Pareto, um economista do século 19, notou que na Itália alguns indivíduos ricos ganhavam a maior parte do dinheiro, enquanto a maioria da população ganhava pouco. Observou , assim, que a distribuição de riqueza era bem aproximada por uma lei de potência. (PARETO, 1964)
30 Capítulo 2. Redes
Ao mapear a World Wide Web , realizado no estudo liderado por Laszlo Barabási, se pode verificar que 80 % das páginas web tinham apenas 4 hiperligações e que aproximadamente 0,001 % das páginas tinha mais de 1000 hiperligações.Dessa forma, ele também verificou que a distribuição das hiperligações era bem aproximada por uma lei de potência
Dessa forma,as redes livres de escala são um tipo de rede cuja distribuição dos graus tem (teóricamente) variancia infinita , como a lei de potencia, com expoente entre 2 e 3 .Neste caso, a maioria dos nós(vértices) tem poucas ligações, contrastando com a existência de alguns nós que apresentam um elevado número de ligações. Este último grupo de nós são designados de "Hubs", os quais tem um papel fundamental dentro da rede.
Este tipo de rede , denominadas redes livre de escala, justamente por que alguns nós não tem escala , sendo muito diferente da média <k>
As redes de livre escala são bastante comuns e podem ser identificadas nos mais vari- ados contextos tais como: World Wide Web, as redes biológicas, as redes sociais, redes metabolicas, entre outras.
A distribuição dos graus em redes livres de escala seguem a lei de potencia :
𝑝𝑘 ≈ 𝑘−𝛾 (2.18)
Onde o expoente é o seu expoente de grau. Na lei de potencia , os graus dos nós são inteiros positivos, k = 0, 1, 2, ..., o formalismo discreto fornece a probabilidade 𝑝𝑘 que
um nó tenha exatamente k ligações
𝑝𝑘= 𝑐𝑘−𝛾 (2.19)
A constante c é determinada pela condição de normalização ∞
∑︁
𝑘=1
𝑃𝑘 = 1
Das duas equações anteriores obtemos:
𝑐∑︁ 𝑘=1 𝑘−𝛾 = 1 (2.20) 𝑐 = ∑︀ 1 𝑘=1𝑘−𝛾 (2.21)
Sendo o denominador a funçao zeta. Dessa forma, se obtem:
𝑐 = 1
2.3. Tipos de Redes 31
De (2.19) e (2.22):
𝑃𝑘 =
𝑘−𝛾
𝜁(𝛾) (2.23)
Pode-se observar na figura 6 uma rede aleatoria e sua distribuição binomial assim como uma rede livre de escala e sua distribuição de potencia. No grafico a diferença de uma pequena rede aleatória e uma rede livre de escala. Uma caraterística da distribuição de potencia é a presencia da "cauda gorda"quando o grau aumenta, enquanto na distribuição binomial não existe nós com graus altos e portanto,não existe a presença desta "cauda gorda". Esta "cauda gorda"na rede livre de escala representa portanto a existencia de nós com alto grau
Figura 6: a)rede aleatoria; b)grafico da distribuiçao binomial ; c)rede livre de escala d)grafico da distri- buiçao livre de escala
33
3 Modelos Epidemiológicos
A palavra epidemiologia é derivada do grego (epi = sobre; demos = populacão, povo; logos = estudo). Desta forma, epidemiologia é o estudo do que ocorre em uma população. Epidemiologia é a ciencia que estuda o processo saude-enfermidade na sociedade, levando em consideração fatores determinantes dos riscos de doenças, propondo medidas especifi- cas para prevenir, controlar e erradicar as enfermidades (FILHO; M, 2006)
O estudo matemático da epidemiologia começou a ser realizado em 1760 por Bernoulli quando estudou a varıola(BERNOULLI, 1760). Somente a partir da metade do seculo XIX,com o avanço do conhecimento médico sobre microorganismos e doenças infeccio- sas,começou a surgir teorias matemáticas para fenômenos epidemiolgicos.
O epidemiologista ingles Sir William Heaton Hamer, construiu em 1906 a curva epidemica do sarampo. Hamer desenvolveu a expresão matemática do comportamento epidemioló- gico do sarampo tendo por base a sua teoria mecânica de números e densidade. Ele for- mulou matematicamente o comportamento epidémico como uma dinâmica dos contatos entre indivíduos sadios e infectados, conhecido como principio de ação de massas.
Pelo princípio de ação de massas se estabelece que a taxa de transmissão da doençã é proporcional ao produto da densidade de indivíduos não infectados e infectados. Em 1927, Kermack e McKendrick desenvolveram uma teoria relacionando o surgimento de uma epidemia a um valor crítico do núumero de suscetíveis (W; KENDRICK,1927). O princípio de acão de massas e a teoria do valor crítico são os dois marcos nos estudos da epidemiologia moderna.
Neste capitulo será abordado modelos epidemiologicos , na primeira seção trataremos as hipótesis nas quais se baseiam os modelos ; já na segunda seção será abordado os modelos de epidemiologia , sendo eles o modelo SI , SIS e SIR.Cave mencionar que existem outros modelos os quais não serão abordados nesta dissertação.
3.1
Hipótese
hipóteses na modelagem da disseminação de agentes patogénicos ∙ Compartimentalização
A classificação é feita com base na fase da doença que os afeta , assim um individuo pode estar em um dos três estados ou compartimentos:
– Susceptíveis (S): Indivíduos que ainda nao tiveram contato com o agente pato-
34 Capítulo 3. Modelos Epidemiológicos
– Infectados (I): indivíduos que entraram em contato com o patógeno e se infec-
taram e, portanto, estão contagiados podendo infectar outras pessoas.
– Recuperado (R): indivíduos que foram infectados antes, mas se recuperaram
da doença, portanto, não podem se infectar assim como nao podem infectar outros indivíduos
Os indivíduos podem se deslocar entre os compartimentos. Assim , quando um individuo suscetível entra em contato com um infectado , o primeiro pode se tornar infectado e posteriormente graças ao seu sistema imunológico se recuperar e se tornar imune.
Algumas doenças precisam mais classificações , com mais estados adicionais, como indiví- duos imunes, que não podem ser infectados, ou indivíduos latentes, que têm sido expostos à doença, mas ainda não são contagiosos.
∙ Mistura Homogênea A hipótese de mistura homogênea (Ação de aproximação de mas- sas) assume que cada indivíduo tem a mesma chance de entrar em contacto com um indivíduo infectado. Esta hipótese é equivalente a hipótese de que a rede de contatos é aleatória.
Sob estas duas hipotesis se erge a estrutura de modelagem de epidemias. Na seguinte seção detalharemos os modelos de epidemia básicos o SI, SIS e SIR. Como mostrado na figura 7
Figura 7: a)modelo SI, b)Modelo SIS ,c)Modelo SIR
3.2
Conceitos importantes
3.2.1
Tempo caraterístico (𝜏 )
É o tempo necessário para atingir a fracção de 1/e é dizer cerca de 63 % de todos indivíduos susceptíveis 𝜏 é o inverso da velocidade com que se propagam os patogenos, através da população, é dizer o inverso da taxa de transmissibilidade
3.2.2
Numero Basico (R
0)
Representa o número médio de indivíduos susceptível infectados por um indivíduo infec- tado durante o período de infecção . O número básico de reprodução é valiosa para seu
3.3. Modelos 35
poder de previsão
3.2.3
Taxa de Transmissibilidade
É a velocidade com que a doença se espalha3.2.4
Taxa de Propagação (𝜆)
Ela depende apenas das características biológicas do agente patogénico,ou seja, a proba- bilidade de transmissão 𝑏𝑒𝑡𝑎 e da taxa de recuperação 𝑚𝑢 É definida para prever quando um agente patogénico na população persiste no modelo SIS
3.2.5
limiar de epidemia (𝜆
𝑐)
O agente patogénico pode se espalhar somente se a sua taxa de propagação exceda um limiar de epidemia
3.3
Modelos
Nos modelos serão considerado N constante e sem dinâmica vital o que significa que na população não se considerarão nascimentos nem mortes.
3.3.1
Modelo SI
Considere uma doença que se propaga numa população de 𝑁 indivíduos e que cada individuo tem < 𝑘 > contatos. Considerando 𝛽 a taxa de transmissão da doença e essa transmissão se dá com o encontro entre indivíduos suscetíveis e infectados . A proporção de vizinhos suscetíveis de um indivíduo infetado é < 𝑘 > 𝑆/𝑁 logo a taxa de transmissão da doença gerada por este indivíduo infetado é de 𝛽 < 𝑘 > 𝑆/𝑁 .Considerando todos os indivíduos infetados obtemos a seguinte equação:
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 < 𝑘 > 𝑆(𝑡) 𝑁 𝐼(𝑡) (3.1) considerando 𝑠(𝑡) = 𝑆(𝑡) 𝑁 (3.2) 𝑖(𝑡) = 𝐼(𝑡) 𝑁 (3.3)
36 Capítulo 3. Modelos Epidemiológicos
𝑑𝑖
𝑑𝑡 = 𝛽 < 𝑘 > 𝑖(1 − 𝑖) (3.4)
Esta equação tem a mesma expressão já conhecida como Modelo Logístico , usada como modelo de crescimento populacional. (VERHULST,1838)
onde o produto 𝛽 < 𝑘 > é a taxa de transmissibilidade.
𝑑𝑖 𝑖 +
𝑑𝑖
(1 − 𝑖) = 𝛽 < 𝑘 > 𝑑𝑡 (3.5) integrando os dois lados da equação, obtemos:
𝑙𝑛𝑖 − 𝑙𝑛(1 − 𝑖) = 𝛽 < 𝑘 > 𝑡 + 𝐶 (3.6)
Com condiçao iniciao 𝑖𝑜 = 𝑖(𝑡 = 0) , obtemos 𝐶 = (1−𝑖𝑖𝑜𝑜)
𝑖 = 𝑖𝑜𝑒
<𝐾>𝑡
1 − 𝑖𝑜+ 𝑖𝑜𝑒<𝑘>𝑡
(3.7)
Esta equação prevê que:
– No início ,a fracção dos indivíduos infectados aumenta exponencialmente , como
vemos na figura 8. Na verdade, desde o início um indivíduo infectado encontra só indivíduos suscetíveis, portanto, o patógeno pode facilmente se dissipar. Com o tempo um indivíduo infectado encontra cada vez menos indivíduos suscetíveis. Por isso, o crescimento de i diminui quando t cresce ,como mostrado na figura 8. A epidemia termina quando todos foram infectado, ou seja, quando
𝑖(𝑡 → ∞) = 1 e 𝑠(𝑡 → ∞) = 0
– O tempo caracteristico necessário para atingir cerca de 63 % de todos in-
divíduos susceptíveis .Ele é representado pela seguinte equação
𝜏 = 1
𝛽 < 𝑘 > (3.8)
A equação prevê que o aumento ou a densidade de ligações <k> ou 𝛽 aumenta a velocidade do agente patogênico e reduz o tempo característico.
3.3.2
Modelo SIS
No modelo SI o indivíduo suscetível pode se tornar infectado quando entra em contato com o agente infeccioso , porém não mostra o sentido inverso , é dizer quando um infectado volta para o estado suscetível. No entanto , a maioria dos patógenos são eventualmente
3.3. Modelos 37
Figura 8: A evolução no tempo da fração de infectados.
No inicio cresce exponencialmente. No final, 𝑠(𝑡 = ∞) = 0; 𝑖(𝑡 = ∞) = 1 , tendo toda a populaçao infetada.
Implementado no matlab, usando ODE45,o qual usa o método Runge kutta
derrotados pelo organismo ,e o individuo volta a ser suscetível após o tratamento , sendo suscetível ele não infectara nenhum outro individuo , até ele ser infectado novamente. No modelo SI existe a probabilidade 𝛽 de um infectado infetar um suscetivel , já no modelo SIS também existe a taxa 𝜇 de recuperação da doença , tornando-se suscetível novamente o indivíduo . A equação que descreve esta dinâmica é
𝑑𝑖
𝑑𝑡 = 𝛽 < 𝑘 > 𝑖(1 − 𝑖) − 𝜇𝑖 (3.9)
em que 𝜇 é a taxa de recuperação e o termo 𝜇𝑖 capta a taxa à qual a população se recupera da doença. Integrando os dos lados da equaçao obtemos:
𝑖 = (1 − 𝜇 𝛽 < 𝑘 >)
𝐶𝑒(𝛽<𝑘>−𝜇)𝑡
1 + 𝐶𝑒(𝛽<𝑘>−𝜇)𝑡 (3.10) onde a condiçao inicial 𝑖𝑜 = 𝑖(𝑡 = 0) , dado 𝐶 = 𝑖𝑜/(1 − 𝑖𝑜− 𝜇/𝛽 < 𝑘 >).
Enquanto no modelo SI,toda a população fica infetada ,em um tempo grande , no modelo SIS obtem-se dois resultados possíveis
3.3.2.1 estado endemico ( 𝜇 < 𝛽 < 𝑘 >)
Para baixa taxa de recuperação da fracção dos indivíduos infectados, i, segue uma curva logística semelhante ao observado no modelo SI. No entanto, não todos os indivíduos estão infectados, mas i atinge uma constante 𝑖(∞) < 1 como mostrado na figura 9 . Isto significa que apartir de um determinado t, apenas uma fracção finita da população está infectada. Neste estado estacionário ou endêmico o número de pessoas infectadas é igual ao número de indivíduos que se recuperam da doença, daí a fração infectado da população não muda com o tempo , como observamos na figura 9
38 Capítulo 3. Modelos Epidemiológicos
Figura 9: A evolução no tempo da fração de infectados no modelo SIS, no estado endêmico Implementado no matlab, usando ODE45,o qual usa o método Runge kutta
3.3.2.2 estado livre de doença( 𝜇 > 𝛽 < 𝑘 >)
Nesse estado, o número de pessoas curadas por unidade de tempo excede o número de indivíduos recém-infectados. Dessa forma, o agente patogenico desaparece da população. Assim, o modelo SIS prevê que alguns agentes patogénicos persistirão na população, já outros irão morrer para algúm t
Para prever se a população estará livre da doença ou será estado endêmico é necessário entender o número básico de Reprodução 𝑅0
Numero básico de Reprodução
O número básico de Reprodução representa o número médio de novos indivíduos infecta- dos gerados diretamente por um único indivíduo infectado quando a população é quase inteiramente suscetível. Ele é representado pela seguinte fórmula:
𝑅0 =
𝛽 < 𝑘 >
𝜇 (3.11)
O número básico de reprodução é valiosa para seu poder de previsão:
– Se 𝑅0 > 1 a epidemia evolui para um estado endêmico. Com efeito, se cada in- divíduo infectado infecta mais de uma pessoa saudável, o patógeno está prestes a se espalhar e persistir na população.
– Se 𝑅0 < 1 a epidemia morre. Assim, se cada indivíduo infectado infecta menos de uma pessoa adicional, o patógeno não pode persistir na população, e morre
Portanto , o número de reprodução é um dos primeiros parâmetros epidemiológicos para estimar um novo agente patogénico, avaliando a gravidade do problema que enfrentam. Quanto maior é 𝑅0, mais rápido a doença se espalha. Na tabela observa-se 𝑅0 para vários patógenos.(PRICE, 1965)
3.3. Modelos 39
Tabela 1: Doenças com suas respectivas formas de transmissão e R0
DOENÇA TRANSMISSÃO R0
Sarampo Transportado pelo Ar 12-18 Pertussis Gotículas no Ar 12-17
Difteria Saliva 6-7
Variola Contato 5-7
Poliomielite Rota Fecal 5-7 Caxumba Gotículas no Ar 4-7
HIV Contato sexual 2-5
Sars Gotículas no Ar 2-5
Gripe Gotículas no Ar 2-3