Nos parágrafos seguintes são apresentadas as questões propostas e os seus objetivos. De forma similar, em 5.7 são listadas as questões sobre limites e os seus propósitos. Ao nível da notação, recorde-se que no modelo teórico RBC+Co definido no Capítulo 3 temos as etapas “Recognizing”, “Bulding-with”, “Constructing” e “Consolidation”, as quais serão, daqui em diante, referenciadas por Ação-R, Ação-B, Ação-C e Consolidação, respetivamente.
5.6.1 Questão 1
Questão 1 a) O que entende por função real de variável real contínua num ponto? Apresente dois exemplos, um gráfico e um analítico, destas funções. b) O que entende por função real de variável real contínua? Apresente dois
exemplos, um gráfico e um analítico, destas funções.
c) Considere as funções reais de variável real 𝑔, 𝑖 , 𝑗, 𝑘 e 𝑙 cujas representações gráficas se encontram abaixo expostas.
i. Indique o domínio das funções.
ii. Indique, justificando, quais das funções são contínuas em todo o seu domínio.
65 Figura 5.1 - Apresentação da Questão 1 sobre a noção de continuidade
A Questão 1 tem como objetivo diagnosticar o conhecimento inicial dos alunos sobre o conceito de continuidade. Na alínea a), os alunos serão confrontados com continuidade num ponto, e em b) com continuidade num intervalo. Espera-se que os alunos com Matemática A dominem a
construção (Ação-C) do conceito de continuidade, com níveis mais ou menos diferentes de consolidação, e como tal consigam resolver a questão. Quanto aos restantes alunos, e visto que
nada foi referido sobre o assunto, não se espera grandes resultados. Em relação à alínea c), se o conceito de domínio de uma função deverá ser algo já bem estabelecido (Ação-C), já a continuidade neste deverá ser problemática. Se em relação aos alunos sem Matemática A continuavam a valer as premissas indicadas, para os alunos com Matemática A a função 𝑙 deverá causar problemas, já que o conhecimento de continuidade que dominam (Ação-C) diferia do que agora se pretendia, atendendo ao facto de a função 𝑙 ter um ponto isolado. É expetável que estes alunos indiquem que a função 𝑙 é descontínua para 𝑥 = 2 (Ação-B).
Seguidamente, pretende-se que os alunos recordem a definição de vizinhança num ponto, tal como exposta na definição 2.1 da página 11. Esta definição já deverá ser conhecida dos alunos
pois foi previamente utilizada, de acordo com o programa da unidade curricular, na definição
de extremos relativos. Pretende-se que o recordar desta definição ajude os alunos a construir
o seu próprio conhecimento (Ação-R + Ação-B).
Apesar de Ferreira (2005, p. 302) definir continuidade lateral após a introdução dos limites, estes não são utilizados nessa definição. Considerou-se que era mais interessante modificar um pouco a ordem de introdução dos conceitos e trabalhar a continuidade lateral numa fase inicial do processo, com recurso à vizinhança à direita e à esquerda de um ponto, respetivamente ]𝑎; 𝑎 + 𝛿[ e ]𝑎 − 𝛿; 𝑎[. Também o prolongamento por continuidade num ponto só é estudado por Ferreira (2005, p. 292) após a introdução dos limites, mas não necessita destes (apesar de
simplificar a noção). Considerou-se assim que a continuidade lateral e o prolongamento por continuidade deveriam ser trabalhados inicialmente, antes de se referir os limites, por forma a mostrar claramente que o limite não é necessário para a continuidade.
5.6.2 Questão 2
Questão 2 Observe os seguintes gráficos das funções reais de variável real 𝑓 e 𝑔.
a) Prolongue a função 𝑓 no ponto 𝑥 = 1 de modo que 𝑓 seja contínua: i. apenas à direita de 1;
ii. apenas à esquerda de 1.
b) Prolongue a função 𝑔 no ponto 𝑥 = 1 de modo que 𝑔 seja contínua em ℝ.
Figura 5.2 - Apresentação da Questão 2 sobre a noção de continuidade
Nesta questão o fundamental é que os alunos reconheçam (Ação-R) a necessidade de interpretar corretamente a informação contida no gráfico. Preferencialmente, pretende-se que utilizem vizinhanças para estudar a continuidade num ponto, quer as laterais para a alínea a), quer as de raio 𝛿 para a alínea b) (Ação-R + Ação-B). É ainda relevante, apesar de ser indicado que o objetivo é analisar o comportamento no ponto 𝑥 = 1, que os alunos notem que o domínio da função é ℝ\{1}, por forma a compreender que o ponto 𝑥 = 1 será o mais relevante, numa mistura entre as ações de reconhecer e construir (Ação-R + Ação-B). Na etapa seguinte, pretende-se que os alunos compreendam a ideia de continuidade lateral, quer à esquerda quer à direita (Ação-B), e indiquem os valores dos prolongamentos pedidos (Ação-C). Espera-se que, com a resolução desta questão, seja alavancado o restante processo de construção da noção de continuidade.
5.6.3 Questão 3
Questão 3 Com base na sua representação gráfica, estude a continuidade das seguintes funções reais de variável real 𝑓 e 𝑔.
𝑓(𝑥) = { 0 se 𝑥 = −3 9 − 𝑥2 𝑥 + 3 se 𝑥 ≠ −3 𝑔(𝑥) = { 𝑥2− 2 se 𝑥 > 1 3 se 𝑥 = 1 𝑥3− 3 se 𝑥 < 1 Figura 5.3 - Apresentação da Questão 3 sobre a noção de continuidade
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Esta atividade já implica que sejam os alunos a representar graficamente as funções (Ação-
-R + Ação-B), sendo este o processo pretendido. É ainda relevante que os alunos tenham a
sensibilidade para notar que os pontos onde a continuidade é duvidosa são aqueles em que a função muda de ramo (Ação-R). Aqui será expectável que existam grandes assimetrias entre as resoluções, pois o processo de representação gráfica de uma função por ramos não é uma
construção consolidada (Ação-C + Consolidação), nem sequer uma construção (Ação-C) para
muitos dos alunos, com base nos resultados académicos anteriores dos participantes no estudo. Supondo que os alunos conseguem representar corretamente os gráficos, a análise do comportamento para 𝑥 = −3, no caso da função 𝑓, e para 𝑥 = 1, no caso da função 𝑔, será a base da construção (Ação-B) da continuidade das funções num intervalo. É ainda necessário dominar o conceito de vizinhança (Consolidação) e compreender que esta deve ser analisada no ponto de mudança de ramo (Ação-R). Para a função 𝑓, será ainda necessário simplificar a sua expressão designatória (Ação-R + Ação-B), o que por si só deverá ser uma tarefa complicada para alguns alunos.
Pretende-se que os alunos verifiquem que ambas as funções são contínuas em todo o seu domínio, exceto no ponto de mudança de ramo e, preferencialmente, que compreendam que a continuidade de funções definidas por ramos tem de ser sempre analisada com cuidado (Ação-
-C).
5.6.4 Questão 4
Questão 4 Considere a função real de variável real 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2−4𝑥 2𝑥−8.
a) A função 𝑓 é contínua em todo o seu domínio?
b) Prolongue a função 𝑓 de modo a que esta seja contínua em ℝ.
Figura 5.4 - Apresentação da Questão 4 sobre a noção de continuidade
Na Questão 4, já nada é indicado sobre o método pretendido para a resolução da questão. Espera-se, após a resolução das questões anteriores, que os alunos reconheçam a necessidade de utilizar representações gráficas, simplificação de expressões designatórias e vizinhanças (Ação-R). Estes procedimentos são similares aos elencados para a Questão 3, mas é agora necessário realizar cálculos analíticos por forma a obter o domínio de 𝑓, 𝐷𝑓 = ℝ\{4} (Ação-R +
Ação-B). Note-se aqui que, mesmo que o aluno consiga representar corretamente a função e
obter o seu domínio, tem de discernir que o que se pretende é a continuidade no domínio e não em ℝ. Como a representação gráfica da função implica colocar uma “bola aberta” em 𝑥 = 4, o processo de obtenção desta construção (Ação-R) parece-nos mais complicado.
Era ainda necessário ter já a construção de prolongamento em continuidade consolidada da Questão 2 (Ação-C), por forma a se atingir nesta altura a construção de continuidade de uma função em ℝ e não apenas no seu domínio (Ação-C).
5.6.5 Questão 5
Questão 5 Considere a função real de variável real 𝑓 definida por
𝑓(𝑥) = {2 se 𝑥 = 3 𝑥2− 𝑥 − 2 se 𝑥 ≤ 2.
A função 𝑓 é contínua em todo o seu domínio?
Figura 5.5 - Apresentação da Questão 5 sobre a noção de continuidade
A Questão 5 pretende atingir a consolidação da construção da noção de continuidade (Ação-C + Consolidação). Apesar de parecer, numa primeira análise, similar às questões 3 e 4, temos agora o enfoque no estudo de um ponto isolado (𝑥 = 3). É importante que os alunos reconheçam a importância deste ponto (Ação-R), bem como das já citadas construções de vizinhança num ponto e de representação gráfica de funções (Ação-R). Os alunos que tenham a noção de vizinhança bem dominada (Ação-C + Co) e tenham conseguido realizar as tarefas anteriores deverão realizar esta tarefa sem grandes problemas. No entanto, os alunos que tiveram Matemática A no secundário serão tentados a indicar que a função é descontínua no ponto 𝑥 = 3. Note-se ainda que a Questão 1 já aflorava a noção de continuidade num ponto isolado, recorrendo a uma representação gráfica, e como tal os mais atentos deverão recordar o que já foi feito.
É assim necessário que os participantes representem graficamente a função (Ação-B), verifiquem a continuidade no ponto 𝑥 = 3 (Ação-B) e notem que esta também é contínua no restante domínio da função, que não é ℝ. Após esta questão, espera-se que os discentes almejem a construção da noção de continuidade (Ação-C), com maior ou menor grau de
consolidação.