Representação de números reais na reta real

A principal intenção da realização da tarefa “Espiral” (Anexo 3, p.142) foi fazer com que os alunos, na tarefa seguinte conseguissem proceder à marcação exata na reta real de números irracionais que se apresentam na forma de um radical. Sucede que, apesar de na tarefa “Espiral” todos os grupos de trabalho terem determinado corretamente as medidas das hipotenusas recorrendo ao teorema de Pitágoras, na tarefa “Reta real” (Anexo 3, p.142) a maioria dos alunos evidenciou dificuldades em estabelecer conexões com o que tinham realizado na tarefa anterior.

Na tarefa “Espiral” pedia-se aos alunos que indicassem a medida de cada um dos segmentos (na figura 21, à esquerda) e identificassem aqueles cuja medida é um número irracional. Na figura 21 (à direita) pode-se observar que na tarefa “Espiral”, o grupo do

Hugo realiza os cálculos para determinar as medidas das hipotenusas até àquela que mede duas unidades. A partir desse instante, o grupo do Hugo aparenta perceber o processo de raciocínio envolvido, ao considerar a medida das hipotenusas seguintes como sendo a raiz quadrada da soma de uma unidade com o quadrado do cateto do triângulo anterior. Também ao grupo do Rui, lhe bastou fazer o cálculo das três primeiras hipotenusas da espiral 2, 3 e 4.

Figura 21 – Ilustração do enunciado da tarefa “Espiral” (à esquerda) e resposta do grupo do Hugo (à direita)

No grupo Íris (na figura 22) à semelhança do grupo da Clara, as alunas procederam ao cálculo de todas as medidas das hipotenusas e identificaram sem dificuldade, aqueles cuja medida é um número irracional.

Figura 22 – Resposta do grupo da Íris à tarefa “Espiral”

Na questão 2.2 da tarefa “Reta real” (Anexo 3, p. 142) pedia-se aos alunos que assinalassem na reta real os valores dos pontos:

3 1 , 3 7 , 50 25 − , 16, 16 1 − , −1− 2, 2

marcação de 2 na reta real foi exemplificada no quadro e os alunos realizaram-na sem grande dificuldade, compreendendo que cada um dos catetos teria de medir uma unidade. No entanto, para assinalarem na reta os números dados na questão 2.2, a Júlia e o Hugo demoraram algum tempo para compreender que tinham de construir um triângulo retângulo, para proceder à marcação de 5 . Eis um pequeno excerto do diálogo com o grupo da Íris a este propósito:

Íris: Para fazeres a raiz [quadrada] de 5, fazes um triângulo, aqui vale 1 e aqui é 2. Júlia: Não estou a perceber. Professora pode-me explicar?

Professora: Então o que é que nós vimos na tarefa da espiral? Quanto é que tinha que medir este cateto aqui para que o comprimento da hipotenusa medisse raiz de 5? Júlia: 2. Mas porque é que é um triângulo? Porque é que não posso marcar 2,23? Professora: Os triângulos retângulos ajudam a fazer a marcação exata de números irracionais na reta real.

Íris: Júlia isto dos triângulos é só para as raízes quadradas.

(Reparo que alguns alunos, como é o caso da Júlia, continuam a estar muito agarrados à representação aproximada dos números).

Na figura 23, relativa a alguns cálculos auxiliares da questão 2.2, vê-se que o grupo do Hugo construiu corretamente o triângulo usando o teorema de Pitágoras, mas provavelmente por lapso, enganou-se nos cálculos. Este engano pode ter sido uma distração, em que o grupo ao passar da construção do triângulo para a realização dos cálculos elevou 5 ao quadrado, elevou 1 ao quadrado e por lapso elevou 2 ao quadrado repetidamente, duas vezes. Outra possível interpretação é a de que, para que a soma do quadrado dos catetos desse 5, o grupo pode ter pensado que teria de somar a uma unidade quatro e elevou, por lapso, ambos os números ao quadrado. Na sua resolução, percebe-se que o grupo do Hugo tem a noção do teorema de Pitágoras e que aplica bem a sequência da “Espiral”.

Em contrapartida, no grupo do Rui, os alunos evidenciaram ter uma boa compreensão do que foi solicitado, estabelecendo com facilidade conexão com a tarefa “Espiral”. Na resolução da questão 2.2, apenas este grupo conseguiu assinalar todos os números solicitados com facilidade e proceder à ordenação dos mesmos. No entanto, verifica-se (na figura 24) que houve alguns erros de distração relativamente aos sinais de alguns números negativos (por exemplo

16 1 − e

25 1

− ) que foram representados como

sendo positivos. Embora se esqueçam do sinal destes números, os alunos evidenciam na resposta apresentada na figura seguinte, saber localizar os números na reta real e ordená- los corretamente:

Figura 24 – Resposta do grupo do Rui à questão 2.2 da tarefa “Reta real”

No grupo da Clara, os alunos assinalaram todos os números corretamente, ficando a faltar apenas a marcação do número

16 1

− . Este grupo teve inicialmente dificuldade em

proceder à marcação correta de 1/3, sendo esta percetível pela seguinte afirmação da Clara: “Eu marquei

3 1

assim, dividi da forma mais simples. Dividi a unidade, 2,4 cm por 3 com a

máquina de calcular e deu 0,8”. Observo que a Clara começou por medir com a régua a unidade na reta real, que correspondia a 2,4 cm e dividiu-a depois em 3 partes. Nos grupos da Íris e do Hugo, os alunos também não sabiam como proceder à marcação do número racional 1/3, pelo que solicitei a um voluntário que fosse ao quadro representá-lo na reta real. O Mário procedeu à sua marcação com facilidade (com auxílio de uma régua e de um

compasso), traçando posteriormente paralelas com auxílio de um esquadro como mostra a figura 25.

Figura 25 - Marcação feita pelo Mário de alguns números da questão 2.2 da tarefa “Reta real” (fotografia do quadro)

Nesta figura vê-se ainda a construção relativa à marcação de 5 na reta real, que também pedi para ser feita, pois apercebi-me que vários alunos não a tinham conseguido realizar. Ainda assim, após o Mário proceder à marcação destes números, os grupos da Clara e da Íris solicitaram a minha intervenção dizendo:

Clara: Stora pode-me explicar como se faz a marcação de 1/3?

Professora: Clara e Íris? Como é que o vosso colega procedeu aqui [na marcação de 1/3]? Traçou uma reta qualquer, e colocou aqui [na origem, no ponto 0] a ponta seca do compasso e abriu até onde?

Mário: Ao calhas!

Professora: Manteve esta medida da abertura do compasso. Não interessa qual é a medida, interessa que a medida se mantém. A partir deste ponto [ponto A] uniu até ao ponto 1. E a partir daí foi traçando paralelas para cada uma das marcações. Esta é paralela a esta, que é paralela a esta.

Clara: Ok. Já percebi.

Júlia: Percebeste Íris? Explica-me.

Íris: Sim. Fizemos isto a Educação Visual, eu já não me lembrava. Tens de marcar com o compasso, manténs a abertura e depois é só traçar paralelas.

Na figura 26 apresenta-se a resolução da questão 2.2, feita pelo grupo da Íris. Pode- se observar que as alunas procedem corretamente à marcação dos números reais

2 1− − , 50 25 − , 3 1 , 5 e 16 e incorretamente à marcação de 16 1 − , ao representá-lo na

reta como o ponto -4,5. Visto que as alunas sabiam que 16 é 4, deviam também ter compreendido que 16 1 − é 4 1

− . Embora na resolução do grupo da Íris tenha ficado a

faltar a marcação dos números 3 7

e 2+ 2, o facto de terem assinalado na reta os números

3 5

e −1− 2, leva-me a crer que a marcação dos números em falta não constituiria uma dificuldade.

Figura 26 – Resposta do grupo da Íris à questão 2.2 da tarefa “Reta real”

No teste realizado no dia 4 de Março solicitava-se na questão 9 (Anexo 4, p. 149) o seguinte: “desenha uma reta cuja unidade seja 4cm. Nela marca, rigorosamente, os pontos de abcissa: 1+ 3e

3 1 2−

− ”. Dos três grupos estudados em aula, responderam

acertadamente à marcação de ambos os números os alunos: Íris, Júlia, Rui, Gaspar e Clara. No entanto, o Rodrigo e o Custódio evidenciaram algumas dificuldades. O Custódio assinalou o número racional

3 1 2−

− corretamente na reta real mas evidenciou ter algumas

dificuldades na marcação de 1+ 3, visto que determinou 3 a partir da construção de um triângulo retângulo cujos catetos mediam duas e uma unidade (analogamente à marcação feita pelo Rodrigo). O Rodrigo errou a marcação de ambos os números. Reparo que para proceder à marcação de

3 1 2−

− , o aluno dividiu a unidade em 4 partes em vez de a dividir

Figura 27 – Resposta do Rodrigo à questão 9 do teste de 4 de Março

Relativamente à marcação do número irracional, o Rodrigo à semelhança de outros alunos que erraram esta marcação, embora evidencie que sabe determinar a medida 2

(pela marcação de 1+ 2) na figura 22, não aplica corretamente o teorema de Pitágoras na determinação de 3 . Para assinalar 1+ 3 na reta real o aluno considerou na construção do triângulo um dos catetos uma unidade e o outro medindo duas unidades, em vez de 2.