h∈R
R; |h(y)|< ε, y ∈F , para algum subconjuntoF ⊂Rfinito e algumε >0. Sejah
Ug∈U
gtal que h
Ug(x) = 0 se x ∈ F, ou h
Ug(x) = 1 se x /∈ F. Logo, h
Ug∈ U
g∩A e portanto, g ∈ A.
Por outro lado, nenhuma sequˆencia de fun¸c˜oes f
n∈ A pode convergir para g. Com efeito, do
fato de cada A
n= {x ∈ R ; f
n(x) = 0} ser finito, segue-se que Z = ∪A
n= {x ∈ R ; f
n(x) =
0 , para algum n ∈ N}´e enumer´avel. Logo, existe x
0∈R tal que f
n(x
0) = 1. Por conseguinte,
lim
n→∞f
n(x
0) = 1, enquantog(x
0) = 0. Do exemplo 2.1 concluir´ıamos que se fossef
n→g , ent˜ao
1 = lim
n→∞f
n(x
0) =g(x
0) = 0. Portanto, g pertence ao fecho de A, mas n˜ao existe sequˆencia de
pontos de A que convirga para g.
2.2 Redes
Ao analisarmos a convergˆencia sequencial conclu´ımos que, al´em de usarmos a fun¸c˜ao que associa
a cada natural um ponto do espa¸co, o uso da rela¸c˜ao de ordem presente nos n´umeros naturais ´e
fundamental para o conceito de convergˆencia sequencial. Com isso, o sucesso da generaliza¸c˜ao da
no¸c˜ao de sequˆencia em espa¸cos topol´ogicos ret´em a ideia de ordenar uma cole¸c˜ao de pontos do
espa¸co, atrav´es de uma fun¸c˜ao de um conjunto com uma certa ordem. A linearidade da ordem dos
naturais ´e substitu´ıda por uma condi¸c˜ao que d´a uma “orienta¸c˜ao” ao conjunto ordenado. Surge,
ent˜ao, a no¸c˜ao de redes que generaliza o conceito de sequˆencias utilizando a no¸c˜ao de conjunto
“orientado” ao inv´es dos naturais.
Defini¸c˜ao 2.3. Um conjunto Λ ´e dito dirigido quando existe uma rela¸c˜ao em Λ satisfazendo
as seguintes condi¸c˜oes:
i. Para todo λ∈Λ, λ λ, (reflexividade)
ii. Seλ
1λ
2eλ
2≺λ
3, ent˜aoλ
1λ
3, (transitividade)
iii. Para quaisquer λ
1, λ
2∈Λ, existe λ
3∈Λ tal que λ
1λ
3e λ
2λ
3.
Dizemos que a rela¸c˜ao ´e uma dire¸c˜ao para o conjunto Λ, ou dirige o conjunto Λ. O par
(X,≺) ´e denominado conjunto dirigido.
Defini¸c˜ao 2.4. Umarede em um conjuntoX ´e uma fun¸c˜aoP : Λ−→X, onde Λ ´e um conjunto
dirigido. Usualmente denotaremos o pontoP(λ) porx
λ, e diremos “a rede” (x
λ)
λ∈Λ. Umasubrede
de uma rede P : Λ −→ X ´e a composi¸c˜ao P ◦ϕ : M −→ X, onde ϕ : M −→ Λ ´e uma
aplica¸c˜ao entre os conjuntos dirigidosM e Λ, que satisfaz:
i. µ
1µ
2⇒ϕ(µ
1)ϕ(µ
2), (ϕ´ecrescente)
ii. Para cada λ∈Λ, existe µ∈M tal que λϕ(µ). (ϕ(M) ´ecofinalem Λ)
Para cadaµ∈M, denotaremos o pontoP(ϕ(µ)) porx
λµe escreveremos “a subrede” (x
λµ)
µ∈M.
Exemplo 2.3. O conjunto N dos n´umeros naturais munido da ordem natural ´e um conjunto
dirigido. Portanto, toda sequˆencia (x
n)
n∈N, de pontosx
nem um conjunto arbitr´arioX, ´e um rede
e toda subsequˆencia ´e uma subrede. Entretanto, n˜ao h´a garantias de que uma subrede de (x
n)
seja uma subsequˆencia, pois a subrede pode ter mais ´ındices que a pr´opria rede!
Como veremos na defini¸c˜ao a seguir, a convergˆencia em redes ´e uma generaliza¸c˜ao natural da
convergˆencia em sequˆencias.
Defini¸c˜ao 2.5. A rede (x
λ)
λ∈Λno espa¸co topol´ogico X converge para x ∈ X (escreveremos
x
λ→x), se para cada vizinhan¸ca U dex, existir algum λ
0∈Λ tal que λ λ
0impliquex
λ∈U.
Dizemos que a rede est´a em um conjunto A quando cada um de seus ponto for elemento de A.
Se existir λ
0∈ Λ tal que x
λ∈A, para todo λ λ
0, diremos que (x
λ) est´a residualmente em A.
Quando para cada λ
0, existe λ λ
0tal quex
λ∈ A, diremos que a rede est´a frequentemente em
A. Quando (x
λ) estiver frequentemente em cada vizinhan¸ca do ponto x, dizemos que x ´e ponto
de acumula¸c˜ao da rede.
A defini¸c˜ao de ponto de acumula¸c˜ao de uma rede generaliza o conceito de valor de aderˆencia
de uma sequˆencia. Uma rede n˜ao pode estar residualmente em dois conjuntos disjuntos. Se uma
rede (x
λ) converge parax, ent˜aox ´e um ponto de acumula¸c˜ao da rede.
Proposi¸c˜ao 2.3. Se a rede (x
λ) converge paraa, ent˜ao cada subrede tamb´em converge para x.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos quex
λ→a. Dada uma subrede (x
λµ) e uma vizinhan¸caU dea, segue
da convergˆencia da rede e da propriedade cofinal que existem λ
0∈Λ, tal que λ λ
0⇒x
λ∈U,
e µ
0∈M tal que ϕ(µ
0)λ
0. Portanto, µµ
0⇒ϕ(µ)ϕ(µ
0)λ
0⇒x
λµ∈U.
Proposi¸c˜ao 2.4. Sex
λ=a, para todo λ∈Λ, ent˜aox
λ→a.
Exemplo 2.4. Seja X um espa¸co topol´ogico e B
xuma base de vizinhan¸cas de x∈X. A rela¸c˜ao
U V ⇔ V ⊂ U dirige o conjunto Λ = B
x. Portanto, ao tomarmos x
U∈ U em cada U ∈ Λ,
obtemos uma rede (x
U) em X que converge para x. De fato, dada uma vizinhan¸caV dex, existe
uma vizinhan¸ca b´asica U
0∈Λ de x. Ent˜ao λλ
0implicaU ⊂U
0, e portanto x
U∈U ⊂V.
Exemplo 2.5. A cole¸c˜ao P de todas as parti¸c˜oes finitas do intervalo fechado I = [a, b], munida
da rela¸c˜aoP Q⇔QrefinaP, ´e um conjunto dirigido. Sejaf : I −→R. Podemos definir uma
rede S
i: P −→R, com S
i(P) a soma inferior de Riemann de f relativa `a parti¸c˜ao P. De modo
an´alogo, definimos a redeS
s: P −→R, comS
s(P) a soma superior de Riemann de f relativa `a
parti¸c˜ao P. Se ambas as redes (S
i(P))
P∈Pe (S
s(P))
P∈Pconvergem para o n´umero real c, ent˜ao
f ´e integr´avel `a Riemann eR
ba
f =c. Esse examplo possui uma importˆancia hist´orica (ver notas
hist´oricas no final do cap´ıtulo).
Exemplo 2.6. Seja M um espa¸co m´etrico e a ∈ M fixado. Ent˜ao Λ = M \ {a}, munido da
N espa¸co m´etrico, restrita a Λ ´e uma rede (x
λ). Afirmamos que essa rede converge para b ∈ N
se, e somente se, lim
x→a
f(x) = b no sentido de espa¸cos m´etricos. De fato, se x
λ→ b, dada uma
vizinhan¸ca U de b, existe x
0∈ M \ {a} tal que x x
0⇒ f(x) ∈ U, ou seja, x ∈ M \ {a} e
d(x, a)< δ =d(x
0, a)⇒f(x)∈U. Reciprocamente, se lim
x→a
f(x) =b, dada uma vizinhan¸ca U de
b, existe uma vizinhan¸ca aberta V de a tal que f(V) ⊂ U. Tome x
0∈ B = B(a, r) ⊂ V. Por
conseguinte, x x
0⇒ d(x, a) ≤ d(x
0, a) < r ⇒ x
0∈ B ⇒ f(x) ∈ U. Portanto, a rede f|
M\{a}converge para b.
Teorema 2.5. Um espa¸co topol´ogico ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, toda rede nesse
espa¸co converge para, no m´aximo, um ponto.
Demonstra¸c˜ao. Se X ´e um espa¸co e Hausdorff, ent˜ao pontos distintos x e y possuem abertos
disjuntos que os cont´em. Como uma rede convergente n˜ao pode estar residualmente em abertos
disjuntos, segue que uma rede n˜ao pode convergir para dois pontos distintos. Reciprocamente,
suponha que X n˜ao ´e Hausdorff. Ent˜ao existem dois pontos distintos x e y tais que V ∩W 6=∅,
quaisquer que sejam as vizinhan¸cas V, W de x, y respectivamente. Consideremos os sistemas de
vizinhan¸cas U
xde x e V
yde y, e a dire¸c˜ao, em U
x× V
y, dada por (U
1, V
1)(U
2, V
2) ⇔U
2⊂U
1e V
2⊂ V
1. Definamos a rede P : U
x× V
y−→ X por P(U, V) = x
U,V, com x
U,Vescolhido em
U∩V. Provaremos que essa rede converge para xe y, concomitantemente. Dadas as vizinhan¸cas
arbitr´arias U
0de x e V
0de y, para (U, V) (U
0, V
0), teremos x
U,V∈ U ∩V ⊂ U
0∩V
0, ou seja,
x
U,V→x ex
U,V→y.
Corol´ario 2.6. Em um espa¸co de Hausdorff, toda sequˆencia converge para, no m´aximo, um ponto.
A rec´ıproca do corol´ario anterior n˜ao ´e verdadeira. Para tanto, considere X = R com a
topologia do complemento enumer´avel, definida no exemplo 1.1. Quaisquer dois abertos n˜ao
vazios se intersectam, portanto, X n˜ao ´e Hausdorff. Al´em disso, qualquer sequˆencia convergente
(x
n)
n∈N, com x
n→ a ´e constante a partir de um certo ´ındice. Provado isso, toda sequˆencia
converge para um s´o ponto. De fato, caso aquilo n˜ao ocorresse, obter´ıamos ´ındices distintos
n
1< n
2< · · · < n
k< · · · tais que x
nk6= a, para todo k, e ent˜ao U = X\ {x
nk}
k∈Nseria uma
vizinhan¸ca de a, mas n˜ao existiria naturaln
0com n≥n
0⇒x
n∈U.
Teorema 2.7. Uma rede em X possui um ponto de acumula¸c˜ao a se, e somente se, possui uma
subrede convergindo para a.
Demonstra¸c˜ao. Seja a um ponto de acumula¸c˜ao de (x
λ)
λ∈Λ, tamb´em denotada por P : Λ −→
X. Consideremos o conjunto M = {(λ, U)∈Λ×τ ; U ´e vizinhan¸ca de a e x
λ∈U} e a dire¸c˜ao
(λ
1, U
1)(λ
2, U
2)⇔λ
1λ
2eU
2⊂U
1. Definamosϕ : M −→Λ por ϕ(λ, U) =λ. Claramente
ϕ ´e crescente e cofinal, logo define uma subrede de (x
λ). Dada uma vizinhan¸ca U
0de a, existe
λ
0tal que x
λ0∈ U
0. Ent˜ao (λ
0, U
0) ∈ M e (λ, U) (λ
0, U
0) ⇒ x
λ∈ U ⊂ U
0. Portanto, a
subredeP◦ϕ : M −→X converge para a. Recriprocamente, suponhamos que exista a aplica¸c˜ao
ϕ : M −→ Λ crescente e cofinal, originando uma subrede P ◦ϕ : M −→X que converge para
a. Com isso, dada uma vizinhan¸ca U de a, existe µ
U∈ M tal que µ µ
Uimplica P(ϕ(µ))∈U.
Fixado λ
0∈ Λ, por ϕ(M) ser cofinal em Λ, existe µ
0tal que ϕ(µ
0) λ
0. Tomemos µ ∈ M de
modo que µ
0µ e µ
Uµ. Assim, λ =ϕ(µ) ϕ(µ
0) λ
0e x
λ∈U. Portanto, para qualquer
vizinhan¸ca U dea e qualquerλ
0∈Λ, existeλ λ
0tal quex
λ∈U. Mais precisamente,a ´e ponto
de acumula¸c˜ao de (x
λ).
Corol´ario 2.8. Um ponto de acumula¸c˜ao de uma subrede ´e ponto de acumula¸c˜ao da rede.
Demonstra¸c˜ao. Basta verificar que uma subrede de uma subrede de (x
λ) ´e subrede de (x
λ), e usar
o teorema anterior.
O resultado a seguir nos revela que o conceito de redes ´e, comparado ao de sequˆencias, uma
melhor abordagem sobre quest˜oes de convergˆencia em espa¸cos topol´ogicos.
Teorema 2.9. SejaA⊂X. Ent˜aoa∈Ase, e somente se, existe uma rede(x
λ)emAconvergindo
para a.
Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ A. Para cada vizinhan¸ca U de a, tomemos x
U∈ U ∩A. A rede (x
U),
com a dire¸c˜ao descrita no exemplo 2.4, converge para a. Reciprocamente, se a rede (x
λ) est´a em
A e converge para a, ent˜ao cada vizinhan¸ca de a intercepta A e portanto a∈A.
Corol´ario 2.10. Um subconjunto F ⊂ X ´e fechado se, e somente se, sempre que uma rede (x
λ)
de pontos de F converge para um ponto x, ent˜aox∈F.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que F ´e fechado e seja (x
λ) uma rede em F com x
λ→ x. Do teorema
anterior, segue-se x ∈ F = F. Reciprocamente, suponhamos que vale a condi¸c˜ao: (x
λ) em F e
x
λ→ x ⇒ x ∈ F. Dado x ∈ F, existe (x
λ) em F convergindo para x. Logo, a condi¸c˜ao nos
garante que x´e ponto de F e portanto F ⊂F.
Proposi¸c˜ao 2.11. A aplica¸c˜aof : X −→Y ´e cont´ınua ema∈X se, e somente se, para qualquer
rede (x
λ) que converge para a, a rede (f(x
λ)) convergir para f(a).
Demonstra¸c˜ao. Sef ´e cont´ınua ema, ent˜ao dada um vizinhan¸caV def(a), existe uma vizinhan¸ca
U deAcomf(U)⊂V. Logo, para algumλ
0,λλ
0⇒x
λ∈U ⇒f(x
λ)∈V. Reciprocamente, se
f n˜ao for cont´ınua ema, ent˜ao existir´a uma vizinhan¸caV def(a) tal que x
U∈U masf(x
U)∈/ V,
para cada vizinhan¸ca U dea. Portanto, a rede (x
U) converge para a, enquanto que (f(x
U)) n˜ao
converge para f(a).
Teorema 2.12. Uma rede (x
λ)
λ∈Λno espa¸co produto X = Y
α∈A
X
αconverge para o ponto a =
(a
α)
α∈A∈X se, e somente se, cada rede coordenada π
α(x
λ) converge para π
α(a)≡a
αem X
α.
Demonstra¸c˜ao. Se x
λ→a em X =Q
α∈A
X
α, ent˜ao, como cada α-´esima proje¸c˜aoπ
α´e cont´ınua,
π
α(x
λ) → a
α≡ π
α(a). Reciprocamente, suponhamos que π
α(x
λ) → π
α(a) ≡ a
α, para cada
α ∈ A. Seja
n
\
i=1
π
α−1i
(U
αi) uma vizinhan¸ca b´asica de a no espa¸co produto (note que cada U
αi´
e um aberto de X
αique cont´em a
αi≡ π
αi(a)). Como π
αi(x
λ) → π
αi(a) ≡ a
αi, existe λ
ital
que λ λ
i⇒ π
αi(x
λ) ∈ U
αi, para i = 1, . . . , n. Escolhendo λ
0λ
i, i = 1, . . . , n, obtemos
π
αi(x
λ) ∈ U
αi, para i = 1, . . . , n, sempre que λ λ
0. Portanto, λ λ
0⇒ x
λ∈
n
\
i=1
π
α−1i(U
αi).
Consequentemente, x
λ→a no espa¸co produto X = Y
α∈A
X
α.
No caso em que todos os fatores X
α=X, j´a vimos que o espa¸co produto Q
X
αnada mais ´e
que o conjunto X
A≡ F(A;X) de todas as fun¸c˜oes f : A −→ X, que podem ser vistas como
A-uplas (f
α)
α∈Ade pontosf(α)∈X. O teorema anterior nos diz que esse espa¸co, com a topologia
produto (ou de Tychonoff) possui a seguinte propriedade: uma rede (f
λ)
λ∈Λconverge para f se,
e somente se, π
α(f
λ) =f
λ(α)→f(α) = π
α(f), para cada α∈A.
Defini¸c˜ao 2.6. Uma rede (x
λ)
λ∈Λem um espa¸co X denomina-se ultrarede (ou rede universal),
quando para todo subconjunto A⊂X, (x
λ) est´a residualmente emA ou em X\A.
Evidentemente, qualquer rede constante ´e uma ultrarede, chamada rede universal trivial.
Proposi¸c˜ao 2.13. Se a´e um ponto de acumula¸c˜ao da ultrarede (x
λ), ent˜aox
λ→a.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma vizinhan¸ca U dea, existe λ
1∈Λ, tal que λ λ
0implica apenas uma
das situa¸c˜oes: x
λ∈U oux
λ∈X\U. Segue-se de a ser ponto de acumula¸c˜ao da rede que existe
λ
1λ
0tal que x
λ1∈U. Portanto, vale a primeira situa¸c˜ao que significax
λ→a.
Proposi¸c˜ao 2.14. Seja f : X −→Y uma aplica¸c˜ao qualquer entre espa¸cos topol´ogicos. Se (x
λ)
´
e um ultrarede em X, ent˜ao (f(x
λ)) ´e uma ultrarede em Y. Em outras palavras, a imagem de
uma ultrarede ´e um ultrarede.
Demonstra¸c˜ao. DadoA⊂Y, (x
λ) est´a residualmente emf
−1(A) ou emX\f
−1(A) = f
−1(Y \A).
Portanto, (f(x
λ)) est´a residualmente emAou emY \Ae consequentemente, ´e uma ultrarede.
No documento
NacibAndr´eGurgeleAlbuquerque ConvergˆenciaemEspa¸cosTopol´ogicos:RedeseFiltros UniversidadeFederaldaPara´ıba
(páginas 36-42)