Questão 1 O que entende por limite de uma função real de variável real num ponto 𝑥 = 𝑎?
Figura 5.6 - Apresentação da Questão 1 sobre a noção de limite
Esta primeira questão sobre limites pretendeu apenas aquilatar quanto à existência, ou não, da construção do conceito de limite por parte dos alunos antes da lecionação destes conceitos. Tal como indicado na secção 5.6.1 aquando das questões sobre continuidade, esperava-se que os alunos com Matemática A dominassem a construção (Ação-C) do conceito de limite. Estes poderiam apresentar, nesta questão, a definição informal de limite “valor 𝑏 para o qual a função 𝑓 se aproxima quando 𝑥 se aproxima de 𝑎”. Também poderiam recorrer a um ou mais gráficos e indicar o valor de alguns limites concretos. Não sendo a solução ideal, mostraria que apesar da construção não estar completa, esses alunos estariam já na fase do construir (Ação-
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-B). Quanto aos alunos com uma maior capacidade de abstração e com um nível de consolidação
mais elevado, poderiam apresentar uma definição mais formal, tal como a de Cauchy nas suas diversas formas ou a de Heine (ver secção 2.2). Quanto aos restantes alunos, e visto que nada tinha sido referido sobre o assunto, não se esperavam quaisquer resultados, em consonância com o indicado aquando da discussão sobre as questões de continuidade.
5.7.2 Questão 2
Questão 2 Considere as funções reais de variável real 𝑔, 𝑖, 𝑗, 𝑘 e 𝑙 cujas representações gráficas se encontram abaixo expostas. Calcule os seguintes limites:
a) lim 𝑥→2𝑔(𝑥), lim𝑥→1𝑖(𝑥) e lim𝑥→0𝑙(𝑥); b) lim 𝑥→−∞𝑔(𝑥), lim𝑥→+∞𝑖(𝑥) e lim𝑥→−∞𝑘(𝑥); c) lim 𝑥→1𝑙(𝑥) e lim𝑥→2𝑙(𝑥); d) lim
𝑥→0𝑖(𝑥), lim𝑥→0𝑗(𝑥), lim𝑥→1𝑘(𝑥) e lim𝑥→1,5𝑙(𝑥).
Figura 5.7 - Apresentação da Questão 2 sobre a noção de limite
A Questão 2 é uma questão em que se pretende que o aluno comece por reconhecer (Ação-R) a importância das representações gráficas e também da noção de vizinhança. Na alínea a) estudam-se os limites em pontos onde não existem dúvidas quanto à continuidade, pelo que o processo de construir (Ação-B) pode começar sem sobressaltos. Na alínea b) temos os limites quando 𝑥 → −∞ e quando 𝑥 → +∞, pelo que é necessário reconhecer (Ação-R) que o gráfico se prolonga fora do intervalo apresentado e intuir quanto ao comportamento do limite nessa situação (Ação-B). Na alínea c) os limites pedidos compreendem um limite num ponto isolado e um limite num ponto em que a função está somente definida no ponto e à sua esquerda (ponto fronteiro) pelo que além dos alunos terem de reconhecer a importância da vizinhança e da continuidade (Ação-R) têm ainda de discernir o que deve suceder ao limite nestas situações
(Ação-B). Finalmente, na alínea d) os limites pedidos compreendem um ponto onde a função não está definida, nem na sua vizinhança (Ação-R + Ação-B). Além disso, é importante que os alunos reconheçam a importância da continuidade (Ação-R + Ação-B) para a noção do limite. Espera-se uma “acesa discussão” entre os alunos, especialmente em relação a lim
𝑥→0𝑖(𝑥) e a
lim
𝑥→1,5𝑙(𝑥), pois os que já conhecem a ideia de limite do secundário serão tentados a dizer que
lim
𝑥→0𝑖(𝑥) = 0 e que lim𝑥→1,5𝑙(𝑥) não existe, o que é incorreto à luz da definição de limite que se
pretende alcançar. A este respeito, recorde-se o que já indicámos na secção 2.2 e que difere em relação à construção de continuidade e limite (Ação-C + Consolidação) ensinada no antigo programa de Matemática A do ensino secundário: a existência de limite num ponto pertencente ao domínio da função equivale à continuidade nesse ponto, verificando-se, nesta hipótese, a igualdade lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), o que implica que não há limite nos pontos de descontinuidade no
domínio da função. Será assim muito importante, já nesta fase, que estes alunos consigam “reconstruir” (Ação-R + Ação-B + Ação-C) a sua ideia de limite, o que passa pela “reconstrução” da noção de continuidade (Ação-R + Ação-B + Ação-C) que se espera que, nesta altura, já tenha sido realizada. Em síntese, a Questão 2 é muito relevante, pois não só cobre (desejavelmente) todas as situações de interesse como é útil no processo de reconstrução das noções de continuidade e de limite pelos alunos que frequentaram Matemática A no ensino secundário.
5.7.3 Questão 3
Questão 3 Considere as funções reais de variável real 𝑓 e 𝑔 cujas representações gráficas se encontram abaixo expostas. Indique os pontos do domínio onde as funções não têm limite.
Figura 5.8 - Apresentação da Questão 3 sobre a noção de limite
A Questão 3 tem, quanto a nós, uma importante mas subtil diferença em relação à anterior. Prende-se com o facto de serem pedidos os pontos do domínio em que as funções não têm limite, e não como anteriormente para estudar o limite em pontos em que a função poderia ou não estar definida. Por exemplo, é natural que alguns alunos indiquem que lim
𝑥→5𝑔(𝑥) = 1, o que
sendo verdadeiro não é o pretendido, já que a pergunta restringe o estudo ao domínio da função. Desta forma, é importante que o aluno compreenda (Ação-R) que é necessário começar por indicar o domínio destas funções, e só depois começar a estudar os limites (Ação-B). Nesta altura, expectavelmente, todos os alunos deveriam dominar a construção de domínio de uma
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função, pelo menos do ponto de vista gráfico (Ação-C + Consolidação). Pretende-se assim que a construção de limite pelos alunos distinga o que é limite em ℝ e o que é limite no domínio da função (Ação-B + Ação-C).
5.7.4 Questão 4
Questão 4 Calcule os seguintes limites: a) lim 𝑥→2(𝑥 + 1), lim𝑥→8(−10), lim𝑥→1(−2𝑥 + 1 𝑥) e lim 𝑥→2[(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) 2] b) lim 𝑥→−∞(𝑥 2), lim 𝑥→+∞( 2 𝑥) e lim𝑥→0( 1 𝑥2)
Figura 5.9 - Apresentação da Questão 4 sobre a noção de limite
A Questão 4 é a primeira em que o cálculo do limite é pedido sem o auxílio da representação gráfica. Na alínea a), é importante que os alunos compreendam (Ação-R + Ação-B) que basta substituir o valor de 𝑥 na expressão designatória da função para determinar o valor do limite. Na alínea b), já são esperadas mais dificuldades. Atendendo a que nesta UC é possível utilizar calculadoras gráficas, apesar de ser sempre pedido para se justificarem os gráficos obtidos e os cálculos apresentados, é possível que os estudantes obtenham o gráfico na máquina ou que o desenhem em papel (Ação-R + Ação-B), aplicando um raciocínio similar ao das questões anteriores. Por outro lado, alguns alunos que dominem bem a construção (Ação-C +
Consolidação) das funções envolvidas, sobejamente conhecidas, poderão intuir quanto ao valor
dos limites sem apresentar quaisquer cálculos ou representações gráficas (alunos da Matemática A). Existe ainda um terceiro caminho que será inicialmente orientado pelo docente, como base para situações similares. Através da substituição na expressão designatória da função de 𝑥 por valores de interesse, é possível que o aluno consiga descobrir o valor do limite pretendido. Por exemplo, substituindo em lim
𝑥→−∞(𝑥
2) o valor de 𝑥 por −10, −100 e −1000 é
fácil concluir que lim
𝑥→−∞(𝑥
2) = +∞ (Ação-B). Um pouco mais complicado será o cálculo de
lim
𝑥→0( 1
𝑥2). Apesar de bastar substituir os valores de 𝑥 por valores positivos cada vez mais próximos
de zero para se obter a solução correta, pretende-se que os alunos reconheçam (Ação-R) que é igualmente possível aproximar 𝑥 por valores negativos cada vez mais próximos de zero. Na fase da discussão, é natural que se questione o que sucederia se o pretendido fosse lim
𝑥→0( 1 𝑥). A
questão dos limites laterais já foi aflorada nas questões anteriores, de forma gráfica, mas no final desta questão espera-se, ainda que de forma rudimentar, que os alunos verifiquem a importância desta noção (Ação-R + Ação-B).
5.7.5 Questão 5
pontos indicados e diga, justificando, se existe limite da função nesses pontos a) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 se 𝑥 < 0 𝑥 se 𝑥 > 0 em 𝑥 = 0. b) 𝑔(𝑥) = { 1 2 se 𝑥 < −1 2 se − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 −1 𝑥 se 𝑥 > 1 em 𝑥 = 1. c) ℎ(𝑥) = { 1 𝑥2+1 se 𝑥 > −1 − 1 2𝑥 se 𝑥 ≤ −1 em 𝑥 = −1.
Figura 5.10 - Apresentação da Questão 5 sobre a noção de limite
Esta questão é a primeira a ser trabalhada após a noção de limite ser formalmente introduzida (ver secção seguinte). Nesta são apresentadas as expressões analíticas de funções definidas por ramos o que, por si só, é uma dificuldade acrescida. Apesar destas funções terem sido anteriormente introduzidas nesta UC, sabe-se de experiência passada que esta é uma
construção (Ação-C + Co) muitas vezes extremamente débil para a maioria dos alunos. É
necessário que os alunos reconheçam a importância destas funções (Ação-R) e das representações gráficas (Ação-R), essencialmente para a alínea a). Para a resolução das alíneas b) e c), e apesar de ser possível realizar as suas representações gráficas, o cálculo do limite recorrendo a estratégias de substituição e de aproximação (Ação-R), conforme explanado em relação à questão anterior, configura-se mais simples. Em nosso entender, especialmente o gráfico da função ℎ(𝑥) é uma construção (Ação-C + Consolidação) que poucos discentes deverão dominar. Pretende-se assim que os alunos utilizem essencialmente as estratégias de substituição e de aproximação (Ação-B + Ação-C) para obter a construção de limite lateral. Depois, e de forma similar ao realizado já na Questão 2, a comparação desses valores na vizinhança do ponto de interesse permitirá, expectavelmente, a construção do conceito de limite (Ação-C) a partir do conhecimento dos limites laterais.
5.7.6 Questão 6
Questão 6 Determine o valor do parâmetro real a de modo a que a função real de variável real ℎ definida por
ℎ(𝑥) = {𝑥 + 2𝑎 se 𝑥 < −1 𝑥2− 𝑎𝑥 + 1 se 𝑥 ≥ −1
tenha limite quando 𝑥 tende para −1.
Figura 5.11 - Apresentação da Questão 6 sobre a noção de limite
Na Questão 6 pretende-se aquilatar se a construção do conceito de limite já foi alcançada pelos alunos (Ação-B + Ação-C). Note-se que como a função ℎ depende de um parâmetro real 𝑎, a representação gráfica será impossível nesta questão. Atendendo a que a definição de limite já foi lecionada e os limites laterais trabalhados, os alunos devem reconhecer a importância da
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igualdade dos limites laterais (Ação-R + Ação-B) para a existência de limite num ponto (Ação-B + Ação-C). Assim, deverão igualar as expressões obtidas pelo cálculo dos limites laterais à esquerda e à direita de 𝑥 = 1 (Ação-B) como única forma de resolver a questão proposta. A obtenção do correto valor de a indicará que a contrução está, total ou parcialmente, realizada (Ação-B + Ação-C).
5.7.7 Questão 7
Questão 7 Considere a seguinte função real de variável real 𝑔 definida por
𝑔(𝑥) = { 𝑥3− 3 se 𝑥 < 1 3 se 𝑥 = 1 𝑥2− 3 se 𝑥 > 1 . a) Calcule lim 𝑥→1𝑔(𝑥).
b) Estude a continuidade da função 𝑔.
Figura 5.12 - Apresentação da Questão 7 sobre a noção de limite
Nesta penúltima questão do estudo realizado, a alínea a) é similar à Questão 5. Pretende-se que o aluno recorde (Ação-R) as estratégias de substituição e aproximação, de limite lateral, vizinhança e limite que nesta altura já deverão ser construções (Ação-C) dominadas, mesmo que não consolidadas. O principal objetivo da alínea a) é preparar a alínea b), onde se retoma a questão da continuidade. Evidentemente que os alunos podem estudar a continuidade com recurso à vizinhança, tal como tinha sido realizado nas aulas sobre esta matéria (Ação-R + Ação-
-B + Ação-C + Consolidação). Mas o que se pretende, e o docente procurará direcionar os
estudantes nesse sentido, é que estes notem que se lim
𝑥→1𝑔(𝑥) não existe, então a função não é
contínua nesse ponto (Ação-R + Ação-B). Por outro lado, se o limite existe em todos os restantes pontos do domínio de 𝑔, então a função é contínua nesses pontos (Ação-R + Ação-B).
5.7.8 Questão 8
Questão 8 Com base no conceito de limite, defina continuidade num ponto.
Figura 5.13 - Apresentação da Questão 8 sobre a noção de limite
A Questão 8, e última, é o pináculo das questões sobre continuidade e limite. Pretende-se que o aluno considere as construções que tem de continuidade e limite, mais ou menos consolidadas (Ação-C + Consolidação), e as interligue e relacione (Ação-B). É evidente que a noção de continuidade pode ser definida sem recurso à noção de limite, como referimos várias vezes neste trabalho, até porque introduzimos o conceito de continuidade antes do conceito de limite. No entanto, ambas estão fortemente relacionadas. Antes do início do estudo, os alunos com Matemática A seriam tentados a imediatamente dizer que 𝑓 é contínua no ponto de acumulação 𝑎 se e só se existe lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Após o estudo, quer estes quer os
de limite num ponto do domínio da função implica a sua continuidade nesse ponto, e que a não existência de limite num ponto do domínio da função implica a sua descontinuidade nesse ponto (Ação-C). Ou seja, e conforme já foi referido na subsecção 2.3.4, a função f é designada por contínua num ponto do domínio a quando o limite lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) existe (Ação-C). Obviamente que a
diferença entre a continuidade em ℝ e a continuidade no domínio da função é subtil, e só quando tivermos algum grau de consolidação é que um número significativo dos estudantes vai discernir essa diferença (Ação-C + Consolidação).