Capítulo 4 – Apresentação e análise de dados
4.4 Intervalos de números reais
4.4.2 Resolução de problemas sobre intervalos de números reais
Na tarefa “Perímetro do triângulo” (Anexo 3, p.145) pedia-se aos alunos que apresentassem na forma de intervalo de números reais os valores de x para os quais o perímetro do triângulo (cujos lados medem 18 cm, 12 cm e x cm) é inferior a 40cm. Esta tarefa aparentemente simples, por trabalhar com o conceito de perímetro, estabelece uma ponte do tópico dos Números reais com a Geometria e a Álgebra, permitindo aos alunos estabelecer conexões com propriedades e noções aprendidas em anos anteriores. A resolução deste tipo de problema permite ao professor percecionar os processos de raciocínio dos alunos.
Inicialmente a maioria dos grupos concluiu que os valores de x para os quais o perímetro é inferir a 40 situavam-se no intervalo
] [
0,10 não tendo aplicado a propriedade da desigualdade triangular aprendida em anos anteriores. Veja-se por exemplo, a seguinte passagem:Gama – O perímetro do triângulo é inferior a 40, portanto 18 mais 12 dá 30. Ruben – Então sendo assim pode ser 0,00000….1 cm.
Gama – Então vai de zero. Não, zero não! Gama – 40 menos 30 dá 10.
Cunha – Então o máximo é 10 e o mínimo é 1. Ruben – Não. Pode ser zero vírgula qualquer coisa. Gama – Então é ]0,10].
Ruben – O perímetro do triângulo é inferior a 40 não é 40, por isso não pode ser 10. Cunha – Então é ]0,10[ pronto já está!
Após observar diretamente o trabalho dos alunos, procurei auxiliar o seu pensamento no sentido de fazer com que o grupo, por meio de questionamentos sucessivos, conseguissem compreender que algo não estava bem:
Professora – Como estamos? Custódio – Isto é óbvio.
Professora – Então, conseguem construir um triângulo em que um dos lados mede 18 cm, o outro 12 cm e o outro zero vírgula…?
Professora – Quanto é que mede o outro lado x? É possível o outro lado x medir um? Façam lá essa experiência.
Gaspar – Não dá, porque tipo as medidas não ficam certas.
Após questionar o grupo sobre se era possível construir um triângulo cujos lados meçam 18, 12 e 1 (centímetro), os alunos fazendo essa experiência com régua e compasso perceberam que não era possível. O Rui conseguiu recordar-se da propriedade da desigualdade triangular, deixando os seus colegas estupefactos, no seguinte diálogo:
Rui – Era aquela cena em que a soma dos dois lados menores tem de ser maior que o lado maior ou uma coisa assim. Não é nada disso?
Professora – Não se recordam de nenhuma propriedade dos triângulos?
Rui – Era a propriedade, acho que era que o lado maior tem de ser menor que a soma dos dois lados menores.
Gaspar – Como é que é?
Professora – Chama-se desigualdade triangular. O comprimento de qualquer lado é menor que a soma do comprimento dos outros dois.
Depois dos alunos se recordarem da propriedade foi fácil compreenderem que o outro lado teria de medir pelo menos 6 cm, conforme se pode constatar no excerto que se segue:
Rui – Se o lado maior é 18 não pode ser 12 mais um, que dá 13. Gaspar – Então tem de ser pelo menos…
Custódio e Rui – 6!
Gaspar – É 6 com a cena [o parêntesis] para fora! Custódio – Mas não pode ser 6. Tem de ser 7!
Rui – Não porque o parêntesis é para fora! 6,00001 já pode ser. Custódio – Ah pois é!
Na realização desta tarefa o grupo do Rui exprime a sua justificação oralmente e por escrito, representando corretamente o intervalo. Na justificação dos limites inferior e superior do intervalo, o grupo utiliza argumentos válidos.
Na figura seguinte apresenta-se a resposta do grupo do Rui:
Figura 43 – Resposta do grupo do Rui à tarefa “Perímetro do triângulo”
Na obtenção do menor valor que x pode tomar, todos os grupos evidenciaram inicialmente algumas dificuldades, ao considerar que seria possível construir um triângulo com quaisquer medidas positivas. No entanto, após a minha intervenção o grupo do Rui conseguiu recordar-se da propriedade da desigualdade triangular, estabelecendo facilmente conexão com o perímetro do triângulo. Neste caso, o grupo baseou-se numa propriedade e aplicou-a ao caso particular do enunciado. Na resolução desta tarefa reparei que todos os grupos indicaram apenas valores positivos de x e excluíram o zero, estabelecendo conexão do conceito de medida.
O grupo da Clara à semelhança do grupo do Rui também pensou inicialmente que seria possível construir um triângulo cujos lados medissem por exemplo 18, 12 e 1 centímetros. À questão levantada ao grupo da Clara sobre se era possível o outro lado x medir uma unidade, os alunos responderam que tinham ouvido a discussão com o grupo do Rui, e que já sabiam que tinham de usar “a tal” propriedade da construção dos triângulos. Assim sendo, questionei-os sobre quanto é que seria o menor valor possível para a medida do lado x, ao que a Clara concluiu rapidamente, que teria de ser “18 menos 12 que dá 6, por isso mede 6 cm”. Ao questionar se o 6 era “inclusive ou exclusive” a aluna respondeu “inclusive”, concluindo que x∈
[ [
6,10 . Por esta resposta percebe-se que a Clara estabelece a conexão com o conceito de medida, mas não aplica adequadamente a propriedade da desigualdade triangular, visto que inclui o limite inferior do intervalo. No entanto mais tarde, após o momento de discussão, a Clara corrigiu a sua resposta, depois de compreender que o comprimento de qualquer lado é menor (e não igual) que a soma do comprimento dos outros dois, escrevendo x∈] [
6,10 conforme se mostra na figura seguinte:Figura 44 – Resposta do grupo da Clara à tarefa “Perímetro do triângulo”
Pode-se reparar também que, embora não seja solicitado no enunciado, este grupo procede na resposta apresentada (na figura 44) à tradução da linguagem natural para a linguagem algébrica ao escrever que x>6 ex<10.
Há semelhança dos grupos do Rui e da Clara, também o grupo da Íris considerou que seria possível construir o triângulo com quaisquer medidas positivas, apresentando para possíveis valores de x, o intervalo de números reais
[ [
1,10 na seguinte resposta:Figura 45 – Resposta do grupo da Íris à tarefa “Perímetro do triângulo”
Reparo que na resolução apresentada, embora não fosse pedido no enunciado, as alunas procederam também à representação gráfica e em compreensão do intervalo de números reais a que chegaram. Depois de observar a resposta das alunas durante o momento de realização do trabalho autónomo, à semelhança do que diálogo que tive nos grupos da Clara e do Rui, questionei o grupo da Íris se “É possível o outro lado x medir um?” ao que a Íris me respondeu “sim, acho que é possível o x medir 1”. Disse-lhes então para fazerem essa experiência, com auxílio de uma régua e compasso. Depois de experimentarem construir o triângulo com recurso a material de desenho e de discutirem entre si se aquele x poderia ser 1, percebe-se que as alunas compreenderam que não era
possível fazer a sua construção, com a seguinte afirmação da Íris: “Não dá, não consegues construir!”.
Após a discussão com o grupo-turma, a generalidade da turma conseguiu perceber que para determinar os valores que x poderia tomar, teriam de utilizar a propriedade da desigualdade triangular. E deste modo, o grupo da Íris concluiu corretamente (na figura 45) que o intervalo a que x pertence é
] [
6,10 e procedeu de novo à sua representação gráfica.Capítulo 5 – Reflexão sobre o trabalho realizado
Neste capítulo apresento a síntese do estudo, começando por relembrar o seu objetivo, o enquadramento teórico base, a planificação da unidade de ensino e as opções metodológicas adotadas. Posteriormente, respondo às questões orientadores desta investigação, destacando as principais conclusões relativas às dificuldades dos alunos e aos processos por eles utilizados na realização de tarefas que envolvem a noção de número real. Termino com uma reflexão pessoal sobre o trabalho realizado, destacando as minhas aprendizagens e os contributos para a minha atividade futura de docente.