tagem.
Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos. (Em uma definição, "se" significa, na ver- dade, "se, e somente se", portanto dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles contêm os mesmos elemen- tos.) Usando a notação da lógica predicada,
Seção 3.1 Conjuntos 99
Ao descrevermos um determinado conjunto, precisamos identificar seus elementos. Para conjuntos fini- tos, podemos fazê-lo apenas listando os elementos que contêm, como o conjunto A do Exemplo 1. E, embora seja impossível listar todos os elementos de um conjunto infinito, para alguns deles é possível indicar um pa- drão para a listagem indefinida. Podemos, portanto, escrever {2,4, 6,...} para expressar o conjunto S de todos os inteiros positivos pares. (Apesar desta ser uma prática comum, existe sempre o risco do leitor não compreen- der o padrão que o escritor tinha em mente.) S pode ainda ser definido, definindo explicitamente um de seus elementos e, então, definindo os demais elementos de S em termos dos elementos já conhecidos. Por exemplo:
Mas a forma mais clara de descrever este conjunto S em particular é descrever a propriedade característica de seus elementos através de palavras e escrever
que é lido como "o conjunto de todos os x tal que x é inteiro positivo par". As diversas formas pelas quais descreveremos um conjunto são, portanto 1. listando (ou listando parcialmente) os elementos,
2. usando recursão para descrever como gerar o conjunto de elementos, ou 3. descrevendo uma propriedade P que caracterize o conjunto de elementos.
Veremos mais adiante nesta seção que existem conjuntos para os quais a primeira abordagem não funciona; em geral, a segunda é difícil de ser usada. Normalmente acaba restando o terceiro método como melhor opção. A notação para um conjunto cujos elementos sejam caracterizados como tendo a propriedade P é {x
P(x)}. A propriedade P aqui é um predicado unário, termo este que foi apresentado no Cap. 1. Na verdade, a
notação da lógica formal do Cap. 1 vem nos ajudar a tornar mais claro o que queremos dizer com a proprieda- de característica dos elementos de um conjunto:
PRÁTICA 1
PRÁTICA 2
Em palavras, todo elemento de S tem a propriedade P e tudo o que tem a propriedade P é um elemento de S.
Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus elementos. a. {x| x é um inteiro e 3
b. {x| x é um mês com exatamente 30 dias}
c. {x| x é a capital do Brasil} •
Descreva cada um dos seguintes conjuntos, fornecendo-lhes uma propriedade característica. a. {1,4,9, 16}
b. {o açougueiro, o padeiro, o fabricante de velas}
c. {2,3,5,7, 11, 13, 17, ...} • É conveniente dar nomes a alguns conjuntos-padrão a fim de referirmo-nos a eles mais facilmente. Usa- remos
conjunto de todos os inteiros não-negativos (perceba que conjunto de todos os inteiros
conjunto de todos os números racionais conjunto de todos os números reais conjunto de todos os números complexos
PRÁTICA 4
PRÁTICA 5 EXEMPLO 3 EXEMPLO 2
PRÁTICA 3
Algumas vezes também falaremos no conjunto sem qualquer elemento (o conjunto vazio ou conjunto nulo), denotado por
•
Suponhamos agora que o conjunto A é descrito como
Como y não é uma variável livre, esta descrição continua na forma Os elementos de A podem ser encontrados fazendo com que y assuma cada um dos valores 0, 1 e 2, e então tomando a terceira potência desses valores. Logo A = {0, 1, 8}. Se seguirmos o mesmo processo com o conjunto B,
então, fazendo y = 0 temos x = 0; fazendo y = 1 temos x = 0 ou 1; fazendo y = 2 temos x = 0, 1 ou 2. Em outras palavras, B consiste em todos os inteiros não-negativos que são menores ou iguais a algum inteiro não- negativo, o que quer dizer que Mas para o conjunto C,
obtemos C = {0} porque 0 é o único inteiro não-negativo que é menor ou igual a todo inteiro não-negativo.
Descreva cada um dos conjuntos definidos abaixo.
Relações entre Conjuntos
Para A = [2, 3, 5, 12} e B = {2, 3,4, 5, 9, 12}, todo elemento de A é também um elemento de B. Quando isto acontece, dizemos que A é um subconjunto de B.
Complete a definição: A é um subconjunto de B se
Se A é um subconjunto de B, escrevemos, Se. mas (existe pelo menos um elemento de B que não é elemento de A), então A é dito um subconjunto próprio de B e denotado por
Use a notação da lógica formal para definir. •
Seja
A = {1,7,9, 15}
B = { 7 , 9 } C= {7,9, 15,20}
Então as seguintes sentenças (dentre outras) são todas verdadeiras:
•
Esta última sentença é verdadeira, porque a sentença é verdadeira, uma vez que é sempre falsa. •
PRÁTICA 6 Seja
Seção 3.1 Conjuntos 101
Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?
• Suponha que e que Como cada elemento de A também é um elemento de B e P é a propriedade que caracteriza todos os elementos de B, então todos os elementos de A também gozam da pro- priedade P(x). Os elementos de A "herdam" a propriedade P. De fato, para provar que tomamos um x e A arbitrário e mostramos que P(x) é verdadeira. Se A for um subconjunto próprio de B, os elementos de A terão, normalmente, alguma propriedade característica que nem todos os elementos de B têm.
EXEMPLO 4 Seja
e seja
Então temos Para provar este resultado, seja perceba que x é um elemento de A completamente arbitrário. Precisamos mostrar que x satisfaz a propriedade característica de B; isto significa que precisamos mostrar que x é um múltiplo de 4. Como temos x e A, x satisfaz à propriedade característica de A; isto é, x é um múltiplo de 8 e, como tal, pode ser escrito na forma x = m • 8, para algum inteiro m. Esta equação pode ser escrita como x = m.2 .4 ou x = k.4, onde k = 2m, de forma que k é também um inteiro. Isto mostra que x
é um múltiplo de 4 e, portanto x e B.
Existem números (como 12) que são múltiplos de 4, mas não são múltiplos de 8; portanto, Outra forma de descrever A é
Desta forma fica claro que os elementos de A herdam a propriedade característica de B — ser um múltiplo de 4 —, mas há uma restrição adicional que torna A menos geral que B. •
Seja
PRÁTICA 7
e
Prove que
Sabemos que A e B são iguais se contêm os mesmos elementos. Podemos reescrever esta igualdade em termos de subconjuntos: A = B se, e somente se, Provar a inclusão em ambas as direções é a forma normal de estabelecer a igualdade entre dois conjuntos.
Seja . Para mostrar que A = B, mostraremos que A
B e B A. Para A B precisamos escolher um elemento arbitrário de A, isto é, qualquer número que
satisfaça sua propriedade característica e mostrar que ele também satisfaz a propriedade característica de B. Seja x A. Então x é um inteiro não-negativo que satisfaz a desigualdade x2 < 15. Os inteiros não-negativos
com quadrado menor que 15 são 0, 1, 2 e 3, portanto esses são os elementos de A. O dobro de cada um desses inteiros é um número menor que 7. Portanto, cada elemento de A é um elemento de B e A B.
Mostraremos agora que B A. Qualquer elemento de B é um inteiro não-negativo cujo dobro é menor que 7. Esses números são 0, 1, 2 e 3, que têm, cada qual, um quadrado menor que 15. Portanto, B A. •
Conjuntos de Conjuntos
Dado um conjunto S, podemos criar um novo conjunto cujos elementos sejam todos os subconjuntos de S. Este novo conjunto é chamado de conjunto das partes de conterá, pelo m e n o s , e o próprio S, uma vez que são sempre verdade.
PRÁTICA 8
PRÁTICA 9
Na Prática 8, A tem três elementos e tem oito elementos. Experimente achar para outros con- juntos S até que você seja capaz de responder ao problema da prática a seguir.
Se S tem n elementos, então tem elementos. (Sua resposta funciona para n = 0 também?) • Existem diversas formas de mostrar que, para um conjunto S com n elementos, tem 2" elementos. A prova a seguir se vale da indução. Para a base da indução, tomemos n = 0. O único conjunto com 0 elemen- tos é o O único subconjunto de é ele próprio. Portanto, um conjunto com 1 = 20 elemen- tos. Assumimos como verdadeiro que para qualquer conjunto com k elementos, o seu conjunto das partes tem 2k elementos.
Agora, tomemos S com k + 1 elementos e ponhamos um de seus elementos, digamos x, de lado. O con- junto que resta tem k elementos, cujo conjunto das partes, pela hipótese de indução, tem 2k elementos. Cada um desses elementos é também um elemento de Os únicos elementos d e q u e não foram contados ainda são os que incluem o elemento x. Todos os subconjuntos que contêm o elemento x podem ser encontra- dos tomando-se todos os subconjuntos que não contenham x e incluindo-lhes x. Ao todo, temos 2k subconjun- tos que não contêm x e 2k subconjuntos que contêm x. Ou 2k + 2k = 2 . 2k = 2k +1 subconjuntos. Portanto, tem 2k +1 elementos.
De forma análoga às tabelas-verdade da Seção 1.1 existe outra maneira de se mostrar que tem 2" elementos, para um conjunto S com n elementos. Lá nós tínhamos n símbolos proposicionais e mostramos que existem 2n combinações verdadeiro-falso dentre esses símbolos. Mas podemos pensar em cada combinação verdadeiro-falso como representando um subconjunto em particular, com V indicando a inclusão e F indican- do a não-inclusão de cada elemento de S no subconjunto. (Por exemplo, a linha da tabela-verdade onde todos os símbolos proposicionais valendo F correspondem ao conjunto vazio.) Portanto, o número de combinações verdadeiro-falso envolvendo n símbolos proposicionais é igual ao número de subconjuntos de um conjunto com n elementos; e ambos são 2".