TEORIA E MAIS 90 QUESTÕES RESOVILDAS SOBRE GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

2016-a

HOUSTON, WE

HAVE PROBLEMS

HERE

TEORIA E MAIS 90 QUESTÕES RESOVILDAS

SOBRE GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

Por Miguel Angelo Sampaio

1 PREFÁCIO E MOTIVAÇÂO

O Instituto Tecnológico de Aeronáutica é a escola de engenharia da Força Aérea Brasileira. Conhecido nacional e internacionalmente pela qualidade do ensino de engenharia. Também é conhecido pelo seu concurso de admissão que tem a fama de ser bastante difícil. De fato é pelos seguintes motivos: conteúdo de matérias bastante extenso, questões de nível de dificuldade elevado, trinta questões por prova de cada matéria, apenas quatro horas para resolvê-las. As questões cobradas nas provas exigem bastante conhecimento dos assuntos, maturidade matemática e agilidade e raciocínio rápido. Monta-se aí um cenário complicado para um aluno de escolas públicas brasileiras, cujo ensino está aquém do necessário para que este aluno de escola pública tenha condições de competir com os cerca de 8 mil candidatos (média) que todos os anos concorrem a uma vaga no ITA.

Sendo o ITA, um instituição pública federal, seu acesso é gratuito e para todos os brasileiros que desejarem desde que esteja na lista de classificados do concurso. Vemos então que este acesso não é tão livre assim. Alunos com poucos recursos financeiros para pagar cursos preparatórios específicos e com boas escolas saem em desvantagem com relação a alunos que puderam ter boas escolas e acesso à material e professores capacitados para a prova do ITA. Há casos de alunos que moram em cidades pequenas ou cidades muito distantes dos grandes centros e que também não tem acesso a uma educação de alto nível que os prepare para o vestibular do ITA.

Vendo essa necessidade de acesso a bons materiais de estudo, há alguns anos, por volta de 2010, eu criei um canal com vídeo-aulas no Youtube, chamado Estuda Emanuel. Esse canal surgiu de um pedido de um dos meus primos, (Emanuel) de uma ajuda para estudar para o vestibular do ITA. Como eu estava no sudeste do Brasil e ele em Santarém, Pará, a melhor forma seria fazer vídeos com resoluções. Alguns vestibulandos viram os vídeos e acharam bons e com isso pediram para que fossem compartilhados e que mais vídeos foram produzidos. Foi então que cheguei a mais de centenas de vídeos com resoluções de questões do ITA nas matérias de Física, Química e Matemática.

Apesar do sucesso do canal, vi que as pessoas tinham dificuldades de acompanhar as resoluções por falta de embasamento teórico. Isso era causa de desmotivação e muitas vezes desistências de alunos que não possuíam boa estrutura de ensino. Entendi que precisava ajudar ensinando a teoria para que pudessem compreender as resoluções. Foi então que criei um site chamado Projeto ITA Para Todos, onde lá se concentravam os links para todas as vídeo aulas de teoria e de resolução de exercícios. Nesse site, há matérias completas como teoria explicada e com exercícios. Atualmente não consegui cobrir todos os conteúdos programáticos do ITA por falta de tempo. Esse é um trabalho pesado e que consome muito tempo.

Tudo isso é feito de forma gratuita e não cobro nenhum centavo pelas vídeo aulas e nem outro tipo de apoio. Não há motivação financeira, não propaganda envolvida. Apenas o desejo de ajudar, de compartilhar o conhecimento e poder ajudar as pessoas melhorarem de vida.

Entendo que é muito triste estudarmos muito, aprendermos bastante para depois levarmos tudo isso para o túmulo sem compartilhar, sem cooperar com a melhoria da sociedade, sem colocar nossos tijolos no muro. Esse trabalho é o retorno do que tenho recebido de bom dado pela vida e espero sinceramente que isso crie uma corrente do bem e que mais e mais pessoas se inspirem em ajudar, em compartilhar e correr juntos.

Agora eu apresento este livro na qual dediquei muitos dias na sua preparação, tentando ser o mais didático, mais claro e detalhado possível, usando uma linguagem mais acessível e mais leve. A ideia é poder dar acesso aos alunos menos favorecidos, acesso à materiais de estudo que estão em livros e apostilas de cursinhos caros.

Apesar de ser voltado aos alunos mais humildes, esse livro é feito para todos que se interessam por ciência e tecnologia, sejam ricos ou pobres.

Para acessar o site: https://sites.google.com/site/itaparatodos/home

2 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

Este livro é focado em gravitação universal e outros assuntos relacionados a ciência e tecnologia espacial. Buscamos resolver todas as questões do vestibular do ITA desde 1965, totalizando mais de 50 anos de provas. Todas as questões tem resolução detalhada, com explicações das principais ideias e técnicas usadas para resolver as questões. Questões adicionais foram incluídas, algumas delas foram criadas por mim, outras foram baseadas em livros de engenharia e de física básica. O objetivo é ter questões diferentes que estimulem os mais diferentes pontos de vista, combinando conhecimento do assunto, prática matemática e elo com aspectos práticos e tecnológicos.

Procurei fazer diferente dos demais livros que já vi. Inclui nos primeiro capítulos informações sobre a astronomia, astrofísica e a evolução da ciência e da engenharia. O propósito é fazer o leitor perceber a importância do estudo do espaço e mostrar que as ciências espaciais estão mais próximas do nosso cotidiano do que pensamos. Esse ideal foi adquirido após minha participação em um dos cursos da International Space University, ISU, mais precisamente o Southern Hemisphere Summer Space Programa 2013, que aconteceu na University of South Australia, em Adelaide, Austrália. Lá aprendi a importância do chamado Space Awareness e compreendi que o espaço sideral é um recurso natural valioso, limitado e que a humanidade está poluindo de forma descontrolada.

Como esse é um trabalho solitário, apesar das diversas revisões no texto que foram feitas, pode haver falhas, inconsistências que passaram pelo meu crivo. Por isso, peço que me ajudem a melhorar o texto para a nova versão que deve sair logo após cada vestibular do ITA para contemplar novas questões de gravitação. Estou aberto às críticas construtivas, comentários sinceros e tudo que possa agregar para melhoria do livro. Deixo o meu contato para comunicação comigo e tão logo eu tenha disponibilidade, terei maior prazer em responder.

Este material destina-se a ser gratuito, portanto, autorizo a cópia, impressão, divulgação,

compartilhamento em sites, em grupos, redes socais, emails, desde que não seja para fins comerciais.

Proíbo o uso do mesmo como mercadoria de comercialização. Qualquer ação gratuita é valida e

autorizada.

3 INSTRUÇÕES DE USO

Este livro contém a resolução de muitos problemas do ITA. Portanto, requerem conhecimentos básicos de Física. Tentei revisar o que pude, dosando para não criar um livro extenso demais. Se você não tem muita prática em conceitos básicos de física, recomendo fortemente que primeiro se exercite bem com problemas de livros de ensino médio de forma que você possa ter mais clareza e entendimento dos assuntos.

Este livro é para ser um complemento/aprofundamento aos seus estudos, te ajudando a entender resoluções de questões complexas. Não o use ainda não estiver seguro o suficiente em técnicas algébricas, como fatoração, radiciação, simplificação, resolução de equações de primeiro e segundo grau, funções algébricas, geometria plana, geometria espacial, operações com vetores, leis de Newton e princípios de dinâmica.

Procurei mesclar assuntos como Geometria Analítica, Eletricidade, Teoria dos Gases entre outros. Em novas edições do livro, pretendo trazer mais problemas desafiadores e interessantes. Por isso, o use como complemento final e aprofundamento.

Muito importante é você tentar fazer as questões sozinhas, sem olhar as resoluções de primeira. É errando que se aprende. Ao tentar resolver por si só, você irá criar novas conexões cerebrais ligadas ao assunto e quanto mais você forçar suas ideias, mais fácil fixará quando errar e olhar a resolução. Nada que vem fácil agrega demais ao indivíduo. Assim, se você já for olhar de primeira a resolução dificilmente aquilo vai te marcar. Então para cada questão, tente resolver sozinho ou em grupo.

Outra dica: dê um descanso para seu corpo e mente. Uma pessoa exausta não renderá tanto quanto uma pessoa descansada. Por isso, não passe longas horas de estudo sem uma pausa para espairecer e renovar as forças.

Sempre que puder ensine o que sabe. Você vai ver que poderá aprender muito mais e solidificará seus conhecimentos ainda mais.

Não menospreze os outros, sempre temos o que aprender com qualquer pessoa. Humildade é sabedoria.

4 INTRODUÇÃO

A conquista do espaço representou não só um grande avanço científico, mas também tecnológico, permitindo que a realização de muitos serviços que hoje tornam a vida na Terra mais prática e confortável. À primeira vista, as atividades espaciais não tem nenhuma relação com o cotidiano aqui no solo, mas estão mais próximas que pensamos. A seguir temos alguns exemplos de como o distante espaço sideral nos ajuda a viver melhor.

4.1

As telecomunicações tiveram um salto gigantesco com as tecnologias espaciais. Os telefones que se conectavam por longos e ineficientes fios de cobre, hoje podem ligar qualquer dois pontos do globo, em tempo real através de links (ligações) de satélite. As grandes distâncias intercontinentais são superadas

através de “pontes” que se localizam no espaço viabilizado por satélites dedicados às telecomunicações. Não só para comunicação por voz, mas a internet teve tanto avanço na velocidade quanto na capacidade de transferência de dados.

O satélite realiza a retransmissão de sinais entre África e Europa, como exemplo que viabiliza a comunicação entre várias partes do mundo. Imagem da ESA

Os serviços de telecomunicações são negócios muito lucrativos e dependem sensivelmente do uso de satélites. A distribuição de sinais de TV por assinatura geram centenas milhões de dólares por ano, no mundo todo. Essa distribuição em larga escala é chamada de broadcast. Além disso, eventos esportivos podem ser assistidos em tempo real no mundo todo graças aos satélites de comunicações que orbitam a Terra.

A Telemedicina e a Tele-educação já são realidades em muitos lugares, onde profissionais da saúde podem prestar apoio médico a comunidades distantes, bem como professores podem levar o conhecimento a lugares remotos.

Transações bancárias também são altamente dependentes da comunicação em rede e por isso também dependem do uso de satélites.

4.2

Sensoriamento Remoto é uma técnica para obter informações sobre determinada região na superfície da Terra através de imageamento ou medições de grandezas de interesse. Um exemplo de sensoriamento remoto são as medições da atmosfera, que permite tanto a previsão do tempo de forma mais precisa quanto um melhor entendimento das mudanças atmosféricas que afetam o clima.

Imagem de Satélite mostra uma tempestade se formando na região de Boston. Imagem da NASA

O sensoriamento remoto é basicamente realizado por satélites de órbitas baixas, Isto é, baixas altitudes, dotados de câmeras e sensores. Assim, podem fazer registros fotográficos ou aquisições de medidas das regiões pelas quais ele percorre durante suas revoluções em torno da Terra.

Imagens de satélite mostram o impacto do desmatamento em um período de 22 anos, em Marabá, Pará. Depois o planeta fica um inferno de quente e ainda vão perguntar o porquê. Imagem da Landsat/INPE

Região de plantação de café em Minas Gerais. As imagens auxiliam os agricultores no planejamento de lavouras e melhor uso das áreas. Imagem Google Earth http://www.dsr.inpe.br/laf/cafesat/artigos/TecnologiaInformacaoCafeMG.pdf

Satélite de sensoriamento remoto da NASA/ESA. À medida que ele vai passando, suas câmeras e sensores captam e mendem dados da superfície da Terra. Imagem ESA

4.3

A navegação fluvial, marítima e aérea sofreu um grande impacto positivo com as aplicações de satélites em serviços de localização e orientação. Antigamente, nos tempos dos navegadores portugueses e espanhóis, as rotas dos navios eram determinadas através de observações de estrelas que aparentemente se mantinha fixas no firmamento. Um dos instrumentos usados para esse fim era chamado de astrolábio. Como referência, usava-se a Estrela Polar da Constelação Ursa Maior. Essa estrela pode ser vista do Hemisfério Norte.

O uso de satélites fornece a infraestrutura necessária para se criar o GNSS, Global Navigation Satellite System, na qual os receptores desses satélites realizam cálculos e determinam com boa precisão a sua localização.

Um dos serviços GNSS mais conhecidos é o GPS, desenvolvido para aplicações militares pelo Departamento de Defesa americano. O GPS é um sistema que é disponibilizado pelo governo dos EUA para uso civil e militar ao redor do mundo. Obviamente que a precisão do serviço GPS liberado é bem mais baixa que a precisão do GPS usado pelas Forças Armadas americanas. Diz-se que quando aconteceram os atentando contra o World Trade Center em Nova York, o sinal de GPS foi “cortado” no mundo todo temporariamente.

GPS significa Global Positioning System e conta com uma constelação de satélites com órbitas definidas. Eles mandam continuamente sinais para os receptores GPS de veículos e celulares e assim, estes com base no tempo podem determinar a localização na superfície terrestre. Vale citar que o desenvolvimento de sistemas como o GPS permitiu que buscas e salvamentos pudessem ser realizados com mais eficiência e sucesso. Há um sistema global voltado para atendimento de emergência em casos de naufrágios e quedas de aeronaves..

veículos militares. Com a abertura desse serviço para o mercado civil, vislumbrou-se um negócio extremamente lucrativo.

Quando você pega um receptor de GPS desses de carro ou usa o do seu celular e tenta se localizar, você está na verdade recebendo sinais de pelo menos 3 dos satélites do GPS. Eles mandam um sinal com um o horário de envio desse sinal. O receptor decodifica esse horário e compara com o horário que ele recebeu, então ele consegue fazer as contas de qual a sua distância ao satélite visto que o sinal de GPS é uma onda eletromagnética e por isso se move com velocidade constante c. Para que você possa se localizar você precisa de pelo menos visão de três satélites. Por isso que em dias nublados o GPS fica impreciso devido às nuvens de que enfraquecem o sinal que vem do espaço.

4.4

Para viabilizar todos esses serviços, os satélites devem ser colocados em órbita e para isso existem os veículos lançadores. Basicamente são foguetes que podem deslocar grande quantidade de massa até determinada altitude e com a velocidade necessária para manter tais massas em órbita.

Os foguetes inicialmente eram projetos governamentais, pois se entende que foguetes espaciais podem ser transformados em armas. Com o tempo, a visão que se tem sobre os foguetes e sua popularização levaram à abordar esses veículos como um lucrativo negócio. As atividades de lançadores no Brasil são gerenciadas pela Força Aérea.

Os foguetes podem transportar tanto equipamentos quanto pessoas. No caso de equipamentos, estes são chamados de Carga Útil. Essas missões podem ser tripuladas ou não. Atualmente, o serviço de lançamento de cargas úteis é um negócio bastante lucrativo, pois vem aumentando o interesse e necessidade dos países por atividades em telecomunicações ou sensoriamento remoto. Como poucos países no mundo detém a tecnologia de lançadores, constituindo assim um seleto clube. Os rendimentos com lançamentos comerciais vêm sendo cada vez mais justificáveis. Isso é tanto verdade que a NASA contrata empresas para realizar transporte de cargas para Estação Espacial Internacional. Uma das empresas de maior destaque é a SpaceX.

As missões tripuladas são mais complexas e caras visto que os lançadores devem possuir módulos para tripulação trabalhar de forma segura e confortável. As missões tripuladas inicialmente tinha caráter científico, tecnológico e militar. Com o barateamento da tecnologia e maior interesse do público por viagens espaciais, o turismo espacial vem crescendo anualmente. Assim, não se restringiu aos voos dos ônibus espaciais da NASA.

As primeiras missões tripuladas eram feitas em foguetes que eram inutilizados durante o lançamento devido aos métodos de estágios de combustível. Os estágios eram descartados assim que o combustível terminasse em seus tanques. O retorno da tripulação se dava em módulos pequenos, como no caso das missões Apollo da NASA. Para diminuir os custos das missões, a NASA criou o conceito de ônibus espaciais, no qual a tripulação regressava em pousos similares ao de uma aeronave, evitam o descarte de material e reutilizando o veículo para novas missões.

5 DA ANTIGUIDADE ÀS ONDAS GRAVITACIONAIS

5.1

Olhar para o céu estrelado é uma atividade realizada pelo homem desde os tempos mais primórdios. Realmente observar um céu estrelado causa diversos sentimentos e sensações. Tem gente para tudo. Seja você sensível ou não, saiba que muitos indivíduos elaboraram muitos questionamentos filosóficos e científicos devido à observação do firmamento. Também, muitos casais já se “coisaram” (entendimento livre) inspirados pelas belas noites de luar. Poetas escreverem versos e mocinhas suspiraram... A influência do espaço é tamanha que até mesmo religiões e crenças se basearam nos astros, como a astrologia e a mitologia.

Você já parou para pensar por que a nossa galáxia se chama Via Láctea? Via Láctea é um termo do latim, que os antigos romanos emprestaram dos gregos, que significa Caminho do Leite, vindo de Galaxias Kyklos, ou ciclo do leite. Devido à iluminação das cidades, o céu não é visto da mesma forma vista pelos nos ancestrais distantes. Se você for para algum sítio bem afastado, poderá ver que as estrelas foram um caminho como uma faixa branca, que é a razão pela qual se nomeou nossa galáxia.

Outros povos da Antiguidade como árabes, chineses, romanos observaram os astros em buscas de respostas para seus questionamentos existenciais, ou para entendimento da Natureza. Por exemplo, o fenômeno da maré é causado pela atração gravitacional que a Lua exerce sobre as águas. A observação das marés e fases da Lua levou a essa conclusão servindo bastante para o homem do mundo antigo.

A Grécia teve alguns estudiosos de renome e que contribuíram muito para desenvolvimento da ciência. Vamos ver alguns deles...

Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) a partir de suas viagens ao Egito introduziu na Grécia os fundamentos da geometria e da astronomia. Defendeu que a Terra era um disco plano em uma vasta extensão de água. Eu te entendo Tales, eu também pensaria isso...

Pitágoras de Samos (572 - 497 a.C.) já foi mais arrojado pois acreditava na esfericidade da Terra, da Lua e de outros corpos celestes, afinal ele criou o Teorema de Pitágoras. Porém vacilou ao crer que os planetas, o Sol, e a Lua eram transportados por esferas separadas da que carregava as estrelas. A expressão cosmos para o céu foi criada por ele.

Heraclides de Pontus (388-315 a.C.) explicou a rotação da Terra sobre seu próprio eixo, que Vênus e Mercúrio orbitam o Sol.

Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi um visionário propondo que a Terra se movia em volta do Sol, antes de Copérnico. Entre outras coisas, criou uma metodologia para determinar as distâncias relativas do Sol e da Lua à Terra. Realizou medidas indiretas dos tamanhos relativos da Terra, do Sol e da Lua. Sinistro!

Eratóstenes de Cirênia (276-194 a.C.), bibliotecário e diretor da Biblioteca Alexandrina de 240 a.C. a 194 a.C., foi o primeiro a medir o diâmetro da Terra, afinal, acho que ele tinha tempo na biblioteca para isso. Mas como ele fez isso?

Era sabido que na cidade de Siena no Egito, no inicio do verão, ao meio-dia a luz do sol atingia o fundo de um poço. Isso é importante como referencia que o Sol estaria na vertical perpendicular à Terra. Como ele garoto crescido nas quebradas de Alexandria, ele sabia que o mesmo não acontecia com os poços em sua cidade. Então, resolveu medir a sombra de uma haste no solo para ver qual inclinação havia, e foi 7°. Com isso ele determinava o ângulo entre Alexandria e Siena, que se distanciavam em 5000 estádios (unidade de medida na Grécia). Esse valor foi obtido da viagem de camelo entre às duas cidade e sabendo que um camelo em média anda 100 estádios por dia. Os 7° medidos correspondem a 1/50 de uma circunferência, assim, e a circunferência da Terra deveria medir 50x5000 estádios. Sendo

que uma circunferência é C= 2πR, o raio era determinado como aproximadamente 40000, já que um

estádio corresponderia a 1/6 km. Muito safo!

Hiparco de Nicéia (c.190-c.120 a.C.), considerado o maior astrônomo da era pré-cristã, e com um observatório na ilha de Rodes, compilou a posição no céu e a magnitude de 850 estrelas. Fez diversas medidas sobre a mecânica na Terra

Ptolomeu (85 d.C. - 165 d.C.) (Claudius Ptolemaeus) foi autor de uma série de treze volumes sobre astronomia, conhecida como o Almagesto, a obra de referencia em astronomia grega.

Para entender quão geniais eram estes astrônomos é só se ligar no fato de que eles não tinham telescópios, medidores precisos de tempo e nem outros instrumentos. Era tudo na raça e na inteligência. Realmente admirável.

Há outros povos que desenvolveram a astronomia como no oriente médio, principalmente na Babilônia, que é mais ou menos a região que hoje é o Iraque. Porém, ainda não havia uma clara separação entre religião e ciência.

A escrita na Babilônia começava com o 1, escrito sobre pedra usando o símbolo , já o 10 era feito ao pressionar inclinado ( ). Combinações destas duas marcas eram usadas até 59, voltando ao inicio quando se chegava ao 60. Só muito mais para frente que se inventou o 0, porém a falta do zero permitia que os babilônicos pudessem fazer cálculos elaborados com facilidade. Essa galera não era boba não...

Dessa maneira, a divisão de horas vem da notação babilônica que ia até 60.

Os babilônios, além de documentar fenômenos astronômicos, iniciaram a criação do calendário, ao dividir o tempo baseado em fases da Lua. Sendo que cada fase dura sete dias, então surgiram as semanas. Para nomear os dias, eles homenagearam as divindades por eles adoradas. Vejam abaixo:

MESOPOTÂMIA INGLÊS ALEMÃO ITALIANO FRANCÊS ESPANHOL

Dia da Lua Monday (Moon Day)

Montag (Mon =Lua)

Lunedi Lunedi Lunes

Dia de Marte Tuesday Dienstag Martedi Mardi Martes

Dia de Mercúrio Wednesday Mittwoch Mercoledi Mercredí Miércoles

Dia de Júpiter Thursday Donnerstag Giovedi Jeudi Jueves

Dia de Vênus Friday Freitag Vernedi Vendredi Viernes

Dia de Saturno Saturday (Saturn Day)

Samstag Sabato Samedi Sábado

Dia do Sol Sunday (Sun Day)

Sontag (Son=Sol)

Domenica Dimanche Domingo

5.2

A Idade Média é conhecida como Período das Trevas, onde o conhecimento e o desenvolvimento científico ficaram estagnados na Europa. Conceitos religiosos da Igreja Católica assombravam os estudiosos que queriam divulgar ideias contrárias a fé cristã. Os pensadores da natureza realizavam estudos em sigilo. Diferentemente da Europa, o mundo árabe se tornou culto, absorvendo muito do conhecimento grego e desenvolvendo a ciência no Oriente Médio. O progresso da matemática, da química e astronomia evoluiu bastante com árabes, tendo muitos estudiosos com obras traduzidas do árabe para o latim.

Um polonês chamado Nicolau Copérnico, chegou um dia em uma praça da Europa e disse “ Está tudo errado nessa bagaça, vamo parar com essa historia de Terra no Centro”. Claro que não foi assim, isso foi

só uma tentativa de ser engraçadinho da minha parte, que eu acho que não foi, e se não foi pelo menos dá uma risadinha aí para fortalecer a amizade. Ok. Vamos continuar. O Copérnico propôs um modelo diferente, chamado heliocêntrico, no qual o Sol estaria no centro e a Terra orbitando. Isso causou um rebu dos diabos, pois quebrava anos e anos de crença em uma teoria errada.

Sistema Heliocêntrico bolado por Copérnico, onde o Sol figura no centro.

Mais tarde, Galileu Galilei e Johannes Kepler vieram a confirmar com dados e complementar as ideias de Copérnico. Os dois se aprofundaram em observar e criar métodos e teorias que explicassem a mecânica celeste.

Conta a lenda, que quando Galileo estava sendo questionado em seu julgamento e foi obrigado a jurar que a Terra não se movia, ele falou baixinho “Ela ainda se move...” Negou para geral no julgamento, mas deu a palavra final baixinho.

particular, localizado entre a Dinamarca e a Suécia. Esse trabalho de observação levantou dados muito importantes para criação das primeiras equações sobre gravitação. O observatório de Brahe tinha até nome Uranienborg, em homenagem a Urânia, a musa da astronomia.

Tycho Brahe era uma figura cuja vida teve alguns episódios pitorescos...

Tycho Brahe se meteu em uma confusão que acabou em um duelo de espadas, que nem nos filmes. Ele foi lá lutar com seu adversário e acabou perdendo o nariz com um golpe de espada desferido durante combate. Estando ele sem nariz, passou a usar próteses de metal, tipo ouro, prata e cobre. Ao exumar seu cadáver, verificou-se que os ossos do nariz estavam contaminados de verde, sinal de íons de cobre. Isso deve ao fato de que o cobre é um metal mais maleável que o ouro e prata e provavelmente o deixava mais confortável.

Nariz metálico do Brahe em um retrato da época, mostrando a prótese.

A morte de Brahe foi causada por sua educação à mesa. Convidado a um banquete, ele estava com bexiga cheia e precisava ir ao banheiro, mas com vergonha resolver dar uma seguradinha. Segurou tanto que contraiu um problema urinário que veio a lhe tirar a vida depois de onze dias acamado. Fato confirmado pelas colunas sociais da época e na revista Caras da Dinamarca (tentativa de piada). Entre os próximos de Brahe estava um cidadão chamado Johannes Kepler. Kepler o acompanhou até seu

Na Itália, entre uma massa e outra, um individuo chamado Galileu Galilei também contribuiu enormemente para astronomia ao desenvolver um telescópio rudimentar de 20 vezes aumento com o qual pôde descobrir as quatro maiores luas de Júpiter em 1610, observou as crateras da Lua, explicou as machas solares (eu nem sabia que o sol tinha mancha...), notou as fases de Vênus tal quais as fases da Lua e defendeu o modelo geocêntrico. Ao tomar partido do modelo geocêntrico, Galileu arrumou confusão com a Santa Inquisição e quase foi executado. Quando foi chamado perante o tribunal da Inquisição, ele negou suas ideias sobre o movimento da Terra se livrando de morrer na fogueira ou enforcado... Dizem que enquanto ele negava diante dos seus julgadores, ele baixinho dizia o contrário.

5.3

Os trabalhos de Tycho Brahe deram a Kepler as evidências para desenvolver as leis dos movimentos dos corpos celestes, dando um passo da mera observação para modelos matemáticos. O desenvolvimento dos conceitos físicos por Galileu começou a dar base para um entendimento desses fenômenos sob a luz da ciência física. Isso impulsionaria o entendimento do cosmos com uma fruta.

Isaac Newton não era headbanger e nem cultuava essa cabeleira. Essas perucas eram comuns para evitar contaminção por piolhos naquele tempo.

5.4

O homem vê o mundo porque seus olhos são sensíveis à luz, ondas eletromagnéticas em uma faixa de frequências que sensibilizam os tecidos internos do olho. Porém, existem muitas outras ondas eletromagnéticas, além do que o ser humano pode perceber a olho nu. Com os avanços da física, descobriram ondas eletromagnéticas em diversas outras faixas como o infravermelho, ultravioleta, raios X, ondas de rádio, raios gama e etc. O que podemos ver é uma faixa muito estreita de frequências. Logo, a ciência aprendeu como usar essas ondas e isso trouxe mais avanços na astronomia como a descoberta da espectroscopia.

Ondas eletromagnéticas são ondas que viajam a uma mesma velocidade, não importando sua frequência e comprimento de onda, nomeada de c, cujo valor no vácuo é 300.000km/s. Cada frequência está associada a um único comprimento de onda que pode ser calculado através da famosa equação das ondas. Para qualquer onda vale a seguinte relação entre velocidade v, sua frequência f e seu

comprimento de onda λ.

λ

Conforme dito, para as ondas eletromagnéticas a velocidade é c, portanto, a equação para ondas eletromagnéticas se torna:

λ

Os progressos da ciência permitiam sonhar com respostas para perguntas mais fundamentais como a origem do Universo, sua evolução e qual seria o seu futuro. Das inúmeras teorias surgidas, a que é a mais aceita é a Teoria do Big Bang, mostrada a seguir. Tudo começou quando o físico experimental Leonard Hofstadter foi dividir apartamento com doutor Sheldon Cooper... ops, é outra teoria.

A Teoria do Big Bang supõe o seguinte:

“Our whole universe was in a hot dense state,

Then nearly fourteen billion years ago expansion started. Wait...

The Earth began to cool…”

Theory of Everything, Barenaked Ladies

Nosso universo era quente e denso, perto de 14 bilhões de anos atrás a expansão começou... Só que esta expansão começou com uma explosão. Espalhando-se e tudo mais se originou a partir daí, pro isso o nome Big Bang, ou grande estrondo.

Essa teoria só teve suas evidencias detectadas com a evolução dos sensores que permitiram ouvir

“ecos” dessa explosão.

E como o universo evoluiu? Está em expansão ou contração? Isso porque se explodiu pode ser uma expansão, porém se a expansão acabou e agora estamos comprimindo? A resposta para isso vem de um efeito que podemos observar quando uma ambulância ou outro veículo com sirene passa em alta velocidade. Quando a ambulância passa, parece que o som dela muda quando se aproxima de nós e quando se afasta. Essa mudança de grave para agudo se dá por que a frequência, que o observador escuta, muda. A sirene vai estar sempre com a mesma frequência, porém o efeito do movimento faz parecer, aos ouvidos do observador, que há uma mudança. Esse fenômeno é explicado como Efeito Doppler. Ele se aplica à ondas cuja fonte esteja em movimento relativamente a um observador. Astrônomos perceberam que galáxias que estão se afastando da Terra apresentam radiações que parecem se deslocar para as frequências do vermelho e galáxias que aproximam apresentam radiações aqui na Terra que se deslocam em direção às frequências do azul. Esse fenômeno é conhecido com Red Shift, ou deslocamento para vermelho. Edwin Hubble percebeu essas relações e suas observações são tomadas como indícios da expansão do Universo.

5.5

da Relatividade Geral viria a mudar o entendimento da gravitação. Na sua teoria, os fenômenos físicos poderiam ser observado em um referencia quadridimensional, sendo o tempo a quarta dimensão. Hoje, na física clássica, os referencias são sempre (x,y,z) representando o espaço, no entanto Einstein propôs uma nova forma como (x,y,z,t). E ele foi além, o espaço-tempo está relacionado com a gravidade! Dentre as diversas conclusões de sua teoria, uma delas é que grandes massas podem curva o espaço-tempo. Veja na figura seguinte:

A confirmação experimental dessa alegação foi feita no Brasil, em Sobral no Ceará, no ano de 1919. O experimento realizado mostrou que a curvatura do espaço-tempo faria um raio de luz, vindo de uma estrela, contornar o Sol (se não considerarmos a curvatura do espaço, a luz seguiria um caminho em linha reta e seria bloqueada pelo Sol) e ser detectada na Terra. Na figura seguinte, o ponto mais a direita seria a posição causada pelo efeito da distorção, fazendo a parecer estar mais afastada quando na verdade, ela estaria atrás do sol e não poderia ser vista.

Recentemente, mais uma previsão da Teoria da Relatividade Geral foi confirmada: a existência de ondas gravitacionais. Sendo que objetos de grandes massas causam distorções no espaço-tempo, ondas gravitacionais podem acontecer. Um experimento de um consórcio de cientistas, o LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) conseguiu detectar perturbações criadas por um sistema binário de buracos-negros. Buracos Negros são objetos celestes de massa muito elevada a tal ponto que sua força gravitacional não permite nem a luz escapar. O sistema binário formado pelos buracos negros pode ser entendido com como dois corpos que orbitam em torno do seu centro de massa. É como um casal, de braços dados, girando em um salão de festas. Então a rotação dessas duas grandes massas perturba o espaço-tempo gerando as ondas. Na fotografia abaixo, podem ser vistos os dois buracos-negros e note que são dois opacos devido ao fato de não deixarem a luz escapar, diferente das estrelas.

6 A GRAVITAÇÃO DE NEWTON

O Principio da Gravitação foi descoberto por Newton e estabelece uma forma de calcular a força entre dois corpos quando separados a certa distância. Newton afirmou que essa força depende de uma constante universal, chamada de Constante Universal Gravitacional.

Onde . No numerador são as massas dos corpos envolvidos e d é a distância que os separa.

Como a força é um vetor, ela deve ter além de um valor de intensidade, deve ter uma direção e um sentido. A direção é sempre na linha reta que une os corpos. O sentido é sempre na direção do outro corpo. Por exemplo...

Na figura, temos duas forças F12 quer dizer a força gravitacional que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2 e F21 quer dizer a força que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1. Essas forças são sempre ao pares e tem igual intensidade, não importa se o um dos corpos seja infinitamente maior. Eu gosto de dizer que é uma força democrática. Por exemplo, entre mim e a Terra há uma força gravitacional, pois eu tenho uma massa de aproximadamente 78kg e a Terra tem milhões quilos de massa. Nessa nossa convivência diária, a Terra exerce uma força sobre mim e eu exerço uma força sobre ela. A força que ela exerce sobre mim é igual em intensidade à força que eu exerço sobre ela.

Aí você me pergunta, e esse monte de forças aí? Bom, veja que cada corpo está sob ação de três forças. O que vai acontecer com ele vai depender da sua massa e principalmente da força resultante. A força resultante é a força que resulta do efeito combinado dessas três forças. Para saber como vai ficar essa força resultante é preciso fazer a soma vetorial das forças. O que isso quer dizer, você tem que somar os vetores. Estou considerando que você já sabe fazer isso. Algumas coisas eu posso até revisar, mas se eu revisar tudo esse livro fica enorme.

Se a resultante for nula, a aceleração será nula e então duass situações podem acontecer:

...Se aceleração é nula, não há variação de velocidade, então ele pode estar em movimento uniforme, isto é, com velocidade constante.

...Se aceleração for zero, ele pode ter velocidade constante igual a zero, isto é, parado. Assim se a resultante for zero, o corpo pode estar em repouso ou eu movimento uniforme.

Então veja o seguinte, a resultante da força é a soma de todas as forças...

A aceleração vai ficar...

Para saber o que acontece com todos os corpos da situação do exemplo, precisamos fazer a resultante de cada um e depois a achar a aceleração, daí poderemos entender o movimento deles.

As massas são iguais e a distancias também. O que fizermos para a massa 3 vale para as outras. Se fossem diferentes teríamos que fazer uma por uma.

O que quero mostrar aqui é um procedimento para você usar nessas situações. Se você entender bem esse procedimento não vai ter problemas com outros tipos de questões parecidas.

Primeiro pegamos a massa três e desenhamos as formas sobre ela. Isso já está na figura. Sobre ela está a força que a massa 2 exerce sobre ela e a força que a massa 1 exerce sobre ela. A direção dessas forças é a direção da linha que une os centros delas. Mas veja que elas estão inclinadas. Como fazer? Somar direto é que você não deve, pois esses vetores não estão na mesma direção. O que eu faço é criar um sistema de coordenadas em cima da massa em questão e decompor essas forças em horizontais e verticais. Depois disso, aí sim eu somo as componentes horizontais e as componentes verticais. Feito isso posso achar a força resultante!!!

Agora que as forças foram decompostas, podemos somar as componentes de mesma linha, isto é, somar as forças horizontais e as forças verticais. Frx e Fry são as resultantes no eixo x e eixo y, resultado da interação das componentes horizontais e verticais, respectivamente.

Agora precisamos calcular cada componente horizontal e vertical. Observe que as componentes de F1, forma com F1 um triângulo retângulo. O mesmo se pode dizer para F2 e sua gangue.

As relações trigonométricas ajudam bastante nessa hora. Mas qual usar? Seno? Cosseno? Tangente? Depende do que você tiver à mão... Sabemos que as forças F1 e F2 são as forças gravitacionais, e F1 e F2 são as hipotenusas, então é melhor usar seno e cosseno.

 Para F1...

 Para F2...

Agora somamos...

As duas componentes verticais apontam para baixo, então são contra o sentido do eixo y, portanto são negativas.

Como temos as duas componentes da força resultante, podemos achar o módulo da força...

Qual a direção dessa força? É só achar o ângulo entre suas componentes...

O ângulo para o qual o cosseno é zero e o seno é -1 é 270°, o que mostra que a força resultante é uma força vertical apontada para baixo.

A aceleração do corpo 3 segue o mesmo sentido e direção da força resultante (vertical para baixo) e tem intensidade de...

Pronto!! Tente repetir isso para ao invés de um triangulo equilátero, seja um triangulo retângulo de catetos de lado a. Faz aí, irmão!

Um fato importante a ser citado é que a força gravitacional nunca se anula, ela diminui com o quadrado da distância, porém nunca vai a zero. A própria equação mostra isso. Quer ver? Vamos supor que dois corpos do exemplo se interagem e vamos analisar em que situação a força entre eles dois se anula...

Para isso aí ser zero, temos que ter uma ou as duas massas iguais a zero. Mas como os corpos existem isso não é possível. Outra situação é avaliando a distância... A distância para qual a força é nula é...

Mas uma divisão por zero não existe, é uma indeterminação, uma violação matemática. Dessa maneira, para distâncias muito grandes, grandes mesmo, mas muito, muito grandes, a força fica muito pequena, mas não se anula.

Por exemplo, enquanto eu escrevo essas humildes linhas deste livro, eu sinto uma força de atração muito fraca entre mim e a estrela Alfa Centauri, que está à um zilhão de quilômetros daqui.

Isso tudo acontece por que cada massa cria uma região de influência gravitacional, onde outras massas podem sentir o efeito desse campo. Não fica muito claro esse conceito desse jeito e eu prefiro trabalhar com analogias.

Imagine a Nicole Kidman, aquela atriz australiana...

Considere que a Nicole Kidman passe um dos perfumes mais caros e mais atraentes que existe no mundo, afinal ela pode comprar. Ao andar por aí, o perfume de Nicole se espalha pelo ar. As pessoas perto dela irão sentir esse perfume e ficarão atraídos por ela, pois isso chamará atenção delas. Quanto mais perto, maior é a intensidade do perfume e mais intensa será atração. Pessoas mais afastadas sentiram o perfume, mas não tão forte quanto às pessoas mais próximas.

O campo de força é assim, como a analogia do perfume, seja ele gravitacional ou eletrostático, é como se fosse a região onde se sente o efeito.

O campo gravitacional depende da distância e da massa que o gera. Em cada posição dele há um valor que depende da massa que foi colocada no campo. Esse valor se chama potencial gravitacional. Quando um corpo de massa m está se movendo em um campo gravitacional, ele assume diversos valores de potencial gravitacional. O potencial gravitacional aumenta à medida que se aproxima da massa geradora do campo.

Vamos pensar numa partícula no campo gravitacional da Terra, quando ela está muito longe tipo no ponto OJPAB (Onde Judas Perdeu As Botas). Nesta localização o campo é muito fraco (NUNCA NULO), ela está sob um potencial de valor muito próximo de zero (NUNCA ZERO). Se ela começa a se mover em direção da Terra, ela aumenta seu potencial, pois está se aproximando da massa geradora. É tipo duas pessoas que se amam. A pessoa amada está ali na praça sentada dando comida aos pombos. A outra pessoa apaixonada vê a razão de sua paixão ali e à medida que vai se aproximando começa a sentir uma ansiedade, um nervosismo, um sei-lá-o-que.... Como se esse estado emocional fosse o potencial. Entendeu a analogia?

No caso do planeta Terra, se considerar só ela no Universo (para desconsiderar os efeitos de outros corpos celestes), um meteoro que viaja por aí, sente o campo da Terra e a cada ponto de seu deslocamento ele sente um valor de potencial gravitacional e quanto mais perto, maior o potencial.

A figura abaixo mostra como o módulo do campo varia com a distância. Por isso que quanto mais perto, mais acelerado um corpo está. O campo gravitacional é função apenas da massa geradora e da distância até o centro dessa massa. O gráfico abaixo não depende de massa nesse campo.

Como esse é um livro de física, precisamos escrever umas fórmulas para sumarizar o que apredemos até agora.

Um campo gravitacional pode ser escrito como a região na qual uma massa sente a força gravitacional gerada por outra massa. O campo é um vetor, então vamos calcular o vetor...

Como a divisão tem sinal positivo, podemos dizer que o campo gravitacional g tem o mesmo sentido da força. E se tivesse um negativo ali? Iríamos dizer que o campo gravitacional tem sinal oposto à da força.

Para calcular o valor do campo gravitacional (que vamos chamar de g simplesmente) precisamos achar o módulo do vetor campo gravitacional. É só pegar o módulo da força e dividir pela massa...

Vimos anteriormente o módulo da força gravitacional, que é a equação de Newton, que dá o módulo da força gravitacional.

Temos aí uma coincidência interessante, o valor do campo gravitacional é o mesmo da aceleração causada pela força gravitacional.

Quando pensamos na aceleração de uma força resultante sobre um corpo e esse corpo tem massa m, estamos falando de massa inercial. Quando falamos em massa para fins de cálculos gravitacionais estamos falando de massa gravitacional. Nesse caso, a massa inercial e a massa gravitacional são idênticas.

Vamos continuar nosso bate-papo, mas antes eu gostaria de chamar a distância d de r.

Pronto! Seguinte... essa equação vale para qualquer situação. Se você pegar uma bala de hortelã e quiser calcular o campo gravitacional gerado por ela é só pegar sua massa e estipular uma distância do centro dela. Se você quiser calcular o campo gravitacional de uma formiga saúva também é possível, basta usar a fórmula. Mas se estiver falando de um corpo de dimensões relevantes como um planeta, por exemplo? Essa equação também é valida sim. Esse r aí é a distancia até o centro da massa geradora do campo. Se tomarmos um ponto na superfície do planeta, o r é igual ao raio do planeta... Por isso que eu coloquei no gráfico um valor Es. Mas se fossemos entrar no planeta, como seria o campo lá dentro?

Se cavarmos um buraco que vai passando por essas camadas, vamos sentir uma diferença de gravidade à medida que nos aprofundamos. A gravidade (já conheço o campo gravitacional faz um bom tempo e temos certa intimidade então vou chama-lo de gravidade) vai decaindo com a proximidade do centro da Terra, isso por que o que fica para cima não faz diferença. Vamos ver isso em breve. Em muitos problemas de gravitação para ensino médio, fazemos uma consideração de que a Terra é homogênea e assim podemos achar uma relação linear bem interessante, mas isso é apenas considerações de problemas, mas na real ela é heterogênea. Dá para calcular no caso de ela ser heterogênea, mas aí precisamos de ferramentas de calculo que só se vê na universidade. Mas por que eu citei isso, simplesmente para você saber o que é real e o que é teórico.

Mas por que não falamos de campo interno de uma bala de hortelã ou formiga? Por que quem quer saber isso? Mas Miguel isso não é resposta. Com certeza não... Bom, primeiro é que planetas e estrelas são muito mais simples de modelar, ou seja, são esferas, bolas, oblóides e que dá para supor com certa tolerância que são feitos de poucos materiais e tals. Pense como seria modelar uma formiga... e para o ensino médio isso é irrelevante e complexo.

Enfim, saiba que existe um campo interno e que ele diminui a medida que cavamos um buraco na Terra.

Meu amigo e minha amiga, o potencial como disse é um valor que uma massa assume ao se posicionar em um campo gravitacional. Mas qual seria a definição de potencial?? Anota aí... o potencial gravitacional seria a energia necessária (trabalho) necessário para trazer uma particular de massa m, lá do infinito até o ponto que estamos considerando, quando em um campo gravitacional.

Como o potencial no infinito é muito pequeno, consideramos como nulo, só para efeito de calculo..., assim, o potencial gravitacional sempre será no ponto a uma distancia r do centro da massa geradora.

Nesse caso, o potencial é um valor que depende da massa geradora e da massa em questão e por isso a equação fica assim...

Lembre que r é a distância entre o centro da massa M e o centro da massa m.

Esse resultado acima mostra que podemos mover um corpo em um campo gravitacional pra lá e pra cá desde que se forneça a energia necessária para que ele esteja nessa posição. Tipo viajar, você pode ir para Paris, para Moscow, desde que você forneça o dinheiro para estar nesses lugares. É a mesma coisa, para mexer uma massa em um campo gravitacional é só fornecer ou retirar a energia dessa massa. A essa energia damos o nome de Energia Potencial Gravitacional.

Na maioria dos problemas de gravitação, consideramos sistemas sem influência de outras forças externas ao sistema, assim usamos o principio da conservação da energia mecânica. A energia mecânica nesses casos é composta pela energia cinética e a energia potencial gravitacional. A energia cinética é a energia do movimento e depende da velocidade do corpo.

é

A energia mecânica é a soma dessas energias...

é

Se no sistema que consideramos não há forças externas, em qualquer ponto e a qualquer momento a energia mecânica é igual.

É a soma da energia de cinética de m1 e de m2 e a energia potencial gravitacional entre eles...

Vamos ver mais um exemplo para entender melhor essa questão... Imagine três massas de m1, m2 e m3, cada uma no vértice de um triangulo equilátero de lado a. Inicialmente elas estão em repouso por que tem alguém segurando cada massa. Se o cidadão vai fazer um lanche e solta essas massas, elas começam a se mover, pois estão se atraindo. Qual é a energia mecânica do sistema nessa situação e quando elas se encontrarem?

Mas por que não entra energia cinética aí? Atento leitor, isso acontece, pois no inicio elas estão em repouso, por que o Criatura de Deus está segurando as massas. Daí a velocidade é nula e as energias cinéticas são nulas

a metade da distância inicial? É só considerar na equação da energia potencia, ao invés de a, considerar a/2.

Apesar de ter ficado uma equação grande, os conceitos são bem estruturados. È só você pensar em cada massa, na energia cinética e potencial de cada uma e analisar o antes e depois.

Imagine que elas estão em uma mesa sem atrito, sem resistência do ar, sem nada que atrapalhe... Podemos dizer que a energia se conserva.

Se as massas são iguais a m...

7 GRAVIDADE

7.1

Da discussão anterior vimos que o campo gravitacional é idêntico à aceleração causada pela força gravitacional. Assim, essa aceleração nós vamos chamar de aceleração da gravidade. Pois bem... Imagine um planeta esférico, que tenha raio R e massa M. Esse planeta atrai os corpos em sua volta com a força gravitacional.

Essa força de atração é que chamamos de peso, então fica assim.

Onde h é altura do corpo em relação a superfície do planeta.Mas sabemos que peso se calcula desta forma:

Onde m é a massa dos corpos nas proximidades da superfície do planeta e g é a aceleração da gravidade nessa região.

Igualando as equações do peso, gerando o resultado:

Se a altura h é muito menor que R, podemos despreza-lo, deixa-lo na rua da amargura, com uma garrafa de pinga como companhia. Mas por que despreza-lo? Por que sendo o raio da Terra um valor na faixa de 6000 km, ou 6000000 metros, somar 100m metros em 6000000 vai afetar muito pouco. Quando falamos em dezenas ou centenas de quilômetros, a simplificação não rola. Por isso, por simplicidade, para ALGUNS CASOS, podemos entender que a aceleração nas proximidades da superfície da Terra é constante igual a g.

Se você subir ao topo do Monte Everest, que tem quem 8000m de altura, tem que voltar a usar

Onde h é a altura do Everest.

NOTA: Atente que peso é diferente de massa. Massa é quantidade de matéria e peso é uma força.

Pode ser útil representarmos a aceleração gravitacional em um ponto qualquer em função da aceleração gravitacional na superfície. Isso nos permite comparar essa aceleração com a aceleração que conhecemos e que podemos medir em solo. Um pouco de álgebra nos ajuda nessa missão. Vamos chamar a aceleração na superfície de e a aceleração em um ponto a uma dada altura da superfície de

que pode ser expresso como:

Isso porque estamos a uma altura h do solo. Para , a expressão fica:

Veja que há algo em comum para e , que é a quantidade e que não vai mudar, pois é a constante gravitacional e a massa do planeta. Podemos retrabalhar as equações para relacionar as duas acelerações. Veja a magia pairando no ar com essa manipulação matemática:

Como o resultado acima é o numerador para , podemos substituir...

Então no final pode ser expresso em função de e da altura, conforme o resultado encontrado.

Agora vamos ver o que acontece quando subimos para alturas:

Colocando em uma planilha obtemos um gráfico que mostra toda essa variação. No eixo vertical temos a porcentagem da aceleração na superfície e na horizontal a altura em múltiplos do raio do planeta.

Note que a uma altura de duas vezes o raio do planeta, o que se sente é uma aceleração que é 11% da aceleração sentida na superfície. Como traçamos um gráfico para poucos pontos, a curva fica um tanto estranha, mas já da para ver que a aceleração cai bastante com a altura. Um gráfico melhor seria esse aqui...

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5

0,5 1 2 5 10

gh em função de g0

Então te faço uma pergunta: Em que altura teremos aceleração da gravidade igual a 0? Em que distancia da superfície a força da gravidade é 0? Pensa aí... Pensou? Então pensa mais um pouco... Mas é pra pensar... Pensou? Ok. A resposta é que não existe! O que existe é que a influencia gravitacional de um corpo nunca se anula, mas se torna muito pequena que praticamente não faz efeito nenhum. Imagina você sentado aí, todo pimpão de boa, está sob a influencia de várias estrelas, porém o efeito é ridículo e nem conta. Você sente mais os efeitos do Sol, da Lua, Venus, Mercurio, Marte, que estão próximos, mas a medida que vão se distanciando, ele são cada vez menos relevantes. Ei! Não vai pensar que estou falando de Astrologia, estou falando de forças gravitacionais.

Agora vamos ver matematicamente o que eu disse. Para zerar a aceleração da gravidade você teria que fazer o seguinte:

Como estamos falando de um planeta, o raio é sempre positivo e não pode ser zero, com isso fazemos o seguinte...

Como G é uma constante e tem valor definido como positivo, a única coisa a se fazer é...

Ou seja, a massa do planeta ser igual a zero! Isto é, o planeta não existir! Assim, quando te perguntarem se o astronauta flutua no espaço é por que a gravidade nele lá em cima é zero, então diga que isso não é verdade!! O astronauta está flutuando por que existe a força de centrifuga agindo nele que se opõe a força peso, dessa forma há o efeito de gravidade nula.

Podemos simular a gravidade nula estando no planeta Terra. A NASA treina astronautas em um avião sem poltronas e esse avião sobe muito alto e depois desce com aceleração igual aceleração da gravidade. Nesse momento, as pessoas dentro começam a flutuar, não por que a gravidade é nula, mas por que as forças se anularam.

Antes de o avião descer com o cacete lá de cima, o astronauta está exercendo uma força sobre o piso da aeronave e pela terceira Laidy Newton, o piso exerce uma força normal de mesma direção, intensidade sentido oposto.

Daí o piloto desce o avião com uma aceleração A para baixo...

A força normal fica...

Se A é igual a A, N’=0, então é como se não houvesse mais o peso.

7.2

Podemos comparar a aceleração da gravidade entre dois planetas, fazendo simples arranjos algébricos. Sob o ponto de vista da aceleração gravitacional o que pega para planetas diferentes é a sua massa e o seu raio, podemos relacionar dois planetas e ver como as atrações gravitacionais se comportam.

Então consideremos o Planeta A, com massa A e raio A e um planeta B com massa B e raio B. A acelerações da gravidade em A e B são respectivamente:

Então vamos usar a técnica vista anteriormente. O que essas duas equações tem em comum? Vale um pastel! Se você responder a constante gravitacional, acertou mizeravi! Vamos manipular as duas equações para relaciona-las:

Mas como queremos a relação das acelerações da gravidade, vamos arrumar de novo.

Temos então uma relação para a aceleração da gravidade, NA SUPERFÍCIE, em dois planetas distintos.

NOTA: Veja que não levamos em consideração a altura.

Essa de relacionar dois planetas é uma questão muito comum em vestibulares e o ITA não fica de fora. Às vezes ele pode complicar as coisas colocando a altura em um planeta cuja aceleração gravitacional equivaleria a atração gravitacional em outro planeta a certa altura. O ITA gosta de complicar, por isso fique esperto. Vamos falar a respeito disso, mais na frente. Agora vem uma questão para você.

QUESTÃO CONCEITUAL - Suponha que a humanidade consiga criar colônias na Lua, em Júpiter e que lá as pessoas se reproduzam com filhos e tals. Como seriam as alturas dos selenes e jupterianos comparadas às alturas do terráqueos? Suponha que os indivíduos em todas as colônias sejam biologicamente semelhantes, e que cresceriam na mesma taxa sob as mesmas condições. A massa de Júpiter é 316 vezes a massa da Terra e o seu raio é 11 vezes o raio da Terra.

SOLUÇÃO – supondo que os indivíduos dessas colônias crescessem em taxas iguais sob as mesmas condições, o que influenciariam no seu crescimento seria a força que a gravidade exerce sobre eles. Sabemos que a Lua é menor que a Terra e tem bem menos massa, já no caso de Júpiter, a massa deste é imensamente maior, e seu raio também. O peso de cada pessoa iria variar em cada um destes lugares. Vamos ver como seria quando comparado com a Terra. Podemos escrever que:

Relacionando ambos:

Um pessoa, de 75kg de massa, pesa na Terra:

Em Júpiter, o peso seria de:

Ok. E quanto equivaleria esse peso de Júpiter na Terra? Tipo assim, uma pessoa de quantos quilos aqui na Terra teria o mesmo peso de uma pessoa de 75 kg em Júpiter?

Para achar a massa da tal pessoa é só usar o peso em Júpiter...

Para uma pessoa aqui na Terra pesar o mesmo que uma pessoa de 75kg em Jupiter, ela precisa pesar 194kg! Muito X-Salada e batata frita!

Por isso, se a altura de uma pessoa for linearmente dependente da gravidade, podemos concluir que o povo de Júpiter seria mais baixinho que os terráqueos, porém num jogo de basquete eles iriam vencer fácil. Imagina o salto de um cara desses para dar uma enterrada. Ia ser do meio da quadra. Isso porque como eles vivem com pesos maiores, suas pernas seriam muito mais fortes que as nossas. Um tiro de meta de jupteriano aqui poderia lançar a bola para fora do campo. Ia ser louco ver um baixinho mandar um chutão desses!

Com certeza você já viu imagens do homem na Lua. Os astronautas lá não andam, mas saltam. Isso porque como a Lua tem menor massa e menor raio, a força da gravidade lá é bem menor assim, qualquer impulso vira um salto. Quando eu era criança e via essas imagens, eu pensava que eles estavam tão felizes de estar na Lua que ficavam saltando de alegria... Sabia nada, inocente...

7.3

Desde que você nasceu e até este momento, você está girando, porque você está na Terra e ela gira em torno de si mesma. Pode não parecer, mas para um observador fora do planeta, a um certa distancia, te descreveria fazendo movimento de rotação. Essa rotação também tende a te “jogar” para fora, mas

devido a gravidade você não sai voando. Em qualquer corpo na superfície da Terra, há uma briga entre a gravidade e a força centrifuga, onde a gravidade vence, porém esta é descontada da força centrífuga.

As forças envolvidas são a força centrífuga que puxa o corpo para fora enquanto que o peso atrai o corpo para o centro da Terra. Para isso, precisamos a somatória de forças na direção radial, isto é, na linha que suporta os raios da Terra.

As forças somadas são o peso e força centrífuga, gerando uma resultando na mesma direção e sentido do peso. Nós chamamos essa aceleração de aceleração aparente, isto é, devido à rotação da Terra, temos um peso aparente, menor que o peso real do corpo.

Substituindo a força centrífuga...

Invertendo...

Mas sabemos do movimento circular uniforme que

Fica, portanto, reduzido a...

Se quisermos entender como isso se relaciona com o período de rotação, podemos substituir a velocidade angular pelo seu correspondente de período...

Então o monstrinho se transforma em...

O que podemos concluir? Que se aumentar a velocidade de rotação da Terra, iremos diminuir o período (vai dar uma volta mais rapidamente em torno de seu próprio eixo), a aceleração aparente vai diminuindo. E se Deus der um peteleco divino e todo-poderoso na Terra ela pode ir girando cada vez mais rápido, mais rápido, mais rápido que o período vai diminuindo e a força centrifuga aumenta até que ela vence a atração gravitacional da Terra e quando isso acontecer, meu amigo, vai ser louco porque os corpos podem escapar da superfície. Aparentemente eles não terão peso, e vai ser galinha flutuando, geladeira flutuando, bicicleta flutuando, os puliça tudo flutuando, as bandidage flutuando, as panicat flutuando... por que? Porque a força centrífuga é maior, tipo quando você está no ônibus fazendo uma curva e você tende a ser lançado para fora.

Não sei se você percebeu que usamos . Você não fica se perguntando a razão disso?

Se não se perguntou, deveria... se pergunta aí. A razão disso é que a gravidade depende da localização no globo. Mais especificamente, depende da Latitude. Mas que é Latitude? Latitude são linhas definidas por ângulos em relação ao Equador. As figuras vão explicar melhor.

Você percebeu que tem um ângulo lá dentro que liga a linha de latitude? Quando você pega o Equador, esse ângulo é 0°. A medida que vai pegando linhas de cima, esse ângulo aumenta, até que fica vertical, ou seja, 90°, então você chegou à casa do Papai Noel, vulgarmente conhecido como Polo Norte. O mesmo vale para a parte debaixo, só que se conta de forma negativa.

Mas como isso afeta o peso aparente? Vamos então construir o raciocínio. Acompanhe comigo porque é uma história longa..., mas não é algo dramático. Vamos apelar para alguns fatos da vida.

Fato 1: Quando você faz uma curva, a força centrífuga está na reta suporte do raio desta rotação. Ela não está em nenhuma outra direção. Sempre está no plano da circunferência que ela gera.

Fato 2: Na figura da latitude, veja que cada linha forma um circunferência. Quando você se encaminha para um dos polos, essas circunferências são cada vez menores. Então podemos dizer que o raio delas vai diminuindo.

Fato 3: Quando você está em uma latitude você executa um movimento circular cujo raio é o raio da circunferência desta latitude. Eu quando morava na minha cidade natal, Santarém, no Pará, eu estava próximo ao Equador. Hoje morando no estado de São Paulo, o raio que eu descrevo é menor, pois estou mais próximo do Polo Sul.

Podemos escrever o tal seno...

Como explicado, a latitude é medida a partir do Equador. Assim theta e phi são complementares, isto é, somados dão 90°.

Enfiando no seno, este fica:

Saibam todos e quem tem ouvidos que ouça. Em verdade vos digo, .

Isso vale para quaisquer ângulos complementares. Pode perguntar para sua professora de matemática. Isso vale sempre! Guarde com carinho no coração este ensinamento. Com isso chegamos a...

O raio em determinada latitude é calculado...

Sempre nessa formula, a força centrífuga está associada ao raio da circunferência descrita. Para a latitude, a força centrífuga é:

Substituindo...

E como se comporta a força centrífuga à medida que avançamos para os polos?

A função cosseno de um ângulo varia assim... vai diminuindo quando parte de 0° até 90°

Como andar para os polos a partir do Equador é o mesmo que ir de 0° para 90°, então o seno vai de 1 para 0, isto é, a força centrífuga vai diminuindo ao chegar nos polos. No Equador, ela é máxima.

Mas não acabou por aí. Vamos descobrir qual o peso aparente em determinada latitude. A razão disso é a diferença de direção entre o peso e a força centrífuga. Na figura seguinte, mostra que o a força centrífuga está na mesma direção do raio da circunferência da latitude, r. Já o peso SEMPRE aponta par ao centro da Terra. Forma-se assim uma relação de vetores com não alinhados. Para resolver este problema criamos um sistema de referencia, diferente do usado para o centro da Terra. Criamos em cima do corpo, pois é mais útil para nós. Então usamos a projeção da força centrífuga na direção do

0°

peso, chamando de . Então fazemos a mesma análise que fizemos para o efeito no equador, mas com alguns algo mais trigonométricos. A ideia é achar as componentes em x e z da aceleração aparente...

No eixo x

A projeção em x de aceleração centrífuga é uma relação trigonométrica...

Mas a aceleração centrífuga nesta latitude é ...

Isso evolui para...

Voltando a lei de Newton com esse resultado...

Para o eixo z...

A componente em z é proporcional ao seno...

Complementando...

Como temos a componente nas duas direções, x e z temos o vetor aceleração aparente determinado...

Para achar o módulo do da aceleração aparente fica: