Definição: Relação de Equivalência
Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência em S.
Já vimos os seguintes exemplos de relações de equivalência:
PRÁTICA 10 EXEMPLO 10
PRÁTICA 11
Podemos ilustrar um aspecto importante de uma relação de equivalência em um conjunto, se observarmos o exemplo senta na mesma coluna que y". Vamos indicar todos os alunos de S que se relacionam uns com os outros. Chegaremos à Fig. 4.5. Particionamos o conjunto S em subconjuntos de tal forma que todo aluno da turma pertence a um, e apenas a um, subconjunto.
Definição: Partição de um Conjunto
Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não vazios de S cuja união resul- te S.
Seção 4.1 Relações 159 .
Qualquer relação de equivalência, como veremos, particiona o conjunto no qual é definida. Os subcon- juntos que formam a partição, normalmente chamados de blocos da partição, são formados pelo grupamento
dos elementos que se relacionam, como no caso acima.
Sejam p uma relação de equivalência em um conjunto denotamos por o conjunto de todos os elementos de S que se relacionam a x, chamado de classe de equivalência de x. Assim
EXEMPLO 11 No caso em que senta na mesma coluna que y", suponha que João, Carlos, José, Júlia e Maria sentem todos na coluna 3. Então [João] = {João, Carlos, José, Júlia, Maria}. Além disso, [João] = [José] = [Júlia] = [Maria]. Pode haver mais de um nome para uma dada classe de equivalência. • Seja p uma relação de equivalência em S, então as classes de equivalência distintas de S formam uma partição de S. A fim de concordar com a definição de partição, precisamos mostrar que (1) a união das classes distintas resulta em S e (2) as classes distintas são disjuntas. Mostrar que a união das classes resulta em S é fácil, uma vez que é essencialmente uma igualdade de conjuntos; demonstramos a inclusão de conjuntos em ambas as direções. Cada classe de equivalência é um subconjunto de 5, portanto, a união das classes também é um subconjunto de S. Para demonstrar a inclusão no outro sentido, seja Então (reflexividade de p); daí e qualquer elemento de S pertence a alguma classe de equivalência e, portanto, à união das classes.
O que nos permite mostrar que [x] = [z]; demonstraremos a inclusão de conjuntos em ambas as dire- ções. Seja
PRÁTICA 12
PRÁTICA 13
EXEMPLO 12
PRÁTICA 14
EXEMPLO 13
O conjunto de números racionais pode ser entendido como o conjunto de todas as classes de equiva- lências de S. Um único número racional, tal como tem diversas frações para representá-lo, apesar de pre- ferirmos usar a representação reduzida de frações. Quando somamos dois números racionais, tais como
procuramos por representantes das classes de equivalência que tenham os mesmos denominadores e en- tão os somamos. O resultado é a classe a qual a soma obtida pertence e, normalmente, nos referiremos a ela
Teorema de Relações de Equivalência e Partições
Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S, e uma partição de S determi- na uma relação de equivalência em S.
A relação de equivalência em dada por
Com base no argumento acima, demonstre que • Mostramos que uma relação de equivalência em um conjunto determina uma partição. A recíproca tam- bém é verdadeira. Dada uma partição de um conjunto S, definimos uma relação "x está no mes- mo subconjunto da partição que v."
Mostre que p, como definido acima, é uma relação de equivalência em S; isto é, mostre que é reflexiva, si- métrica e transitiva. •
Nós demonstramos o seguinte fato sobre relações de equivalência.
EXEMPLO 14
através de uma fração reduzida que a represente. Desta forma, para somarmos , representamos por A soma de é mais convenientemente simbolizado por . Este procedimento nos é tão familiar que já escrevemos sem nem nos darmos conta de que classes de frações estão sendo manipuladas através de elementos representativos. •
Seção 4,1 Relações 161
Definiremos a relação binária de congruência módulo 4 no conjunto dos inteiros. Um inteiro x é congruen- te módulo 4 a y, simbolizado por x = 4y,ou x = y (mod4), se x - y é um múltiplo exato de 4. A congruência
módulo 4 é uma relação de equivalência em (Você pode provar isto?) Para construir as classes de equiva- lência, perceba que [0], por exemplo, conterá os números que diferem por 0 de múltiplos de 4, tais como 4, 8, — 12, etc. As classes de equivalência distintas são
[0] = {..., - 8 , - 4 , 0 , 4 , 8 , ...} [1] = {..., - 7 , - 3 , 1, 5,9, ...} [2] = {..., - 6 , - 2 , 2 , 6 , 10,...}
[3] = { . . . , - 5 , - 1 , 3 , 7 , 1 1 , . . . } •
Não há razão especial para a escolha do número 4 no Exemplo 14; podemos dar uma definição de congru-
ência módulo n para qualquer inteiro positivo n. Esta relação binária será sempre uma relação de equivalência.
Esta relação de equivalência e as ciasses de equivalência resultantes podem ser usadas para aritmética inteira em computadores. Um inteiro é armazenado como uma seqüência de bits (Os e 1 s) dentro de uma única posição de me- mória. Cada computador aloca um número fixo de bits em cada posição de memória (este número varia de acordo com a arquitetura do computador, isto é, como sua memória é organizada). Quanto maior o inteiro, maior o núme- ro de bits necessários para representá-lo. Portanto, toda máquina tem um limite no tamanho dos inteiros que pode armazenar. Suponha que n — 1 é o maior inteiro que pode ser armazenado e que x e y são inteiros tais que
Se a somai + y exceder o limite n — 1, ela não poderá ser armazenada. Como uma alter- nativa, o computador pode realizar a soma módulo n e armazenar o resto r da divisão de x + y por n. A equação
simboliza esta divisão, onde q é o quociente e ré o resto. Esta equação pode ser escrita como
(x +y) — r = qn
que mostra que (x + y) — r é um múltiplo de n, ou que (x + y) (mod n). O inteiro r pode ser diferente de
x + y, mas está na classe de equivalência [x + y] e, como está na faixa dos inteiros que podem ser
armazenados. (O sistema pode ou não gerar uma mensagem de estouro de inteiro se x + y for muito grande para ser armazenado e a soma módulo n precisar ser usada.)
Quais são as classes de equivalência correspondentes à relação de congruência módulo 5 em • Se 4 for o maior inteiro que puder ser armazenado em um (micromicro) computador, qual será o resultado armazenado como resultado de 3 + 4 se a soma módulo 5 for usada? •
Revisão da Seção 4.1
Técnicas
• Verificar se um par ordenado pertence a uma relação
• Verificar se uma relação binária é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva • Encontrar o fecho reflexivo, simétrico e transitivo de uma relação
• Esboçar de forma gráfica um conjunto parcialmente ordenado
• Determinar elemento mínimo, minimal, máximo e maximal em uma ordenação parcial • Encontrar as classes de equivalência associadas a uma relação de equivalência
Idéias Principais
Uma relação binária em um conjunto S é formalmente um subconjunto de S X S; a relação normalmente também tem uma definição verbal.
Operações sobre relações binárias em um conjunto incluem união, interseção e complemento. Relações binárias podem ter as propriedades reflexiva, simétrica, transitiva e anti-simétrica. Conjuntos finitos parcialmente ordenados podem ser representados graficamente.
PRÁTICA 15 PRÁTICA 16
5. Classifique cada relação em S X T, onde S = T = como um-para-um, um-para-vários, vários-para-um ou vários-para-vários. a. = {(1,2), (1,4), (1,6), (2, 3), (4, 3)} b. = {(9, 7), (6, 5), (3,6), (8, 5)} c. = {(12, 5), (8,4), (6, 3), (7, 12)} d. = {(2,7), (8,4), (2,5), (7,6), (10, 1)}
6. Classifique cada uma das relações em 5 como um-para-um, um-para-vários, vários-para-um ou vários- para-vários.
8. Seja S = {0, 1, 2, 4, 6}. Verifique se as relações binárias em S são reflexivas, simétricas, anti-simétricas e/ou transitivas:
a. = {(0,0}, (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6,6), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6)} b. = {(0, 1), (1, 0), (2, 4), (4, 2), (4, 6), (6, 4)}
c. = {(0, 1), (1, 2), (0, 2), (2, 0), (2, 1), (1, 0), (0, 0), (1, 1), (2, 2)} d. = {(0, 0), (1,1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (4, 6), (6, 4)}
9. Classifique as relações binárias a seguir nos conjuntos S dados como reflexivas, simétricas, anti-simétri- cas e transitivas:
10. Quais das relações binárias do Exercício 9 são relações de equivalência? Para as que o forem, descreva as classes de equivalência associadas.
11. Para cada caso abaixo, apresente um conjunto S e uma relação binária p em S (diferente das apresentadas nos exemplos e nos problemas) que satisfaça às condições pedidas.
a. é reflexiva e anti-simétrica, mas não é transitiva. b. é reflexiva e transitiva, mas não é simétrica. c. não é reflexiva nem simétrica, mas é transitiva. d. é reflexiva, mas não é simétrica nem transitiva.
164 Relações, Funções e Matrizes
12. Sejam relações binárias em um conjunto S.
13. Encontre os fechos reflexivos, simétricos e transitivos das relações do Exercício 8. 14. Descreva em palavras o que o fecho transitivo de cada relação abaixo representa.
15. Definimos mais duas propriedades de uma relação binária da seguinte maneira:
a. Apresente um exemplo de relação binária no conjunto S = {1, 2, 3} que não seja nem reflexiva nem irreflexiva.
b. Apresente um exemplo de relação binária no conjunto S = {1, 2, 3} que não seja simétrica nem assimétrica.
c. Demonstre que se é assimétrica em S, então é irreflexiva.
d. Demonstre que se é uma relação irreflexiva e transitiva em um conjunto S, então é assimétrica. e. Demonstre que se é uma relação não-vazia, simétrica e transitiva em um conjunto S, então não é
irreflexiva.
16. Faz sentido examinarmos o fecho de uma relação com respeito às seguintes propriedades? Justifique. a. propriedade irreflexiva
b. propriedade assimétrica
17. Seja p uma relação binária em um conjunto S. Para e defina
18. Desenhe o grafo das seguintes ordenações parciais:
19. Indique os elementos mínimos, minimais, máximos e maximais que aparecem nas ordenações parciais do Exercício 18.
20. Desenhe o grafo da ordenação parcial "x divide y" no conjunto {2,3,5,7,21,42, 105, 210}. Indique os elementos mínimo, minimais, máximo e maximais desta ordenação parcial. Apresente um subconjunto totalmente ordenado com quatro elementos.
21. Desenhe o grafo dos dois conjuntos parcialmente ordenados.
22. Para cada grafo de ordenação parcial apresentado abaixo, escreva os pares ordenados que pertencem à relação.
25. Um programa de computador para gerar o dicionário ou o índice de um livro será escrito. Assumiremos um tamanho máximo de n caracteres por palavra. Temos, portanto, um conjunto S com palavras de, no máximo,
n caracteres e desejamos gerar uma lista ordenada alfabeticamente com estas palavras. Existe a ordem natu-
ral dos caracteres do alfabeto e admitimos que nossas palavras contenham apenas caracteres alfabéticos. Desejamos definir uma ordenação total em S chamada ordenação lexicográfica, que ordene S alfabeticamente. A idéia é comparar duas palavras X e Y caracter a caracter, ignorando os ca- racteres iguais. Se, em algum momento, o caracter da palavra X precede o caracter correspondente da pala- vra Y, então X precede Y; se todos os caracteres de X forem iguais aos caracteres correspondentes de Y, mas os caracteres de X acabaram antes dos de Y, então X precede Y, caso contrário, Y precede X.
Formalmente, sejam X = (x1,x2,...,xj) e Y = (y1, y2, ..., yk) elementos de S com Seja (de
branco) um novo símbolo, e preenchemos X com k — j brancos à direita. X agora pode ser escrito como (X1, x2, ..., xk). Arbitremos ainda que precede qualquer outro caracter alfabético. Então ' se
a. Mostre que em S, conforme definido acima, é uma ordenação total.
b. Aplique a ordenação total descrita às palavras roupa, rua, remédio, rato e ruga. Perceba que cada palavra precede a próxima.
26. O Exercício 25 abordou uma ordenação total em um conjunto de palavras com no máximo n caracteres de tamanho que gera, como saída, uma lista linear ordenada alfabeticamente. Suponha que desejamos gerar uma lista com todas as palavras distintas do texto na ordem em que aparecem no mesmo (por exem- plo, um compilador precisa gerar uma tabela de símbolos com os nomes das variáveis). Como no Exer- cício 25, assumimos que as palavras contêm apenas caracteres alfabéticos porque já existe uma relação natural de precedência (a < b, b < c etc). Se forem permitidos caracteres numéricos ou especiais eles precisam ter uma relação de precedência junto aos caracteres alfabéticos (a seqüência de ordenação pre- cisa ser definida). Se listarmos as palavras em ordem alfabética, o procedimento para decidir se uma palavra sendo processada é nova é bem simples, mas para colocar a nova palavra no lugar precisamos mover todas as palavras uma linha para baixo. Se, porém, as palavras forem listadas na ordem em que forem processadas, as novas palavras podem ser simplesmente incluídas ao fim da lista sem a neces-
quando
166 Relações, Funções e Matrizes
sidade de qualquer rearrumação, mas, para determinar se a palavra sendo processada é nova ou não, é preciso compará-la com todas as outras palavras da lista. Portanto, ambos os tipos de lista apresentam suas desvantagens.
Descreveremos um processo de enumeração que se vale de uma árvore binária de busca que per- mite, para o caso geral, determinar de forma rápida se uma palavra é nova e, se este for o caso, não há a necessidade de realizar uma rearrumação para alocá-la em seu lugar, combinando, portanto, as vanta- gens dos dois métodos descritos acima. Suponha que desejamos processar a frase "Quando vimos já não era mais possível". A primeira palavra da frase é usada para dar nome ao primeiro vértice de um grafo.
• quando
Uma vez que um vértice tenha recebido seu nome, ele recebe duas arestas para baixo, que levam a dois vértices sem nome. Quando a próxima palavra no texto for processada, ela é comparada com o primeiro nó. Se a palavra sendo processada preceder a palavra que dá nome ao vértice, tomamos a aresta da es- querda, do contráíio tomamos a aresta da direita. A palavra que se busca se torna o nome do primeiro vértice ainda sem nome que for encontrado. (Se a palavra for igual ao nome de algum vértice, significa que aquela palavra já havia aparecido no texto e passamos ao processamento da palavra seguinte.) Este procedimento se repete para todo o texto. Desta forma,
Quando vimos então já Quando vimos então Quando vimos já não e, finalmente, era já Quando não mais Possível vimos
Se varrermos os vértices deste grafo na ordem apropriada (definida sempre como processar os vérti- ces à esquerda antes, depois o próprio vértice e, depois os vértices à direita) obtemos uma lista em or- dem alfabética "era, já, mais, não, possível, quando, vimos".
a. Este tipo de grafo é chamado de árvore. Se o virarmos de cabeça para baixo, podemos entendê-lo como uma ordenação parcial Qual seria o elemento mínino? Há um elemento máximo? Quais dos pares a seguir pertenceriam a (não, vimos), (já, era), (já, mais), (era, possível)?
Neste caso, a estrutura de árvore contém mais informação do que a ordenação parcial pois nos diz não só quando uma palavra precede uma palavra w2 mas também que w2 está à esquerda ou à direita de w1.
b. Use uma árvore binária de busca para desenhar o grafo de "Suco de laranja faz bem à saúde". E, consi- derando o grafo (de cabeça para baixo) como uma ordenação parcial, determine os elementos maximais. 17. A ordenação alfabética definida no Exercício 25 pode ser aplicada a palavras de qualquer tamanho fini- to. Se definirmos A* como o conjunto de todas as "palavras" (cadeias de caracteres, que não necessari-
amente façam sentido) de tamanho finito formadas pelas letras do alfabeto inglês, então a ordenação alfabética em A* tem todas as palavras compostas apenas pela letra a precedendo todas as outras pala- vras. Portanto, todas as palavras da lista infinita
a, aa, aaa, aaaa, ...
precederiam palavras como "b" ou "aaaaaaab". Portanto, esta lista não enumera A* porque não poderí- amos relacionar, seqüencialmente, outras palavras que não as formadas apenas por a. No entanto, o con- junto A* é denumerável. Demonstramos isto ordenando A* pelo comprimento das palavras (todas as palavras de tamanho 1 precedem todas as palavras de tamanho 2 etc.) e, depois, ordenando alfabetica- mente as palavras de mesmo comprimento.
28. a. Qual o conjunto [a] para a relação de equivalência = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}? Ele tem outras representações?
b. Qual o conjunto [3] para a relação de equivalência = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (1,3), (3, 1), (3, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (4, 5), (5, 4)}? Qual o conjunto [4]?
c. Qual o conjunto [ 1 ] para a relação de equivalência de congruência módulo 2 em d. Qual o conjunto [ — 3] para a relação de equivalência módulo 5 no conjunto
29. a. Dada a partição {1,2} e {3, 4} do conjunto S = {1, 2, 3, 4}, liste os pares ordenados da relação de equivalência correspondente.
b. Dada a partição {a, b, c} e [d, e) do conjunto S = {a, b, c, d, e}, liste os pares ordenados da relação de equivalência correspondente.
30. Seja S o conjunto de todos os livros em uma biblioteca. Seja p uma relação binária em S definida por x "a cor da capa de x é a mesma da cor da capa de y". Mostre que é uma relação de equivalência e descreva as classes de equivalências resultantes.
31. Seja e seja uma relação binária em S definida por Mostre que é uma relação de equivalência em S e descreva as classes de equivalência resultantes.
32. Seja S = e seja uma relação binaria em S definida por (x, y ) M o s t r e que é uma classe de equivalência em S e descreva as classes de equivalência resultantes.
33. Seja S = e seja uma relação binária em S definida por é par. Mostre que é uma relação de equivalência em 5 e descreva as classes de equivalência que define.
34. Seja S o conjunto de todas as wffs proposicionais com n afirmações. Seja p uma relação binária em S definida por é uma tautologia". Mostre que p é uma relação de equivalência em S e descreva as classes de equivalência resultantes. (Usamos a notação
35. Dadas duas partições de um conjunto é dita um refinamento de se cada bloco de é um subconjunto de um bloco de Mostre que um refinamento é uma ordenação parcial no conjunto de todas as partições de S.
36. Seja Pn a notação para o número total de partições de um conjunto de n elementos,
a. Encontre P1. b. Encontre P3. c. Encontre P4.
37. Seja S(n, k) o número de maneiras de se particionar um conjunto de n elementos em k blocos. a. Encontre S(3, 2) b. Encontre S(4, 2).
38. Demonstre que
39. Demonstre que para todo n 1, S(n, k) verifica a relação de recorrência
S(n, 1) = 1 S(n, n) = 1
168 Relações, Funções e Matrizes
(Dica: Use uma demonstração combinatória ao invés de uma demonstração por indução. Seja x um ele-
mento fixo porém arbitrário de um conjunto com n + 1 elementos e exclua x. Particione o conjunto restante com n elementos. Uma partição do conjunto original pode ser obtida considerando {x} um blo- co a parte ou incluindo x em um dos blocos já existentes.)
40. Use a fórmula do Exercício 39 para refazer o Exercício 37.
41. Os números S(n, k) são chamados de números de Stirling. A relação de recorrência do Exercício 39 é semelhante à da fórmula de Pascal, equação (1) da Seção 3.5. Use esta relação para calcular os valores numéricos das primeiras cinco linhas do triângulo de Stirling, que começa com
5(1, 1) 5(2, 1) 5(2,2) 5(3, 1) 5(3,2) 5(3,3)
42. Encontre o número de maneiras de distribuir quatro diferentes mármores coloridos entre três containers idênticos de forma que nenhum container fique vazio.
43. Encontre o número de maneiras nas quais cinco tarefas diferentes podem ser atribuídas a três processa- dores idênticos de forma que cada processador receba pelo menos uma tarefa.
44. Supondo que P0 tenha o valor 1, demonstre que
(Dica: Use uma demonstração combinatória ao invés de uma demonstração indutiva. Tome x fixo, po-
rém arbitrário como um elemento de um conjunto com n elementos. Em cada termo da soma, n — k representa o tamanho do bloco da partição que contém x.)
45. a. Use a fórmula do Exercício 44 para calcular P1, P2, P3 e P4 e compare suas respostas com as do Exer-
cício 36.
b. Use a fórmula do Exercício 38 e o triângulo de Stirling (Exercício 41) para calcular P1,P2,P3 e P4