Redu¸c˜ ao de dimensionalidade usando o Isomap

3.3 Personaliza¸c˜ ao de HRTFs

3.3.1 Redu¸c˜ ao de dimensionalidade usando o Isomap

De um modo geral, as técnicas de redu¸cão de dimensionalidade fornecem um método para transformar um conjunto de dados representado em uma matriz X de tamanho D × N , em um conjunto de dados correspondente de baixa dimensionalidade representado em uma matriz Y de tamanho d × N , onde d<D. A matriz X está composta por N vetores xi de dimensão D,

X = {x1, ..., xN} ⊂ RD. (3.1)

Já a matriz Y está composta por N vetores yi de dimensão d,

Y = {y1, ..., yN} ⊂ Rd. (3.2) 1_{Define-se uma variedade (i.e. manifold ) como uma superf´ıcie curva n˜}_{ao linear que ´}_{e localmente euclidiana [77].}

Cap´ıtulo 3. Personaliza¸c˜ao de HRTFs usando Isomap no plano horizontal 29 Novo Indivíduo HRTF Reconstrução baseada na vizinhança Modelo

Rede Neural Artificial Parâmetros Antropométricos ISOMAP Redução de Dimensionalidade Base de Dados de HRTFs F a se d e T re in a me n to HRTF de baixa dimensionalidade

Figura 3.1: Diagrama de blocos da abordagem proposta para personalizar HRTFs no plano horizontal.

Neste trabalho, utiliza-se a técnica de redu¸cão de dimensionalidade não-linear chamada de Isomap (Isometric Feature Mapping, mapeamento de caracter´ısticas isométricas) e considera-se todas as HRTFs no plano horizontal como pontos no espa¸co de alta dimensionalidade D. Por- tanto, cada HRTF é representada por um vetor xi de dimensão D.

Métodos lineares de redu¸cão de dimensionalidade como o PCA procuram um espa¸co de baixa dimensionalidade que preserve a variância medida no espa¸co de alta dimensionalidade. Já o Isomap procura um espa¸co de baixa dimensionalidade que preserve a geometria intr´ınseca dos dados, conforme capturado pela distância geodésica (i.e a distância no grafo) na variedade [80]. Assim, a ideia básica do Isomap é encontrar um espa¸co de baixa dimensionalidade de forma que pontos de alta dimensionalidade próximos são mapeados perto e pontos de alta dimensionalidade distantes são mapeados longe, conforme medido pela distância geodésica.

O Isomap tem trˆes passos que s˜ao detalhados a seguir [80]:

Passo 1: Construir o grafo G(V, E) a partir do conjunto de dados de entrada X. Cada amostra xi ∈ X é representada por um vértice vi ∈ V , e dois vértices vi e vj são conectados

por uma aresta (vi, vj) ∈ E de comprimento dX(xi, xj) se xi for um dos K vizinhos mais

próximos de xj. O comprimento da aresta dX(xi, xj) é dado pela distância Euclidiana entre

xi e xj [80, 81]. Para determinar os vizinhos de cada v´ertice, a abordagem mais simples ´e

selecionar, para cada vértice, um número fixo de vizinhos mais próximos, K, conforme medido pela distância Euclidiana ou outra métrica. Entretanto, outros critérios podem ser utilizados para selecionar os vizinhos. De fato, a sele¸cão dos vizinhos pode ser bastante sofisticada [82]. Por exemplo, pode-se selecionar todos os vizinhos que estão dentro de um determinado raio ou apenas selecionar um número máximo de vizinhos mais próximos. De modo geral, a sele¸cão de vizinhos no Isomap apresenta uma oportunidade para incorporar conhecimento prévio do problema.

Cap´ıtulo 3. Personaliza¸c˜ao de HRTFs usando Isomap no plano horizontal 30

Passo 2: Calcular os caminhos m´ınimos entre todos os vértices no grafo G. As distâncias resultantes são armazenadas em pares na matriz DG. A matriz de distâncias DG representa as

distˆancias geod´esicas entre todas as amostras na variedade [81].

Passo 3: Construir o espa¸co de baixa dimensionalidade calculando os autovetores de τ (DG).

Define-se τ (D) como

τ (D) = −HSH/2, (3.3)

onde S ´e a matriz de distˆancias ao quadrado,

Sij = D2ij, (3.4)

e H ´e a matriz de centraliza¸c˜ao (centering matrix ),

Hij = δij − 1/N. (3.5)

Lembre que N é o número de amostras e δ é fun¸cão delta de Kronecker. Finalmente, seja λp

o p-´esimo autovalor (em ordem decrescente) da matriz τ (DG), e vip o i-´esimo componente do

p-ésimo autovetor [80]. Então, define-se o p-ésimo componente do vetor de dimensão d, yi, como

sendo

yi =pλpvpi. (3.6)

Como indicado no primeiro passo do Isomap, a constru¸cão do grafo é uma oportunidade para incorporar conhecimento prévio do problema. No problema estudado neste texto, sabe-se que existe correla¸cão devido à simetria direita-esquerda das HRTFS em frequências abaixo de 5.5 kHz [83]. Além disso, para ressaltar a individualidade das HRTFs ao longo de certa dire¸cão, Nishino et al. [69] utilizaram redu¸cão de dimensionalidade usando o PCA separadamente para cada dire¸cão e ouvido. Neste trabalho, em lugar de aplicar o Isomap separadamente para cada dire¸cão e ouvido, propõe-se construir o grafo do Isomap levando em conta o conhecimento prévio mencionado.

Assim, uma de nossas contribui¸cões é nosso procedimento de constru¸cão do grafo do Isomap. Considere de novo a base de dados de alta dimensionalidade na matriz de tamanho D × N

X = {x1, ..., xN} ⊂ RD

da Equa¸c˜ao 3.1 formada por N HRTFs dos dois ouvidos de P indiv´ıduos em M azimutes no plano horizontal (i.e. N = 2 · P · M ). Conectou-se cada HRTF xi a K vizinhos e estabeleceu-se

os correspondentes comprimentos das arestas como sendo sijdX(xi, xj), onde sij ´e um fator de

escalamento, segundo as seguintes regras:

Regra 1: A ideia geral desta regra é manter próximas HRTFs da mesma dire¸cão e ouvido. Assim, se xi e xj representarem HRTFs do mesmo azimute e ouvido, então conectar xi e xj,

e definir sij = 0.01 a fim de ressaltar a individualidade de HRTFs ao longo de determinada

Cap´ıtulo 3. Personaliza¸c˜ao de HRTFs usando Isomap no plano horizontal 31 E θ E E D D D Frente

Figura 3.2: Exemplo da primeira regra para construir o grafo do Isomap. Os vértices simbolizam HRTFs de alta dimensionalidade de P = 3 indiv´ıduos. Cada cor representa um indiv´ıduo diferente, onde E = Ouvido Esquerdo e D= Ouvido Direito. Note que o comprimento de todas as arestas é igual a 0.01 · dX(xi, xj) e que cada vértice conecta-se a P − 1 = 2 vizinhos.

conecta-se a P − 1 vizinhos. Para ilustrar, a Figura 3.2 mostra um exemplo de aplica¸c˜ao desta regra para P = 3 indiv´ıduos, onde cada cor representa um indiv´ıduo diferente.

Regra 2: A ideia geral desta regra é manter próximas HRTFs de dire¸cões simétricas. Assim, sejam θi e θj azimutes de HRTFs representadas por xi e xj respectivamente. Independentemente

do indiv´ıduo, se xi e xj representarem HRTFs de ouvidos opostos e se θj for o azimute espelho

horizontal de θi (i.e. θj = 360 − θi), ent˜ao conectar xi e xj, e definir sij = 0.01 no intuito de

tirar vantagem da simetria esquerda-direita. Ao aplicar esta regra, cada v´ertice conecta-se a P vizinhos. Para ilustrar, a Figura 3.3 mostra um exemplo de aplica¸c˜ao desta regra para P = 3 indiv´ıduos, onde cada cor representa um indiv´ıduo diferente.

θ E E E _D D D Frente θ

Figura 3.3: Exemplo da segunda regra para construir o grafo do Isomap. Os vértices simbolizam HRTFs de alta dimensionalidade de três indiv´ıduos. Cada cor representa um indiv´ıduo diferente, onde E = Ouvido Esquerdo e D= Ouvido Direito. Note que o comprimento de todas as arestas é igual a 0.01 · dX(xi, xj) e que cada vértice conecta-se a P = 3 vizinhos.

Regra 3: A ideia geral desta regra ´e manter perto HRTFs espacialmente pr´oximas do mesmo indiv´ıduo e ouvido. Assim, seja θi e θj azimutes de HRTFs do mesmo indiv´ıduo e o mesmo

ouvido representadas por xi e xj respectivamente. Se θj for o azimute mais pr´oximo maior do

que θi ou se θj for o azimute mais pr´oximo menor do que θi, ent˜ao conectar xi e xj, e definir

sij = 1. Ao aplicar esta regra, cada v´ertice conecta-se a 2 vizinhos. Para ilustrar, a Figura 3.4

Cap´ıtulo 3. Personaliza¸c˜ao de HRTFs usando Isomap no plano horizontal 32 θ D Frente D D D D D D D E E E E E E E E

Figura 3.4: Exemplo da terceira regra para construir o grafo do Isomap. Os vértices simbolizam HRTFs de alta dimensionalidade de um mesmo indiv´ıduo, onde E = Ouvido Esquerdo e D= Ouvido Direito. Note que o comprimento de todas as arestas é igual a dX(xi, xj) e que cada vértice conecta-se a 2

vizinhos.

Antes de aplicar o Isomap, é necessário escolher dois parâmetros: o número de vizinhos, K, e a dimensionalidade intr´ınseca, d. Devido à constru¸cão de grafo proposta, o número de vizinhos é

K = 2P + 1, (3.7)

dos quais P − 1 vizinhos foram obtidos da primeira regra, P da segunda regra e dois da terceira regra, onde P é o número de indiv´ıduos no conjunto de dados X. Quanto à dimensionalidade intr´ınseca, d, ela foi estimada analisando a variância residual. A Figura 3.5 mostra os autovalores normalizados (em ordem decrescente) calculados a partir do conjunto de dados X. Como os autovalores fornecem a variância em cada dimensão, quando eles forem menores do que determinado limiar, pouco benef´ıcio é obtido ao acrescentar uma dimensão [81]. Um valor t´ıpico do limiar é de 0.025 [84]. Usando tal limiar, definiu-se a dimensionalidade intr´ınseca como sendo:

d = 4.

Ao contrário de trabalhos anteriores [74], aplicou-se o Isomap apenas uma vez, sobre todo o conjunto de dados para as HRTFs de todos os indiv´ıduos, ouvidos e dire¸cões, levando em considera¸cão a sele¸cão de vizinhan¸ca proposta para construir o grafo. A Figura 3.6 mostra a variedade calculada pelo Isomap para todas as dire¸cões e ouvidos de 30 indiv´ıduos (i.e. P = 30, então K = 2P + 1 = 61 vizinhos) a partir da base de HRTFs CIPIC [7] no plano horizontal, onde a cor representa o ângulo de azimute em graus.

Na Figura 3.6a, plota-se o primeiro componente do Isomap em fun¸cão do azimute a fim de ressaltar as caracter´ısticas de simetria das HRTFs. Na Figura 3.6b e 3.6c, a variedade em duas e três dimensões mostra a variabilidade das HRTFs ao longo das dire¸cões. Note que em cada dire¸cão existem pequenos agrupamentos de HRTFs de baixa dimensionalidade

Cap´ıtulo 3. Personaliza¸c˜ao de HRTFs usando Isomap no plano horizontal 33 1 2 3 4 5 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 x: 5 y: 0.0244 Dimensionalidade Intrínseca Au to va lo r N o rma liza d o

Figura 3.5: Estimativa de Dimensionalidade Intr´ınseca. Usando um limiar de 0.025, a dimensionalidade intr´ınseca foi escolhida como sendo d=4.

que correspondem a azimutes simétricos de ouvidos opostos. A variabilidade dentro desses agrupamentos é devido às diferen¸cas anatômicas entre indiv´ıduos (veja Figura 3.7). Observe na Figura 3.6b que os agrupamentos não estão uniformemente distribu´ıdos. A grande separa¸cão entre alguns agrupamentos é causada pela amostragem não uniforme nas medi¸cões da base de dados CIPIC. Conforme explicado na Se¸cão 2.3.1 que a base de HRTFs CIPIC tem resolu¸cão máxima de 5◦ para dire¸cões próximas ao plano mediano, porém a resolu¸cão em dire¸cões laterais ´

e baixa (15◦-20◦).

No documento Felipe Leonel Grijalva Arévalo. Redução de Dimensionalidade usando Isomap aplicada ao Áudio Espacial (páginas 43-48)