3.2 Resultados preliminares
Propriedades
Como dito anteriormente, para provar nosso regime supercrítico determinístico, serão necessá-rias as propriedades que seguem.
Propriedade 22. Um grafo G com n vértices satisfaz IME(H, µ, δ, p, ε) se
G 6∈ [
n0≥µn
F (H, n0, δn02p, ε).
Propriedade 23. Um grafo G com n vértices satisfaz DISC(ε, δ, p) se para todo T ⊂ V (G) tal que |T | ≥ εn vale
eG(T ) −|T | 2 p < δp|T | 2 .
Propriedade 24. Um grafo G com n vértices satisfaz DEG(δ, p) se para todo v ∈ V (G) temos que | deg(v) − np| < δnp.
Propriedade 25. Um grafo G com n vértices satisfaz EDGE(ε, δ, p) se para todos A e B subcon-juntos dissubcon-juntos de V (G) tais que |A| ≥ εn e |B| ≥ εn vale
|eG(A, B) − |A||B|p| < δ|A||B|p.
Propriedade 26. Um grafo G com n vértices satisfaz REG(δ, ε, η, p, m, k, M) se o seguinte vale. 1. Para toda orientação ~G de G, existe P = {V0, V1, . . . , Vk} uma partição (ε, ~G, p)-regular dos
vértices de ~G, onde m ≤ k ≤ M; 2. G é (η, p)-uniforme;
3. Seja ~R = ~R( ~G, ε, δ, p, k) o reduzido associado a partição P, ~R não contém arestas simples (i • • j), para todo i, j ∈ V (R).
Lemas de imersão
Agora vamos provar dois lemas de imersão que são essenciais. O Lema de Imersão I a rma que se um grafo reduzido associado a uma partição (ε, ~G, p)-regular tem um C
` como subgrafo, então existe um C
` no grafo direcionado ~G. Esta prova pode ser observada no Lema 28. Para provar o Lema de Imersão I precisamos do resultado abaixo cuja prova encontra-se em [14].
Lema 27 ([14]). Para todo 0 < δ ≤ 1/6, existe C tal que qualquer grafo bipartido B = (V1; V2, E) e (δ)-regular contém um subgrafo gerador (2δ)-regular com m arestas para todo m satisfazendo
C(|V1| + |V2|) ≤ m ≤ |E(B)|.
Lema 28 (Lema de Imersão I). Sejam ` ≥ 3, k, n inteiros positivos e δ ∈ (0, 1/6), ε ∈ (0, δ/2), p ∈ (0, 1], 0 < µ < (1 − ε)/k, e seja G um grafo com n vértices com a propriedade IME(C`, µ, δ, p, 2ε), xe ~G uma orientação de G, e P = {V0, V1, . . . , Vk} uma partição uniforme dos vértices de ~G.
Se o grafo reduzido ~R = ~R( ~G, ε, δ, P) associado à P contém uma cópia de C
` , então ~G contém uma cópia de C
` .
Note que, no enunciado do lema acima não é necessário que a partição seja (ε, ~G, p)-regular, pois as arestas das cópias de C
` em ~R vêm de pares regulares.
Demonstração. Considere as seguintes constantes.
n > 0; k > 0; ` ≥ 3; p ∈ (0, 1); δ ∈ (0, 1/6); ε ∈ (0, δ/2); 0 < µ < (1 − ε)/k;
C obtida pela aplicação do Lema 27 com parâmeto ε.
Seja G um grafo com n vértices que satisfaz a propriedade IME(C`, µ, δ, p, 2ε)e ~G uma orien-tação de G e P = {V0, V1, . . . Vl}uma partição uniforme dos vértices de ~G.
Seja ~R = ~R( ~G, ε, δ, P) o grafo reduzido associado à partição P e suponha que contém um circuito direcionado cíclico C
3.2 RESULTADOS PRELIMINARES 25 que cada aresta deste C
` corresponde a um par (ε, ~G, p)-regular (Vi, Vj)com pelo menos δ|Vi||Vj|p arestas de Vi para Vj, onde 1 < i < j ≤ `, e de V` para V1.
Observe que um par (Vi, Vj) (ε, ~G, p)-regular também é (ε, G, p)-regular se utilizarmos o sub-grafo subjacente referente somente aos arcos de Vi para Vj. Observe que δ|Vi||Vj|p ≥ C(|Vi| + |Vj|) e δ|Vi||Vj|p ≤ eG~(Xi, Yi). Assim, aplicando o Lema 27 a esse par, obtemos um par (2ε)-regular com exatamente δ|Vi||Vj|parestas, onde originalmente tinham orientação de Vi para Vj. Repetindo esse procedimento para todos os pares correspondentes aos arcos de C
` temos que tais pares são (2ε)-regulares e obtemos um grafo, que é subgrafo de G, pertence a G(C`, |V1|, δ|V1|2p, 2ε). Como G sa-tisfaz a propriedade IME(C`, µ, δ, p, 2ε) e |V1| ≥ n(1 − ε)/k ≥ µn, então G 6∈ F(C`, |V1|, δ|V1|2p, 2ε) e assim, usando a orientação dada em ~G, temos que ~G possui um subgrafo isomorfo a C
` .
No Lema de Imersão II, nos preocupamos em procurar um arco duplo no grafo reduzido, pois caso isto aconteça podemos construir uma partição, a partir desse par, onde o grafo reduzido tem um C
` e assim, usando o lema anterior, o grafo direcionado original tem um circuito direcionado cíclico como subgrafo.
Para provar o lema de Imersão II precisamos de nir dois digrafos. De nimos ¯C2 como o digrafo que tem 2 vértices e um arco-duplo ligando-os e ¯C3 como o digrafo com 3 vértices i, j, k, onde temos um arco de i para j, um arco duplo entre j e k, um arco de k para i. Gra camente, temos:
Figura 3.1: ¯C2 e ¯C3
Lema 29 (Lema de Imersão II). Para inteiros t ≥ 1, k, n e δ ∈ (0, 1/6), ε ∈ (0, δ/2t), p ∈ (0, 1], 0 < µ < (1 − ε)/k, seja G um grafo com n vértices com a propriedade IME(C`, µ, δ − ε, p, 2tε), ~G uma orientação de G, P = {V0, V1, . . . , Vk} uma partição (ε, ~G, p)-regular dos vértices de ~G e ~R o grafo reduzido associado temos que
1. Se ¯C2 ⊂ ~R, então C 2t ⊂ ~G;
2. Se ¯C3 ⊂ ~R, então C
2t+1⊂ ~G.
Demonstração. Iremos provar somente o caso 2, pois a prova do caso 1 segue como consequência. Assim, sejam as constantes
n > 0; k > 0; t ≥ 1; p ∈ (0, 1); δ ∈ (0, 1/6); ε ∈ (0, δ/2t); 0 < µ < (1 − ε)/k; ` = 2t + 1.
Seja G um grafo com n vértices com a propriedade IME(C`, µ, δ − ε, p, 2tε). Fixe ~G uma orien-tação de G e a partição P = {V0, V1, . . . Vk}, onde |V0| ≤ εne |V1| = . . . |Vk|. Seja ~R = ~R( ~G, ε, δ, P) o grafo reduzido associado à partição P.
Suponha que ~R contém ¯C3 formado pelos vértices vu, vi, vj. Sem perda de generalidade, suponha que os vértices vi, vj são ligados pelo arco duplo, e que (vj, vu), (vu, vi)são os arcos de ¯C3 e que t > 1, pois caso contrário basta usar o Lema 28. Pela de nição de grafo reduzido, temos que (vi, vj)corresponde, em ~G, a um par (ε, ~G, p)-regular (Vi, Vj)com pelo menos δ|Vi||Vj|parestas tanto de Vi para Vj quanto de Vj para Vi.
Particione Vi em Pi = {Vi1, . . . , Vit}, onde |V1
i | = . . . = |Vt
i|, e o mesmo para Vj e Vu. Primeiro precisamos mostrar que os pares (Vr
i , Vjs) são (tε, G, p)-regulares, para todo r, s ∈ [t]. Seja r, s ∈ [t] e X ⊂ Vr i e Y ⊂ Vs j com |X| ≥ tε|Vr i |e |Y | ≥ tε|Vs j|. Assim, temos |dG,p~ (X, Y ) − dG,p~ (Vir, Vjs)| ≤ |dG,p~ (X, Y ) − |dG,p~ (Vi, Vj)| + |dG,p~ (Vi, Vj) − dG,p~ (Vir, Vjs)| ≤ 2ε ≤ tε,
e o mesmo vale para |dG,p~ (Y, X) − d(Vjs, Vir)|. Com argumento análogo, para todos A ∈ Pi, B ∈ Pj
e C ∈ Pu, os pares (A, B), (B, C) e (A, C) são (tε, ~G, p)-regular.
Agora, para um arco (i, j) em ~R, conseguimos construir um grafo reduzido que tenham ar-cos entre todos os pares ordenados (A, B), onde A ∈ Pi e B ∈ Pj. Se dG,p~ (Vi, Vj) ≥ δ, en-tão dG,p~ (A, B) ≥ δ − ε, pela de nição de (ε, ~G, p)-regular.
3.2 RESULTADOS PRELIMINARES 27 Por m, iremos construir uma partição que satisfaça as hipóteses do Lema 28. Como, |Vi| não necessariamente é divisível por t, então coloquemos os vértices excedentes em V0
0. Observe que |V0
0| ≤ tε(3n/k). Ademais, seja a partição P0 = {V00} ∪ Pi∪ Pj∪ Pu e ~R0 = ~R0( ~G, tε, δ − ε, P0), o grafo regular associado à partição P0, então existe pelo menos um C
` em ~R0 e, utilizando o Lema 28, concluímos que existe um C
` em ~G, o que prova nosso resultado.
Probabilidades das propriedades em Gn,p
Lema 30. Para todo δ ∈ (0, 1), µ ∈ (0, 1) e inteiro ` ≥ 3, existem n0, γ > 0 e C > 0 tal que se n > n0, p ≥ Cn−1+ 1
`−1 e G ∈ Gn,p, então
P (G ∈ IME(C`, µ, δ, p, γ)) ≥ 1 − e−n
Demonstração. Fixe δ ∈ (0, 1), µ ∈ (0, 1), ` ≥ 3. Sejam γ = εδ, C = Cµ e n ≥= n0, onde εδ, Cµ
e n0 são obtidas pela aplicação do Lema 19 com parâmetros δ e µ. Por m, seja G ∈ Gn,p. Observe que m(2)(C`) = `−1` > 1e que a Conjectura 17 é válida para circuitos. Dessa forma, pelo Lema 19 concluímos
P (G ∈ IME(C`, µ, δ, p, γ)) ≥ 1 − e−n.
As provas de que as DISC, DEG, EDGE e (η, p)-uniformidade valem em Gn,p com alta proba-bilidade utilizam a mesma ideia, ou seja, calculamos o valor esperado e utilizamos os Limitantes de Cherno (Lema 6) para calcular a probabilidade. Para evitar redundância apresentamos somente do limite superior da prova da probabilidade da DISC ocorrer e omitiremos as demais.
Lema 31. Para todo δ ∈ (0, 1), ε ∈ (0, 1), C > 0 e inteiro ` ≥ 3, existe n0 tal que se n ≥ n0, p ≥ Cn−1+`−11 e G ∈ Gn,p então
Demonstração. Fixe δ ∈ (0, 1), ε ∈ (0, 1), C > 0 e ` ≥ 3. Seja n0= 24 εδ2C `−1 e n > n0, p ≥ Cn−1+ 1 `−1, G ∈ Gn,p e seja T ⊂ V (G) com |T | ≥ εn. Seja a variável aleatória X = e(G). Sabemos que E(X) = n
2p. Fazendo t = δ |T |
2 pe aplicando o Lema 6 (Cherno) temos:
P X ≤ (1 − δ)|T | 2 p ≤ e−6+2δ3δ2 (|T | 2)p < e−δ212|T |2p. Análogamente temos P X ≥ (1 + δ)|T | 2 p < e−δ212|T |2p.
Assim, concluímos que
P eG(T ) − δ|T | 2 p ≥|T | 2 p < 2e−δ212|T |2p. (3.1)
Por m, utilizamos o limite da união para calcular a probabilidade de G ter a propriedade DISC. P (G 6∈ DISC(δ)) ≤ X T ⊂V (G) P eG(T ) − δ|T | 2 p ≥|T | 2 p < 2nP eG(T ) − δ|T | 2 p ≥|T | 2 p < enP eG(T ) − δ|T | 2 p ≥|T | 2 p < 2e−n,
onde o somatório é sobre todo os subconjuntos T ⊂ V (G) tais que |T | ≥ εn, e a última desigualdade segue da escolha de n0 e por (3.1).
3.2 RESULTADOS PRELIMINARES 29 Assim, o resultado segue.
Lema 32. Para todo δ ∈ (0, 1), C > 0 e inteiro ` ≥ 3, existe n0 tal que se n ≥ n0, p ≥ Cn−1+ 1 `−1
e G ∈ Gn,p então
P (G 6∈ DEG(δ, p)) ≤ e−n
Lema 33. Para todo δ ∈ (0, 1), ε ∈ (0, 1), C > 0 e inteiro ` ≥ 3, existe n0se n ≥ n0, p ≥ Cn−1+`−11
e G ∈ Gn,p então
P (G 6∈ EDGE(ε, δ, p)) ≤ e−n
Lema 34. Para todo δ ∈ (0, 1), ε ∈ (0, δ), C > 0 e inteiros ` ≥ 3, m, existe η ∈ (0, 1) e inteiros n0, k, M tal que se n ≥ n0, p ≥ Cn−1+ 1
`−1 e G ∈ Gn,p então
P (G 6∈ REG(δ, ε, p, m, k, M )) ≤ e−n
Demonstração. Sejam as constantes
δ ∈ (0, 1); ε ∈ (0, δ); C > 0; ` ≥ 3; m > 0; n1= n0(ε, m); k = k(ε, m); M = M (ε, m).
onde n1(m, ε), k(m, ε)e M(m, ε) foram obtidas pela aplicação do Lema 12 com parâmetros ε, m e
n2 = 2k2+ 2k3 C(1 − 2δ)2
`−1
Considere n ≥ n0 ≥ max{n1, n2}, p ≥ Cn−1+`−11 , G ∈ Gn,pe ~G uma orientação de G. Pelo Lema 12, existe P = {V0, . . . , Vk} uma partição (ε, ~G, p)-regular dos vértices de ~G, onde m ≤ k ≤ M, e seja ~R = ~R( ~G, ε, δ, P) o grafo reduzido associado a essa partição.
Fixe vértices i, j ∈ V ( ~R). Agora vamos calcular a probabilidade dos vértices i, j serem conecta-dos por uma aresta simples. Pela de nição de grafo reduzido, se {i, j} é uma aresta simples, então o par Vi, Vj é (ε, ~G, p)-regular com e(Vi, Vj) < δ|Vi||Vj|p e e(Vj, Vi) < δ|Vi||Vj|p. Usando a mesma
técnica do Lema 31 (valor esperado e Lema 6), temos P i • • j ⊂ ~R ≤ P (e(Vi, Vj) < 2δ|Vi||Vj|p) < e− (1−2δ)2 2k2 n2p .
Por m, utilizando o limite da união e pela escolha de n1, concluímos que
P (G 6∈ REG(δ, ε, p, m, k, M )) ≤ X 1≤i<j≤e( ~R) P i • • j ⊂ ~R ≤ k 2 P (e(Vi, Vj) < 2δ|Vi||Vj|p) < e2 ln(k)− (1−2δ)2 2k2 n2p < e−n » “(1−2δ) 2k ”2 Cn1/(`−1)−2 ln(k) n – < e−n
e o lema está provado.