Regime supercrítico

i • • j ⊂ ~R^ ≤ P (e(Vi, V_j) < 2δ|V_i||V_j|p) < e⁻ (1−2δ)2 2k2 n2p .

Por m, utilizando o limite da união e pela escolha de n1, concluímos que

P (G 6∈ REG(δ, ε, p, m, k, M )) ≤ ^X 1≤i<j≤e( ~R) P  i • • j ⊂ ~R^ ≤ k 2  P (e(Vi, Vj) < 2δ|Vi||V_j|p) < e^{2 ln(k)−} (1−2δ)2 2k2 n2p < e⁻ⁿ » “(1−2δ) 2k ”2 Cn1/(`−1)−^{2 ln(k)} n – < e⁻ⁿ

e o lema está provado.

3.3 Regime supercrítico

A prova do regime supercrítico da função limiar não é feita diretamente como no caso do regime subcrítico. Nesta seção apresentamos um lema determinístico que depende das propriedades apresentadas na Seção 3.2, utilizamos os lemas provados na Seção 3.2 que nos dão as probabilidades das propriedades acontecerem em Gn,p e concluímos que, com alta probabilidade, Gn,p as satisfaz. Ademais, utilizando o Lema 4, concluímos que o resultado é válido para Gn,m.

Lema 35 (Lema determinístico). Para todo γ ∈ (0, 1) e inteiro ` ≥ 3, existem constantes δ, ε, µ, η, e inteiros positivos m, k, M, n0, e seja G um grafo com n > n0 vértices temos que se G tem as propri-edades IME(C`, µ, δ, p, 2ε), DISC(1/k, δ, p), DEG(δ, p), EDGE(1/k, δ, p) e REG(δ, ε, η, p, m, k, M), com 0 < p = p(n) ≤ 1 e limn→∞(pn) = ∞, então

3.3 REGIME SUPERCRÍTICO 31 A prova a seguir utiliza ` ímpar, pois para o caso par a prova é simples e será comentada posteriormente.

A seguinte denição será útil. Dado G um grafo com n vértices, dizemos que ~R ∈ R(G) se existe uma orientação de G livre de C

` tal que ~R é o grafo reduzido associado a uma partião uniforme de ~G. Dado ~R ∈ R(G), denimos D<sub>R</sub>~(G, C<sub>`</sub>^) a quantidade de orientações de G livres de C

` que geram o grafo reduzido ~R.

Prova do lema 35 para ` ímpar. Nossa prova é por redução ao absurdo. Fixe γ ∈ (0, 1), t ≥ 1 e ` = 2t + 1. Seja, 0 < p = p(n) ≤ 1, onde limx→∞(np) = ∞. Considere as seguintes constantes

ˆ σ ∈ (0, 1/2) tal que vale 5σ + 2H(σ) < γ

2, onde H(x) é a função binária da entropia.

ˆ δ ∈ (0, σ/6);

ˆ 0 < ε ≤ min{δ/2t, γ3/4}; ˆ m = d1/εe;

ˆ n0, k, M e η obtidas pela aplicação do Lema 12 com parâmetros ε e m; ˆ 0 < µ < (1 − ε)/k;

ˆ n1 tal que se n ≥ n1 então log M np < ε;

ˆ n2 tal que se n ≥ n2 então K2log(2δp)+2K2+log K δn2p < δ.

Por m, xe n ≥ max{n0, n₁, n₂}, p = p(n) e seja G um grafo com n vértices que tem as propri-edades IME(C`, µ, δ, p, 2ε), DISC(1/k, δ, p), DEG(δ, p), EDGE(1/k, δ, p) e REG(δ, ε, η, p, m, k, M)..

Suponha D(G, C

` ) > 2^γpn2. Denotamos por R(G) o conjunto dos grafos reduzidos associa-dos às orientações de G livres de C

` . Todo ~R(i) ∈ R(G), tem k(i) vértices, onde m ≤ k(i)≤ M. Seja K = max{k(i): ~R_(i)∈ R(G)}. Assim, cada grafo reduzido tem no máximo K vértices e temos no máximo K4(^K2) grafos reduzidos diferentes, pois temos 4 possíveis tipos de arestas. Ademais,

para cada grafo reduzido ~R,

D_R~(G, C_`^) ≥ ²

γn2p

K4(^K2)^. (3.2)

Agora, contaremos a quantidade de orientações que geram um grafo reduzido. Seja ~R = ~R(i)um grafo reduzido associado a uma partição regular de uma orientação de G. Denote s = s(i)= |V₁|/k_(i) e k = k(i). Observe que 1/k ≤ 1/m ≤ ε.

ˆ Possibilidades para:

 Partições de V (G): no máximo Mn= 2^{n log M};

 Orientações das arestas internas de Vi, para 1 ≤ i ≤ k: pela Propriedade DISC, temos no máximo (1 + δ)p s

2
k ≤ (1 + δ)εpn2 ≤ 2εpn2 arestas internas de Vi, para 1 ≤ i ≤ k, então temos no máximo 22εpn2

orientações;

 Orientações das arestas que incidem em algum vértice de V0: pela Propriedade DEG, temos no máximo (1 + δ)εn2p ≤ 2εn²p arestas que incedem em V0, então temos no máximo 22εn2p orientações.

Fixe i, j ∈ [k], Agora contaremos a quantidade de orientações que podem gerar uma aresta de cada tipo.

ˆ {i, j} dene uma aresta simples: Pela Propriedade REG nosso grafo reduzido não tem {i, j} como aresta simples, então não contribui com orientações.

ˆ {i, j} dene uma aresta ruim: pela Propriedade EDGE temos no máximo (1 + δ)s2p ≤ 2s²p arestas entre duas partes, então temos no máximo 22s2p orientações;

ˆ {i, j} dene um arco duplo: pela Propriedade EDGE temos no máximo (1 + δ)s2p ≤ 2s²p arestas entre duas partes, então temos no máximo 22s2p orientações;

ˆ {i, j} dene um arco: pela Propriedade EDGE temos no máximo (1 + δ)s2p arestas entre duas partes, mas pela denição de grafo reduzido, uma das partes tem de ter menos que δs2p

3.3 REGIME SUPERCRÍTICO 33 arestas. Assim temos no máximo a seguinte quantidade de orientações:

2 (δs2p) X i=0 s2p(1 + δ) i  ≤ 2(δs²p) s2p(1 + δ) δs2p(1 + δ)  (3.3) ≤ 2^{H(δ)s2p(1+δ)}(2δs²p) (3.4) ≤ 22H(δ)s²p(2δs²p).

Onde, na desigualdade (3.3), usamos o fato δ ≤ 1/2 e, na desigualdade (3.4), utilizamos a estima-tiva a

xa
< 2H(x)a para 0 < x < 1.

Por m, contamos a quantidade de arestas de cada tipo. Pela denição de aresta ruim e parti-ção (ε, ~G, p)-regular, temos no máximo ε k

2
≤ εk2 arestas ruins em ~R. A quantidade de arcos em ~R é, no máximo k

2
≤ k2 e seja A( ~R) a quantidade de arcos duplos de ~R. Assim, temos

D_R~(G, C_`^) ≤ 2^{n log(M )}2^2εn2p2^2εn2p  2^2s2p εk² 2^2H(δ)s2p2δs²p k² 2^2s2p A( ~R) ≤ 2^{n2plog(M )}np 2^6εn2p2^2H(δ)n2p 2δs²p
^k 2 2^{2s2pA( ~R)} ≤ 2^7εn2p2^2H(δ)n2p 2δs²p
^k 2 2^{2s2pA( ~R)} ≤ 2^{n2p(4δ+2H(δ))} 2δs²p
^k 2 2^{2s2pA( ~R)}, (3.5)

onde na primeira desigualdade usamos que s = n/k e na segunda desigualdade usamos que n ≥ n1. Compondo (3.5) com (3.2) 2^γn2p K ⁴⁽ K 2) _{≤ 2}n2p(4δ+2H(δ)) 2δs²p
^k 2 2^{2s2pA( ~R)} 2^γn2p ≤ 2^log(K)2^2(K2)2n2p(4δ+2H(δ)) 2δs²p
^k 2 2^{2s2pA( ~R)} ≤ 2^{n2p(4δ+2H(δ))}2ⁿ 2p „ k2 log(2δs2p)+2K2+log(K) n2p « 2^{2s2pA( ~R)} ≤ 2^{n2p(5δ+2H(δ))}2^{2s2pA( ~R)} ≤ 2^γ2n²p2^{2s2pA( ~R)}. (3.6)

onde na terceira desigualdade usamos que n ≥ n2 e a última segue da escolha inicial de σ e δ. Assim, por (3.6) e pela denição de s temos A( ~R)2n2p

K2 ≥ ^γ₂n²p. Portanto, A( ~R)

k ^≥

γ 4^k.

Note que isso signica a média dos graus de ~R com relação a arcos duplos. Ademais, temos que existe um vértice u de ~R com no mínimo γ

4k vizinhos através de um arco duplo como na gura abaixo.

Figura 3.2: Existe um vértice u com tal vizinhança

Então existem ^γ4k 2

pares de vértices no conjunto C da Figura 3.2 e, pela escolha de ε, temos γ 4k 2  > εk 2  .

Com isso, existe pelo menos um par de vértices em C que corresponde a um par (ε, ~G, p)-regular no grafo ~G e então existe um ¯C₃ e, pelo Lema 29, ~G contém C

` , o que é um absurdo pela nossa suposição. Assim, concluímos que

D(G, C_`^) ≤ 2^γp(n2), e o lema está provado.

3.3 REGIME SUPERCRÍTICO 35 Para o caso onde ` é par, utilizando as mesmas constantes e o Lema 29 temos A( ~R) = 0. Observe que D(G, C

` ) ≤ 4(<sup>K</sup>2)D<sub>R~</sub>(G, C<sub>`</sub>^) e por (3.6) o resultado é verdadeiro.

Lema 36 (Lema probabilístico). Para todo γ ∈ (0, 1) e inteiro ` ≥ 3, existem C e n0 tal que se n > n0 , p ≥ Cn−1+<sub>`−1</sub>¹ , e G ∈ Gn,p então

P 

D(G, C_`^) > 2^γp(n2)

≤ 7e⁻ⁿ.

Demonstração. Fixe γ ∈ (0, 1),ξ ∈ (0, 1/k) e ` ≥ 3. Considere as constantes ˆ Obtemos δ, ε0, µ, m e n1 pela aplicação do Lema 35 com parâmetros γ e `; ˆ Obtemos C, γ1 e n2 pela aplicação do Lema 30 com parâmetros `, δ e µ; ˆ ε ≤ min{γ, γ1, ε₀};

ˆ Obtemos η, k, M e n3 pela aplicação do Lema 34 com parâmetros δ, ε, C, ` e m; ˆ Obtemos n4 pela aplicação do lema 32 com parâmetros δ, C e `;

ˆ Obtemos n5, e n6 pela aplicação dos lemas 31, e 33 com parâmetros 1/k, δ, C e `. Agora façamos n ≥ n0 = max{n1, n2, n3, n4, n5, n6}, p ≥ Cn−1+ 1

`−1 e G ∈ Gn,p. Assim, denotamos o conjunto P ROP = IME(C`, µ, δ, p, ε) ∪DISC(δ) ∪ DEG(δ) ∪ EDGE(δ, p) ∪ REG(δ, ε, p, m, k, M) e pelos lemas provados na Seção 3.2, temos que

P 

D(G, C_`^) > 2^γp(n2)

≤ P (G 6∈ P ROP ) ;

≤ P (G 6∈ IME(C`, µ, δ, p, γ)) + P (G 6∈ DISC(δ)) + P (G 6∈ DEG(δ)) + P (G 6∈ EDGE(δ, p)) + P (G 6∈ REG(δ, ε, p, m, k, M )) ;

≤ 7e⁻ⁿ.

Por m, usaremos o Lema 4 para provar o regime subcrítico do nosso problema.

Lema 37 (Regime supercrítico). Para todo δ ∈ (0, 1), ε ∈ (0, 1) e ` ≥ 3, existem n0 e C > 0 tal que se n > n0 e m ≥ Cn1+<sub>`−1</sub>¹ , então

D(n, m, ε, C_`^) ≤ 2^δm.

Demonstração. Fixe δ ∈ (0, 1), ε ∈ (0, 1) e ` ≥ 3. Obtemos n1 e C pela aplicação do Lema 36 com parâmetros δ e `. Seja n2 tal que se n ≥ n2, então n > ln(21n) − ln(ε), e seja n0 = max{n1, n2}. Por m, faça n ≥ n0, m ≥ Cn1+_`−1¹ e p = m/ n

2

.

Denotamos a propriedade de grafos Q tal que, se G ∈ Q, então D(G, C

` ) ≤ 2^δ(n2)p. Seja Pm

a medida de probabilidade no modelo de grafo aleatório uniforme (Gn,m) e Pp no modelo de grafo aleatório binomial (Gn,p).

Seja G ∈ Gn,m. Observe que p = m/ n

2
≥ Cn⁻¹⁺`−1¹ . Assim, utilizando o Lema 36, concluímos que Pp(G 6∈ Q) ≤ 7e⁻ⁿ. Pelo Lema 4 e pela escolha de n2, temos

Pm(G ∈ Q) > 1 − ε.

Como Pmé uma medida de probabilidade uniforme, então temos mais que (1−ε)|Gn,m| elemen-tos de Gn,m com a propriedade Q, assim, para qualquer conjunto obtido pelo máximo ε-essencial haverá pelo menos um grafo com a propriedade Q e nosso resultado segue pela nossa denição de D(n, m, ε, C

` ).

Prova do teorema principal

Agora usamos os Lemas 21 e 37 para provar o Teorema 20. Teorema 20 (KohayakawaMotaParente [18]). Seja C

3.3 REGIME SUPERCRÍTICO 37 Para todo ε ∈ (0, 1) e δ ∈ (0, 1), existem n0, c e C tal que se n ≥ n0, então

D(n, m, ε, C<sub>`</sub><sup></sup>)        ≤ 2δm, se m ≥ Cn<sup>1+</sup>`−1¹ ; ≥ 2(1−δ)m, se m ≤ cn¹⁺`−1¹ .

Demonstração. Seja δ ∈ (0, 1) e ` ≥ 3. Considere as constantes

ˆ Obtemos n1 e c pela aplicação do Lema 21 com parâmetros δ, ε e `. ˆ Obtemos n2 e C pela aplicação do Lema 37 com parâmetros δ, ε e `.

Por m, faça n > n0 = max{n₁, n₂}.

Pelo Lema 21, temos que, se m ≤ cn1+_`−1¹ , então D(n, m, ε, C

` ) ≥ 2<sup>(1−δ)m</sup> e, pelo Lema 37, se m ≥ Cn1+<sub>`−1</sub>¹ , então D(n, m, ε, C

Capítulo 4

Conclusão

Sugestões para Pesquisas Futuras

O nosso resultado principal é uma função limiar para a quantidade de orientações livres de C ` . Uma sugestão bastante natural é conseguirmos estimar uma função limiar para a quantidade de orientações de um grafo genérico.

Mencionamos ao nal da Seção 2.3 que usando a Conjectura 17 conseguimos generalizar o nosso resultado para grafos genéricos. Desta forma, é razoável e natural o estudo da conjectura.

Apêndice A

Apêndice

A.1 Prova do Lema 19

Lema 19 (GerkeSteger [14]). Dado um grafo H com m(2)(H) > 1, se a Conjectura 17 é válida, então, para todo δ > 0 e µ > 0, existem εδ= ε_δ(δ) > 0 , Cµ = C_µ(µ) > 0 e n0 tal que, para todo n > n0, p ≥ Cµn^−1/m(2)(H), temos que se G ∈ Gn,p, então

P  G 6∈ ^[ n0≥µn F (H, n⁰, δn⁰²p, εδ)  > 1 − e⁻ⁿ.

Demonstração. Seja H um grafo xo com m(2)(H) > 1e suponha que a Conjectura 17 é válida. Sejam as seguintes constantes

δ > 0; β = (δ/e2)^|E(H)|; µ > 0; n_δ= n₁(β, H); ε_δ= ε₀(β, H); C_δ = C(β, H); C_µ= C_δ/(δµ²);

onde as contantes ε0, C e n1 são obtidas pela aplicação da Conjectura 17. Seja n2tal que se n ≥ n2

então

n > ^{2 ln(n)(vH + 1)} e_H^C_δn−1/m(2)(H)^

e n0= max{n₂, n_δ/µ}. Por m, faça n ≥ n0, p ≥ Cµn^−1/m(2)(H) e G ∈ Gn,p.

Seja X a variável aleatória que conta a quantidade de subgrafos de G que pertencem ao con-junto S_n0≥µnF (H, n⁰, δn⁰²p, εδ). Vamos mostrar que E(X) ≤ e−n. Uma vez mostrado este fato, o

resultado segue, pois, pela desigualdade de Markov, Pr(X > 0) ≤ E(X). Observe que

E(X) ≤ X

n0≥µn

n^{|V (H)|n0}p^|E(H)|δn02p|F (H, n⁰, δn⁰²p, εδ)|. (A.1) Precisamos limitar superiormente os termos que aparecem no somatório acima. Se n0 ≥ µn, então, para limitar |F(H, n0, δn⁰²p, ε_δ)|, precisamos mostrar que δn02p ≥ C_δn^02−1/m(2)(H), pois desta forma a Conjectura 17 nos dá um limite superior. Para tal, observe que temos µn ≥ nδ pela escolha de n0, temos

δn⁰²p ≥ δ(µn)²p

≥ δ(µn)²C_µn^−1/m(2)(H)

≥ C_δn^{2−1/m(2)(H)}

≥ C_δn^{02−1/m(2)(H)}.

Assim, a Conjectura 17 nos diz que, para todo n0 ≥ µn,

|F (H, n⁰, δn⁰²p, εδ)| ≤ δ e2 |E(H)|δn02p n⁰² δn⁰²p |E(H)| . (A.2) Sabendo que n

k
≤ (en/k)k, m(2)(H) > 1, pela escolha de n2 e substituindo (A.2) em (A.1), temos E(X) ≤ X n0≥µn n^{|V (H)|n0} δ e2 en⁰²p δn02p |E(H)|δn02p ; ≤ n^{(|V (H)|+1)n}e^{−|E(H)|δµ2n2p}; ≤ eⁿ “ (vH+1) ln(n)−n|E(H)|C_δn−1/m(2)(H)^” ; ≤ e^{(n ln(n)(1−2))}; ≤ e^{−n ln(n)};

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No documento Roberto Freitas Parente (páginas 38-52)