NacibAndr´eGurgeleAlbuquerque ConvergˆenciaemEspa¸cosTopol´ogicos:RedeseFiltros UniversidadeFederaldaPara´ıba

Departamento de Matem´ atica Curso de Bacharelado em Matem´ atica

Convergˆ encia em Espa¸ cos Topol´ ogicos:

Redes e Filtros

Nacib Andr´ e Gurgel e Albuquerque

Jo˜ ao Pessoa – PB

Junho de 2011

Departamento de Matem´ atica Curso de Bacharelado em Matem´ atica

Convergˆ encia em Espa¸ cos Topol´ ogicos:

Redes e Filtros

por

Nacib Andr´ e Gurgel Albuquerque

sob orienta¸ c˜ ao do

Prof. Dr. Daniel Marinho Pellegrino

Jo˜ ao Pessoa – PB

Junho de 2011

Biblioteca Setorial do CCEN A345c Albuquerque, Nacib Andr´ e Gurgel e.

Convergˆ encia em espa¸ cos topol´ ogicos: redes e filtros / Nacib Andr´ e Gurgel e Albuquerque. – Jo˜ ao Pessoa, 2011.

45f. : il. -

Monografia (Gradua¸ c˜ ao) – UFPB/CCEN.

Orientador: Daniel Marinho Pellegrino.

Inclui referˆ encias.

1. Topologia. 2. Redes e filtros – Topologia. 3. Espa¸ cos topol´ ogicos. 4. Matem´ atica – Tecnologia. I. T´ıtulo.

BS/CCEN CDU: 515.1(043.2)

Redes e Filtros

por

Nacib Andr´ e Gurgel e Albuquerque

Trabalho de Conclus˜ ao de Curso apresentado ` a Coordena¸c˜ ao do Curso de Bacharelado em Ma- tem´ atica da Universidade Federal da Para´ıba como requisito para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Bacharel em Matem´ atica.

Aprovado em 30 de junho de 2011.

Banca Examinadora:

A Deus. Aos meus pais, por estarem incondicionalmente ao meu lado. A Karenina, por `

jusqu’` a deux ´ etoiles, et au-del´ a. Ao professor Daniel, por toda a valiosa ajuda e pelas palavras

de sabedoria. Ao professor Jo˜ ao Marcos, pelas oportunidades concedidas. Ao professor F´ agner,

por participar da banca, e a todos os outros professores do departamento, pelo incentivo durante

essa epata. Em especial aos professores, Andrade, Eduardo, Everaldo, Uberlˆ andio e ` a professora

Fl´ avia. Aos meus colegas, pelos momentos compartilhados.

iguais em tudo na vida:

na mesma cabe¸ca grande que a custo ´ e que se equilibra, no mesmo ventre crescido sobre as mesmas pernas finas, e iguais tamb´ em por que o sangue que usamos tem pouca tinta.

E se somos Severinos iguais em tudo na vida, morremos de morte igual, mesma morte severina:

que ´ e a morte de que se morre de velhice antes dos trinta, de emboscada antes dos vinte, de fome um pouco por dia (de fraqueza e de doen¸ca

´

e que a morte severina ataca em qualquer idade, e at´ e gente n˜ ao nascida).

Somos muitos Severinos iguais em tudo e na sina:

a de abrandar estas pedras suando-se muito em cima, a de tentar despertar terra sempre mais extinta, a de querer arrancar algum ro¸cado da cinza.

...”

Morte e Vida Severina,

Jo˜ ao Cabral de Melo Neto

Os m´ etodos de convergˆ encia da topologia geral est˜ ao intrinsecamente relacionados aos conceitos de continuidade e ` a descri¸c˜ ao do pr´ oprio espa¸co topol´ ogico, e s˜ ao esses alguns dos motivos a que se deve sua destacada relevˆ ancia. Debateremos principalmente sobre redes e filtros. Por fim, demonstraremos os teoremas de Tychonoff e Banach–Alaoglu–Bourbaki que, al´ em do pr´ oprio resultado, revelam o m´ erito desses conceitos.

Palavras-chave: topologia, redes, filtros.

Abstract

The convergence methods of general topology are intrinsically related to continuity concepts and the description of topological space itself, and these are some of the reasons for its outstanding revelance. We will discuss mainly about nets and filters. At long last, we will prove Tychonoff and Banach–Alaoglu–Bourbaki theorems that, besides result itself, reveal the merits of these concepts.

Keywords: topology, nets, filters.

Introdu¸ c˜ ao x

1 Estruturas Topol´ ogicas 1

1.1 Conceitos B´ asicos . . . . 1

1.2 Vizinhan¸cas e Bases (Construindo Topologias) . . . . 3

1.3 Continuidade . . . . 7

1.4 Homeomorfismos . . . . 11

1.5 Produtos Cartesianos e Espa¸cos Produtos . . . . 12

1.6 Axiomas de Separabilidade . . . . 17

1.7 Espa¸cos Compactos . . . . 18

1.8 Notas Hist´ oricas . . . . 20

2 Convergˆ encia 23 2.1 Sequˆ encias . . . . 23

2.2 Redes . . . . 26

2.3 Filtros . . . . 32

2.4 Notas Hist´ oricas . . . . 35

3 Aplica¸ c˜ oes de Redes e Filtros 36 3.1 Caracteriza¸c˜ ao de Compactos . . . . 36

3.2 O Teorema de Tychonoff . . . . 38

3.3 O Teorema de Banach–Alaoglu–Bourbaki . . . . 39

viii

A Biografias 41 A.1 Felix Hausdorff . . . . 41 A.2 Andrey Nikolayevich Tychonoff . . . . 43

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 45

Neste trabalho apresentamos alguns conceitos fundamentais da topologia geral, ferramenta b´ asica para v´ arios campos da matem´ atica como an´ alise e geometria, com ˆ enfase a uma das formas cl´ assicas de se estudar continuidade: os m´ etodos de convergˆ encia. Iremos nos concentrar em dois instrumentos, redes e filtros, que se revelar˜ ao capazes para tal feito em espa¸cos topol´ ogicos gerais.

Por fim, demonstraremos alguns resultados de relevˆ ancia que os utilizam, comprovando seu uso e abrangˆ encia.

No primeiro cap´ıtulo apresentamos no¸c˜ oes elementares da topologia geral, que julgamos ne- cess´ arias para chegarmos aos resultados pretendidos, bem como alguns exemplos e coment´ arios interessantes que surgem no caminho. O cap´ıtulo 2 destina-se aos m´ etodos de convergˆ encia, onde destacam-se a generalidade dos conceitos de redes e filtros, em contraposi¸c˜ ao ` a inadequa¸c˜ ao de sequˆ encias aos espa¸cos mais gerais. O ´ ultimo cap´ıtulo ´ e reservado ` a apresenta¸c˜ ao de importantes resultados que fazem uso de redes e filtros, destacando-se sua importˆ ancia e generalidade. Mais precisamente, caracterizaremos os espa¸cos compactos e provaremos os relevantes teoremas de Ty- chonoff e Banach–Alaoglu–Bourbaki. No fim dos dois cap´ıtulos inicias consta um breve relato hist´ orico referente aos t´ opicos ali abordados.

Por fim apresentamos uma breve biografia de dois matem´ aticos que, dentre os v´ arios outros de sua ´ epoca, contribu´ıram de forma fundamental para o desenvolvimento da topologia: Hausdorff e Tychonoff.

x

Estruturas Topol´ ogicas

O conceito de espa¸co topol´ ogico se desenvolveu da necessidade de se estudar a continuidade de fun¸c˜ oes em espa¸cos abstratos, generalizando aqueles conceitos conhecidos na reta real e nos espa¸cos euclidianos. O aparecimento da topologia geral ´ e visto como uma consequˆ encia da reconstru¸c˜ ao dos fundamentos do c´ alculo durante o s´ eculo XIX.

Neste cap´ıtulo faremos uma (breve) introdu¸c˜ ao ` as no¸c˜ oes b´ asicas da topologia geral. Defini- remos o que ´ e um espa¸co topol´ ogico, estudaremos maneiras de construir uma topologia em um conjunto qualquer, e consideraremos os conceitos elementares de conjuntos abertos e fechados.

Introduziremos o conceito de continuidade que, conforme relata [En], se revela t˜ ao importante quanto o pr´ oprio conceito de espa¸co topol´ ogico, bem com veremos que esses conceito s˜ ao uma generaliza¸c˜ ao natural dos correspondentes nos espa¸cos euclidianos. Tamb´ em consideraremos ho- meomorfimos, que identificam espa¸cos topol´ ogicos, opera¸c˜ oes para obter novos espa¸cos a partir de espa¸cos antigos (como subespa¸cos e produtos cartesianos), axiomas de enumerabilidade , e por fim, uma das classes mais importantes dos espa¸cos topol´ ogicos: os compactos.

1.1 Conceitos B´ asicos

A defini¸c˜ ao atual e, nesse momento, padr˜ ao de espa¸co topol´ ogico levou um longo tempo para ser formulada. Mais especificamente, durante as primeiras d´ ecadas do s´ eculo XX v´ arios matem´ aticos – dentre ele Hausdorff, Fr´ echet e outros – propuseram diversas defini¸c˜ oes at´ e que um consenso fosse ent˜ ao obtido alguns anos depois. Obviamente desejavam uma defini¸c˜ ao mais ampla poss´ıvel,

1

desvinculada a certas estruturas presentes apenas em casos particulares – como ´ e o caso da no¸c˜ ao de distˆ ancia – e de modo que fosse poss´ıvel incluir todos os casos especiais e de imprescind´ıvel importˆ ancia, como os espa¸cos euclidianos finitos, infinitos e espa¸cos de fun¸c˜ oes, bem como queriam que a defini¸c˜ ao fosse suficientemente estreita de modo que os teoremas “padr˜ oes” dos espa¸cos familiares tamb´ em fossem v´ alidos em espa¸cos topol´ ogicos gerais. Por estas raz˜ oes temos a defini¸c˜ ao a seguir que, apesar de abstrata, melhor se justifica ` a medida que trabalhamos com os conceitos posteriores.

Defini¸ c˜ ao 1.1. Uma topologia em um conjunto X ´ e uma cole¸c˜ ao τ de subconjuntos de X com as sequintes propriedades:

i. ∅ e X s˜ ao elementos de τ;

ii. A uni˜ ao de qualquer subcole¸c˜ ao de τ ´ e um elemento de τ;

iii. A interse¸c˜ ao de qualquer subcole¸c˜ ao finita de τ pertence ` a τ.

O par (X, τ) ´ e denominado espa¸ co topol´ ogico. Frequentemente, dizemos “o espa¸co topol´ ogico X”, mencionando τ apenas quando houver necessidade. Cada elemento da cole¸c˜ ao τ ´ e dito conjunto aberto do espa¸co topol´ ogico X.

Exemplo 1.1. Qualquer que seja o conjunto X, a fam´ılia dos subconjuntos de X, denotada por P (X), ´ e uma topologia em X, chamada topologia discreta. Por outro lado, τ

= {∅, X } tamb´ em

´

e uma topologia em X, chamada topologia trivial ou ca´ otica. Vemos que qualquer que seja a topologia τ em X, temos τ

⊂ τ ⊂ P (X), com isso, podemos dizer que a topologia trivial ´ e a “mais econˆ omica” que um conjunto pode ter, a respeito da quantidade de abertos, enquanto que a topologia discreta seria a “menos econˆ omica”. Outro caso ´ e a topologia do complemento enumer´ avel τ

, onde cada aberto U ´ e tal que X \ U ´ e enumer´ avel ou U = ∅.

Defini¸ c˜ ao 1.2. Sejam X um espa¸co topol´ ogico e A, B ⊂ X. Definimos o interior de A, denotado por intA, como a uni˜ ao de todos os abertos de X que est˜ ao contidos em A. Dizemos que B

´

e fechado quando X\B ´ e aberto. O fecho de B , denotado por B ou ClB, ´ e definido como a interse¸c˜ ao de todos os fechados que cont´ em B.

intX = [

U∈A

U onde A = {U ∈ τ ; U ⊂ X}

B = \

F∈C

F onde C = {F ∈ P (X) ; X \ F ∈ τ e B ⊂ F }

A respeito de um subconjunto qualquer do espa¸co topol´ ogico, concluiremos que: o interior ´ e o maior aberto contido nele; o fecho ´ e o menor fechado que o cont´ em; ´ e aberto se, e somente se for igual ao interior; e ´ e fechado se, e somente se, for igual ao fecho. Al´ em disso, um ponto pertence ao fecho de um conjunto se, e somente se, todo aberto que cont´ em o ponto intersecta o conjunto.

A proposi¸c˜ ao a seguir nos revela que podemos descrever completamente uma topologia, de forma equivalente, por meio da defini¸c˜ ao de abertos ou fechados. Para demonstr´ a-la basta usar fatos b´ asicos de teorias dos conjuntos e a defini¸c˜ ao de conjunto fechado.

Proposi¸ c˜ ao 1.1. Seja F a cole¸c˜ ao de todos os conjuntos fechados em um espa¸co topol´ ogico X.

Valem as seguintes afirma¸c˜ oes:

i. ∅ e X s˜ ao elementos de F.

ii. A interse¸c˜ ao de qualquer subcole¸c˜ ao de F ´ e ainda um elemento de F . iii. A uni˜ ao de qualquer subcole¸c˜ ao finita de F pertence ` a F .

Exemplo 1.2. Seja X um conjunto infinito. Podemos definir a topologia cofinita em X, onde os

´

unicos fechados s˜ ao X, ∅ e os subconjuntos finitos de X.

1.2 Vizinhan¸ cas e Bases (Construindo Topologias)

Descrever inteiramente a cole¸c˜ ao τ de todos os abertos n˜ ao ´ e, em geral, a melhor maneira de descrever uma topologia. Na maioria dos casos, especifica-se uma menor cole¸c˜ ao deles, ou descreve-se localmente como s˜ ao os abertos, de modo que eles sejam “regulares” do ponto de vista de n˜ ao parecerem t˜ ao distintos uns dos outros, o que ´ e verdade, por exemplo, para os espa¸cos euclidianos.

Defini¸ c˜ ao 1.3. Seja X um espa¸co topol´ ogico e x ∈ X. Uma vizinhan¸ ca de x ´ e um conjunto

U ⊂ X que cont´ em um aberto V , com x ∈ V . Equivalentemente, U ´ e uma vizinhan¸ca de x se,

e somente se, x ∈ intU . A cole¸c˜ ao U

de todas as vizinhan¸cas de x ´ e denominada sistema de

vizinhan¸ cas de x.

Proposi¸ c˜ ao 1.2. O sistema de vizinhan¸cas U

de x em um espa¸co topol´ ogico n˜ ao vazio X possui as seguintes propriedades:

i. Se U ∈ U

, ent˜ ao x ∈ U .

ii. Se U, V ∈ U

, ent˜ ao U ∩ V ∈ U

.

iii. Se U ∈ U

e U ⊂ V ⊂ X, ent˜ ao V ∈ U

.

iv. Se U ∈ U

, ent˜ ao existe V ∈ U

, V ⊂ U, tal que U ∈ U

, para cada v ∈ V .

v. W ⊂ X ´ e aberto se, e somente se, W cont´ em uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos.

Demonstra¸ c˜ ao. Os itens (i), (ii) e (iii) seguem da defini¸c˜ ao. Para o item (iv), consideramos V = intU e aplicamos o item (iii). No item (v), se W ´ e aberto, o pr´ oprio W ´ e uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos. Reciprocamente, se para cada w ∈ W existe uma vizinhan¸ca V

de w contida em G, ent˜ ao W = [

w∈W

intV

, logo, W ´ e aberto.

O item (iii) nos diz que todo conjunto que cont´ em uma vizinhan¸ca de x ´ e tamb´ em uma vizinhan¸ca de x. Com isso, n˜ ao necessitamos de todas as vizanhan¸cas para descrever um sistema de vizinhan¸cas. A defini¸c˜ ao a seguir explicita isso

Defini¸ c˜ ao 1.4. Uma base (ou sistema fundamental) de vizinhan¸ cas de x em um espa¸co topol´ ogico X ´ e uma subcole¸c˜ ao B

do sistema de vizinhan¸cas U

, com a propriedade que cada U ∈ U

cont´ em algum V ∈ B

. Logo, U

´ e determinada por B

da seguinte forma:

U

= {U ⊂ X ; V ⊂ U para algum V ∈ B

} .

Os elementos de uma base de vizinhan¸cas de x s˜ ao denominados vizinhan¸ cas b´ asicas.

Proposi¸ c˜ ao 1.3. Seja X um espa¸co topol´ ogico e, para cada x ∈ X, B

uma base de vizinhan¸cas de x. S˜ ao v´ alidas as seguintes afirma¸c˜ oes:

i. Cada vizinhan¸ca b´ asica B ∈ B

cont´ em x.

ii. Se B

, B

∈ B

, ent˜ ao existe B

∈ B

, tal que B

⊂ B

∩ B

.

iii. Cada B ∈ B

cont´ em algum B

∈ B

, de modo que cada um dos pontos w ∈ B

possui uma vizinhan¸ca b´ asica W ∈ B

contida em B.

iv. U ´ e um aberto se, e somente se, U cont´ em uma vizinhan¸ca b´ asica de cada um de seus pontos.

Demonstra¸ c˜ ao. O item (i) segue da defini¸c˜ ao de vizinhan¸ca; (ii) segue do fato de a interse¸c˜ ao finita de vizinhan¸cas ser, ainda, uma vizinhan¸ca, e portanto, cont´ em alguma vizinhan¸ca b´ asica; e (iv) ´ e provado de maneira an´ aloga ao item correspondente da proposi¸c˜ ao anterior. Em (iii), para cada B ∈ B

, tomemos B

= intB ∈ U

. A defini¸c˜ ao de base de vizinhan¸cas garantir´ a a existˆ encia da vizinhan¸ca b´ asica B

∈ B

, contida em B

. Al´ em disso, B

´ e uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos, por ser aberto. Em particular, para cada w ∈ B

, B

∈ U

, donde existir´ a W ∈ B

contida em B

⊂ B.

Teorema 1.4. (Crit´ erio de Hausdorff ). Para cada x ∈ X, sejam B

, B

bases de vizinhan¸ cas de x para as topologias τ

, τ

em X, respectivamente. Ent˜ ao τ

⊂ τ

se, e somente se, para cada x ∈ X, dado B

∈ B

, existe B

∈ B

, contido em B

.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que τ

⊂ τ

. Sejam x ∈ X e B

∈ B

. Assim, B

´ e vizinhan¸ca de x em (X, τ

), e ent˜ ao cont´ em algum aberto B ∈ τ

, com x ∈ B . Como τ

⊂ τ

, B ´ e vizinhan¸ca de x em (X, τ

), logo existe B

∈ B

, tal que B

⊂ B ⊂ B

. Reciprocamente, se U ∈ τ

, ent˜ ao U conter´ a uma vizinhan¸ca b´ asica B

∈ B

, de cada um de seus pontos x ∈ U . Ent˜ ao, por hip´ otese, U conter´ a uma vizinhan¸ca b´ asica B

∈ B

, de cada um de seus pontos, portanto U ser´ a um aberto da topologia τ

.

Defini¸ c˜ ao 1.5. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ ogico. Uma cole¸c˜ ao B ⊂ τ ´ e uma base para a topologia τ se, para qualquer aberto U ∈ τ , existe uma subcole¸c˜ ao C ⊂ B tal que

U = [

V∈C

V , ou equivalentemente, U = [

λ∈Λ

V

com Λ um conjunto de ´ındices tais que C = {V

; λ ∈ Λ}. Em outras palavras, todo aberto de X pode ser representado como uni˜ ao de abertos da base, denominados abertos b´ asicos. Nesse caso a topologia ´ e dita topologia gerada por B, representada por τ

quando houver necessidade.

A partir dessa defini¸c˜ ao, conclui-se, sem maiores dificuldades que

Proposi¸ c˜ ao 1.5. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Uma cole¸c˜ ao B de abertos de X constitui uma base em X se, e somente se, para cada aberto A ⊂ X e cada ponto x ∈ A, existe um aberto b´ asico B

∈ B tal que x ∈ B

⊂ A.

Proposi¸ c˜ ao 1.6. Se B ´ e base para uma topologia τ

, ent˜ ao

τ

= (

[

B∈C

B ; C ⊂ B )

ou seja, τ

´ e a fam´ılia de todos os subconjuntos de X que s˜ ao uni˜ oes de subcole¸c˜ oes de B.

Um exemplo de simples verifica¸c˜ ao ´ e que em todo espa¸co m´ etrico M a cole¸c˜ ao de todas as bolas, centradas em pontos de M , ´ e uma base.

Teorema 1.7. Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Uma cole¸ c˜ ao B ∈ P(X) ´ e base para uma topologia τ em X se, e somente se, possui as seguintes propriedades:

i. X = [

B∈C

B, para alguma cole¸ c˜ ao C ⊂ B,

ii. Para cada B

, B

∈ B e cada x ∈ B

∩ B

, existe B

∈ B tal que x ∈ B

⊂ B

∩ B

.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que B ∈ P(X) possua as propriedades (i) e (ii). Ent˜ ao, como ´ e de se esperar, pela Proposi¸c˜ ao 1.6, definamos τ

como a fam´ılia de todos os subconjuntos de X que s˜ ao uni˜ oes de subcole¸c˜ oes de B. Provemos que τ

´ e uma topologia. De fato, X ∈ τ

segue de (i), e

∅ ∈ τ

, por ser uni˜ ao dos elementos da subcole¸c˜ ao vazia de B. A uni˜ ao de elementos de τ

ainda

´

e um elemento de τ

. Se U = ∪

A e V = ∪

C, com A, C ⊂ B, s˜ ao elementos de τ

, ent˜ ao U ∩ V = ∪

A ∩ ∪

C = ∪

C∈C

A ∩ C. A propriedade (ii) significa que cada conjunto A ∩ C, quando n˜ ao vazio, ´ e reuni˜ ao de elementos de abertos b´ asicos. Logo, U ∩ V ´ e reuni˜ ao de conjuntos pertencentes a B. Portanto, τ

´ e uma topologia cuja base ´ e B. Reciprocamente, se B ´ e base para uma topologia em X, ent˜ ao ´ e uma cole¸c˜ ao de abertos de X como na Defini¸c˜ ao 1.5, que possui a propriedade (i), por X ser um aberto, e a propriedade (ii), pois a interse¸c˜ ao de dois abertos b´ asicos ´ e ainda um aberto, logo ´ e reuni˜ ao de abertos b´ asicos.

Teorema 1.8. Sejam X um espa¸ co topol´ ogico e B uma cole¸ c˜ ao de abertos em X. Ent˜ ao B ´ e uma

base para X se, e somente se, para cada x ∈ X, a cole¸ c˜ ao B

= {B ∈ B ; x ∈ B} ´ e uma base de

vizinhan¸ cas em x.

Demonstra¸ c˜ ao. Fixado x ∈ X, ´ e evidente que a cole¸c˜ ao B

´ e n˜ ao vazia, pois X ´ e reuni˜ ao de abertos b´ asicos de B, e os elementos de B

s˜ ao vizinhan¸cas de x. Se U ´ e uma vizinhan¸ca de x, ent˜ ao U cont´ em algum aberto V , reuni˜ ao de abertos b´ asicos B ∈ B, que cont´ em x. Logo, algum desses abertos b´ asicos B cont´ em x e est´ a contido em U. Reciprocamente, suponhamos que B ´ e uma cole¸c˜ ao de abertos em X e, para cada x ∈ X, B

= {B ∈ B ; x ∈ B} ´ e base de vizinhan¸cas de x. Ent˜ ao ∪

B

⊂ B, ou seja, B cont´ em todas as vizinhan¸cas b´ asicas de todos os elementos de X . Seja U um aberto de X. Para cada z ∈ U , existe uma vizinhan¸ca b´ asica B

∈ B

contida em U . Portanto, U = ∪

B

, isto ´ e, ´ e reuni˜ ao de elementos de B.

Defini¸ c˜ ao 1.6. Seja X um conjunto n˜ ao vazio. Uma sub-base C para uma topologia em X ´ e uma cole¸c˜ ao de subconjuntos de X, cuja uni˜ ao ´ e igual a X. Definimos a topologia gerada por uma sub-base C ´ e como a cole¸c˜ ao

τ = (

[

B∈S

B ; S ⊂ F )

com F = (

\

i=1

S

; S

∈ C, n ∈ N )

ou seja, ´ e a topologia cuja base F ´ e fam´ılia de todas as interse¸c˜ oes finitas de elementos de C.

Resulta do teorema 1.7 que F ´ e, de fato, uma base para um topologia em X. Portanto, τ ´ e bem definida.

1.3 Continuidade

A importˆ ancia do conceito de continuidade dispensa coment´ arios. Definiremos esse conceito, constatando-se que a no¸c˜ ao de distˆ ancia pode ser suprimida, assim como algumas propriedades elementares, generaliza¸c˜ oes diretas dos conceitos vistos em cursos de c´ alculo e an´ alise.

Defini¸ c˜ ao 1.7. Sejam X, Y espa¸cos topol´ ogicos e f : X −→ Y . Dizemos que f ´ e cont´ınua em a ∈ X quando para cada vizinhan¸ca V de f (a) em Y , existir uma vizinhan¸ca U de a em X, tal que f(U ) ⊂ V . Quando f for cont´ınua em cada ponto x ∈ X, diremos que f ´ e cont´ınua em X.

Ressaltamos que a defini¸c˜ ao anterior ´ e equivalente ao trocarmos “vizinhan¸ca” por “vizinhan¸ca

b´ asica” , bem como por “abertos”. O teorema a seguir nos fornece caracteriza¸c˜ oes ´ uteis de fun¸c˜ oes

cont´ınuas.

Teorema 1.9. Sejam X, Y espa¸ cos topol´ ogicos e f : X −→ Y . S˜ ao equivalentes:

i. f ´ e cont´ınua,

ii. f

(A) ´ e aberto em X, para cada aberto A em Y , iii. f

(F ) ´ e fechado em X, para cada fechado F em Y ,

iv. f (Cl

(Z )) ⊂ Cl

(f (Z )), para todo subconjunto Z ⊂ X.

Demonstra¸ c˜ ao. (i) ⇒ (ii) Se A ´ e um aberto em Y , ent˜ ao A ´ e uma vizinhan¸ca de f (x), para cada x ∈ f

(A), e a continuidade de f nos garante a existˆ encia de uma vizinhan¸ca V de x, tal que f(V ) ⊂ A, ou seja, V ⊂ f

(A). Mas isso significa que f

(A) cont´ em uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos, logo ´ e um aberto de X. (ii) ⇒ (iii) Se F ´ e um fechado em Y , ent˜ ao f

(Y \ F ) = f

(Y ) \ f

(F ) = X \ f

(F ) ´ e aberto em X, e portanto f

(F ) ´ e um fechado em X. (iii) ⇒ (iv) Seja C um fechado em Y que cont´ em f (Z). Ent˜ ao f

(C) ´ e um fechado em X que cont´ em Z , ou seja, Cl

(Z) ⊂ f

(C). Mas f (Cl

(Z)) ⊂ C, para todo fechado C em Y , implica f (Cl

(Z )) ⊂ Cl

(f(Z)). Finalmente, suponhamos que a condi¸c˜ ao (iv) seja satisfeita, e consideremos uma vizinhan¸ca aberta V de f (x), com x ∈ X arbitr´ ario. Sejam Z = X \ f

(V ) e U = X \ Cl

(Z). Da hip´ otese f(Cl

(Z)) ⊂ Cl

(f(Z )), segue x ∈ U . De fato, se fosse x / ∈ U, ent˜ ao ter´ıamos x ∈ Cl

(Z ) e portanto f (x) ∈ f(Cl

(Z)) ⊂ Cl

(f(Z)). Al´ em disso, f (Z ) = f(X \ f

(V )) = f (f

(Y \ V )) ⊂ Y \ V , e por V ser aberto, Cl

(f(Z)) ⊂ Y \ V . No entanto, f(x) ∈ / Cl

(f (Z )), pois f(x) ∈ V . Por ´ ultimo, verifica-se f (U) = f (X \ Cl

(Z )) ⊂ f (X \ Z ) = f (f

(V )) ⊂ V , portanto, f ´ e cont´ınua.

Salientamos que no caso da topologia em Y ser gerada por uma base B, para provar a continui- dade de f ´ e suficiente mostrar que a imagem inversa de cada aberto b´ asico B ∈ B ´ e um aberto em X. Se a topologia em Y for gerada por uma sub-base S , ent˜ ao ´ e suficiente provar que a imagem inversa de cada elemento S ∈ S ´ e um aberto em X para provar a continuidade de f .

O conceito de continuidade comprova a suspeita de que as topologias trivial e discreta n˜ ao s˜ ao,

em geral, interessantes para trabalhar, pois em um espa¸co topol´ ogico X munido com uma dessas

topologias, para todo espa¸co topol´ ogico Y , qualquer fun¸c˜ ao f : X −→ Y ´ e cont´ınua.

Defini¸ c˜ ao 1.8. Sejam (X, τ) um espa¸co topol´ ogico e A ⊂ X. Podemos construir uma topologia em A, definida por τ

:= {U ∩ A ; U ∈ τ }, denominada topologia subespa¸ co ou topologia relativa, onde A ´ e dito subespa¸ co de X (tamb´ em denotado por A ≤ X). Ao mencionarmos A ⊂ X ´ e um subespa¸co, queremos dizer que A ´ e um espa¸co topol´ ogico, com a topologia subespa¸co.

Segue diretamente dessa defini¸c˜ ao que

Proposi¸ c˜ ao 1.10. Se Y ´ e um subespa¸co de X e Z ´ e um subespa¸co de Y , ent˜ ao as duas topologias relativas de Z , vista como subespa¸co de Y e subespa¸co de X, coincidem.

Em geral, as no¸c˜ oes topol´ ogicas s˜ ao relacionadas a um subespa¸co via interse¸c˜ oes, como revela a proposi¸c˜ ao seguinte.

Proposi¸ c˜ ao 1.11. Se A ´ e um subespa¸co do espa¸co topol´ ogico X, ent˜ ao

i. V ⊂ A ´ e aberto em A se, e somente se, V = U ∩ A, para algum U aberto em X, ii. F ⊂ A ´ e fechado em A se, e somente se, F = C ∩ A, para algum C fechado em X, iii. Para cada Z ⊂ A, Cl

Z = A ∩ Cl

Z ,

iv. Para cada x ∈ A, V ´ e uma vizinhan¸ca de x em A se, e somente se, V = U ∩ A, para alguma vizinhan¸ca U de x em A,

v. Para cada x ∈ A, e cada B

base de vizinhan¸cas para x em X, B

= {B ∩ A ; B ∈ B

} ´ e uma base de vizinhan¸cas para x em A,

vi. Se B ´ e uma base para X, ent˜ ao B

= {B ∩ A ; B ∈ B} ´ e uma base para A.

Demonstra¸ c˜ ao. O item (i) segue da defini¸c˜ ao de topologia relativa. (ii) Se F ´ e fechado em A, ent˜ ao F = A \ (U ∩ A) = A ∩ (X \ U), com U aberto em X. Reciprocamente, se C ´ e fechado em X, ent˜ ao A \ (C ∩ A) = A ∩ (X \ C) ´ e aberto em A. (iii) segue das igualdades

Cl

Z = \

Z⊂F A\F∈τA

F = \

Z⊂C X\C∈τ

(C ∩ A) = A ∩







\

Z⊂C X\C∈τ

C





 = Cl

Z

(iv): Seja V uma vizinhan¸ca de x em A. Ent˜ ao existe um aberto U em X, tal que x ∈ U ∩ A ⊂ V . Logo, V = [U ∪ (V \ U )] ∩ A, com U ∪ (V \ U ) uma vizinhan¸ca de x em X. Reciprocamente, se V = U ∪ A, com U uma vizinhan¸ca em X de x ∈ A, ent˜ ao existe um aberto W em X tal que x ∈ W ⊂ U . Logo x ∈ W ∩ A ⊂ U ∩ A = V , isto ´ e, V ´ e uma vizinhan¸ca de x em A. Os itens (v) e (vi) seguem da defini¸c˜ ao de base de vizinhan¸cas e do item anterior, e da defini¸c˜ ao de base, respectivamente.

Corol´ ario 1.12. Se Z ⊂ Y ⊂ X, ent˜ ao Cl

Z ⊂ Cl

Z. Em particular, se Z for fechado em X, ent˜ ao Z ´ e fechado em Y .

Demonstra¸ c˜ ao. O item (iii) do teorema anterior nos garante que Cl

Z = Y ∩ Cl

Z ⊂ Cl

Z. Se Z ´ e fechado em X, ent˜ ao Z ⊂ Cl

Z ⊂ Cl

Z = Z. Portanto, Z ´ e fechado em Y .

Teorema 1.13. (Construindo fun¸ c˜ oes cont´ ınuas) Sejam X, Y, Z espa¸ cos topol´ ogicos.

a. (Fun¸ c˜ ao constante) Se f : X −→ Y ´ e uma fun¸ c˜ ao que aplica todos os elementos de X em um ´ unico ponto y

∈ Y , ent˜ ao f ´ e cont´ınua.

b. (Inclus˜ ao) Se A ´ e um subespa¸ co de X, ent˜ ao a aplica¸ c˜ ao inclus˜ ao j : A −→ X ´ e cont´ınua.

c. (Composi¸ c˜ ao) Se f : X −→ Y e g : Y −→ Z s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao g ◦ f ´ e cont´ınua.

d. (Restri¸ c˜ ao do Dom´ınio) Se f : X −→ Y ´ e cont´ınua, e A ´ e um subespa¸ co de X, ent˜ ao a fun¸ c˜ ao restrita ao conjunto A, f |

: A −→ Y , ´ e cont´ınua.

e. (Restri¸ c˜ ao ou Expans˜ ao do Contradom´ınio) Seja f : X −→ Y cont´ınua. Se Z ´ e um subespa¸ co de Y contendo a imagem f(X), ent˜ ao a fun¸ c˜ ao g : X −→ Z, obtida por uma restri¸ c˜ ao do contradom´ınio de f , ´ e cont´ınua. Se Z ´ e um espa¸ co que possui Y como subespa¸ co, ent˜ ao a fun¸ c˜ ao h : X −→ Z, obtida por uma extens˜ ao do contradom´ınio de f , ´ e cont´ınua.

f. (Formula¸ c˜ ao Local da Continuidade) A fun¸ c˜ ao f : X −→ Y ser´ a cont´ınua se X for escrito como uni˜ ao de conjuntos abertos U

, tal que f|

´ e cont´ınua, para cada λ ∈ Λ.

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Para cada aberto U de Y , f

(U ) = X, se y

∈ U , ou f

(U ) = ∅, se

y

∈ / U . (b) Para cada subconjunto W ⊂ X, temos j

(W ) = W ∩ A. (c) Basta lembrar que

(g ◦ f)

(V ) = f

(g

(V )), para todo V ⊂ Z. (d) A fun¸c˜ ao restri¸c˜ ao f |

´ e a composi¸c˜ ao da

inclus˜ ao j : A −→ X com f : X −→ Y , ambas cont´ınuas. (e) Sejam f (X) ⊂ Z ⊂ Y e W aberto em Z, isto ´ e, W = U ∩ Z, com U aberto em Y . Como Z cont´ em o conjunto imagem f(X), obtemos g

(W ) = f

(U ). Logo, g

(W ) ´ e aberto em X. Para provar que a fun¸c˜ ao h : X −→ Z , com Z contendo Y como subespa¸co, ´ e cont´ınua, basta notar que h ´ e composi¸c˜ ao de f com a inclus˜ ao j : Y −→ Z. (f) Por hip´ otese, podemos escrever X como uni˜ ao de abertos U

, tais que f|

´

e cont´ınua. Seja V aberto em Y . Ent˜ ao, (f|

)

(V ) = f

(V ) ∩ U

´ e um aberto em U

, pela continuidade de f|

, logo um aberto em X. Mas

f

(V ) = [

λ∈Λ

f

(V ) ∩ U

= [

λ∈Λ

(f |

)

(V )

ou seja, f

(V ) ´ e uni˜ ao de abertos de X.

Teorema 1.14. Se X =

n

[

i=1

F

, com F

fechados em X, f : X −→ Y tal que as restri¸ c˜ oes f

= f |

s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao f ´ e cont´ınua.

Demonstra¸ c˜ ao. Com efeito, dado C ⊂ Y fechado, temos f

(C) =

n

[

i=1

f

(C). Da continuidade de cada f

, segue que f

(C) ´ e fechado em F

, e portanto fechado em X. Assim, f

(C) ´ e fechado em X, e a continuidade de f ´ e garantida pelo item (iii) do teorema 1.9.

1.4 Homeomorfismos

Defini¸ c˜ ao 1.9. Um homeomorfismo f : X −→ Y , de um espa¸co topol´ ogico X sobre um espa¸co topol´ ogico Y ´ e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua e biun´ıvoca de X sobre Y , cuja inversa f

: Y −→ X tamb´ em ´ e cont´ınua. Nesse caso, dizemos que X ´ e homeomorfo a Y .

Espa¸cos topol´ ogicos homeomorfos s˜ ao iguais do ponto de vista topol´ ogico. Evidentemente,

“X ´ e homeomorfo a Y ” define uma rela¸c˜ ao de equivalˆ encia em qualquer conjunto de espa¸cos topol´ ogicos (por mais abstrato que seja esse conjunto).

Provar que dois espa¸cos s˜ ao homeomorfos ´ e um dos problemas b´ asicos em topologia, consistindo

basicamente em construir um homeomorfismo entre os espa¸cos, ou equivalentemente, uma fun¸c˜ ao

cont´ınua cuja inversa tamb´ em seja cont´ınua. E como vimos na se¸c˜ ao anterior, existem t´ ecnicas

para construir fun¸c˜ oes cont´ınuas. Entretanto, provar que dois espa¸cos n˜ ao s˜ ao homeomorfos

´

e outro problema bastante diferente, e uma das t´ ecnicas para resolvˆ e-lo consiste em encontrar uma propriedade topol´ ogica presente em um dos espa¸cos mas n˜ ao no outro. Uma propriedade topol´ ogica ´ e uma propriedade invariante por homeomorfismos, ou seja, ´ e uma caracter´ıstica dos espa¸cos topol´ ogicos que, se ´ e possu´ıda pelo espa¸co X, ent˜ ao todos os espa¸cos homeomorfos a X tamb´ em a possuem.

Defini¸ c˜ ao 1.10. Uma aplica¸c˜ ao f : X −→ Y diz-se aberta (fechada) quando a imagem f(A), de cada aberto (fechado) A ⊂ X, ´ e um aberto (fechado) em Y .

Teorema 1.15. Sejam X, Y espa¸ cos topol´ ogicos e f : X −→ Y biun´ıvoca. S˜ ao equivalentes:

i. f ´ e um homeomorfismo,

ii. f e f

s˜ ao aplica¸ c˜ oes abertas, iii. f e f

s˜ ao aplica¸ c˜ oes fechadas.

Demonstra¸ c˜ ao. Inicialmente lembremos que para uma aplica¸c˜ ao biun´ıvoca qualquer ϕ : X −→ Y , valem ϕ(W ) = (ϕ

)

(W ), W = ϕ(ϕ

(W )) = ϕ

(ϕ(W )), para cada W ⊂ X. Esses fatos aliados ` as equivalˆ encias entre os trˆ es primeiros itens do teorema 1.9, garantem que ϕ ´ e cont´ınua

⇔ ϕ

´ e aberta ⇔ ϕ

´ e fechada. Portanto, seguem-se as equivalˆ encias (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii).

1.5 Produtos Cartesianos e Espa¸ cos Produtos

Prosseguindo com o prop´ osito de construir novos espa¸cos a partir de outros, consideraremos agora o produto cartesiano de uma fam´ılia qualquer de espa¸cos topol´ ogicos. A topologia do produto cartesiano ´ e definida de uma maneira natural e usual. A no¸c˜ ao de produtos cartesianos quaisquer ´ e fundamental e a chave para o entendimento da defini¸c˜ ao repousa no fato que podermos naturalmente considerar o produto cartesiano como uma cole¸c˜ ao de fun¸c˜ oes definidas no conjunto de ´ındices.

Sejam Λ um conjunto de ´ındices e {X

}

uma fam´ılia de conjuntos n˜ ao vazios. Considera- remos o conjunto Y

λ∈Λ

X

, produto cartesiano dos X

. Os elementos de X s˜ ao, por defini¸c˜ ao, todas as fun¸c˜ oes x : Λ −→ [

λ∈Λ

X

, sujeitas ` a condi¸c˜ ao de que, para qualquer λ ∈ Λ, x(λ) ≡ x

∈ X

.

Em outras palavras, um elemento x ∈ X pode ser interpretado como uma “Λ-upla” x = (x

)

tal que x

∈ X

, para cada λ ∈ Λ. Os valores x(λ) ≡ x

s˜ ao denominados “coordenadas” de x.

Y

λ∈Λ

X

= (

x : Λ −→ [

λ∈Λ

X

; x(λ) = x

∈ X

, ∀ λ ∈ Λ )

Ocasionalmente denotaremos o produto simplesmente por Q

X

, e cada elemento por (x

).

Se todos os conjuntos X

s˜ ao iguais a X, ent˜ ao o produto cartesiano Q

X

reduz-se ao conjunto X

≡ F(Λ; X) de todas as fun¸c˜ oes x : Λ −→ X, ou Λ-uplas de elementos de X. No produto cartesiano Q

X

, para cada λ fixo, destacam-se as λ-´ esimas proje¸ c˜ oes π

: Y

λ∈Λ

X

−→ X

, que associam cada elemento x = (x

) do produto ` a sua λ-´ esima coordenada, π

(x) = x(λ) ≡ x

. Defini¸ c˜ ao 1.11. Seja {X

}

uma fam´ılia de espa¸cos topol´ ogicos, onde, τ

representa a topologia em X

, para cada λ ∈ Λ. Tomemos como base para uma topologia no espa¸co produto Y

λ∈Λ

X

a cole¸c˜ ao de todos os conjuntos da forma Y

λ∈Λ

U

, com U

∈ τ

, para cada λ ∈ Λ. A topologia gerada por essa base denomina-se topologia da caixa (“box topology”).

A cole¸c˜ ao descrita na defini¸c˜ ao anterior ´ e, de fato, uma base, pois satisfaz a primeira condi¸c˜ ao do teorema 1.7, j´ a que o pr´ oprio espa¸co produto Q

X

´ e um elemento da base; e a segunda condi¸c˜ ao do mesmo teorema, por a interse¸c˜ ao de dois elementos da base ainda pertencer ` a base:

Y

λ∈Λ

U

\ Y

λ∈Λ

V

= Y

λ∈Λ

(U

∩ V

)

Defini¸ c˜ ao 1.12. Seja {X

}

uma fam´ılia de espa¸cos topol´ ogicos. Considere a cole¸c˜ ao S

= π

(U ) ; U ∈ τ

, e S a uni˜ ao de todas essas cole¸c˜ oes, S = [

λ∈Λ

S

. A topologia gerada pela sub-base S chama-se topologia produto ou topologia de Tychonoff no espa¸co produto Q

X

.

Para compararmos essas topologias, consideremos B a base que S gera, consistindo em todas

as interse¸c˜ oes finitas de elementos de S. Ao intersectarmos elementos da mesma cole¸c˜ ao S

, n˜ ao

obtemos algo diferente do que t´ınhamos, pois π

(U ) ∩ π

(V ) = π

(U ∩ V ), isto ´ e, a intersec¸cao

de dois elementos de S

, bem como uma quantidade finita deles, ´ e ainda um elemento de S

.

Obtemos algo novo apenas quando interceptamos elementos de diferentes conjuntos S

. Um

t´ıpico elemento b´ asico de B ´ e descrito da seguinte forma: sejam λ

, . . . , λ

distintos ´ındices de Λ,

e U

∈ τ

, para i = 1, . . . , n. Ent˜ ao B =

n

\

i=1

π

i

(U

) ´ e um t´ıpico elemento b´ asico. Vejamos que um ponto x = (x

) pertence a B se, e somente se, sua λ

-´ esima coordenada est´ a em U

, para i = 1, . . . , n. N˜ ao h´ a restri¸c˜ ao quanto ` as outras λ-´ esimas coordenadas de x, se λ ´ e distinto dos λ

. Portanto, podemos escrever B = Q

U

, onde U

= X

, se λ 6= λ

, com i = 1, . . . , n.

Em suma,

Teorema 1.16. (Compara¸ c˜ ao da topologia da caixa e a topologia produto) A topologia da caixa em Q

X

possui como base todos os conjuntos da forma Q

U

, onde U

´ e aberto em X

, para cada λ, enquanto que a topologia produto em Q

X

possui como base todos os conjuntos da forma Q

U

, onde U

´ e aberto em X

, para cada λ, e U

= X

, a menos que uma quantidade finita de ´ındices λ.

Dois fatos s˜ ao imediatos. Primeiro, no caso de produtos finitos Q

i=1

X

as duas topologias s˜ ao precisamente iguais. Segundo, a topologia da caixa τ

´ e mais fina que a topologia produto τ

, isto ´ e, τ

⊂ τ

.

No momento ainda n˜ ao ´ e claro a preferˆ encia pela topologia produto. Adiantamos que isso se deve ao fato de importantes teoremas para produtos finitos serem v´ alidos para produtos ar- britr´ arios, ao considerarmos a topologia produto, mas n˜ ao se utilizarmos a topologia da caixa.

Portanto, convencionaremos que, salvo em men¸c˜ ao expl´ıcita, ao considerarmos o produto Q X

, assumiremos que a topologia produto ´ e a topologia em quest˜ ao.

A seguir, listamos alguns resultados que s˜ ao v´ alidos para o produto Q

X

, para qualquer uma das duas topologias citadas. Seremos breves nas demonstra¸c˜ oes.

Proposi¸ c˜ ao 1.17. Suponha que cada cada espa¸co X

seja constru´ıdo a partir de uma base B

. Ent˜ ao a cole¸c˜ ao de todos os conjuntos da forma Q

B

, com B

∈ B

para cada λ, ´ e uma base para a topologia da caixa em Q

X

. A cole¸c˜ ao de todos os conjuntos da mesma forma, onde B

∈ B

para finitos ´ındices λ, e B

= X

para os ´ındices restantes, ´ e base para a topologia produto.

Demonstra¸ c˜ ao. Basta verificar que as cole¸c˜ oes gozam das propriedades do teorema 1.7.

Proposi¸ c˜ ao 1.18. Seja A

subespa¸co de X

, para cada λ ∈ Λ. Ent˜ ao Q

A

´ e um subespa¸co de

Q X

, se em ambos os produtos ´ e considerada a topologia da caixa ou do produto.

Demonstra¸ c˜ ao. Prova-se, sem maiores ´ obices, que a base de A = Q

A

vista como subespa¸co de X = Q

X

´ e a mesma da base da topologia produto ou da caixa considerada em A e X .

Teorema 1.19. Sejam {X

}

uma fam´ılia de espa¸ cos topol´ ogicos, e A

⊂ X

, para cada λ ∈ Λ.

Se Q

X

´ e dado pela topologia da caixa ou produto, ent˜ ao Q

A

= Q A

. Demonstra¸ c˜ ao. Fixado x = (x

) ∈ Q

A

, cada aberto Q

U

, na topologia considerada, que cont´ em x intersecta Q

A

. Logo, x ∈ Q

A

. Reciprocamente, se x = (x

) ∈ Q

A

, ent˜ ao prova-se que x

∈ A

, qualquer que seja α ∈ Λ. De fato, se U

´ e aberto em X

que cont´ em x

, ent˜ ao π

(U

) ´ e aberto em Q

X

, em ambas as topologias, que cont´ em x = (x

), logo existe y = (y

) ∈ π

(U

) ∩ Q

A

. Com isso, U

∩ A

6= ∅, isto ´ e, x

∈ A

.

Exemplo 1.3. Seja X um conjunto arbitr´ ario e Y = {f : X −→ R ; f ´ e uma fun¸c˜ ao}. De acordo com a defini¸c˜ ao de produto cartesiano, podemos interpretar Y como o produto R

= Q

α∈X

X

, onde X

= R , para todo α ∈ X. A proposi¸c˜ ao 1.17 nos diz que um elemento b´ asico t´ıpico da topologia produto de Y ´ e da forma B = ∩

π

(U

), onde cada U

´ e um aberto b´ asico da topologia (natural) de R , ou seja, cada U

´ e um intervalo de raio δ

e centro b

. Portanto,

B = {f ∈ Y ; |f (α

) − b

| < δ

, para i = 1, . . . , n} (∗)

O teorema 1.8 nos garante que, para cada f ∈ Y , a fam´ılia B

, de todos os conjuntos B que cont´ em f como em (∗) para alguns α

, b

, δ

, ´ e uma base de vizinhan¸cas de f . Consideremos a cole¸c˜ ao C

formada por todos os conjuntos

V

= {g ∈ Y ; |g(α

) − f(α

)| < ε , para i = 1, . . . , n}

com n ∈ N , α

∈ X e ε > 0. Ent˜ ao C

⊂ B

, isto ´ e, os elementos de C

s˜ ao vizinhan¸cas de f. Al´ em disso, para cada vizinhan¸ca b´ asica B ∈ B

, ´ e poss´ıvel obter C ∈ C

contida em B. Com isso, segue da defini¸c˜ ao 1.4 que C

´ e base de vizinhan¸cas de f . Resumindo, uma base de vizinhan¸cas de f ´ e a cole¸c˜ ao de todos os conjuntos da forma

V

= {g ∈ Y ; |g(x) − f (x)| < ε , com x ∈ F })

onde F ´ e um subconjunto finito de X e ε ´ e um real positivo.

Defini¸ c˜ ao 1.13. Sejam X um conjunto n˜ ao vazio, X

espa¸cos topol´ ogicos e ϕ

: X −→ X

fun¸c˜ oes, para cada λ ∈ Λ. A topologia fraca induzida em X pela fam´ılia de fun¸c˜ oes {ϕ

}

´ e a topologia cuja sub-base ´ e a cole¸c˜ ao S =

ϕ

(V ) ; V ∈ τ

, λ ∈ Λ .

Com isso, a topologia fraca induzida em X ´ e a menor topologia que torna todas as f

cont´ınuas.

Al´ em disso, a topologia produto em Q

X

´ e a topologia fraca no espa¸co produto induzida pela cole¸c˜ ao pelas fam´ılia das proje¸c˜ oes {π

}

.

Proposi¸ c˜ ao 1.20. Se X ´ e munido da topologia fraca induzida pela cole¸c˜ ao {f

: X −→ X

}

, ent˜ ao f : Y −→ X ´ e cont´ınua se, e somente se, f

◦ f : Y −→ X

´ e cont´ınua para cada λ.

Demonstra¸ c˜ ao. Se f ´ e cont´ınua, ent˜ ao cada f

◦ f ´ e cont´ınua, por ser composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes cont´ınuas. Reciprocamente, suponhamos que cada f

◦ f ´ e cont´ınua. Para provar que f ´ e cont´ınua, basta mostrar que a imagem inversa por f de cada elemento da sub-base de X ´ e um aberto. Mas isso segue de f

(f

(Z )) = (f

◦ f)

(Z), para cada Z ⊂ X

, e cada λ ∈ Λ.

Corol´ ario 1.21. Consideremos a topologia produto no espa¸co Q

X

. Uma aplica¸c˜ ao de um espa¸co topol´ ogico X no espa¸co produto, f : X −→ Q

X

, ´ e cont´ınua se, e somente se, cada π

◦ f ´ e cont´ınua.

Ao denotarmos f

:= π

◦ f : X −→ X

, obtemos f = (f

)

. Isso significa que podemos interpretar f como Λ-uplas de fun¸c˜ oes coordenadas f

. Com isso, esse resultado significa que a continuidade de uma fun¸c˜ ao equivale ` a continuidade de suas fun¸c˜ oes coordenadas, ao considerar- mos a topologia produto. Esse ´ e o primeiro resultado que ilustra a diferen¸ca entre as topologia produto e a da caixa: a rec´ıproca n˜ ao ´ e v´ alida, em geral, ao considerarmos a topologia da caixa no espa¸co produto. O exemplo a seguir ´ e a melhor forma para nos convencermos disso.

Exemplo 1.4. Considere R

= Q

n∈N

X

com a topologia da caixa, onde X

= R para cada n, e f : R −→ R

, dada por f(t) = (t, t, t, . . .). Apesar de cada fun¸c˜ ao coordenada f

= id

ser cont´ınua, f n˜ ao o ´ e. De fato, ao considerarmos o elemento b´ asico B = Y

n∈N

− 1 n , 1

n

de R

, sua imagem inversa f

(B) n˜ ao ´ e aberto em R , pois se o fosse, deveria conter algum intervalo (−δ, δ), e portanto f ((−δ, δ)) ⊂ B. Aplicando π

em ambos os lados dessa igualdade, obtemos f

(−δ, δ)

⊂

− 1 n , 1

n

, para todo natural n.

1.6 Axiomas de Separabilidade

A defini¸c˜ ao de espa¸co topol´ ogico ´ e bastante geral e, consequentemente, admite estruturas

“in´ uteis” para muitos prop´ ositos, como ´ e o caso da topologia ca´ otica. Com isso, n˜ ao s˜ ao muitos os teoremas que podem ser provados para todos os espa¸cos topol´ ogicos. As restri¸c˜ oes impostas partem da necessidade de eliminar certas patologias. Mais especificamente, requere-se que a topologia contenha abertos suficientes para que pontos sejam separ´ aveis por meios de abertos.

Defini¸ c˜ ao 1.14. Um espa¸co topol´ ogico ´ e dito espa¸ co T

, quando dados dois pontos distintos arbitr´ arios, existe um aberto que cont´ em um e n˜ ao cont´ em o outro. Um espa¸ co T

´ e aquele em que, para quaisquer dois pontos distintos, existe uma vizinhan¸ca de cada um que n˜ ao cont´ em o outro. Um espa¸co ´ e Hausdorff ou T

quando pontos distintos possuem vizinhan¸cas abertas disjuntas.

Na defini¸c˜ ao de espa¸co T

podemos usar vizinhan¸ca. Evidentemente, todo espa¸co de Hausdorff (T

) ´ e T

, e todo espa¸co T

´ e T

. No entanto, as rec´ıprocas n˜ ao s˜ ao v´ alidas. X = {a, b} com τ = {∅, {a}, X } ´ e T

mas n˜ ao ´ e T

. Para um conjunto Z infinito com a topologia cofinita, definida no exemplo 1.2, os conjuntos unit´ arios s˜ ao fechados, logo ´ e T

pela proposi¸c˜ ao a seguir, mas quaisquer dois abertos n˜ ao vazios sempre se intersectam, portanto Z n˜ ao pode ser Hausdorff.

Proposi¸ c˜ ao 1.22. Se um espa¸co ´ e T

, ent˜ ao os pontos s˜ ao fechados. Se os pontos s˜ ao pontos fechados, ent˜ ao o espa¸co ´ e Hausdorff.

Demonstra¸ c˜ ao. Se X ´ e T

, ent˜ ao basta provar que z ∈ {x} ⇒ z = x. Suponha que z 6= x e use a hip´ otese do espa¸co ser T

. Reciprocamente, suponha que os pontos s˜ ao fechados. Dados dois pontos distintos x e y, use os fatos x / ∈ {y} e y / ∈ {x}.

Defini¸ c˜ ao 1.15. Um espa¸co ´ e dito regular, sempre que para cada fechado F e um ponto x / ∈ F , existem abertos disjuntos U e V que cont´ em F e x, respectivamente. Um espa¸ co T

´ e um espa¸co T

e regular.

Como nos espa¸cos T

todo ponto ´ e fechado, os espa¸cos que s˜ ao T

e regulares s˜ ao Hausdorff.

T

⊃ T

⊃ T

:= Hausdorff ⊃ T

:= T

+ regular

1.7 Espa¸ cos Compactos

Os espa¸cos compactos s˜ ao uma das classes mais importantes dos espa¸cos topol´ ogicos, e seus conceitos n˜ ao deixam de ser abstra¸c˜ oes de certas propriedades importantes que os n´ umeros reais possuem. Eles eglobam todos os subespa¸cos fechados e limitados no caso dos espa¸cos euclidianos, tanto por a maioria dos teoremas da an´ alise cl´ assica serem provados para os fechados e limitados, como por mais tarde se revelar que v´ arias propriedades interessantes dos espa¸co topol´ ogicos serem, de fato, inerentes a todos os espa¸cos compactos.

Defini¸ c˜ ao 1.16. Seja X um espa¸co topol´ ogico. Uma cole¸c˜ ao A de subconjuntos de X ´ e dita cobertura de X, quando a uni˜ ao dos elementos de A for igual a X. Dizemos que A ´ e uma cobertura aberta (fechada) de X quando todos os elementos da cobertura forem abertos (fechados).

Um espa¸co denomina-se compacto quando toda cobertura aberta possui uma subcole¸c˜ ao finita que o cobre. Se Y ´ e um subespa¸co de X, uma cole¸c˜ ao B de subconjuntos de X cobre Y , quando a uni˜ ao dos seus elementos cont´ em Y .

Defini¸ c˜ ao 1.17. Diz-se que uma fam´ılia {A

}

tem a propriedade da interse¸ c˜ ao finita (PIF) quando qualquer subfam´ılia finita {A

}

tem interse¸c˜ ao ∩

A

n˜ ao vazia.

Para que os conjuntos U

formem uma cobertura aberta de um espa¸co topol´ ogico, ´ e necess´ ario e suficiente que os seus complementares F

= X \ U

constituam uma fam´ılia de fechados em X, cuja interse¸c˜ ao T

λ∈Λ

F

´ e vazia. Por passagem aos complementares, segue-se ent˜ ao que um espa¸co topol´ ogico ´ e compacto se, e somente se, toda fam´ılia de subconjuntos fechados, cuja interse¸c˜ ao ´ e vazia, cont´ em uma subfam´ılia finita cuja interse¸c˜ ao ´ e vazia. Portanto, acabamos de provar a Proposi¸ c˜ ao 1.23. Para que um espa¸co topol´ ogico X seja compacto, ´ e necess´ ario e suficiente que a seguinte condi¸c˜ ao se cumpra: “se uma fam´ılia {F

}

de conjuntos fechados em X possui a propriedade da interse¸ c˜ ao finita, ent˜ ao a interse¸ c˜ ao T

λ∈Λ

F

´ e n˜ ao-vazia”.

Intuitivamente, topologias com menos abertos possuem mais compactos. Se uma topologia

possui uma quantidade finita de abertos, ent˜ ao todo conjunto ´ e compacto. Por outro lado, na

topologia discreta τ = P (X), um conjunto ´ e compacto se, e somente se, for finito. A seguir,

vejamos alguns fatos simples a respeito dos subespa¸cos. Omitiremos as demonstra¸c˜ oes, ou seus

detalhes, daqueles mais evidentes.

Proposi¸ c˜ ao 1.24. Um subespa¸co Y de X ´ e compacto se, e somente se, toda cobertura de Y , por abertos de X, possui uma subcobertura finita.

Demonstra¸ c˜ ao. Basta lembrar da defini¸c˜ ao de topologia relativa, onde cada aberto em Y ´ e in- terse¸c˜ ao de Y com um aberto em X.

Esse resultado nos diz que a compacidade de um subespa¸co independe do “ambiente” em que estamos analisando-o, isto ´ e, temos a liberdade de analisar a compacidade de Y no pr´ oprio espa¸co topol´ ogico Y , ou no espa¸co topol´ ogico X.

Proposi¸ c˜ ao 1.25. Todo subespa¸co fechado de um compacto ´ e compacto.

Demonstra¸ c˜ ao. Se Y ≤ X ´ e fechado e A ´ e uma cobertura de Y por abertos de X, ent˜ ao A∪{X\Y }

´

e uma cobertura aberta de X, que possui uma subcole¸c˜ ao finita C que cobre X. Logo, C \ {X \ Y }

´

e cobertura de Y por abertos de X.

Lema 1.26. Seja X um espa¸co de Hausdorff. Se K ´ e um subespa¸co de X compacto e a / ∈ K, ent˜ ao existem abertos disjuntos que os separam, isto ´ e, existem os abertos disjuntos U e V de X que cont´ em a e K , respectivamente.

Demonstra¸ c˜ ao. Por X ser Hausdorff, para cada x ∈ K existem aberto disjuntos U

e V

de X que cont´ em a e x respectivamente. A cole¸c˜ ao aberta {V

}

cobre K , logo possui uma subcole¸c˜ ao finita {V

}

que ainda cobre K. Sejam U

os abertos que cont´ em a correspondentes aos V

, isto ´ e, U

∩ V

= ∅, para i = 1, . . . , n. Portanto, os abertos U = ∩

U

e V = ∪

V

s˜ ao disjuntos e cont´ em x e K , respectivamente.

Proposi¸ c˜ ao 1.27. Todo subespa¸co comptacto de um espa¸co de Hausdorff ´ e fechado.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja K um subespa¸co compacto do espa¸co de Hausdorff X. Provaremos que K ´ e fechado. Dado x ∈ X \ K, o lema anterior nos garante a existˆ encia de um aberto que cont´ em x que n˜ ao intersecta K . Consequentemente, x / ∈ K. Portanto, K ⊂ K .

Exemplo 1.5. Em um espa¸co m´ etrico os compactos s˜ ao limitados e fechados. No R

vale a

rec´ıproca. Em qualquer conjunto X que possui ao menos dois pontos a e b, munido topologia

{∅, {a}, X }, o conjunto {a} ´ e compacto mas n˜ ao fechado. A reta real R , munida da topologia

do complemento enumer´ avel descrita no exemplo 1.1 n˜ ao ´ e Hausdorff (ver coment´ ario ap´ os o corol´ ario 2.6 no cap´ıtulo 2), mas todo compacto ´ e fechado. Nesse espa¸co um conjunto ´ e fechado se, e somente se, for enumer´ avel. Al´ em disso, os ´ unicos compactos s˜ ao os conjuntos finitos. De fato, se A for um conjunto infinito, ent˜ ao existe o conjunto infinito e enumer´ avel {a

}

⊂ A, com elementos dois a dois distintos. Definamos, para cada natural n, o conjunto B

= X \ {a

; i ≥ n}.

Logo, {B

}

´ e uma cobertura aberta de A que n˜ ao possui subcobertura finita, assim A n˜ ao ´ e compacto. Consequentemente, nenhum conjunto infinito pode ser compacto.

Proposi¸ c˜ ao 1.28. A imagem de um compacto por uma aplica¸c˜ ao cont´ınua ´ e um compacto.

Demonstra¸ c˜ ao. Dado um conjunto compacto K ⊂ X, afirmamos que f(K) ´ e compacto. Com efeito, seja V

uma cobertura aberta de f (K), por abertos V

de Y . Logo, os conjuntos f

(V

) constituem uma cobertura aberta de K, pois f ´ e cont´ınua, da qual se pode extrair uma subco- bertura finita K ⊂ ∪

f

(V

). Segue-se f (K ) ⊂ ∪

V

, estabelecendo a compacidade de f (K ).

Corol´ ario 1.29. Toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : K −→ Y de um espa¸co compacto K num espa¸co de Hausdorff Y ´ e fechada.

Demonstra¸ c˜ ao. Com efeito, cada subconjunto fechado F do compacto K ´ e compacto. Pelo teorema anterior, f(F ) ´ e um compacto do espa¸co de Hausdorff Y , portanto f (F ) ´ e fechado em Y .

Corol´ ario 1.30. Toda aplica¸c˜ ao f : K −→ Y , cont´ınua e biun´ıvoca, de um espa¸co compacto K sobre espa¸co de Hausdorff Y ´ e um homeomorfismo.

Demonstra¸ c˜ ao. Pelo corol´ ario, f ´ e fechada e portanto f

: Y −→ K ´ e cont´ınua, pelo item (iii) do teorema 1.9.

1.8 Notas Hist´ oricas

Durante o s´ eculo XX, o surgimento de v´ arios fenˆ omenos patol´ ogicos, como a descri¸c˜ ao precisa

de fun¸c˜ oes cont´ınuas e n˜ ao diferenci´ aveis em nenhum ponto (Bolzano, B. Riemann (1826–1866)

e K. Weierstrass (1815–1907) em 1830, 1857 e 1861 respectivamente) confirmaram a necessidade

de repousar o c´ alculo em funda¸c˜ oes mais s´ olidas, tornando a an´ alise independente da intui¸c˜ ao

geom´ etrica e dos argumentos mecˆ anicos aos quais os criados do c´ alculo I. Newton (1642–1727) e G. Leibniz (1646–1716) referiam-se. A topologia geral, ent˜ ao, emerge como uma consequˆ encia disso.

Considera-se que os primeiros trabalhos relativos ` a topologia devem-se ` a Euler (1707 – 1783), que em 1736 publicou o artigo “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis” (solu¸c˜ ao de um problema relacionado ` a geometria de posi¸c˜ ao). Ele n˜ ao apenas provou a impossibilidade do Problema das Sete Pontes de K¨ onigsberg, como tamb´ em generalizou o resultado para, na atual terminologia, a teoria dos grafos. Livrar os matem´ aticos das no¸c˜ oes de distˆ ancia seria um dos passos dados na dire¸c˜ ao da constru¸c˜ ao da topologia, e tamb´ em deve-se a Euler esse feito. A famosa f´ ormula de Euler para poliedros independe de quaisquer no¸c˜ oes m´ etricas.

Uma das etapas decisivas seria a transi¸c˜ ao dos espa¸cos euclidianos para os espa¸cos abstratos.

Nesse ponto Riemann (1826 – 1866) foi um dos precursores. Em 1854 introduziu uma tentativa de classificar as variedades 2-dimensionais e apontou a possibilidade de estudar variedades de dimens˜ oes superiores e espa¸cos de fun¸c˜ oes.

Estruturas topol´ ogicas em espa¸cos abstratos foram inicialmente introduzidas por Fr´ echet (1878 – 1973) em 1906, definindo os espa¸cos por meio de sequˆ encias convergentes, e por Riesz (1880 – 1956) em 1907 e 1908, por meio de pontos de acumula¸c˜ ao. A primeira defini¸c˜ ao satisfat´ oria de espa¸cos topol´ ogicos foi proposta por Hausdorff (1868 – 1942) em 1919, utilizando sistemas de vizinhan¸cas, e desenvolvida a partir de ideias presentes nos artigos de Hilbert (1862 – 1943) de 1902 e Weyl (1885 – 1955) de 1913, que apresentavam uma descri¸c˜ ao axiom´ atica em termos de vizinhan¸cas do plano e de uma superf´ıcie de Riemann.

A defini¸c˜ ao de espa¸cos topol´ ogicos aqui apresentada e geralmente adotada, nesse momento, foi primeiramente formulada por Kuratowski (1896 – 1980) no ano de 1922, em termos do operador fecho. As no¸c˜ oes de conjuntos abertos, fechados, fecho e interior foram introduzidas e estudadas por Cantor (1845 – 1918) nos espa¸cos euclidianos, e Hausdorff as generalizou para os espa¸cos topol´ ogicos.

A topologia de Tychonoff (topologia da caixa) foi introduzida por Tychonoff (1906 – 1993)

em seu artigo “ ¨ Uder die Topologische Erweiterung von R¨ aumen” (Sobre Expans˜ ao Topol´ ogica)

de 1930. A topologia da caixa (box topology) foi considerada por Tietze (1880 – 1964) no artigo

“ ¨ Uber Analysis Situs” (Sobre An´ alise Situs) de 1923.

A origem da no¸c˜ ao de compacidade est´ a relacionada com o teorema de Borel (1871 – 1956), provado em 1894, declarando que toda cobertura aberta enumer´ avel de um intervalo fechado possui uma subcobertura finita, juntamente com a observa¸c˜ ao de Lebesgue (1875 – 1941) afirmando que valia o mesmo para qualquer cobertura aberta. Mais tarde, em 1903, Borel generalizou o resultado, na configura¸c˜ ao de Lebesgue, para todos os subespa¸cos limitados e fechados do espa¸co euclidiano.

Fr´ echet foi o primeiro a usar o termo compacto, atribu´ındo-o a espa¸cos m´ etricos nos quais toda

sequˆ encia possui uma subsequˆ encia convergente, ou equivalentemente, que todo conjunto infinito

possui um ponto de acumula¸c˜ ao. Riesz identificou que a compacidade podia ser descrita usando

a propriedade da intersec¸c˜ ao finita. Hausdorff foi o primeiro a notar que a defini¸c˜ ao atual, nos

termos de Borel, ´ e equivalente ` aquela dada em espa¸cos m´ etricos, e coube a Aleksandrov (1896 –

1982) e Urysohn (1898 – 1924) pˆ or em pr´ atica esta defini¸c˜ ao aos espa¸cos topol´ ogicos gerais.

Convergˆ encia

A no¸c˜ ao de convergˆ encia ´ e parte intr´ınseca da an´ alise, e com isso est´ a estreitamente relacionada a um dos objetos fundamentais da topologia: o conceito de continuidade. Nos espa¸cos m´ etricos os conceitos de convergˆ encia se d˜ ao por meio de sequˆ encias, que descrevem completamente as no¸c˜ oes de continuidade, bem como a topologia do espa¸co. No entanto, isso n˜ ao se aplica a todos os espa¸cos topol´ ogicos. Da necessidade de descrever e caracterizar os principais objetos da topologia, surgem m´ etodos de convergˆ encia mais eficazes: redes e filtros.

Esse cap´ıtulo ser´ a devotado ao estudo desses m´ etodos de convergˆ encia. Revelar-se-˜ ao os mo- tivos da inedequa¸c˜ ao das sequˆ encias, assim como o fato de que a topologia pode ser inteiramente descrita por esses outros instrumentos, al´ em de se constatar que esses s˜ ao uma generaliza¸c˜ ao natural dos conceitos anteriores.

Faremos uso desses novos conceitos e resultados, em sua plenitude for¸ca e poder, para provar de modo pr´ atico e elegante alguns importantes resultados no cap´ıtulo a seguir.

2.1 Sequˆ encias

A defini¸c˜ ao de convergˆ encia via sequˆ encia em espa¸cos topol´ ogicos ´ e uma generaliza¸c˜ ao natural daquela em espa¸cos m´ etricos. Em breve veremos um espa¸co topol´ ogico cujas sequˆ encias n˜ ao servem para sua descri¸c˜ ao. Talvez tal raz˜ ao para isso seja por que apenas poucas propriedades nos naturais s˜ ao usadas para provar os teoremas de sequˆ encias reais, como relata [K]. A enumerabilidade ´ e uma dessas propriedades, pois em instantes concluiremos que a convergˆ encia sequencial ´ e capaz de

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