Raízes Quadradas Módulo Potências de Números Primos

Como é natural, o conceito de raiz quadrada introduzido na Definição 3.1 admite uma genera- lização para os casos em que, em vez de trabalharmos com um módulop primo, trabalhamos

com um módulon composto. Nestes casos, pretendemos naturalmente saber se a congruência

x2 _{≡ a (mod n) (3.7)}

admite quaisquer soluções, pretendendo também, em caso afirmativo, determiná-las. No entanto, mesmo nos casos em que esta congruência admite soluções verifica-se que obtê- -las é uma tarefa equivalente a factorizar n completamente, o que, como sabemos, pode ser

extremamente difícil. Um caso especial e de resolução mais fácil deste tipo de congruências ocorre quando o módulo da congruência (3.7) é uma potência pk _{de um determinado primo,}

podendo ser visto como um caso particular da resolução de congruências do tipo

f (x) ≡ 0 (mod pk) (3.8) no qual tomamosf (x) = x2_{− a. Para resolver este tipo de congruências é possível aplicar um}

processo simples e muito eficiente, desde que conheçamos as soluções de f (x) ≡ 0 (mod p).

De um modo geral, este processo tenta construir indutivamente a partir de uma solução r1

de f (x) ≡ 0 (mod p) um inteiro da forma

r1+s1p + s2p2+ · · · +sk−1pk−1,

determinando para o efeito os coeficientess1, s2, · · · , sk−1de tal modo quer2

(def)

= r1+s1p seja

uma solução de f (x) ≡ 0 (mod p2_),r 3

(def)

= r2+s2p2 seja uma solução de f (x) ≡ 0 (mod p3),

e assim sucessivamente. Este processo baseia-se no seguinte resultado:

Teorema 3.7. Para cada k ≥ 2, o número de soluções da congruência f (x) ≡ 0 (mod pk₎

correspondentes a cada solução rk−1 def (x) ≡ 0 (mod pk−1) é

(a) 1 , se f0(rk−1) 6≡ 0 (mod p),

(b) p , se f0_(r

k−1) ≡ 0 (mod p) e f (rk−1) ≡ 0 (mod pk),

(c) 0 , se f0(rk−1) ≡ 0 (mod p) e f (rk−1) 6≡ 0 (mod pk).

Nos dois primeiros casos, cada uma das referidas soluções é da forma rk=rk−1+sk−1pk−1,

sendo que no caso (a) o inteiro sk−1 verifica a congruência

sk−1f0(rk−1) ≡ −

f (rk−1)

pk−1 (mod p), (3.9)

enquanto que no caso (b) a cada 0 ≤sk−1≤ p − 1 corresponde uma das referidas soluções.

Demonstração. A demonstração deste resultado pode ser encontrada em [8, pp. 96-97].

3. CRIVO QUADRÁTICO

Ora, tendo em conta este resultado, e uma vez que se verifica (x2_{− a)}0 _{= 2x, concluímos ser}

possível e até conveniente dividir o resto da discussão em dois casos: o caso em que p é um

primo ímpar que não dividea, e portanto no qual se verifica f0(x) = 2x 6≡ 0 (mod p) sempre

que x 6≡ 0 (mod p), e o caso em que p é igual a 2, verificando-se f0(x) ≡ 0 (mod p) para

qualquer inteirox.

Comecemos então por estudar o caso em que p é um primo ímpar que não divide a.

Tendo em conta o que foi referido em §3.1.1, a congruênciax2 _{≡ a (mod p) admite exacta-}

mente duas soluções, digamosr1 e r01. Deste modo, aplicando indutivamente o Teorema 3.7

facilmente se conclui que para qualquerk ≥ 1 existem exactamente duas soluções desta con-

gruência módulopk_{, digamosr}

kerk0. Para além disso, conclui-se também que parak ≥ 2 cada

uma destas soluções pode ser determinada a partir derk−1 er0k−1 resolvendo as congruências

sk−1f0(rk−1) ≡ − f (rk−1) pk−1 (modp) e s 0 k−1f0(rk−10 ) ≡ − f (r0 k−1) pk−1 (modp), e tomando rk =rk−1+sk−1pk−1 e rk0 =rk−10 +sk−1pk−1.

Exemplo 3.8. Suponhamos que após verificar quex2_{≡ 2 (mod 7) admite r}

1 = 3 er01 = 4

como soluções, pretendíamos determinar todas as soluções dex2 _{≡ 2 (mod 7}3_{). Para deter-}

minar uma destas soluções, começamos por considerar a solução r1 = 3, determinando em

seguida a soluçãos1 de

s1· 2 · 3 ≡ −

32− 2

7 ≡ 6 (mod 7),

que verificamos facilmente ser s1 = 1. Consequentemente, a solução r2 de x2 ≡ 2 (mod 72)

correspondente ar1 = 3 ér2= 3 + 1 · 7 = 10, verificando-se com efeito que 102≡ 2 (mod 72).

Aplicando novamente este raciocínio por forma a determinarr3, concluímos que

s2· 2 · 10 ≡ −

102− 2

72 ≡ 5 (mod 7),

sendo portantor3 = 10 + 2 · 72 = 108 uma das duas soluções dex2 ≡ 2 (mod 73) pretendidas.

Para determinar a outra destas soluções podemos aplicar o mesmo processo, começando desta vez com a solução r0

1 = 4 de x2 ≡ 2 (mod 7). No entanto, notando que quaisquer

duas soluções de congruências do tipox2 _{≡ a (mod p}k_{) são opostas uma da outra módulop}k_,

conclui-se facilmente que 39 e 235 são as restantes soluções das congruências consideradas, uma vez que

(72− 10)2 = 392 ≡ 2 (mod 72) e (73− 108)2 = 2352≡ 2 (mod 73).

Deste modo, e se bem que pudéssemos, naturalmente, aplicar o mesmo processo a r₁0 = 4, neste caso conseguimos determinar a solução correspondente de forma mais fácil.

3.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Debruçamo-nos agora então sobre o caso ligeiramente mais complicado em que p é igual a

2. Neste caso não podemos aplicar a técnica anterior, uma vez que f0_{(x) ≡ 0 (mod 2) para}

qualquer inteiro x, correspondendo portanto este caso aos pontos (b) e (c) do Teorema 3.7.

Para além disso, e assumindo quea 6≡ 0 (mod 2), a congruência x2 ≡ a (mod 2)

admite como única soluçãor1 = 1, pelo que temos apenas uma solução com a qual trabalhar.

Consideremos então a congruência

x2_{≡ a (mod 4), (3.10)}

para a qual existem duas situações possíveis: ou a ≡ 1 (mod 4), e portanto, tendo em conta

o caso (b) do Teorema 3.7, existem duas soluções r2 e r20, ou a ≡ 3 (mod 4), não tendo

a referida congruência quaisquer soluções neste caso. Deste modo, apenas nos interessa o primeiro caso, para o qual, de acordo com o referido teorema, se obtêm as soluções

r2 = 1 + 0 · 2 = 1 e r02 = 1 + 1 · 2 = 3.

Consideremos agora o caso da congruência

x2_{≡ a (mod 8),}

no qual podemos considerar a ≡ 1 (mod 4). Nestas condições, temos novamente duas situ-

ações possíveis para analisar: ou a ≡ 1 (mod 8), verificando-se novamente o caso (b) do

Teorema 3.7, ou a ≡ 5 (mod 8), e portanto a referida congruência não admite quaisquer

soluções. Assim, no primeiro destes casos a cada uma das soluções r2 = 1 e r02 = 3 da con-

gruência x2 _{≡ a (mod 4) correspondem outras duas soluções de x}2 _{≡ a (mod 8), obtendo-se}

assim

r3= 1 + 0 · 4 = 1 e r30 = 1 + 1 · 4 = 5,

r00₃ = 3 + 0 · 4 = 3 e r₃(3)= 3 + 1 · 4 = 7.

Tomando um pouco de atenção ao raciocínio até agora efectuado, concluímos que o número de soluções tem vindo a duplicar constantemente, ou seja, tem-se até agora verificado sempre o caso (b) do Teorema 3.7. No entanto, a partir deste ponto o número de soluções estabiliza, obtendo-se quatro soluções para cada k ≥ 3 sempre que a ≡ 1 (mod 8). Esta situação

deve-se ao facto de que, a partir de 8 = 23, se começa a verificar o caso (c) para algumas soluções. De facto, das soluções de x2 _{≡ a (mod 8) apenas r}

3 er(3)3 continuam a ser soluções

de x2 _{≡ a (mod 16) quando a ≡ 1 (mod 16), enquanto que r}0

3 e r003 passam a ser soluções

3. CRIVO QUADRÁTICO

desta congruência apenas nos casos em quea ≡ 9 (mod 16). Demonstra-se por indução que

esta situação se verifica de modo semelhante para as restantes potências de dois, pelo que podemos concluir quex2_{≡ a (mod 2}k_{) admite}

                     1 solução sek = 1, 2 soluções sek = 2 e a ≡ 1 (mod 4), 4 soluções sek ≥ 3 e a ≡ 1 (mod 8),

nenhuma solução nos restantes casos.

Deste modo, e estudados todos os conceitos de que necessitamos acerca de raízes quadradas modulares, descrevemos agora dois processos muito eficientes para reconhecer números pri- mos, bem como números suaves relativamente a uma dada base de factores.