemplo 1.2.7). Por conta disso, faz sentido considerarmos a seguinte defini¸cão. Defini¸cão 1.2.5. Dizemos que um S-módulo M é um módulo livre se ele tem uma base.

Exemplo 1.2.6. Se S é um anel, então Sncom a soma e o produto definido de forma usual, é um módulo livre sobre S.

(15)

Exemplo 1.2.7. Seja S := Z[√−5] = {a + b ·√_{−5 | a, b ∈ Z} e considere o ideal I} gerado por 3 e 2+√−5. Sabemos que um elemento de I ´e da forma u·3+v ·(2+√−5), com u, v ∈ S. Note que para quaisquer dois elementos n˜ao nulos x, y ∈ I, temos

x · y + (−y) · x = 0

isto é, estes dois elementos não são linearmente independentes. Dessa forma, se I fosse livre, ele teria que ter uma base constitu´ıda de um elemento, ou seja, I deve ser principal. Mas veja que I não ´_{e principal. Considere o mapa ϕ : S −→ Z dado por} ϕ(a + b√−5) = a2_{+ 5b}2_.

Assim, a + b√−5 = 1 se e somente se ϕ(a + b√−5) = ϕ(1) ,ou seja, a2 _{+ 5b}2 _{= 1}

que tem como solu¸c˜ao a = 1 e b = 0.

Agora suponha que I seja um ideal principal. Então, existe f ∈ I tal que I = f S. Vamos primeiro eliminar o caso em que f é uma unidade, isto é, S = I.

Suponhamos por contradi¸c˜ao que S = I. Se considerarmos que S ' Z[X]

(X2₊₅₎, ent˜ao

I corresponde ao ideal (3, 2+X)/(X2_{+5) de modo que se I = S, seguiria (3, 2+X) =}

Z[X]. Escreva 1 = g(X) · 3 + h(X) · (2 + X), para g(X), h(X) ∈ Z. Se nós definirmos X = −2, teremos que 1 = g(−2) · 3 em Z, o que é uma contradi¸cão. Logo, segue que I 6= S, ou seja, f não é uma unidade em S.

Escrevendo 3 = f s , para s ∈ S, temos 9 = ϕ(3) = ϕ(r)ϕ(f ), como ϕ(f ) 6= 1, então ϕ(r) = 3 ou ϕ(r) = 1. O primeiro caso não pode acontecer pois a equa¸cão 3 = a2_{+ 5b2 n˜}_{ao possui solu¸c˜}_{ao em Z.}

Se ϕ(r) = 1, então r 6= 1, o que nos dá I = 3S. Mas então podemos escrever 2 +√−5 = (a +√−5) · 3 em S, e isto claramente não é poss´ıvel. Então, mostramos que I não é um ideal principal, e desta forma, não pode ser um S-módulo livre.

Um enfraquecimento da no¸cão de módulo livre é dado da seguinte maneira: Defini¸cão 1.2.8. Um S-módulo M é chamado projetivo se ele é um somando direto de algum S-módulo livre.

A no¸cão de módulo livre e projetivo se confundem em algumas situa¸cões especiais. Exemplo desse fenômeno é dado pelo seguinte resultado.

Teorema 1.2.9. Se (S, m) é anel local então todo S-módulo projetivo é livre.

Defini¸cão 1.2.10. Sejam M e N S-módulos e ϕ : M → N uma fun¸cão. Dizemos que ϕ é um homomorfismo de S-módulos quando, para todo a ∈ S e x, y ∈ M temos

(16)

(1) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y); (2) ϕ(a • x) = a • ϕ(x).

Exemplo 1.2.11. Seja M um S-m´odulo e defina ϕ : M −→ M dada por ϕ(x) = ax onde a ∈ S. Verificaremos que ϕ ´e um homomorfismo.

(1) Sejam x, y ∈ M e a ∈ S. Temos,

ϕ(x + y) = a • (x + y) = a • x + a • y = ϕ(x) + ϕ(y);

(2) Seja b ∈ S. Temos

ϕ(b • x) = b • a • x = b • ϕ(x).

1.3 An´

eis e m´

odulos graduados

Dado um anel S considere o anel de polinˆomios S[x1, . . . , xn]. Os elementos de

S[x1, . . . , xn] da forma xα1 1 x α2 2 · · · x αn n ,

com α1, . . . , αn∈ N e α1+ . . . + αn = d s˜ao chamados monˆomios de grau d. Definamos

S[x1, . . . , xn]d como sendo o S-m´odulo livre gerado por todos os monˆomios de grau

d. É fato que o anel de polinômios S[x1, . . . , xn] admite a seguinte decomposi¸cão em

soma direta

S[x1, . . . , xn] =

M

d∈Z

S[x1, . . . , xn]d.

Veremos nesta se¸cão que uma tal decomposi¸cão pode ser estendida para outros anéis e módulos.

Defini¸c˜ao 1.3.1. Dizemos que um anel S, n˜ao nulo, ´_{e Z-graduado, quando existe} uma fam´ılia {Sn}n∈Z de subgrupos aditivos de S, satisfazendo:

(1) S =M

n∈Z

Sn;

(2) Si· Sj ⊂ Si+j ∀ i, j ∈ Z.

Um elemento homogˆeneo de S de grau i ´e simplesmente um elemento de Si. Um

(17)

Exemplo 1.3.2. Sejam S = K[x1, x2, x3] e I = hx21 + x1x3, x33, x41− x1x2x23+ x32x3i.

Como os geradores são polinômios homogêneos de grau 2, 3 e 4 respectivamente, temos por defini¸cão que I é homogêneo.

Observa¸c˜ao 1.3.3. Note que,

(1) Para todo i o zero de S é um elemento homogêneo de grau i; (2) Todo elemento de S é uma soma finita de elementos homogêneos; (3) S0 é um subanel de S, logo Sn é S0-módulo ∀n ∈ Z.

No caso de um anel de polinˆ_{omios S = K[x}1, . . . , xn] tamb´em chamamos os

po-linˆomios homogˆeneos de grau d de formas de grau d.

Defini¸cão 1.3.4. Um ideal monômial I em um anel S é um ideal gerado por monômios em S.

Exemplo 1.3.5. Sejam S = K[x1, x2, x3, x4] e I = hx42, x1x23, x2i. Ent˜ao I ´e um ideal

monˆomial. ´

E imediato a partir da defini¸cão que um ideal monômial é também um ideal homogêneo.

Dado um anel Z-graduado S = M

n∈Z

Sn, podemos definir ideais graduados. Dizemos

que I ´e um ideal graduado se I =M

n∈Z

In, onde In= Sn∩ I.

A conexão entre ideais homogêneos e graduados é dada pelo seguinte teorema. Teorema 1.3.6. Seja I um ideal de S. Então I é homogêneo se e somente se I é graduado com a gradua¸cão In= Sn∩ I.

O anel quociente S

I de um anel graduado S por um ideal graduado I ´e natural-mente um anel graduado. Escrevendo

S = S0⊕ S1⊕ · · · e I = I0 ⊕ I1⊕ · · · temos S I = S0 I0 ⊕S1 I1 ⊕ · · · .

(18)

Onde I é um ideal monômial e cada In é a parte monômial de I de grau n. Mais

ainda, cada Sn In

´

e a classe de equivalˆencia de grau n em S I.

Exemplo 1.3.7. Sejam S = K[x, y] e I = hxy2_{, x}2_{i um ideal monˆ}_{omial em S. Ent˜}_ao

I = M

i

Ii, logo, I0 é formado pelos monômios de I que são de grau 0. Portanto,

I0 = ∅. Similarmente, I1 ´e formado pelos monˆomios de I de grau 1, assim, I1 = ∅.

Mais ainda, I2 é gerado por x2 em K. Também, I3 é gerado por {x3, x2y, xy2} em K.

Podemos calcular Sn In

. Como S0 = h1i, temos

So

I0

= h1i, onde 1 representa a classe de equivalˆencia do elemento 1. Similarmente, S1 = hx, yi. Assim,

S1

I1

= hx, yi. Tamb´em, S3 = hx3, x2y, xy2i, portanto,

S3

I3

= hy3i. E assim por diante.

A generaliza¸cão da no¸cão de anéis graduados para módulos é bastante natural Defini¸cão 1.3.8. Seja S um anel graduado, dizemos que M é um S-módulo graduado se:

1. M =M

i∈Z

Mi;

2. Si· Mj ⊂ Mi+j para todo i, j ∈ Z.

Os elementos de Md s˜ao chamados de elementos homogˆeneos de grau d. Por

defini¸cão temos que qualquer elemento x ∈ M pode ser escrito como uma soma finita de elementos homogêneos xi ∈ Mi. Os elementos xi são chamados de componentes

homogˆeneas de grau i de x.

1.4 Um breve apanhado homol´

ogico

Abordaremos alguns aspectos sobre homologia para que possamos em alguns casos identificar se um complexo de módulos é uma resolu¸cão.

Defini¸cão 1.4.1. Seja S um anel arbitrário. Um complexo F é uma sequência de S-módulos e homomorfismos F : · · · −→ Fi+1 ϕi+1 −→ Fi ϕi −→ Fi−1−→ · · ·

(19)

Se todos os Fi do complexo F acima s˜ao livres, dizemos que F ´e um complexo

livre.

Dado um complexo, uma das maneiras mais ´obvias de se obter um novo complexo ´

e atrav´es da seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 1.4.2. Seja F um complexo. Se F_n0 ⊂ Fn, ∀n é uma sequência de subgrupos

tal que ϕn(Fn0) ⊂ F

0

n−1 para todo n, ent˜ao

· · · → F_i+10 ϕ 0 i+1 → F_i0 ϕ 0 i → · · · onde ϕ0_i = ϕi|F0 i ´

e um complexo, chamado de subcomplexo do complexo F .

Note que, a condi¸c˜ao ϕi◦ ϕi+1 = 0 ´e equivalente a Imϕi+1 ⊂ ker ϕi, isso mostra

que ker (ϕi)/Im(ϕi+1) est´a bem definido. Portanto, faz sentido a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.4.3. A homologia do complexo F em Fi ´e definida como sendo

HiF := ker (ϕi)/Im (ϕi+1).

Defini¸c˜ao 1.4.4. O complexo F ´e dito exato em Fi quando HiF = 0. No caso de F

ser exato em todos os Fi, dizemos que F ´e um complexo exato.

Dizer que HiF = 0 ´e equivalente a escrever ker (ϕi)/Im (ϕi+1) = 0, isto ´e,

Im ϕi+1 = ker ϕi. Desta maneira, supor que F ´e exato em Fi ´e o mesmo que ter

Im ϕi+1 = ker ϕi.

Defini¸cão 1.4.5. Uma resolu¸cão de um S-módulo M é um complexo F : · · · −→ Fn

ϕn

−→ · · · −→ F1 ϕ1

−→ F0

de S-m´odulos tal que Coker ϕ1 = M e F ´e exata.

Em alguns momentos iremos acrescentar o m´odulo M a resolu¸c˜ao F , ou seja, F : · · · −→ Fn

ϕn

−→ · · · −→ F1 ϕ1

−→ F0 −→ M −→ 0.

A imagem da fun¸cão ϕi é chamada de i-ésima siz´ıgia do módulo M .

Defini¸c˜ao 1.4.6. Seja M um S-m´odulo e F : · · · −→ Fn

ϕn

−→ · · · −→ F1 ϕ1

(20)

uma resolu¸c˜ao de M.

(a) Se cada Fi é S-módulo livre dizemos que F é uma resolu¸cão livre.

(b) Se cada Fi é S-módulo projetivo dizemos que F é uma resolu¸cão projetiva.

Anteriormente definimos módulos graduados, tal defini¸cão nos permite definir uma resolu¸cão graduada.

Defini¸c˜ao 1.4.7. Sejam M e N m´odulos graduados sobre S. Um homomorfismo ϕ : M → N

´

e um homomorfismo graduado de grau d se ϕ(Mt) ⊂ Nt+d

para todo t ∈ Z.

Defini¸cão 1.4.8. Seja M um S-módulo graduado. Uma resolu¸cão graduada de M é uma resolu¸cão da forma

F : · · · −→ Fn ϕn

−→ · · · −→ F1 ϕ1

−→ F0 −→ M −→ 0,

onde os Fi,s são módulos graduados e os homomorfismos entre os módulos graduados

tem grau 0 (isto é, levam elementos homogêneos em elementos homogêneos de mesmo grau).

No Corolário 2.2.6 veremos que, se M é um S-módulo graduado e finitamente gerado, então a dimensão projetiva de M é igual ao comprimento da resolu¸cão livre minimal de M . Desta forma, precisamos das seguintes defini¸cões

Defini¸cão 1.4.9. Seja M um S-módulo com a resolu¸cão F : · · · −→ Fn

ϕn

−→ · · · −→ F1 ϕ1

−→ F0 −→ M −→ 0,

se para algum n < ∞ tivermos Fn+1 = 0, mas Fi 6= 0 para 0 ≤ i ≤ n, ent˜ao dizemos

que F ´e uma resolu¸c˜ao de comprimento n

(21)

Defini¸cão 1.4.10. Seja M um S-módulo com a resolu¸cão F : · · · −→ Fn ϕn −→ · · · −→ F1 ϕ1 −→ F0,

a dimensão projetiva de M é o menor comprimento dentre todos os comprimentos das resolu¸cões projetivas de M e denotamos por pd(M ). Se não admite resolu¸cões projetivas finitas, então dizemos que pd(M ) = ∞.

1.5 O espa¸

_{co projetivo P}

n

Nesta se¸c˜_{ao, assumiremos sempre que K é um corpo algebricamente fechado.} Defini¸cão 1.5.1. O espa¸co projetivo de dimensão n é dado por

PnK := K

n+1_{− {0}/ ∼}

onde

(x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) ⇐⇒ existe λ ∈ K∗ tal que xi = λyi, ∀ i = 0, . . . , n.

O ponto de Pn

K correspondente a (x0, . . . , xn) ´e denotado por (x0 : . . . : xn) e

dizemos que x0, . . . , xn s˜ao coordenadas homogˆeneas ou coordenadas projetivas do

ponto.

Dado um polinˆomio homogˆ_{eneo f ∈ K[x}0, . . . , xn] de grau r, faz sentido definirmos

quando um ponto (x0 : . . . : xn) ∈ Pn_K se anula em tal polinˆomio, pois:

F (λx0, . . . , λxn) = λrF (x0, . . . , xn),

para cada λ ∈ K, ou seja, esta é uma no¸cão que independe de representantes. Tendo isso em mente, podemos considerar a seguinte defini¸cão

Defini¸c˜ao 1.5.2. Seja I um ideal homogˆeneo de S = k[x0, . . . , xn]. Um subconjunto

X de Pn

K ´e chamado de conjunto alg´ebrico projetivo definido por I, se

X = {(x0 : . . . : xn) ∈ Pn_K | f (x0, . . . , xn) = 0 para cada f ∈ I}.

(22)

Defini¸c˜_{ao 1.5.3. Seja X um subconjunto de P}n

K. O ideal definido por X, denotado

por I(X), ´e dado por

I(X) = {f ∈ K[x0, . . . , xn] | f (x0, . . . , xn) = 0 para cada (x0 : . . . : xn) ∈ X}.

´

E imediato que o ideal I(X) ´e homogˆeneo e radical.

Temos a seguinte vers˜ao projetiva para o teorema dos zeros de Hilbert:

Proposi¸c˜ao 1.5.4. Seja I um ideal n˜ao irrelevante e homogˆ_{eneo de K[x}0, . . . , xn].

Ent˜ao I(V (I)) =√I.

Assim, temos as seguintes aplica¸c˜oes bijetoras ( Conjuntos alg´_{ebricos de P}n K ) I(−) −→ V (−) ←− (

Ideais homogˆeneos e radicais de K[x0, . . . , xn]

)

uma inversa da outra.

Defini¸cão 1.5.5. Um conjunto alg´_{ebrico projetivo X de P}n_K é chamado variedade projetiva se o ideal I(X) é primo.

Defini¸c˜ao 1.5.6. Dado um conjunto alg´_{ebrico X de P}n

Kchamamos o anel K[x0, . . . , xn]/I(X)

(23)

Cap´ıtulo 2

Resolu¸

c˜

oes Livres e Fun¸

c˜

ao de

Hilbert

Estudaremos resolu¸cões m´ınimas livres de módulos finitamente gerados, onde o anel base é o anel de polinˆ_{omios S = K[x}0, . . . , xr] sobre um corpo K com cada

variável tendo grau 1. As informa¸cões fornecidas pelas resolu¸cões é um refinamento das informa¸cões fornecidas pelas fun¸cões e polinômios de Hilbert.

2.1 Contribui¸

c˜

oes de Hilbert

2.1.1 O Estudo de siz´ıgias

O anel de coordenadas homogˆ_{eneas do r-espa¸co projetivo P}r _{= P}r

K ´e o anel de

po-linˆ_{omios S = K[x}0, . . . , xr] . Seja M =

M

d∈Z

Md um S-m´odulo graduado e finitamente

gerado. Assim, podemos ver cada Mdcomo um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao finita.

Diante desse cen´ario temos a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 2.1.1. A aplica¸c˜ao HM : Z → N definida por

HM(d) = dimKMd

´

e chamada fun¸c˜ao de Hilbert de M

Exemplo 2.1.2. No caso particular em que M = S temos

HS(d) = dimKSd =

r + d r

.

(24)

Exemplo 2.1.3. Sejam S = K[x0, x1, x2], I = hx0x1, x1x2, x0x2i e M = S/I.

Escre-vendo

S = S0⊕ S1⊕ · · · e I = I0⊕ I1⊕ · · ·

temos a seguinte gradua¸c˜ao para M

M = S0 I0

⊕ S1 I1

⊕ · · · = S0⊕ S1⊕ hx20, x21, x22i ⊕ hx30, x31x32i ⊕ · · · ⊕ hxd0, xd1, xd2i ⊕ · · · .

Assim a fun¸cão de Hilbert do S-módulo graduado M = S/I é

HM(d) =

(

1 se d = 0 3 se d 6= 0

Denotamos por M (a) o S-m´odulo M munido com a seguinte gradua¸c˜ao M (a)d= Ma+d

Faremos uso diversas vezes do S-m´odulo S, com a gradua¸c˜ao deslocada. Exemplo 2.1.4. Para S = K[x0, x1] temos:

grau i = 0 1 2 3 . . . base de K[x0, x1]i = 1 x0, x1 . . . .

base de K[x0, x1](−2)i = 0 0 1 x0, x1 . . .

Dados elementos homogˆeneos mi ∈ M de grau ai que geram M como um

S-m´odulo, considere o S-m´odulo livre graduado F0 =

M

i

S(−ai). Podemos definir um

homomorfismo de m´odulos livres graduados de F0 em M enviando o i-´esimo gerador

de F0 em mi (neste texto, um homomorfismo de m´odulos graduados significa um

homomorfismo que preserva grau). Seja M1 o n´ucleo de F0 → M no qual ´e graduado.

Como S é noetheriano e F0 é finitamente gerado temos que F0 é noetheriano e,

portanto, M1 é um módulo finitamente gerado. Os elementos de M1 são chamados

de siz´ıgias de M .

Escolhendo um n´umero finito de siz´ıgias homogˆeneas que geram M1, podemos

definir um homomorfismo de um m´odulo F1 graduado livre para F0 com imagem M1.

(25)

graduados livres, F : · · · −→ Fi ϕi −→ Fi−1−→ · · · −→ F1 ϕ1 −→ F0.

Este complexo é uma resolu¸cão graduada livre de M , pois é uma sequência exata de homomorfismos de grau zero entre módulos livre graduado de tal forma que cokernel de ϕ1 é M . Como ϕi preserva graus, podemos considerar uma sequência exata de

espa¸cos vetoriais de dimensão finita, tomando a parte de grau d de cada módulo desta sequência, e usando resultados de álgebra linear temos

HM(d) =

X

i

(−1)iHFi(d).

O pr´oximo teorema, provado por Hilbert, mostra que esta soma pode ser feita de maneira finita.

Teorema 2.1.5 (Teorema de Hilbert das siz´ıgias). Qualquer S-m´odulo graduado e finitamente gerado M tem uma resolu¸c˜ao graduada finita e livre

F : 0 −→ Fm −→ Fm−1 −→ · · · −→ F1 −→ F0.

Além disso, podemos supor que m ≤ r + 1, onde r + 1 é o número de variáveis do anel S.

A prova desse Teorema ser´a feita no cap´ıtulo 3.

Vamos considerar como primeiro exemplo, três complexos que são chamados de complexo de Koszul nos quais são resolu¸cões livres, pois são formados por sequencias regulares. K(x0) : 0 → S(−1) (x0) → S K(x0, x1) : 0 −→ S(−2)    x1 −x0    −→ S2(−1) x0 −x1 −→ S K(x0, x1, x2) : 0 −→ S(−3) ϕ2 −→ S3₍₋₂₎ ϕ1 −→ S3₍₋₁₎ ϕ0 −→ S,

(26)

onde ϕ2 =    x0 x1 x2   , ϕ1 =    0 x2 −x1 −x2 0 x0 x1 −x0 0    e ϕ0 = x0 x1 x2 .

O primeiro destes complexos ´e obviamente uma resolu¸c˜ao de S/(x0), pois o

co-kernel de S(−1) (x→ S ´e S/(x0) 0) e a imagem de S(−1) (x0)

→ S é o núcleo da seguinte aplica¸cão S → S/(x0). Já o segundo complexo é uma resolu¸cão devido ao exemplo

2.1.6, e o terceiro é uma resolu¸cão, mas vamos fazê-lo com uma técnica desenvolvida na primeira metade do cap´ıtulo 3.

Exemplo 2.1.6. Sejam f e g polinômios (não necessariamente homogêneos) de S, tais que um não divide o outro. Veremos que o complexo

0−→ Sϕ2    g0 −f0    −→ S2 f g −→ S, ´

e uma resolu¸c˜ao livre de I = hf, gi, onde f0 = f /h, g0 = g/h e h ´e o maior divisor comum de f e g. Sejam ϕ0 e ϕ1 os homomorfismos representados pelas matrizes

f g e g 0 −f0 !

respectivamente. Para chegarmos ao resultado desejado, basta mostrar as seguintes igualdades

ker ϕ1 = Im ϕ2, ker ϕ0 = Imϕ1, e ker ϕ = Imϕ0

onde S −→ϕ S

(f, g). Se s ∈ ker ϕ1, ent˜ao sg ˆA´= −sf

0 _{= 0; logo, como S ´}_{e dom´ınio,}

tem-se s = 0. Assim, ker ϕ1 = Im ϕ2 = S, i.e, H2 = 0. Agora, suponha

s t ! ∈ ker (ϕ0). Ent˜ao f g s t ! = f s + gt = 0;

logo, gt = −f s. Dessa igualdade decorre que g0t = −f0s. Como mdc(f0, g0) = 1 e S ´e dom´ınio fatorial, ent˜ao g0 divide s. Considerando ` ∈ S tal que s = `g0 temos

s t ! = ` g 0 −f0 !

(27)

igualdades f g `g0 −`f0 ! = `(f g0 − gf0) = `h(f0g0− g0f0) = 0

Finalmente, a igualdade ker ϕ = Im ϕ0 segue do fato que ϕ é a proje¸cão canônica de

S no quociente S/I.

2.1.2 O Polinˆ

omio de Hilbert

De uma resolu¸c˜ao livre de M podemos calcular a fun¸c˜ao de Hilbert de M explici-tamente.

Proposi¸cão 2.1.7. Se um S-módulo graduado M tem uma resolu¸cão finita livre 0 → Fm ϕm → Fm−1 → · · · → F1 ϕ1 → F0 onde Fi = L

jS(−ai,j), ent˜ao

HM(d) = m X i=0 (−1)iX j r + d − a_i,j r .

Prova. J´a vimos que HM(d) = m

X

i=0

(−1)iHFi(d), logo ´e suficiente mostrar que

HFi(d) = X j r + d − ai,j r .

assim, basta mostrar que HS(−a)(d) = r+d−a_r , pois

HFi(d) = dimK(Fi)d= dimK M j S(−ai,j) ! d =X j

dim_KS(−ai,j)d=

X

j

HS(−ai,j)(d).

Deslocando a gradua¸c˜ao de S(−a) para S reduzimos para HS(d) = r+d_r , mas a

´

(28)

Exemplo 2.1.8. Seja I o ideal do Exemplo 2.1.3. Considere a seguinte resolu¸c˜ao 0 → S2 _→η _S3 _{→ S → I}ϕ k k S(−3)2 S(−2)3 , onde η =    −x2 −x2 0 x0 x1 0   e ϕ = x0x1 x1x2 x0x2 .

Calculando a fun¸c˜ao de Hilbert segundo a Proposi¸c˜ao 2.1.7 temos

HM(d) = m X i=0 (−1)iX j 2 + d − ai,j 2 =d + 2 2 − 3d 2 + 2d − 1 2 .

Expandindo as contas obtemos

HM (d) =

(

1 se d = 0 3 se d 6= 0 como j´a hav´ıamos percebido antes.

Exemplo 2.1.9. Sejam S = K[x, y, z, w] e I = hx3, xyzw, w2i com a seguinte re-solu¸c˜ao 0 −→ S −→η S3 _−→ϕ _S3 _{−→ I} k k k S(−6) S(−5)3 _{S(−3) ⊕ S(−4) ⊕ S(−2)} , onde η =    −w x −z    e ϕ =    zw 0 −w2 −x −w 0 0 xyz x2_y   .

Calculando a fun¸c˜ao de Hilbert segunda a proposi¸c˜ao 2.1.7 temos

HM(d) = m X i=0 (−1)iX j 3 + d − ai,j 3 =3 + d 3 −d 3 −d − 1 3 −d + 1 3 +d − 2 3 −d − 3 3 .

(29)

Para d ≥ max{ai,j− r} = 6 − 3 = 3 como exigido no pr´oximo corol´ario temos

HM(d) = 15.

O próximo resultado nos garante que a fun¸cão de Hilbert é assintoticamente uma fun¸cão polinomial.

Corolário 2.1.10. Seja M um S-módulo graduado. Existe um polinômio PM(d)

(chamado o polinˆomio de Hilbert de M ) tal que PM(d) = HM(d) para d ≥ max{ai,j−

r}.

Prova. Quando d + r − a ≥ 0 temos d + r − a r = (d + r − a)! r!(d − a)! = (d + r − a)(d + r − 1 − a) · · · (d + 1 − a) r!

que é um polinômio de grau r em d. Assim, no intervalo desejado todos os termos na expressão de HM(d) da Proposi¸cão 2.1.7 podem ser vistos como polinômios na

vari´avel d.

2.2 Resolu¸

c˜

ao livre minimal

Anteriormente garantimos a existência pelo teorema devido a Hilbert de uma resolu¸cão de um módulo finitamente gerado e graduado, e agora veremos quando tal resolu¸cão é única a menos de isomorfismo com o intuito de assegurar a unicidade dos números graduados de Betti.

Todo S-módulo graduado e finitamente gerado tem uma resolu¸cão livre minimal, que é única a menos de isomorfismo. Veremos tal resultado no teorema de singulari-dade.

Nas hipóteses do nosso trabalho, o m´ınimo de uma resolu¸cão livre pode ser descrito da seguinte maneira: Dado um módulo graduado M finitamente gerado, escolha um conjunto m´ınimo de geradores mi homogêneos e mapei um módulo livre graduado F0

em M enviando uma base de F0 para o conjunto dos mi. Seja M0 o kernel do mapa

F0 → M , e repita o procedimento, come¸cando com um conjunto m´ınimo de geradores

homogˆeneos de ponto. Assim obtemos uma resolu¸c˜ao livre.

Para indicá-la vamos usar a seguinte nota¸cão M para designar o ideal homogêneo maximal (x0, x1, . . . , xr) ⊂ S.

(30)

Defini¸c˜ao 2.2.1. Um complexo de S-m´odulo graduado · · · −→ Fi

δi

−→ Fi−1−→ · · ·

´

e chamado minimal se para cada i, a imagem de δi esta contida em MFi−1.

Podemos dizer que um complexo de módulos livres é minimal se cada um dos seus diferenciais é representado por uma matriz com entradas no ideal homogêneo maximal.

A rela¸cão entre esta defini¸cão e a no¸cão intuitiva de uma resolu¸cão minimal é uma consequência do Lema de Nakayama. Veja [Eisenbud 1995, se¸cão 4.1] para uma discussão e uma prova no caso local, aqui faremos o lema no caso graduado.

Lema 2.2.2 (Nakayama). Seja M um S-m´odulo graduado e finitamente gerado. Se m1, . . . , mn geram M/MM , ent˜ao m1, . . . , mn geram M .

Prova. Seja M = M/(P Smi) e dado um n ∈ M/MM temos que

n = m + MM = XSmi

onde m ∈ M . Assim, dado n ∈ M /MM temos que

n = m P Smi + MM P Smi = m + MM P Smi = 0. Portanto, M /MM = 0, logo M = MM .

Se M 6= 0, como M é finitamente gerado, podemos escolher um elemento homogêneo diferente de zero em M de menor grau em M e este elemento não pode esta em MM , pois os elementos de M tem grau pelo menos um. Assim, M = 0 e então M é gerado pelos mi.

Usaremos o resultado acima com frequência para dizer que o número de geradores minimos de M é o mesmo que o número de geradores minimos de M/MM .

O próximo resultado nos dá uma carateriza¸cão de uma resolu¸cão livre graduada minimal.

Corol´ario 2.2.3. Seja

F : · · · −→ Fi δi

(31)

uma resolu¸c˜ao livre graduada. Temos que F minimal, se e somente se, para cada i o mapa δi leva uma base de Fi para um conjunto m´ınimo de geradores da imagem de δi.

Prova. Considere a sequˆencia exata a direita

H : Fi+1−→ Fi −→ Imδi −→ 0. (2.1)

e o funtor

K ⊗ H = H : Fi+1/MFi+1 δi+1

−→ Fi/MFi −→ Imδi/MImδi −→ 0 (2.2)

que ´e invariante e exato a direita.

O complexo F ´e minimal, se e somente se, para cada i o mapa δi+1´e identicamente

nulo, pois se F ´e uma resolu¸c˜ao minimal temos que Imδi+1⊂ MFi e assim δi+1 = 0,

mas se δi+1 = 0 ´e porque Imδi+1 ⊂ MFi, logo Imδi+1 ⊂ MFi. Mas isso ocorre se e

somente se o mapa induzido Fi/MFi −→ (Imδi)/M(Imδi) ´e um isomorfismo, pois da

equa¸cão 2.2 e do fato que δi+1é identicamente nulo temos que é injetiva e do fato que

H é exato a direita segue que é sobrejetiva. Assim, pelo Lema de Nakayama 2.2.2 isso acontece se, e somente se, existir uma base de Fi que é levada para um conjunto

minimal de geradores da Im δi.

O leitor interessado em estudar funtor vide [Eisenbud 1995].

Considerando todas as escolhas feitas na constru¸cão de uma resolu¸cão livre mini-mal, talvez seja surpreendente que uma resolu¸cão livre minimal seja única a menos de isomorfismo.

Teorema 2.2.4. Seja M um S-módulo graduado e finitamente gerado. Se F e G são duas resolu¸cões minimais livres graduada de M, então existe um isomorfismo graduado dos complexos F −→ G induzindo o mapa identidade em M. Além disso, qualquer resolu¸cão livre de M contém a resolu¸cão minimal livre como um somando direto.

A demonstra¸c˜ao de tal resultado pode ser vista em [Eisenbud 1995].

Podemos construir uma resolu¸cão livre minimal a partir de uma resolu¸cão qual-quer, de acordo com a segunda parte do teorema 2.2.4. Se F é um complexo de módulos livres que não é minimal, pelo menos uma matriz que representa os diferen-ciais de F deve conter pelo menos um elemento diferente de zero de grau zero. Isto

(32)

corresponde a dizer que existe pelo menos um elemento da base de Fi que ´e levado em

um elemento de Fi−1que n˜ao estar em MFi−1. Assim, encontramos um subcomplexo

de F da forma

G : 0 −→ S(−a)−→ S(−a) −→ 0c

para um escalar c diferente de zero (tal subcomplexo é chamado de complexo trivial) incorporado em M de tal maneira que FL G é ainda um complexo livre. Uma vez que as homologias de G são identicamente nulas, a homologia de FL G é a mesma que a de F . Em particular, se F é uma resolu¸cão livre de M, então FL G também é uma resolu¸cão livre de M. Continuando, desta forma, nós eventualmente chegaremos a um complexo minimal. Portanto, dado F uma resolu¸cão de M, podemos construir uma resolu¸cão livre minimal.

Para n´os, o aspecto mais importante da singularidade de resolu¸c˜oes livres minimais ´

e que, se F : · · · −→ F1 −→ F0é a resolu¸cão livre minimal de um S-módulo graduado

e finitamente gerado, o número de geradores necessários para os módulos livres Fi é

um invariante de M. A maneira mais fácil para indicar um resultado preciso é usar o funtor Tor, ver por exemplo [Eisenbud 1995, se¸cão 6.2], para uma introdu¸cão a esta ferramenta últil.

Proposi¸cão 2.2.5. Se F : · · · −→ F1 −→ F0 é a resolu¸cão livre minimal de um

S-m´_{odulo M graduado e finitamente gerado e K denota o corpo de res´ıduo S/M,} então qualquer conjunto m´ınimo de geradores homogêneos de Fi contém exatamente

dim_KTorS_i_{(K, M)}j geradores de grau j.

Prova. O espa¸co vetorial TorS_i_{(K, M)}j ´e a componente de grau j da i-´esima

homo-logia do complexo K ⊗SF . Os homomorfismo de K ⊗SF s˜ao todos zeros.

De fato, como F ´e minimal, temos que Imδi+1 ⊂ MFi e

K ⊗ Fi+1

1⊗δi+1

−→ _{K ⊗ F}i

a ⊗ b 7→ a ⊗ δi+1(b) = a ⊗ mc

para algum m ∈ M e c ∈ Fi. Logo, a ⊗ mc = ma ⊗ c = 0, pois, a ∈ K.

Assim, TorS_i _{(K, M) =} ker (1 ⊗ δi)

Im1 ⊗ δi+1 = K⊗

SFi = Fi/MFi. Pelo Lema de Nakayama

2.2.2 dim_KTorS_i_{(K, M)}j ´e o n´umero de geradores de grau j que requer Fi.

Corolário 2.2.6. Se M é um S-módulo graduado e finitamente gerado, então a dimensão projetiva de M é igual ao comprimento da resolu¸cão livre minimal de M .

(33)

Prova. Uma das desigualdades é obvia. Para mostrar que o comprimento da re-solu¸cão livre minimal é no máximo a dimensão projetiva note que TorS_i_{(K, M) = 0} quando i é maior do que a dimensão projetiva de M , pois TorS_i_{(K, M) independe da} resolu¸cão escolhida. Pela proposi¸cão 2.2.5, isso implica que a resolu¸cão livre minimal tem comprimento menor do que a dimensão projetiva de M , como o desejado.

2.2.1 Descrevendo resolu¸

c˜

ao atrav´

es do diagrama de Betti

Vimos anteriormente que a fun¸cão de Hilbert descreve um invariante numérico associado a uma resolu¸cão livre, e agora veremos que este invariante, quando a re-solu¸cões livres é minimal contém mais informa¸cões. Para tanto, introduziremos para exibir tais informa¸cões o diagrama de Betti.

Come¸caremos com um exemplo, seja S = K[x0, x1, x2] o anel de coordenadas

homogˆ_{eneo de P}2_{. O teorema 4.3.1 e o corol´}_{ario 4.1.15 abaixo, implica que existe}

um conjunto X de 10 pontos em P2 cujo o anel de coordenadas homogˆeneo SX tem

resolu¸c˜ao livre da forma

0 → S(−6) ⊕ S(−5) → S(−4) ⊕ S(−4) ⊕ S(−3) → S

k k k

F2 F1 F0

.

Representaremos os n´umeros que aparecem pelo diagrama de Betti 0 1 2 0 1 - -1 - - -2 - 1 -3 - 2 1 4 - - 1 ,

onde a coluna i descreve o m´odulo livre Fi e as linhas j descreve os grau dos Fi.

Defini¸c˜ao 2.2.7 (N´umero de Betti). Seja

F : 0 −→ Fs −→ · · · −→ Fm −→ · · · −→ F0

(34)

dizemos que βi,j s˜ao os n´umeros de Betti. Definimos o diagrama de Betti de F como

segue

0 1 · · · s i β0,i β1,i+1 · · · βs,i+s

i + 1 β0,i+1 β1,i+2 · · · βs,i+s+1

· · · · j β0,j β1,j+1 · · · βs,j+s

Desta maneira, o diagrama de Betti consiste em uma tabela com s + 1 colunas, nomeadas de 0 at´e s, correspondente aos m´odulos livres F0, · · · , Fs e tem linhas

nomeadas com inteiros sucessivos que correspondem aos graus dos m´odulos livres. A m-´esima coluna especificar os graus dos geradores de Fm, deste modo, por exemplo,

os valores da primeira coluna da esquerda para direita corresponde aos graus dos poss´ıveis geradores de F0. Para facilitar, n´os sempre substitu´ımos um 0 por “ − ” e

um valor indefinido por “ ∗ ”.

Note que, a entrada da j-ésima linha e i-ésima coluna é βi,i+j em vez de βi,j. Essa

escolha não é a mais natural, contudo servirá para nosso propósito descrito abaixo. Se F é uma resolu¸cão livre minimal de M , nos referimos ao diagrama de Betti de F como o diagrama de Betti de M , pois as resolu¸cões de M é única a menos de isomorfismo e o βm,d de F é chamado de número graduado de Betti de M , às vezes

escrevemos βm,d(M ). Como Torm(M, K) é a m-ésima homologia de F ⊗ K e F é

minimal, os diferenciais do complexo s˜ao todos zeros, assim da proposi¸c˜ao 2.2.5 segue βm,d(M ) = dimK(Torm(M, K)d).

2.2.2 N´

umero Graduado de Betti

O número β0,j é o número de geradores de grau j exigidos entre os geradores

m´ınimos de M . Nós frequentemente consideraremos o caso onde M é o anel de coordenadas homogêneo SX =

S

I(X) de uma variedade projetiva X. Como SX ´e gerado pelo elemento 1, ent˜ao teremos β0,0 = 1 e β0,j = 0 para j 6= 0.

Por outro lado, β1,j ´e o n´umero de geradores de grau j precisos para gerar o ideal

I(X) de X. Se SX não é o anel nulo (isto é, X 6= ∅), não existe nenhum elemento do

ideal de X com grau 0, assim β1,0 = 0. Isto ´e o caso i = d = 0 da seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸cão 2.2.8. Seja {βi,j} os números graduados de Betti de um S-módulo M

(35)

βi+1,j+1 = 0 ∀ j < d. Prova. Seja F · · · δ2 −→ F1 δ1 −→ F0

uma resolu¸c˜ao livre minimal de M. Logo, os geradores de Fi+1 devem ser mapeados

para elementos n˜ao nulos do mesmo grau em MFi, como βi,j = 0 para todo j < d

significa que todos os geradores de Fi e, portanto, todos elementos n˜ao nulo de Fi

tem grau ≥ d. Assim, todo elemento n˜ao nulo de MFi tem grau ≥ d + 1. Assim, Fi+1

s´o pode ter geradores em grau ≥ d + 1. Logo, βi+1,j+1 = 0 para j < d.

A fórmula para a fun¸cão de Hilbert na Proposi¸cão 2.1.7 admite uma expressão em termos do número graduado de Betti.

Corolário 2.2.9. Se {βi,j} são os números graduados de Betti de um S-módulo

finitamente gerado M , as somas alternadas Bj =

X

i≥0

(−1)iβi,j determinam a fun¸c˜ao

de Hilbert de M via a f´ormula

HM(d) = X j Bj r + d − j r .

Al´em disso, os valores dos Bj podem ser deduzidos indutivamente da fun¸c˜ao HM(d)

via a f´ormula Bj = HM(j) − X k:k<j Bk r + j − k r .

Prova. A primeira fórmula é simplesmente um rearranjo da expressão dada na proposi¸cão 2.1.7, pois, dado Fi =

L

jS(ai,j) temos

HM(d) = m X i=0 (−1)iX j r + d − ai,j r = m X i=0 (−1)iX j βi,j r + d − j r =X j m X i=0 (−1)iβi,j r + d − j r =X j Bj r + d − j r .

Agora, para calcular Bj via a fun¸c˜ao de Hilbert HM(d) procedemos como segue.

(36)

digamos de grau j0, e pelo que vimos anteriormente temos HM(d) = 0 para d ≤ j0.

Segue que β0,j = 0 para todo j ≤ j0, e pela Proposi¸c˜ao 2.2.8 segue que β1,j = 0 para

todo j ≤ j0 e repetindo o argumento conclu´ımos que se j ≤ j0 ent˜ao βi,j = 0 para

todo i. Assim Bj = 0 para todo j ≤ j0. Como r+d−j_r = 0 quando d < j temos

HM(d) = d X j=0 Bj r + d − j r = d−1 X j=0 Bj r + d − j r + Bd r + d − d r = d−1 X j=0 Bj r + d − j r + Bd Assim, Bd = HM(d) − d−1 X j=0 Bj r + d − j r

(37)

Cap´ıtulo 3

Exemplos de Resolu¸

c˜

oes Livres

Existe uma constru¸cão de resolu¸cões baseadas em complexos simpliciais, tal cons-tru¸cão será feita através de ideais monomiais, contudo nem sempre vai ser uma re-solu¸cão minimal. Incluiremos os complexos de Koszul para estabelecer cotas superi-ores dos números graduados de Betti e também faremos a demonstra¸cão do Teorema de Hilbert das siz´ıgias.

3.1 Ideais monomiais e complexos simplicial

Nesta se¸c˜ao faremos uma revis˜ao da teoria de complexo simplicial finito. Para um tratamento maior sobre o assunto, veja [Bruns and Herzog 1998]

3.1.1 Complexo simplicial

Um complexo simplicial finito ∆ é um conjunto finito V, chamado de conjunto dos vértices de ∆, e uma cole¸cão F de subconjuntos de V, que são designados de faces de ∆, tal que se A ∈ F é uma face e B ⊂ A, então B também está em F e dizemos que B é uma subface de A. Uma face maximal é chamada de faceta.

Um simplexo é um complexo simplicial em que cada subconjunto de V é uma face. Para qualquer conjunto de vértice V podemos formar o complexo simplicial nulo, que não tem nenhuma face. Assim o conjunto vazio é necessariamente uma face de ∆. Por constru¸cão, chamamos o complexo simplicial que tem apenas a face ∅ por o complexo simplicial irrelevante em V .

(38)

Qualquer complexo simplicial ∆ tem uma representa¸cão geométrica a qual é um espa¸co topológico, fixado um complexo o seu conjunto de vértices de ∆ é um conjunto linearmente independente em um espa¸co vetorial real.

Uma orienta¸cão de um complexo simplicial consiste em uma ordena¸cão dos vértices de ∆. Deste modo, um complexo simplicial pode ter muitas orienta¸cões.

3.1.2 Representa¸

c˜

ao monomial

Diremos que ∆ é representado por monômios de S, se para cada vértice de ∆ existe um monômio de S que o representa. Neste caso representamos cada face A de ∆ pelo menor múltiplo comum dos representantes dos vértices de A e escrevemos mA

para tal monômio que representa A. Por conven¸cão, a representa¸cão da face vazia tomaremos como sendo m∅ = 1.

Seja ∆ um complexo simplicial orientado, e escreva I ⊂ S como sendo o ideal gerado pelos monômios mj = xαj que são os representantes dos vértices de ∆.

Asso-ciaremos a ∆ um complexo graduado de S-m´odulo livres C = C(∆; S) : · · · −→ Fi

δ

−→ Fi−1 −→ · · · δ

−→ F0,

onde os Fi s˜ao os S-m´odulos livres, cuja base consiste no conjunto formado pelas faces

de ∆ com i v´ertices, o diferencial δ ´e dado por δA =X

n∈A

(−1)pos(n,A) mA mA\n

(A\n), (3.1)

que as vezes é uma resolu¸cão de S/I, onde pos(n, A) é a posi¸cão do vértice n em A, ou seja, é o número de elementos precedente a n na ordena¸cão de A e A\n denota a face obtida de A removendo o vértice n.

Se ∆ não é nulo, então F0 = S, ou seja, é gerado pela face vazia, já os geradores

de F1 s˜ao os v´ertices de ∆ e

H0(C(∆)) = coker(F1 δ

−→ S) = S/I.

Fixaremos o grau da face A como sendo o expoente do monômio que representa a face A. Com respeito a esta gradua¸cão, o diferencial δ tem grau 0, e C(∆) é um Zr+1-graduado complexo livre.

(39)

o complexo de cadeia reduzida usual de ∆ com coeficientes em K, sua homologia ´e escrita como Hi(∆; K) e ´e chamada de homologia reduzida de ∆ com coeficientes em

S. A trocar em grau homológico acontece como segue: Hi(∆; K) é a (i + 1)-ésima

homologia de C(∆; K).

As homologias Hi(∆; K) e Hi(C(∆; S)) s˜ao independentes da orienta¸c˜ao de ∆, o

fato é que elas depende apenas da representa¸cão geom´_{etrica de ∆ e o anel K ou S.} Deste modo, frequentemente ignoramos orienta¸cões.

Dizemos que o complexo C(∆; S), para um arbitrário conjunto de monômios, é obtido estendendo escalares de K para S e homogeneizando a fórmula para o dife-rencial de C(∆; K) com respeito aos graus dos geradores dos Fi para os monômios de

∆.

Exemplo 3.1.1. Seja ∆ o complexo simplicial obtido atrav´es da figura

Figura 3.1:

com a orienta¸cão obtida ordenando os vértices da esquerda para a direita e usando a fórmula 3.1, o complexo C(∆) é 0 −→ S2(−3)−→ Sϕ2 3₍₋₂₎ ϕ1 −→ S, onde ϕ2 =    −x2 0 x1 −x1 0 x0   e ϕ1 = x0x1 x0x2 x1x2 .

Vamos verificar se este complexo ´e exato utilizando uma ferramenta que conhece-remos no cap´ıtulo 4.

´

E f´acil ver que ϕ2◦ ϕ1 = 0. Al´em disso,

(a) posto(ϕ1) = 1 e posto(ϕ2) = 2. Assim, posto(ϕ1)+posto(ϕ2) = 3 = posto(S(−2)3).

(b) I(ϕ1) = I(ϕ2) = (x0x1, x0x2, x1x2) logo prof(I(ϕ1)) ≥ 1 e prof(I(ϕ2)) ≥

2. O teorema 4.1.7 garante que F é exato. Assim F é uma resolu¸cão de S/(x0x1, x0x2, x1x2). Lembrando que devemos verificar a exatidão em três

(40)

Esta resolu¸c˜ao ´e representada pelo seguinte diagrama de Betti 0 1 2

0 1 - -1 - 3 2

.

Se tomássemos o mesmo complexo simplicial, mas agora com os monômios triviais, ou seja, os vértices representados por 1, teremos o seguinte complexo.

0 −→ S2 −→ Sϕ2 3 ϕ1 −→ S onde ϕ2 =    −1 0 1 −1 0 1    e ϕ1 = 1 1 1

representado pelo diagrama de Betti

0 1 2 -2 - - 2 -1 - 3 -0 1 -

-,

onde as homologias reduzidas s˜ao todas nulas.

Vamos agora em busca de um critério que nos dirá quando C(∆) é uma resolu¸cão de S/I, isto é, quando Hi(C(∆)) = 0 para i > 0, para tanto precisamos da seguinte

defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3.1.2. Sejam ∆ e m um monˆomio, escrevemos ∆m como sendo o

subcom-plexo de ∆ que constitui nas faces de ∆ cujo seu representante divide m.

Por exemplo, se m não é divis´ıvel por nenhum dos monômios que representam os vértices de um complexo simplicial ∆, então ∆m é o complexo simplicial vazio, ou

seja, sem vértices e a única face é a vazia. Por outro lado, se m é divis´ıvel por todos os representantes das faces de ∆, então ∆m = ∆.

Um subcomplexo completo de ∆ é um subcomplexo simplicial de ∆ que tem todas as faces de ∆ que envolve um conjunto particular de vértices. Note que todos os subcomplexos ∆m são completos.

3.2 Siz´ıgias de ideais monomiais

(41)

Teorema 3.2.1 ( Bayer, Peeva, e Sturmfels). Sejam ∆ um complexo simplicial representado pelos monˆomios m1, . . . , mt ∈ S e I = (m1, . . . , mt) ⊂ S o ideal em S

gerado pelos representantes dos vértices de ∆. O complexo C(∆) = C(∆; S) é uma resolu¸cão livre de S/I, se e somente se, a homologia reduzida Hi(∆m; K) for nula

para todo monˆ_{omio m e todo i > 0. Al´em disso, C(∆) ´e um complexo minimal, se e} somente se, mA6= mA0, para toda subface A0 de uma face A.

Prova. Considere o complexo

C(∆) : . . . −→ Fi δ

−→ Fi−1 −→ . . . δ

−→ F0,

por defini¸c˜ao de δ temos S

I ´e o cokernel de δ : F1 −→ F0. Vamos identificar a homologia do C(∆) em Fi como uma soma direta de copias de Hi(∆m; K).

Como o complexo C(∆) é graduado, isto é, os homomorfismo de conexão são homogˆ_{eneos de grau zero podemos calcular, para cada α ∈ Z}r+1_{, a homologia do}

complexo C(∆)α : . . . −→ (Fi)α δ −→ (Fi−1)α−→ . . . δ −→ (F0)α,

formado a partir da componente de grau α de cada modulo livre Fi em C(∆). Por

constru¸cão de C(∆) se qualquer das componentes de α forem negativas então temos que C(∆)α = 0, neste caso fica claro que a homologia é nula. Assim, podemos supor

que α ∈ Nr+1_.

Seja m = xα _{= x}α0

0 · x α1

1 · · · xαrr ∈ S, para cada face A de ∆, o complexo C(∆)

tem um somando direto S · A de posto 1, no qual como um espa¸co vetorial tem uma base que designamos por {n · A | n ∈ S, é um monômio}. O grau de n · A é o expoente de n · mA, onde mA é o representante da face A. Para calcular a parte de grau α de

S · A temos que ir atr´as de todos os monˆomios n em S tal que o expoente de n · mA

seja α, isto ´e,

(S · A)α =

(

K · (xα/mA) · A se mA|m

0 caso contr´ario.

Segue por defini¸cão que se mA|m então A é uma face de ∆m e suponha que A seja

uma face com i v´ertices, ou seja, A ´e um gerador de (Fi)α, agora suponha que A seja

um gerador de (Fi)α, assim (S · A)α = K·(xα/mA) · A, logo mA|m e portanto, A ´e uma

face de ∆m. Desta maneira temos uma bije¸c˜ao entre as faces de ∆m e o complexo

C(∆)α.

(42)

com os termos do complexo de cadeia reduzida de ∆m com coeficientes em K. Tendo

identificado C(∆)α com o complexo de cadeia reduzida de ∆m, temos que o complexo

C(∆) ´e uma resolu¸c˜ao de S

I, se e somente se, Hi(∆m; K) = 0 para todo i ≥ 0 como o desejado para a primeira afirma¸c˜ao.

Para a minimalidade, note que, se A é uma (i + 1)-face e A0 é uma i-face de ∆, então pela fórmula 3.1 temos que a componente do diferencial de C(∆) que mapeia S · A para S · A0 é 0 a menos que A0 ⊂ A, e neste caso, temos novamente pela fórmula 3.1 que ±mA/m0A6= 0 é a componente do diferencial de C(∆) que mapeia S · A para

S · A0. Assim, C(∆) ´e minimal, se e somente se mA6= mA0, ∀ A0 _{( A, como queremos.}

Exemplo 3.2.2. Continuaremos com o ideal (x0x1, x0x2, x1x2) como acima, para o

representante do complexo simplicial referente a figura 3.1. Os distintos subcomplexos ∆0 da forma ∆m s˜ao, o complexo vazio ∆1 e os complexos ∆x0x1, ∆x0x2, ∆x1x2, onde

cada um destes consiste em um único ponto e o complexo ∆, como cada um destes é um espa¸co contrátil temos que as homologias destes complexos são nulas, assim temos que o complexo C(∆) é uma resolu¸cão livre minimal de S/(x0x1, x0x2, x1x2), pois as

faces de ∆ s˜ao ∅, (x0x1), (x0x2), (x1x2), (x0x1, x0x2), (x0x2, x1x2) e temos mA 6= mA0,

para toda subface A0 de uma face A e pelo teorema 3.2.1 segue que a resolu¸c˜ao livre ´

e minimal.

Qualquer complexo completo de um simplexo é um simplexo, e como estes são contráteis, suas homologias reduzidas são nulas. Esta ideia dar um resultado impor-tante, que foi primeiramente provado em um modo diferente por Diana Taylor, veja [Eiserbut 1995, Exerc´ıcio 17.11].

O leitor interessado em estudar homologias reduzidas vide [Alexandre].

Corol´ario 3.2.3. Sejam I = (m1, m2, . . . , mn) ⊂ S um ideal de monˆomios e ∆ um

simplexo com n v´ertices, representados por m1, . . . , mn. O complexo C(∆) chamado

de complexo de Taylor de m1, m2, . . . , mn ´e uma resolu¸c˜ao livre de S/I.

3.2.1 Exemplos

(a) O complexo de Taylor ´e raramente minimal. Por exemplo, tomando (m1, m2, m3) = (x0x1, x0x2, x1x2),

(43)

Figura 3.2:

Com a orienta¸cão obtida ordenando os vértices no sentido anti-horário e usando a fórmula 3.1, o complexo C(∆) é 0 −→ S(−4)        x0 x1 x2        −→ S3(−3)        0 x2 −x1 −x2 0 x0 x1 −x0 0        −→ S3(−2) x0x1 x0x2 x1x2 −→ S,

esta resolu¸c˜ao ´e representada pelo seguinte diagrama de Betti 0 1 2 3

0 1 - - 1 1 - 3 3

-na qual não é minimal, pois a face A0 = (x0x1, x0x2) está contida na seguinte

face A = (x0x1, x0x2, x1x2), mas mA0 = m_A e pelo teorema 3.2.1 verificamos

que a resolu¸cão não é minimal.

(b) Podemos definir o complexo de Koszul K(x0, . . . , xr) de x0, . . . , xr como sendo

o complexo de Taylor no caso especial onde o mi = xi. Exibimos um exemplo

trivial no cap´ıtulo 2, para o teorema 2.1. O complexo de Koszul ´e uma resolu¸c˜ao livre minimal de K = S/(x0, . . . , xr).

Substituindo as vari´aveis x0, x1, . . . , xr por quaisquer polinˆomios f0, · · · , fr

ob-temos um complexo que escrevemos como K(f0, · · · , fr) no qual chamamos

de complexo de Koszul da sequˆencia f0, · · · , fr, quando os fi s˜ao elementos

(44)

se e somente se os fi formam uma sequˆencia regular. Veja [Eisenbud 1995,

Te-orema 17.6].

3.3 Uma cota superior para os n´

umeros de Betti

e prova do teorema de Hilbert das siz´ıgias

Podemos usar o complexo de Koszul e o teorema 3.2 para provar o teorema de Hilbert das siz´ıgias 1.1 que aparece na afirma¸cão da seguinte proposi¸cão. Encontramos também um caminho alternativo para achar o número graduado de Betti.

Proposi¸cão 3.3.1. Seja M um módulo graduado sobre S. O número graduado de Betti βi,j(M ) é a dimensão da homologia, no termo Mj−i⊗

i ^ Kr+1, do complexo F : 0 → Mj−(r+1)⊗ r+1 ^ Kr+1→ · · · → Mj−i−1⊗ i+1 ^ Kr+1→ Mj−i⊗ i ^ Kr+1→ · · · → Mj⊗ 0 ^ Kr+1→ 0.

Em particular temos βi,j(M ) ≤ HM(j − i) r+1_i . Assim, βi,j(M ) = 0 se i > r + 1

Prova. Para simplificar a nota¸c˜ao, seja βi,j = βi,j(M ). Pela Proposi¸c˜ao 2.2.5 temos

βi,j = dimKTori(M, K)j.

Como K(x0, . . . , xr) ´e uma resolu¸c˜ao de K, podemos calcular TorSi (M, K)j como a

parte de grau j da homologia de M ⊗SK(x0, . . . , xr) no termo

M ⊗S ∧iSr+1 = ∧i(M ⊗SSr+1) = ∧i(Mr+1) = ∧i(M ⊗KK

r+1_{) = M ⊗} K∧

i

Kr+1. Decompondo M em suas componentes homogˆeneas M = MMk temos que a parte

de grau j de M ⊗_K∧i

Kr+1(−i) ´e Mj−i⊗K∧ i

Kr+1. Como os diferenciais de M ⊗SK(x0, . . . , xr)

preserva grau, decompondo o complexo como uma soma direta de complexo da forma Mj−i−1⊗K∧ i+1 Kr+1 −→ Mj−i⊗K∧ i Kr+1 −→ Mj−i+1⊗K∧ i−1 Kr+1 temos o resultado desejado para a primeira afirma¸c˜ao.

(45)

Agora observe que

βi,j = dim(HiF )j = dim

ker (ϕi+1) Im(ϕi) j , onde Mj−i−1⊗K∧ i+1 Kr+1 ϕ−→ Mi+1 j−i⊗K∧ i Kr+1 −→ Mϕi j−i+1⊗K∧ i−1 Kr+1. Assim

βi,j = dim(ker (ϕi+1)) − dim(Im(ϕi)) ≤ dim(ker (ϕi+1)) ≤ dim(Mj−i⊗ ∧iKr+1)

= dim(Mj−i) · dim(∧iKr+1) = HM(j − i) ·

r + 1 i

(46)

Cap´ıtulo 4

Pontos em P

2

Uma das rela¸cões entre siz´ıgias e geometria é quando os objetos geométricos são conjuntos finitos de pontos em P2_{, apesar de existir diversos assuntos relacionados, o}

nosso objetivo ´_{e modesto, vamos apenas, dar um ideal e exibir um conjunto X ⊂ P}2 de tal maneira que a resolu¸c˜ao minimal livre e graduada do ideal formado pelas formas que se anulam neste conjunto de pontos tenha o mesmo diagrama do que a resolu¸c˜ao do ideal dado e relacionar com a geometria em casos simples.

Ao longo deste cap´ıtulo, S denota o anel graduado K[x0, x1, x2] e os S-m´odulos

serão finitamente gerados e graduados. Nestas hipóteses cada módulo admite uma resolu¸cão livre minimal na qual é única a menos de isomorfismo. Pelo corolário 2.2.6, o seu comprimento é igual a dimensão projetiva do módulo.

4.1 O ideal de um conjunto finito de pontos

Seja X ⊂ Pn _{um conjunto finito, escreveremos I = I(X) para representar o ideal}

gerado pelas formas que se anulam em X e vamos ver que, quando n = 2, I tem uma resolu¸c˜ao livre de comprimento 1.

Defini¸cão 4.1.1. Seja M um S-módulo. Um elemento x ∈ S é M -regular se xa 6= 0 para todo 0 6= a ∈ M . Uma sequência (x1, x2, x3, · · · , xr) de elementos em S é uma

M -sequˆencia ou uma M -sequˆencia redular se: (a) (x1, · · · , xr)M 6= M ;

(47)

Seja I ⊂ S um ideal. Dizemos que uma sequˆencia x1, . . . , xr de elementos de S ´e

uma sequˆencia em I se xi ∈ I para cada i.

Defini¸cão 4.1.2. Sejam I ⊂ S e M um S-módulo. A I-profundidade de M é o supremo dos comprimentos das M -sequências em I.

Nota¸c˜ao: prof_I(M ) = I-profundidade de M.

Na defini¸cão acima o supremo dos comprimentos da M -sequências quer dizer que a sequência não admite mais extensões próprias.

Existe várias nota¸cões diferentes na literatura para designar a profundidade de um módulo. Para evitar confusão, prof_I(S) será substitu´ıdo por prof(I), para indicar que M = S.

Defini¸c˜_{ao 4.1.3. Seja X ⊂ P}n uma variedade projetiva. A dimensão de X será o grau do polinômio de Hilbert PX.

Nota¸c˜ao: dim X = dimens˜ao de X.

Verifica-se pela demonstra¸cão do Corolário 4.1.15 que quando X é um conjunto finito de pontos em P2 a dimensão de X é igual a zero.

Lema 4.1.4. Se M é um S-módulo finitamente gerado e I ⊂ S é um ideal, então prof_IM ≤ dim M .

A demonstra¸c˜ao de tal resultado pode ser vista em [Eisenbud 1995].

Proposi¸cão 4.1.5. Se I ⊂ S é o ideal das formas que se anulam no conjunto finito X ⊂ P2, então I tem uma resolu¸cão de comprimento 1.

Prova. Pela f´ormula de Auslander-Buchsbaum temos pd(S/I) = prof(S) − prof(S/I). J´a pelo Lema 4.1.4 obtemos

prof(S/I) 6 dim S/I = dim SX = dim X + 1 = 0 + 1 = 1.

Seja X = {p1, . . . , pn} temos que,

I = I(X) = I n [ i=1 {pi} ! = n \ i=1 I(pi).

(48)

Logo, Ass (S/I) = {I(p1), . . . , I(pn)}. Certamente o ideal homogˆeneo maximal de S

n˜ao ´e um associado de S/I; logo, prof(S/I) > 0. Portanto, prof(S/I) = 1.

Sabendo que prof(S) = 3 temos pd(S/I) = 3 − 1 = 2, logo pd(I) = 1, pois I é o primeiro módulo de siz´ıgias na resolu¸cão livre de S/I.

4.1.1 O Teorema de Hilbert-Burch

O Teorema de Hilbert-Burch fornece informa¸cões sobre os ideais usando uma matriz ϕ2 de tamanho (n + 1) × n no qual é muito usado no estudo de anéis com

codimens˜ao 2. Para qualquer matriz ϕ com entradas em S denotemos por It(ϕ) o

ideal gerado pelos t × t subdeterminantes de ϕ.

Teorema 4.1.6 (Hilbert-Burch). Sejam S um anel e I um ideal n˜ao trivial pr´oprio de S. (a) Se o complexo F : 0 −→ F2 ϕ2 −→ F1 ϕ1 −→ S −→ S I −→ 0

é exato e F2 tem posto t, então F1 tem posto t+1 e existe um não divisor de zero

a tal que I = aIt(ϕ2). Na verdade a i-´esima entrada da matriz de ϕ1 ´e (−1)ia

vezes o menor obtido de ϕ2 deixando de fora a i-´esima linha, nessas condi¸c˜oes

o ideal It(ϕ2) tem profundidade exatamente igual a 2, isto ´e, profIt(ϕ2) = 2.

(b) Reciprocamente, dada a matriz ϕ2 de tamanho (t) × t + 1 de tal maneira que

prof(It(ϕ2)) ≥ 2, e um n˜ao divisor de zero a, a aplica¸c˜ao ϕ1 obtido como na

primeira parte, transforma F em resolu¸c˜ao livre de S_I, com I = aIt(ϕ2), nessas

circunstˆancias o ideal I tem profundidade 2, se e somente se, o elemento a ´e uma unidade.

A demonstra¸c˜ao de tal resultado pode ser vista em [Samuel].

Se ϕ é um mapa de S-módulos livres, escrevemos posto(ϕ) para o maior tamanho dentre os menores não nulos de ϕ e I(ϕ) para o ideal Iposto(ϕ)(ϕ). Fazemos a conversão

que I0(ϕ) = S, em particular, se ϕ ´e um mapa identicamente nulo, o posto de ϕ ´e

zero, assim, I(ϕ) = I0(ϕ) = S.

O próximo resultado fornece uma caracteriza¸cão de um complexo exato, no qual não faremos a prova, mas o leitor que tenha interesse na prova veja [Eisenbud 1995, o Teorema 20.9].

(49)

Teorema 4.1.7 (Buchsbaum-Eisenbud). Um complexo de m´odulos livres F : 0 −→ Fm ϕm −→ Fm−1 −→ · · · −→ F1 ϕ1 −→ F0

sobre um anel Noetheriano ´e exato, se e somente se,

posto(ϕi+1) + posto(ϕi) = posto(Fi) e prof(ϕi) ≥ i para cada i.

Considere agora S como sendo um anel de polinˆ_{omios em K}r+1_{. Se tomamos}

p = (p0, . . . , pr) ∈ Kr+1 temos que

K[x0, . . . , xr] ) I(p) = (x0 − p0, . . . , xr− pr),

o que nos levar a observar que o corpo

K(p) ' S I(p)

onde I(p) ´e o ideal gerado pelos polinˆomios que se anulam em p, e escrevemos F (p) : 0 −→ Fm(p)

ϕm(p)

−→ Fm−1(p) −→ · · · −→ F1(p) ϕ1(p)

−→ F0(p)

para o resultado de F tensorial com o corpo K(p). As matrizes ϕi(p) s˜ao obtidas

pelas matrizes ϕi avaliadas em p. Antes do pr´oximo resultado precisamos de algumas

terminologia. Dados F : 0 −→ Fm ϕm −→ Fm−1 −→ · · · −→ F1 ϕ1 −→ F0

o complexo de m´odulos livres sobre o anel de polinˆ_{omios S = K[x}0, . . . , xr], onde K

´

e um corpo algebricamente fechado e Xi ⊂ Kr+1 o conjunto dos pontos p tal que o

complexo F (p) não é exato em Fi(p), o nosso objetivo agora é encontrar uma rela¸cão

entre a exatid˜ao de F e F (p), para tanto prescisamos da seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 4.1.8. Seja Y ⊂ X uma subvariedade de X, dizemos que o seguinte número (dim(X) − dim(Y )) é a codimensão de Y em X.

Corol´ario 4.1.9. O complexo F ´e exato se e somente se para cada i o conjunto Xi

descrito acima ´e vazio ou codim(Xi) ≥ i.

(50)

Ini-cialmente vamos mostrar que F ´e exato se e somente se profIri(ϕi) ≥ i para cada

i ≥ 1.

Suponha que F seja exato, ent˜ao pelo teorema 4.1.7 dispomos

posto(ϕi+1) + posto(ϕi) = posto(Fi) e profI(ϕi) ≥ i para cada i,

para o desejado, basta mostrar que ri = posto(ϕi) para cada i, no qual faremos isso

por indu¸c˜ao decrescente. Observe que rm = posto(ϕm), suponha ri+1 = posto(ϕi+1)

e vamos mostra que ri = posto(ϕi), no inicio da demonstra¸c˜ao fixamos

ri = posto(Fi) − posto(Fi+1) + . . . + (−1)m−iposto(Fm) =

= posto(ϕi+1) + posto(ϕi) − posto(ϕi+2) − posto(ϕi+1) · · · + (−1)m−i(posto(ϕm+1) + posto(ϕm))

eliminando os termos de sinais opostos e observando que posto(ϕm+1) = 0 temos que

ri = posto(ϕi).

Por outro lado, suponha que profIri(ϕi) ≥ i, da´ı ri ≤ posto(ϕi) para cada i ≥ 1,

logo posto(Fi) = ri+1+ri ≤ posto(ϕi+1)+posto(ϕi), assim, posto(Fi) = posto(ϕi+1)+

posto(ϕi) e temos que F ´e exato.

Seja

Yi = {p ∈ Kr+1 | posto(ϕi(p)) < ri},

e defina o conjunto alg´ebrico de Iri(ϕi) por

Z(Iri(ϕi)) = {x ∈ K

r+1_{| ϕ}

i(x) = 0 ∀ ϕi ∈ Iri(ϕi)},

assim temos que Yi = Z(Iri(ϕi)). Como o anel de polinˆomios S ´e Cohen-Macaulay

a profundidade de Iri(ϕi) é igual a codimensão deste anel, na qual é a mesma que a

codimensão de Yi. Segue que F é exato se e somente se a codimensão de Yi em Kr+1

´

e maior ou igual a i para cada i ≥ 1.

Mas, para que o complexo F (p) seja exato em Fj(p) ´e necess´ario e suficiente que

posto(ϕj+1(p)) + posto(ϕj(p)) = posto(Fj(p)),

tendo em vista que F (p) ´e um complexo, isso ´e o mesmo que dizer posto(ϕj+1(p)) + posto(ϕj(p)) ≥ posto(Fj(p)),