6 A GRAVITAÇÃO DE NEWTON
9 QUESTÕES DOS VESTIBILARES DO ITA de 165 a
1. (ITA -1965) Admitindo-se que a aceleração da gravidade seja de g=9.81m/s^2 ao nível do mar,
pode-se dizer que a uma altitude igual ao raio da Terra acima do nível do mar (nível do mar entende-se como nível médio do mar), a aceleração da gravidade vale aproximadamente:
a) 2.45m/s^2 b) 4.90m/s^2 c) 9,81m/s^2 d) 16.92m/s^2 e) 9.62m/s^2 RESOLUÇÃO
É uma questão simples e fácil, apenas para aplicar na fórmula da aceleração da gravidade a uma determinada altura.
A resposta é a letra A.
2. (ITA -1969) Sabendo-se que a massa da Terra é aproximadamente 80 vezes a da Lua e que seu raio é aproximadamente 4 vezes maior, um astronauta descendo na superfície da Lua faz oscilar um pêndulo simples de comprimento L e mede seu período TL. Comparando com o período TT desse mesmo pêndulo medido na Terra ele observa que:
a) TT 80 TL b) TL 80 TT c) TL 16 TT d) TT 16 TL e) TT 0,4 TL RESOLUÇÃO
O período de oscilação de um pêndulo para pequenos ângulos de oscilação pode ser calculado pela seguinte equação...
Onde l é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. A ideia desse problema é comparar o período do pêndulo na Lua com o período do pêndulo na Terra, considerando o mesmo pêndulo e com mesmo comprimento. A gravidade na Lua é menor, pois possui menor massa.
Podemos então ver quanto é a gravidade na Lua...
Só que do enunciado a massa da Lua é 80 vezes menor que a massa da Terra, e o raio da Lua é 4 vezes menor que o raio da Terra. Vamos transformar essas informações em maneira matemática...
Agora dá para descobrir a gravidade na Lua em função da gravidade na Terra...
A gravidade na Lua é cinco vezes menor que a gravidade na Terra... Então é só aplicar na equação do pêndulo para Terra e para a Lua...
Pelos cálculos, a alternativa correta é E.
3. (ITA -1969) Em seu livro, “Viagem ao Céu”, Monteiro Lobato, pela boca de um personagem, faz a seguinte afirmação: “quando jogamos uma laranja para cima, ela sobe enquanto a força que produziu o movimento é maior do que a força da gravidade. Quando esta se tornar maior a laranja cai”. (Despreza-se a resistência do ar)
a) a afirmação é correta pois, de F = ma, temos que a = 0 quando F = 0, indicando que as duas forças se equilibraram no ponto mais alto da trajetória;
b) a afirmação está errada porque a força, exercida para elevar a laranja, sendo constante, nunca será menor que a da gravidade;
é a da gravidade;
d) a afirmação está correta porque está de acordo com o princípio de ação e reação;
e) a afirmação está errada porque não satisfaz o princípio de conservação da quantidade de movimento.
RESOLUÇÃO
Nas proximidades na superfície da Terra, a força de atração gravitacional pode ser considerada constante. Ao ser lançada para cima ela parte com uma velocidade inicial causada pelo impulso aplicado pela mão. Ao ser liberada para subir, a única força que atua sobre a maçã é a força da gravidade, que por ter sentido oposto ao do movimento ascendente da maçã, começa a desacelerar a fruta. A subida da fruta acontece enquanto a velocidade não atingir zero, após isso, a maçã cai acelerando.
A resposta correta é a C.
4. (ITA – 1971) A aceleração da gravidade a acima da superfície terrestre (o raio da
Terra é igual a vale aproximadamente: a)
b)
c) d)
e) Nenhuma das respostas acima é válida;
RESOLUÇÃO
Nos primeiros vestibulares do ITA, as questões de gravitação eram bastantes simples, apenas cobrando um conhecimento básico da teoria, como pode ser visto nesta questão. Creio que isso se deva ao fato de que em 1971, a corrida espacial estava no seu inicio e dois anos antes o homem chegava à Lua.
O que mostra que...
Então colocamos na formula conhecida:
Resposta Letra A.
5. (ITA – 1971) Considerando os dados e o resultado da questão anterior verifique que o período
de revolução de um satélite artificial colocado em órbita circular da Terra naquela altitude é de aproximadamente: a) 90 min; b) 90 s; c) 22 h; d) 24 h; e) 12h. RESOLUÇÃO
Sendo que naquela altura a aceleração da gravidade é a aceleração centrípeta, é só recordar o movimento circular que:
A aceleração centrípeta é a aceleração da gravidade na altitude pedida.
Para achar o valor de T, temos que isolá-lo.
Como 6.6 e 6.4 são muito próximos, podemos arredondar para 6.5 para podermos obter a raiz quadrada... A resposta é a letra C.
6. (IME – 1974) Um astronauta equipado, utilizando o esforço máximo, salta 0,60m de altura na
superfície terrestre. Calcular o quanto saltaria na superfície lunar, nas mesmas condições. Considerar o diâmetro e a densidade da lua como ¼ e 2/3 dos da Terra, respectivamente.
RESOLUÇÃO
Quando se arremessa algo para cima ou se salta, acontece que se parte de uma velocidade inicial e devido a aceleração da gravidade que é contra, o corpo em questão tem sua velocidade diminuída enquanto sobe. Chegará um momento, após percorrer uma altura que sua velocidade é nula. Nesse ponto ele começa a descer, acelerando até encontrar o solo novamente. Assim, para saber a altura do salto, basta saber o espaço percorrido na vertical até zerar a velocidade.
Mas como calcular a altura máxima?? Bom, verifica-se nesse caso que temos um problema de movimento uniformemente acelerado. Para quem não se lembra, a relação das velocidades e distancia percorrida pode ser calculada através da fórmula de Torricelli...
Então para h máximo é só substituir a velocidade final por zero e a aceleração por g. Lembre-se que neste caso como g se opõe ao movimento, deve ser a=-g.
Agora vamos comparar os dois casos. Para saltos na Terra e na Lua podemos escrever da seguinte maneira, supondo as mesmas condições iniciais:
As duas equações tem a velocidade inicial como ponto em comum, então igualando ambas à velocidade inicial... Igualando as velocidades... Rearrumando fica:
Mas já vimos as relações de acelerações entre dois planetas e é para o caso da Terra e da Lua da seguinte maneira:
Então veja o que precisamos. Precisamos das duas relações de massa e raio
Só que não temos a massa da Terra e da Lua e nem os raios... precisamos achar. Olhando o enunciando eles nos dão dicas. Observem...
Do enunciado, sabe-se que diâmetro da Lua em relação á Terra é ¼
Como diâmetro é duas vezes o raio...
A densidade da Lua é 2/3 da densidade da Terra. E agora? Sem pânico. A densidade é um medida que diz quanto de massa há em um volume.
Para achar a massa, é só multiplicar a densidade pelo volume.
A relação das densidades, pelo enunciado é
Nós sabemos a relação entre as densidades da Terra e da Lua, mas não temos o volume. E agora? Agora que vamos considerar que a Terra e a Lua são esferas perfeitas. O volume de uma esfera é calculado por:
Como temos os raios de ambas, os volumes ficam:
Agora podemos montar uma relação que divide a massa da Terra pela massa da Lua. Parece complicado, mas vai ter um monte de cancelamento que vai simplificar. Note que vou substituir tudo e tem termos que vão se cortar:
Colocando as densidades também:
Agora começar a cortação de termos e tudo isso se resume à...
Simplificou para isso e substituindo os raios, chegamos no resultado
Finalmente chegamos que a relação entre as massas é
Agora podemos relacionar as duas gravidades
A gravidade na Lua é seis vezes menor que a gravidade na Terra, por isso os astronautas saltam. Então finalmente voltamos para relação das alturas desenvolvida anteriormente:
Usando o salto na Terra é 0.60m, portanto o mesmo salto na Lua é
Mais alto que uma casa! Bizarro hein?
7. (ITA – 1974) A energia potencial de um corpo de massa m na superfície da Terra é –
G MTm/RT. No infinito essa energia potencial é nula. Considerando-se o princípio de conservação da energia (cinética + potencial), que velocidade deve ser dada a esse corpo de massa m (velocidade de escape) para que ele se livre da atração da Terra, isto é, chegue ao infinito com v = 0? G = 6,67 x 10-11 N.m2 . kg-2; MT = 6,0 x 10-24 kg; RT = 6,4 x 106 m. Despreze o atrito com a atmosfera.
a) 13,1 m/s b) 1,13 x 103 m/s c) 11,3 km/s d) 113 km/s
e) Depende do ângulo de lançamento.
RESOLUÇÃO
Essa questão é basicamente a definição de velocidade de escape. Vamos relembrar... Para que um corpo chegue ao infinito com velocidade nula, temos que no infinito a energia potencial é nula e a energia cinética é nula. Nas questões de energia o macete é sempre colocar a condição de energia inicial e final. A condição inicial é na Terra enquanto que final é no infinito.
A resposta é alternativa C de Corinthians, o Campeão dos Campeões!
8. (ITA – 1974) Os satélites de comunicação (chamados síncronos) permanecem praticamente
estacionários sobre determinados pontos do equador terrestre. Com referência a esse fato, ignorando o movimento de translação da terra:
a) Um observador terrestre que esteja sob o satélite diz que ele não cai porque está fora da atração da gravidade.
b) Outro dirá que ele não cai devido ao campo magnético que envolve a terra.
c) Um terceiro invoca a terceira lei de Newton e explica que existe uma reação igual e oposta à atração da gravidade.
d) Um observador que estivesse no sol explicaria o fenômeno como um movimento circular uniforme sob a ação de uma força única, centrípeta.
e) Nenhuma das afirmações acima é correta.
RESOLUÇÃO
O observador da alternativa A está noiado, pois a força gravitacional só se anula se as massas forem nulas que não é o caso.
O observador da alternativa b está bêbado chorando as mágoas pela mulher que lhe deixou e por isso afirmou erroneamente (dor de amor dói demais num coração apaixonado, haja Arroxa!), pois o campo magnético da Terra não tem nem intensidade para chegar a ter algum efeito relevante na órbita geoestacionária.
O observador em da alternativa c tomou chá de fita K7 e ficou muito louco, pois a não há força oposta. O observador em d falou algo coerente visto que a força que mantém o satélite em órbita circular é a força centrípeta, que o atrai ao centro.
A resposta certa é a alternativa D.
9. (ITA – 1977) Uma das conclusões expressas nas famosas leis de Kepler foi sobre o movimento
dos planetas em órbita elípticas, das quais o Sol ocupa um dos focos.
a) esta conclusão foi uma consequência, e portanto posterior, do enunciado das leis da Mecânica de Newton.
universal e nos princípios de Mecânica Clássica que ele próprio havia proposto. c) esta conclusão não apresenta nenhuma relação com o movimento dos engenhos conhecidos como
satélites artificiais da Terra.
d) o movimento da Lua em torno da Terra é de natureza diferente daquele descrito por Kepler. e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.
RESOLUÇÃO
Os trabalhos de Kepler se basearam em observações práticas de Tycho Brahe (o cara do duelo de espadas que ficou sem nariz). Kepler analisou os dados de Brahe e propôs suas leis que eram basicamente leis cinemáticas. Newton por sua vez usou as leis de Kepler incluindo aspectos dinâmicos e assim concebeu os princípios da gravitação universal.
A alternativa correta é E.
10. (ITA – 1977) A relação entre o valor da aceleração da gravidade na superfície da Terra e os valores da constante de gravitação universal, massa e raio da Terra:
a) é resultado de uma fórmula empírica elaborada pelos astrônomos e válida para qualquer planeta de
forma esférica.
b) dá o valor correto da aceleração da gravidade em qualquer ponto da Terra desde o pólo até o equador.
c) pode ser obtida teoricamente, tanto no caso da Terra como no caso de um planeta qualquer de forma esférica, homogêneo e que não esteja em rotação em torno de um eixo relativamente a um sistema de
referência inercial.
d) dá o valor correto de g mesmo para pontos internos à superfície da Terra desde que R seja interpretado como a distância entre este ponto e o centro da Terra. e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.
RESOLUÇÃO
A alternativa a não veio de resultados empíricos e não se prende apenas à planetas de forma esférica. É uma equação geral.
A alternativa b está errada, pois a aceleração da gravidade deve considerar a latitude, pois a rotação da Terra afeta a gravidade de acordo com a latitude.
A alternativa c é valida, pois a equação pode ser derivada da equação da força gravitacional de Newton e dá a aceleração da gravidade para um planeta homogêneo sem rotação em torno do eixo do planeta.
A gravidade interna depende da densidade e considera a Terra como uma massa esférica e homogênea. A resposta certa é alternativa C de Carpe Diem que em Latim significa “Aproveite o Dia”
11. (ITA – 1978) Duas estrelas de massa “m” e “2m”, respectivamente, separadas por uma
dist ncia “d” e bastante afastada de qualquer outra massa considerável, executam movimentos circulares em torno do centro de massa comum. Nestas condições, a mínima quantidade de energia necessária para separar completamente as duas estrelas em função da constante universal de gravidade “G”, será dada por:
a) – Gm2/d b) + Gm2/d c) + 2Gm2/d d) -2Gm2/d
e) Nenhum dos valores acima
RESOLUÇÃO
As duas estrelas estão longe de qualquer massa considerável, podemos então assumir que as interações gravitacionais relevantes é devido a atração gravitacional gerada pelo par de estrelas.
Sendo que as duas estrelas giram, o cenário energético para cada estrela é que as duas têm energia cinética e energia potencial gravitacional não nulas.
Agora vem a parte crucial... Considere as duas estrelas binárias como um sistema. Esse sistema possui uma energia mecânica que é a soma da energia potencial mais a energia cinética de ambas.
Para separar as duas estrelas completamente, devemos fazer com que as estrelas estejam separadas por uma distancia tão grande que pode ser considerada que uma delas foi levada ao infinito.
Vimos na teoria que a energia potencial para uma partícula no infinito faz com que a distância d aumente tanto, que no final o valor da energia potencial é praticamente zero.
Para a energia cinética, as estrelas, ao serem separadas, devem ter velocidade nula. Assim garantimos que elas não vão se mover uma em direção a outra.
Resumindo temos a seguinte situação onde aplicando um trabalho ao sistema inicial para que na situação final a energia mecânica seja nula
Porém não temos as velocidades, mas isso não é um problema. Veja como sai de boa...
Cada estrela gira em torno do centro de massa do sistema, assim, para realizar o movimento circular é preciso que haja uma força centrípeta. A força centrípeta neste caso é a força gravitacional entre elas... As estrelas têm massas diferentes, o raio de rotação para cada uma é diferente.
Para calcular o centro de massa, devemos escolher um referencial, neste caso definimos que é na estrela de massa 2m. Da teoria, a velocidade de cada estrela é...
Vai ficar tudo simplificado...
12. (ITA – 1978) O trabalho necessário para levar a partícula de massa M/3 do ponto “A” até o
ponto “B”, em função da constante universal de gravitação “G”, quando essa partícula se encontra sob a ação de 2 massas, “M” e “2M”, conforme figura abaixo, será dado por:
a) + 9GM2/2D b) - 9 GM2/2D c) + GM2/2D d) - GM2/2D
e) Nenhum dos valores acima.
RESOLUÇÃO
A energia potencial da partícula em questão é a soma de da energia potencial gravitacional devido à interação com as massas M e 2M.
Há duas situações a se considerar: a inicial e a final. Vamos calcular as duas situações. Energia da condição inicial é a soma das energias potencial devido a particular M e 2M.
Energia da condição final é a soma das energias potencial devido a particular M e 2M.
O trabalho, portanto é... A resposta é a alternativa C.
13. (ITA – 1979) Deseja-se colocar em órbita da Terra um satélite ST e, em órbita da Lua um satélite
SL, de modo que ambos tenham o mesmo período de revolução. Dados:
Raio da Terra: RT 6,37 x 10^6 m Raio da Lua: RL 1,74 x 10^6 m Massa da Terra: MT 5,98 x 10^24 kg Massa da Lua: ML 7,34 x 10^22 kg Nestas condições, pode-se afirmar que:
a) isto não é fisicamente possível
b) se rLé a distância entre os centros de SL e da Lua e rT a distância entre os centros de ST e da Terra, então, rL = rT
c) a distância de ST´à superfície da Terra será maior do que 1,1 x 106 m
d) os segmentos que unem SL ao centro da Lua e ST ao centro da Terra descrevem áreas iguais em tempos iguais.
e) a distância de ST à superfície da Terra deve ser igual à distância de SL à superfície da Lua
RESOLUÇÃO
No caso do período de revolução do satélite da Terra...
Para que a os períodos sejam iguais devemos ter itens comuns nas duas equações para podermos fazer um comparativo e tirar a conclusão. Então vamos nessa!!
Vamos agora igualar as duas equações...
Os dados mostram que
Sendo o raio da órbita da Lua igual a 1,74x106 m, este seria o menor raio para SL, portanto, o raio de ST seria...
O raio da Terra igual a 6,37x106
A altura máxima de voo de ST é
A resposta correta é a alternativa C.
10. (ITA - 1980) Um foguete lançado verticalmente, da superfície da Terra, atinge uma altitude
máxima igual a três vezes o raio R da Terra. Calcular a velocidade inicial do foguete.
a) , onde M é a massa da Terra e G constante gravitacional.
b)
c)
d)
e)
RESOLUÇÃO
Essa questão é aplicação básica do principio da conservação de energia...
Na situação inicial, na superfície da Terra, o foguete tem energia cinética e potencial. A energia potencial neste caso se refere à uma distancia do centro da Terra igual ao raio da Terra.
Na situação final, teremos apenas a energia potencial gravitacional, pois se considera a altura máxima igual a três vezes o raio da Terra. Como é a altura máxima, considera-se que neste ponto não há velocidade, portanto, energia cinética nula. A energia potencial neste caso se refere a uma distancia de quatro vezes o raio da Terra.
A resposta correta é a alternativa a de Alter-do-Chão, belíssimo balneário com praias de água doce, areia branca e fina em Santarém, Pará, minha cidade-natal!!!
11. (ITA - 1981) Um satélite artificial de dimensões desprezíveis gira em torno da Terra em órbita
circular de raio R. Sua massa é m e a massa da Terra é M (muito maior que m). Considerando a Terra como uma esfera homogênea e indicando a constante de gravitação universal por G, podemos afirmar que:
a) A aceleração normal do satélite é dirigida para o centro da Terra e sua aceleração tangencial vale GMR-2.
b) Se a atração gravitacional pudesse ser substituída pela ação de um cabo de massa desprezível, ligando o satélite ao centro da Terra, a tensão nesse cabo seria dada por GmM / (2R^2).
c) Em relação ao satélite, a Terra percorre uma circunferência de raio mR/M. d) O período de rotação do satélite é 2
e) A Terra é atraída pelo satélite com uma força de intensidade m/M vezes menor que a força com a qual o satélite é atraído pela Terra.
RESOLUÇÃO
A alternativa a está errada, pois em órbita circular não temos aceleração tangencial. Se houvesse aceleração tangencial, o satélite mudaria de raio de órbita, podendo até mesmo adquirir energia cinética tal que sua energia mecânica permitisse a ele ir embora para o infinito.
A alternativa b está errada, pois não percorreria uma circunferência de raio GmM / (R^2). A alternativa e está correta porque a Terra e o satélite sentem a mesma força de atração. A resposta correra é a alternativa D.
12. (ITA - 1982) Sendo R o raio da Terra, suposta esférica, G a constante da gravitação universal, g1
a aceleração de queda livre de um corpo no Equador, g2 a aceleração de queda livre no pólo Norte, M a massa da Terra, podemos afirmar que:
a) b) c) g2 é nula d) g1 é nula e) RESOLUÇÃO
A aceleração da gravidade no equador é menor que a aceleração da gravidade nos polos devido a rotação na Terra, assim descartamos as opções a, c e d. A alternativa correta é a b pois, como nos polos a rotação da Terra não causa diferença, temos que ...
Ao isolarmos a massa, obtemos a letra b.
A resposta correta é a letra B.
13. (ITA - 1983) Sabendo-se que a energia potencial gravitacional de um corpo de massa M (em kg)
a uma distância r (em metros) do centro da Terra é Ep = (-4,0 x 10^14 ) , qual será a velocidade de lançamento que o corpo deve receber na superfície da Terra para chegar a uma distância infinita, com velocidade nula?
(Ignore o atrito com a atmosfera e considere o raio da Terra como 6,4 x 10^6m). a) 1,25 x 104 m/s b) 5,56 x 104 m/s c) 22 km/s d) 19,5 x 103 m/s e) 1,12 x 104 m/s RESOLUÇÃO
Novamente é uma questão de aplicação do principio da conservação da energia. A diferença é que neste caso já foi dada a energia potencial. Note que a energia potencial dada é a um distância r do centro da Terra...
Não sabemos quanto é esse r e nem sabemos a massa M do corpo. E nem precisamos, visto que se queremos saber a velocidade de lançamento do corpo, precisamos da energia potencial na superfície da Terra...
Para chegar ao infinito com velocidade nula, as energias cinética e potencial devem ser nulas.
A resposta correta é a letra E.
14. (ITA - 1983) Uma espaçonave de massa 2000 kg está a 3,0 x 10^8 m da terra (MT = 6,0 x 10^24
kg). A terra, espaçonave, Lua (ML = 7,4 x 10^22 kg) e o sol (MS = 2,0 x 10^30 kg) estão alinhados, com a Lua entre a Terra e o sol.
A distância da terra a lua é de 4,0 x 10^8 m, a distância da terra ao sol é de 1,5 x 10^11 m e a constante de gravitação é 6,7 x 10^-11 N m2/kg2. A força resultante sobre a espaçonave é:
a) 4,0 N no sentido da espaçonave ao sol b) 4,0 N no sentido da espaçonave a terra c) 3,0 no sentindo da espaçonave ao sol d) 4,0 x 103 N no sentido da espaçonave ao sol e) 3,0 x 103 N no sentido da espaçonave a terra .RESOLUÇÃO
Esta questão é simplesmente o cálculo da resultante de forças alinhadas. O Sol, a Terra e a Lua exercem força gravitacional sobre a nave conforme a figura que mostramos na sequencia.
Há três forças envolvidas nesta situação acima descrita: Força de atração entre o Sol e a Nave
Força de atração entre a Lua e a Nave Força de atração entre a Terra e a Nave O diagrama de forças fica da seguinte forma:
A força resultante pode ser calculada pelos vetores que tem mesma direção através de uma soma