5.2 O Teorema Estrutural
5.3.1 Representação localmente Lipschitz de ∂E
O
objetivo deste capítulo será estabelecer uma das mais relevantes propriedades da fronteira reduzida ∂∗E: a mesma pode ser escrita , salvo um conjunto demedida |DχE|−nula , como uma reunião enumerável de subconjuntos compactos de
hipersuperfícies C1 (Teorema Estrutural para conjuntos de Caccioppoli) tal resultado é
devido à Ennio De Giorgi. Como também nesse mesmo resultado mostraremos que ∂∗E é
denso em ∂E e que
Z
Ω
|DχE|=Hn−1(∂∗E∩ Ω) (5.1)
para todo conjunto aberto Ω. Portanto |DχE| é exatamente a medida de Hausdorff (n −
Na demonstração de (5.1) primeiro deveremos mostrar que se B ⊆ ∂∗Eentão
Z
B
|DχE|=Hn−1(B), (5.2)
para tanto começaremos por estabelecer a razão enter esses dois termos em (5.2).
5.1 Resultados preliminares
Lema 5.1. Sejam E ⊆ Rn um conjunto de Caccioppoli e B ⊆ ∂∗E, então existe uma
constante universal c = c(n) tal que
Hn−1
(B)≤ c(n) Z
B
|DχE|.
Além disso c(n) pode ser efetivamente calculada, ou seja, segundo a nossa construção c(n) = 2.3n−1
Proof: Sejam ε, η > 0. Sendo |DχE|uma medida de Radon, existe um conjunto aberto
A tal que B ⊆ A e Z A |DχE|≤ Z B |DχE|+ η.
Do Teorema (4.3.1), equação (4.18), para cada x ∈ B existe um número ρ = ρ(x) > 0 tal que B(x, ρ) ⊆ A, ρ < ε e Z B(x,ρ) |DχE|≥ 1 2wn−1ρ n−1.
Pelo Lema de Recobrimento de Vitali (3.1), podemos tomar uma sequência {xi} ⊆ B
tal que, se ρi = ρ(xi),
B⊆[
i≥1
B(xi, 3ρi) e B(xi, ρi)∩ B(xj, ρj) = ∅ para i 6= j.
Se usarmos que B(xi, ρi)⊆ A e tais bolas são duas a duas disjuntas, vem que
X i≥1 (3ρi)n−1≤ 2.3n−1 wn−1 X i≥1 Z B(xi,ρi) |DχE|≤ 2.3n−1 wn−1 Z A |DχE|≤ 2.3n−1 wn−1 { Z B |DχE|+ η}
Finalmente se nos utilizarmos da arbitrariedade de ε, η > 0 e da definição de medida de Hausdorff segue que Hn−1(B)
≤ 2.3n−1
Z
B
|DχE|
Observação 5.1. Acabamos de mostrar no Lema (5.1) acima que Hn−1 é uma medida
absolutamente contínua com respeito a medida de Radon |DχE|. Ao final do Teorema
Estrutural (5.2.1) estará demonstrado a recíproca dessa afirmativa.
5.1.1 A classe Γ
n−1Definição 5.1. Γn−1 é a classe de todos os conjuntos H ⊆ Rn tal que existe um conjunto
aberto A contendo H e uma função C1
f : A → R tal que f(x) = 0 e Df(x)6= 0 para x ∈ H
Exemplo 5.1. i. Seja H ⊂ Rn qualquer hiperplano e v 6= 0 um vetor normal a H e definamos f : Rn
→ R como f(x) = hv, xi. Assim f ∈ C1(Rn) e satisfaz
f(x) = 0 e Df(x) = v6= 0 em H. Portanto pela definição H ∈ Γn−1
ii. Seja H agora qualquer curva sobre a esfera Sn−1 = {x∈ Rn; |x| = 1}. Definamos a função f : Rn
→ R dada por f(x) = |x|2− 1. Logo f ∈ C1(Rn) e a mesma satisfaz
f(x) = 0 e Df(x) = 2x6= 0 em H Portanto pela definição H ∈ Γn−1
Estes exemplos vem esclarecer que a classe de conjuntos Γn−1 deve conter conjuntos
de dimensão topológica no máximo n − 1, pois do contrário a obtenção de tais funções f satisfazendo as hipóteses acima seriam improváveis. Por essa razão se adotara a notação sugestiva Γn−1.
O próximo teorema dará uma maneira eficaz de determinar quando um conjunto está em Γn−1
Teorema 5.1.1. (De Giorgi) Seja C um conjunto compacto e suponha que existe uma função contínua a valores vetoriais ν : C → R tal que ν 6= 0 e
lim
|x−y|→0hν(x), x − yi|x − y|
−1 = 0 (5.3)
uniformenmente para x, y ∈ C. Então C ∈ Γn−1.
Proof: Pelo Teorema da Extensão de Whitney (Veja Apêndice), existe uma função f : Rn
→ R a qual satisfaz f ∈ C1, f = 0 em C e Df = ν em C. Então como por hipótese ν6= 0 temos segundo a definição que C ∈ Γn−1.
5.2 O Teorema Estrutural
Mostrar-se-á nesta sessão o Teorema Estrutural que entre muitas coisas informa que a fronteira reduzida de um conjunto de Caccioppoli é uma superfície (n − 1)−dimensional e a mesma é um conjunto Hn−1− contavelmente rectificável. Moralmente veremos que um
conjunto de perímetro localmente finito tem fronteira com “medida teoricamente” C1.
Teorema 5.2.1. (De Giorgi - Teorema Estrutural para conjuntos de Caccioppoli) Se E é um conjunto de Caccioppoli, então
∂∗E =[
i≥1
Ci∪ N (5.4)
onde N é um conjunto |DχE|-negligenciável, ou seja,
Z
N
|DχE| = 0 e cada Ci ∈ Γn−1 é
compacto; De fato cada Ci ⊂ Si, onde Si será uma subvariedade (n − 1)−dimensional, ou
seja, uma hipersuperfície, com ν|Si normal e contínuo.
Além disso, para todo conjunto B ⊆ ∂∗E
Z
B
|DχE|=Hn−1(B). (5.5)
Per(E, Ω) = Z
Ω
|DχE|=Hn−1(∂∗E∩ Ω), (5.6)
e, finalmente e não menos importante
∂∗E = ∂E (5.7)
Proof: Para cada x∈ ∂∗Esabemos do Teorema do Plano Tangente Assintótico (4.3.1)
que as expressões lim ρ→0ρ −n|B ρ(x)∩ E ∩ T+(x)| = 0 lim ρ→0ρ −n|(B ρ(x) − E)∩ T+(x)| = 0 (5.8)
se verificam após uma translação adequada. Pelo teorema de Egoroff, podemos escolher conjuntos |DχE|− mensuráveis {Fi}i≤1 tais que
|Dχ|(∂∗E −[ i≥1 Fi) = 0, |Dχ|(Fi) < ∞
ocorre convergencia em (5.8) uniforme para x ∈ Fi(i = 1, ...)
Além disso pelo Teorema de Lusin, para cada i podemos escolher conjuntos compactos {Eji}j≥1 tais que |Dχ|(Fi− [ j≥1 Eji) = 0 e tem − se ν|Ej i continua.
Por uma simples re-indexação, podemos dizer que {Ej
i}= {Ck}. Então ∂∗E = [ k≥1 Ck∪ N, |Dχ|(N) = 0,
ocorre convergencia em (5.8) uniforme em Ck, e
tem − se ν|Ck continua para (k = 1, ...).
(5.9)
Tal construção demonstra a primeira parte de (5.4) e somente nos resta mostrar que Ci ∈ Γn−1 e que existem {Si}i∈N tais que Ci ⊂ Si com ν|Si normal à Si.
Defina para δ > 0 ρk(δ)≡ sup |hν(x), y − xi| |y − x| ; 0 < |x − y|≤ δ, x, y ∈ Ck
Afirmação: Para k = 1, ... tem-se ρk(δ) → 0 quando δ → 0.
Consideremos agora um tal Ck, digamos C1. Pela nossa escolha de C1, para todo ε
fixado com 0 < ε < 1 existe por (5.8) e (5.9) um δ tal que 0 < δ < 1 e, se ρ < 2δ e z ∈ C1, então |E∩ B(z, ρ) ∩ T−(z)| < ε n 2n+2wnρ n e |E∩ B(z, ρ) ∩ T+(z)| > wnρ n 2 − εnw nρn 2n+2 = wnρ n 1 2 − εn 2n+2 . (5.10)
Provaremos que para todo x, y ∈ C1 tal que |x − y| < σ teremos
|hν(x), x − yi||x − y|−1≤ ε
Portanto como ε é arbitrário poderemos aplicar o teorema anterior e obter C1 ∈ Γn−1.
Sendo assim, suponha primeiro que
hν(x), x − yi ≤ −ε|x − y|. Dado que ε < 1, temos
B(ν(x), ε|y − x|)⊆ T−(x)∩ B(x, 2|x − y|), (5.11) pois se z ∈ B(y, ε|x − y|), então z = y + w, onde |w| ≤ ε|x − y|, dessa forma
hν(x), z − xi = hν(x), y − xi + hν(x), wi > ε|x − y| − |w| ≥ 0
logo B(ν(x), ε|y − x|) ⊆ T−(x) como claramente B(ν(x), ε|y − x|) ⊆ B(x, 2|x − y|) segue
tal inclusão.
Em contrapartida, dado que |x − y| < σ, (5.10) com z = x implica que
|E∩ B(x, 2|x − y|) ∩ T+(x)| < ε n 2n+2wn(2|x − y|) n = εnwn 4 |x − y| n, (5.12)
e agora (5.10) com z = y implica que
|E∩ B(y, ε|x − y|)| ≥ |E ∩ B(y, ε|x − y|) ∩ T−(y)|
≥ ε nw n|x − y|n 2 (1 − εn 2n+1) > ε nw n 4 |x − y| n . (5.13)
(5.8) encontraremos uma estimativa (desigualdade) contraditória com (5.9) e (5.10), pois obtemos que |E∩ B(x, 2|x − y|) ∩ T−(x)| < ε nw n|x − y|n 4 < |E∩ B(y, ε|x − y|)|, porém deveríamos ter uma desigualdade contrária dado que
E∩ B(ν(x), ε|y − x|) ⊆ T−(x)∩ B(x, 2|x − y|) ∩ E. Portanto fica demonstrado que
hν(x), x − yi > −ε|x − y|
De um modo similar podemos provar também que hν(x), x − yi < ε|x − y| e assim fica demonstrado nossa afirmação. Pelo Teorema anterior C1∈ Γn−1.
Usando as mesmas técnicas empregadas no raciocínio acima podemos provar que Ci ∈
Γn−1 para i = 2, 3, ...
Agora pelo Teorema da Extensão de Whitney (Veja Apêndice) aplicado f = 0 e d = ν em Ck existem funções de classe C1, fk : Rn → R tais que
fk= 0 em Ck Dfk= ν em Ck. Seja Sk = x∈ Rn; f k= 0, |Dfk| > 12 (k = 1, ...)
Pelo Teorema da Função Implícita Sk é uma subvariedade (n − 1)−dimensional de
classe C1. Claramente se tem C
k ⊂ Sk, e, isto finaliza a prova de (5.4).
Para a demonstração de (5.5) comece observando que pelo Lema (5.1)
Hn−1(B − Ci)≤ 2.3n−1|DχE|(B − Ci) <
2.3n−1
i
e assim é suficiente provarmos o resultado proposto para B ∩ Ci ou em outras palavras
para B ∈ Γn−1. Assuma portanto que B ⊂
[
k≥1
Ck e de fato B ⊂ C1. Pelo já mostrado
existe uma hipersuperfície de classe C1, S
1, com C1 ⊂ S1. Seja γ = Hn−1⌊S1. Dessa
forma, como S1 ∈ C1 segue das propriedades da Medida de Hausdorff que
lim
ρ→0ρ
1−nγ(B(x, ρ)) = w
n−1 para cada x ∈ B
lim ρ→0 γ(B(x, ρ)) Z B(x,ρ) |DχE| = 1 para cada x∈ B.
Dado que ambas γ e |DχE| são medidas de Radon, o Teorema de diferencição de
medidas de Radon assegura que |DχE|=Hn−1⌊∂∗E, ou seja
Z B |DχE|= γ(B) =Hn−1(B). Em particular Hn−1 (∂∗E∩ Ω) = Z ∂∗E∩Ω |DχE|.
Em contrapartida, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovitch o vetor ν(x) existe e |ν(x)| = 1, |DχE|−quase sempre em ∂E. Assim o conjunto ∂E − ∂∗E tem medida |DχE|−nula e
usando o Lema (2.2), ou seja, que spt(DχE)⊆ ∂E, vem que
Per(E, Ω) = Z Ω |DχE|= Z Ω∩∂E |DχE|= Z Ω∩∂∗E |DχE|.
Finalmente tome A um conjunto aberto tal que ∂∗E∩ A = ∅; então por (5.6)
Z
A
|DχE|= 0
Segue dessa forma que χE é constante em A e assim ∂E ∩ A = ∅. Portanto ∂∗E = ∂E
5.2.1 Conjuntos
contavelmente
rectificáveis
e
puramente
não-rectificáveis
A seguinte noção é fundamental em Teoria Geométrica da Medida
Definição 5.2. (Conjunto contavelmente rectificável) Seja Y um espaço métrico. Um conjunto E ⊂ Y é dito ser contavelmente Hn−rectificável se existir uma sequência
de aplicações Lipschitzianas fi : Ai → Y, Ai ⊆ Rn tais que
Hn
(E −[
i≥1
fi(Ai)) = 0
É muito frequente tomarmos sem perda de generalidade Ai = Rn se Y for um espaço
de Banach: Isto é possível pois via o Teorema de extensão de funções Lipschitzianas (Veja Apêndice) a igualdade acima é equivalente a
Hn
(E −[
i≥1
fi(Rn)) = 0
Definição 5.3. (Conjuntos Rectificáveis) Seja E ⊂ Rn um conjunto Hk−mensurável.
Diremos que E é contavelmente k−rectificável se existir uma sequência de aplicações Lipschitzianas fi : Rk → Rn tais que
E⊂[
i≥1
fi(Rk).
Finalmente, diremos que E é Hk−rectificável se E é contavelmente Hk−rectificável e
Hk
(E) < ∞.
Exemplo 5.2. (k−gráficos Lipschitz) Seja π ⊂ Rn um k−plano e φ : π → π⊥ uma
função Lipschitz. Seja
Γ :=x∈ Rn; φ(x) = π⊥x
o gráfico de φ. Então, escolhendo uma base ortonormal {e1, ..., en} de π e tomando
f(y) := n X i=1 yiei+ φ( n X i=1 yiei) , f : Rk→ Γ
obteremos que Γ é contavelmente k−rectificável. Pelo Teorema (2.2.2) (vi) concluímos que qualquer subconjunto compacto de Γ é Hk−rectificável.
Figura 5.1: O gráfico de uma função Lipschitz e o cone x + KπM, com M = Lip(f)
Definição 5.4. seja π ⊂ Rn um k−plano e M ≥ 0; o cone K
πM com eixo π e abertura
M é definido por
KπM; =
x∈ Rn; |π⊥x|≤ M|πx|
Note que KπM reduz-se a π se M = 0, e KπM − {0} ↑ (Rn− π⊥) quando M ↑ ∞.
Subconjuntos de um k−gráfico Lipschitz podem ser facilmente caracterizados como àqueles conjuntos S para os quais existem um k−plano π e uma constante M satisfazendo S ⊂
x + KπM para qualquer x ∈ S. De fato, se x1, x2 ∈ S então
|π⊥(x1− x2)|≤ M|π(x1− x2)|;
portanto πx1 = πx2 implicando que x1 = x2. Isto prova que para qualquer y ∈ π(S) existe
um único z ∈ π⊥ tal que y + z ∈ S; Ao tomarmos z = φ(y) obteremos que a constante de
Lipschitz de φ não excede M. A implicação recíproca é trivial.
Assim, sobre a concepção de conjuntos contavelmente rectificáveis em Rn temos
Teorema 5.2.2. (Conjuntos contavelmente rectificáveis em Rm) Um conjunto
E ⊂ Rm é contavelmente Hn−rectificável se, e somente se existe uma sequência de
subvariedades Mk, n− dimensionais de classe C1 tais que
Hn
(E − [
k≥1
Mk) = 0
Figura 5.2: Um conjunto rectificável 2−dimensional em R3 consistindo das superfícies geradas
por uma quantidade enumerável de bicicletas.
Paralelemente temos a seguinte Definição 5.5. Um conjunto E ⊂ Rn
Hm−mensurável é puramente m−não-rectificável
se E não contiver subconjuntos m−rectificáveis de medida Hm positiva.
Nota 5.1. Saliente que existe uma dicotomia entre conjuntos rectificáveis e puramente não-rectificáveis. Precisamente falendo, para qualquer subconjunto A ⊂ Rn
Figura 5.3: Um conjunto 1−dimensional puramente não-rectificável.
Hm−mensurável, ao usarmos o Princípio de Maximalidade de Hausdorff1, segue que
A = B∪ C, B ∩ C = ∅,
onde B é contavelmente m−rectificável e C é puramente m−não-rectificáveis em Rn.
Portanto, podemos concluir via as argumentações acima que a fronteira reduzida de um conjunto de Caccioppoli é um conjunto contavelmente Hn−rectificável e assim o Teorema
Estrutural de De Giorgi se reescreveria em linguagem mais sofisticada da seguinte forma: Teorema 5.2.3. (De Giorgi- Teorema Estrutural) Se E é um conjunto de Caccioppoli, então a fronteira reduzida é um conjunto contavelmente Hn−rectificável, ou
seja, ∂∗E =[ i≥1 Ci∪ N (5.14) onde Z N
|DχE|= 0 e cada Ci ∈ Γn−1 é compacto. Além disso, para todo conjunto B ⊆ ∂∗E
Z
B
|DχE|=Hn−1(B), (5.15)
para todo conjunto aberto Ω ⊆ Rn
Per(E, Ω) = Z Ω |DχE|=Hn−1(∂∗E∩ Ω) (5.16) e finalmente ∂∗E = ∂E (5.17)
ou seja, ∂∗E é denso ∂E
1
O Princípio de maximalidade ou maximal de Hausdorff é uma consequência do axioma da Escolha, o mesmo fora publicado pela primeira vez em um artigo em alemão de 1909, o qual não causou grande comoção em seu primeiro momento, senão até 1935 quando Max Zorn o publicou novamente:
Se em um conjunto parcialmente ordenado toda cadeia é limitada superiormente, o conjunto tem um elemento maximal.
Nota 5.2. Observemos também que ∂∗Eé um conjunto de Borel e a aplicação ν
E : ∂∗E →
Sn−1 é Hn−1−mensurável. De fato, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovith, existe ν E(x) e
|νE(x)| = 1 para x ∈ Rn |DχE|−quase sempre. Agora, como |DχE|=Hn−1⌊∂∗E segue que
νE : ∂∗E → Sn−1 é Hn−1−mensurável. Portanto temos que a Fórmula de Gauss-Green
para conjuntos de perímetro finito em Ω pode ser reescrita na seguinte forma Z E divϕdx = − Z ∂∗Ehν E, ϕidHn−1 ∀ ϕ ∈ C10(Ω; R n) Observação 5.2. Não se concretiza verdade o fato da fronteira reduzida ser um conjunto contavelmente Hn−1−rectificável, ou seja, a mesma ser escrita como uma união
enumerável de “pedaços” compactos de hipersuperfícies de classe C1 que por essa razão
esta venha a ser uma variedade regular de classe C1. Pois por exemplo conjuntos que
na literatura são conhecidos como Cantor-like sets ou memos conjuntos fractais (Self similar fractals) em geral são altamente singulares, porém os mesmos podem “repousar”, ou seja, estarem contidos em uma união enumerável de esferas, por exemplo, as quais são altamente regulares. Podemos citar o clássico esponja de Sierpinski o qual é um exemplo de um conjunto de dimensão fracionária. Sua dimensão de Hausdorff é de cerca de 2, 7, como fora exposto no capítulo II deste trabalho. Para mais informações sobre esse conjunto e conjuntos fractais consute Morgan [7], pag. 10.
5.3 Regularidade C
1da Fronteira Reduzida
Tratar-se-á nesta seção da regularidade C1 da fronteira reduzida, ∂∗E: serão expostos
resultados referentes a regularidade Lipschitz da fronteira topológica que servirá de subsíduo para a demonstração da reguridade da fronteira reduzida mediante juntamente a hipótese de continuidade do vetor normal generalizado νE.
Nota 5.3. Estaremos adotando a seguinte notação: Seja α = (α1, ..., αn) um vetor
unitário no Rn. Então denotaremos D α=
n
X
i=1
αiDi.
Lema 5.2. Seja E ⊂ Ω um conjunto de Caccioppoli, e, sejam z ∈ Ω e ρ > 0 e suponha que existe um número τ > 0 tal que, para todo t com 0 < t < τ, a bola B(z + tα, ρ) está estritamente contida em Ω. Então
|E∩ B(z + tα, ρ)| − |E ∩ B(z, ρ)| = Zτ 0 dt Z B(z+tα,ρ) DαχE. (5.18)
Proof: Suponha que g ∈ C∞
0 (Ω) e sptg(x − tα) ⊂⊂ Ω para todo t < τ; então pelo
Teorema Fundamental do Cálculo e aplicações dos Teoremas de Fubini e Gauss-Green vem que Z E [g(x − tα) − g(x)]dx = − Z E dx Zτ 0 Dαg(x − tα)dt = − Zτ 0 dt Z χEDαg(x − tα)dx = Zτ 0 dt Z g(x − tα)DαχE
Agora para k suficientemente grande podemos escolher funções gk ∈ C∞0 (Ω) tais que
0≤ gk≤ 1, gk = 1 em B(z, ρ −
1
k) e sptgk⊂ B(z, ρ). (Tais funções são em geral funções de corte ou partições da unidade). Se escrevermos a equação acima para cada gk e então
passando o limite obteremos
|E∩ B(z + tα, ρ)| − |E ∩ B(z, ρ)| = Zτ 0 dt Z B(z+tα,ρ) DαχE
e assim segue o resultado.
Observação 5.3. A interpretação do Lema acima nos diz que é possível ter uma representação integral mais fraca da Fórmala da Coárea desde que B(z + tα, ρ) ⊂ Ω estritamente, para todo 0 < t < τ, para algum τ > 0 inicialmete obtido. Tal representação classicamente é conhecida para variedades C1 ou mesmo para conjuntos
com bordo Lipschitz.
Lema 5.3. Seja E ⊂ Ω um conjunto de Caccioppoli e suponha que existem um vetor α∈ Rn e p > 0 tal que ν(x).α = lim ρ→0 Z B(x,ρ) DαχE Z B(x,ρ) |DαχE| ≥ p > 0 (5.19)
para x ∈ Ω |DχE|−quase sempre. Suponha que z ∈ ∂E ∩ Ω e k > 0 é tal que o segmento
[z, z + kα] ⊆ Ω. Então z + kα é interior a E.
Proof: Suponha por contradição que exista um z∈ ∂E ⊆ Ω e um k > 0 tal que [z, z + kα] ⊆ Ω, mas [z, z + kα] não interior a E. Mostraremos primeiro que [z, z + kα] ⊆ ∂E. Suponha existir um ponto z+tα ∈ Ω−E; então escolha ρ > 0 tal que B(z+τα, ρ) ⊆ Ω−E.
Então do Lema (5.2) anterior e da desigualdade (5.19) 0≤ Zτ 0 dt Z B(z+tα,ρ) DαχE = |E∩ B(z + τα, ρ)| − |E ∩ B(z, ρ)| = −|E ∩ B(z, ρ)| < 0
o que produz uma contradição.
Alternativamente, suponha que exista um ponto z + τα ∈ E − ∂E e que z + kα ∈ ∂E. Escolha ρ > 0 tal que B(z + τα, ρ) ∩ E = B(z, ρ). Do Lema (5.2) anterior
E∩ B(z + kα, ρ)| − |E ∩ B(z + τα, ρ)| = Zk τ dt Z B(z+τα,ρ) DαχE ≥ 0.
Porém, pela escolha de ρ, |E ∩B(z+τα, ρ)| = wnρn e por (4.1), dado que z + kα ∈ ∂E,
|E∩ B(z + kα, ρ)| < wnρn e assim temos uma contradição. Assim [z, z + kα] ⊆ ∂E.
O Lema ficará demonstrado ao mostrarmos que essa hipótese também gera uma contradição.
Escolha ρ0 de sorte que B(z + tα, ρ) ⊆ Ω para cada ρ ≤ ρ0 e cada 0 < t < k. Então,
pela definição de ν e DαχE e pelo Teorema (5.2.1),
Z B(z+tα,ρ) DαχE = Z B(z+tα,ρ) ν.α|DχE|≥ p Z B(z+tα,ρ) |DχE|, por (5.19).
O Lema (4.2) asseguram que Z
B(z+tα,ρ)
|DαχE| > C3ρn−1 para cada 0 < t < k e cada
0 < ρ ≤ ρ0. Agora de (5.18), (5.19) e da sentença acima temos
|E∩ B(z + kα, ρ)| − |E ∩ B(z, ρ)| = Zk 0 dt Z B(z+tα,ρ) DαχE≥ kpC3ρn−1.
Porém o lado esquerdo é limitado superiormente por wnρn e dessa forma obteremos
wn≥
kpC3
ρ → ∞
, ou seja, uma contradição quando ρ → 0.
Observação 5.4. Se a hipótese do lema é verificada para k < 0 em vez de k > 0, então o mesmo argumento mostra que z + kα está no interior de Rn− E.
O Lema acima nos diz que se existir um vetor α ∈ Rn que faz um ângulo positivo com
o normal exterior (no sentido geométrico da medida) e um ponto z ∈ ∂E ∩ Ω e k > 0 de sorte que o segmento [z, z + kα] ⊆ Ω então é possível se deslocar na direção de α sem sair do conjunto E, ou seja, teremos nessas circunstâncias z + kα ∈ int(E), e, analogamente
para k < 0 ter-se-á z − kα ∈ int(Ec) = Rn− E.
5.3.1 Representação localmente Lipschitz de
∂E
Como |ν(x)| = 1 |DχE|− quase sempre, então o mesmo é limitado |DχE|− quase
sempre. Almejamos mostrar que se a direção de ν(x) não varia muito então o conjunto E tem fronteira localmente Lipschitz. Como tais propriedades são invariantes por isometrias lineares, poderemos aplicar uma rotação no conjunto E, se necessário o for, e simplismente considerar o caso onde ν(x) está próximo do eixo dos xn.
Teorema 5.3.1. (De Giorgi - Representação localmente Lipschitziana de ∂E) Sejam Ω ⊂ Rn aberto e convexo e E ⊂ Ω um conjunto de Caccioppoli. Suponha que
νn(x) = lim ρ→0 Z B(x,ρ) DχE Z B(x,ρ) |DχE| ≥ q > 0
para alguma constante fixada q e x ∈ Ω |DχE|−quase sempre. Então existe um conjunto
aberto A ⊆ Rn−1 e uma função f : A → R tal que
∂E∩ Ω = {(y, t); y ∈ A, t = f(y)} (5.20) Além disso,
|f(x) − f(y)|≤ q−1p1 − q2|x − y| ∀ x, y ∈ A. (5.21)
ou seja, localmente ∂E ∩ Ω se escreve como o gráfico de uma função Lipschitziana de n − 1 variáveis.
Proof Seja α = (α1, ..., αn) vetor unitário com αn > 0; então
DαχE = αnDnχE+ n−1 X i=1 αiDiχE ≥ (αnq − p (1 − αn2)(1 − q2))|DχE|.
Segue portanto que se αn >
p
(1 − q2) poderemos concluir pelo Lema (5.3) anterior
que, para todo z ∈ ∂E∩Ω, pontos em Ω da forma z+tα com t > 0 pertencem ao interior de E , e, aqueles da forma z − tα pertencem ao interior de Rn− E. Em resumo, para todo
z ∈ ∂E ∩ Ω, a interseção de Ω com o cone
C = x ∈ R n ; (xn− zn) > q−1 p (1 − q2) "n−1 X i=1 (xi− zi)2 #1 2
está no interior de E, e a interseção de Ω com o cone C′ = x∈ R n ; (xn− zn) > −q−1 p (1 − q2) "n−1 X i=1 (xi − zi)2 #1 2
é interior a Rn − E. Destes argumentos as equações (5.20) e (5.21) seguem
imediatamente2.
E
A
Observação 5.5. Se Ω = Bρ podemos fazer o Teorema acima um pouco mais preciso,
no mínimo supondo-se que q está bem proximo de 1 e que ∂E ∩ B(0, (1 − q)ρ) 6= ∅. Em resumo, podemos assuimir que ν(x) está sempre próximo do eixo xn e que ∂E está próximo
do centro da bola Bρ. Por simplicidade escreveremos q = 1 − σ e, para r > 0 denotaremos
Br = {y∈ Rn−1; |y| < r}
Proposição 5.1. (De Giorgi) Seja E⊂ Bρ um conjunto de Caccioppoli tal que
νn(x)≥ 1 − σ
para x ∈ Bρ |Dχ|−quase sempre, onde ε =
2√2σ 1 − σ <
1
2, 0 < 2σ < 1 e suponha que ∂E∩ Bσρ 6= ∅. Então, se f e A são como no Teorema (5.3.1) anterior,
A⊇ B(1−ε)ρ (5.22)
e
|f(y)|≤ ερ, |Df(y)| ≤ ε
2 ∀ y ∈ B(1−ε)ρ (5.23)
2
Geometricamente uma função f é Lipschitz contínua quando é possivel em cada ponto f(x) de seu gráfico colocarmos um cone de vértice nesse ponto de sorte que o gráfico da função não visita o epigrafo do cone, em outras palavras, o gráfico da função se encontra totalmente no exterior do cone.
Proof: Temos q−1p(1 − q2) = (1 − σ)−1p2σ − σ2 ≤ √ 2σ 1 − σ = ε 2
Pelo Teorema de Rademacher (Veja Apêndice) f é diferenciável Ln− quase sempre,
portanto
|Df(y)|≤ Lip(f) ≤ q−1p(1 − q2)≤ ε
2.
Tome agora z = (η, f(η)) ∈ ∂E ∩ Bσρ; então temos ambos |η| < σρ e |f(η)| < σρ , e,
dessa forma se y ∈ A, |f(y)|≤ |f(η)| + |f(y) − f(η)| < σρ + ε 2(|y| + |η|) < σρ + ε 2(ρ + σρ) = ρ σ + ε 2 + σε 2
Porém, σε = ε −√2σ, de modo que
|f(y)|≤ ρ(ε + σ −√2σ)≤ ερ dado que ρ(σ −√2σ)≤ 0 pela escolha de σ.
Dessa forma somente nos resta demonstrar (5.22). Naturamente, pela condição sobre σ, σ+ε < 1 ⇔ σρ < (1−ε)ρ, e assim Bσρ⊆ B(1−ε)ρ. Se η é um ponto em A determinado
como acima, então η ∈ A∩Bσρ logo A∩B(1−ε)ρ 6= ∅. Agora para finalizar a demonstração
de (5.22) basta mostrar que ∂A ∩ B(1−ε)ρ =∅. Suponha que y ∈ ∂A; então naturalmente
por (5.20) e (5.21) necessariamente temos (y, f(y)) ∈ ∂Bρ e segue que |y| + |f(y)| ≥ ρ.
Porém pela estimativa acima
|f(y)|≤ ρ(ε + σ −√2σ) e dessa forma
|y| ≥ ρ(1 − ε +√2σ − σ) > (1 − ε)ρ
Observação 5.6. Segue de maneira natural da demonstração do Teorema (5.3.1), que dado
∂E∩ Ω = {(y, t); y ∈ A, t = f(y)} então se E é aberto
E∩ Ω = Ω ∩ {(y, t); y ∈ A, t > f(y)}.
Além disso, como f é uma função Lipschitz contínua, a mesma é diferenciável quase sempre em A pelo Teorema de Rademacher (Veja Apêndice) e assim semelhantemente ao
exemplo (4.3) (i), ν(x) será normal à superfície em quase todos os pontos e νi(x) = Dif(y) p 1 + |Df(y)|2 i = 1, ..., n − 1 νn(x) = 1 p 1 + |Df(y)|2
onde x = (y, f(y))
Teorema 5.3.2. (De Giorgi - Regularidade C1 de ∂∗E) Seja E ⊂ Ω um conjunto
de Caccioppoli tal que ν(x) existe para todo x ∈ ∂E ∩ Ω e o mesmo é contínuo. Então ∂E∩ Ω é uma hipersuperfície de classe C1.
Proof: Sabemos por definição que |ν(x)| = 1 em ∂∗E e que segundo o Teorema
Estrutural (5.2.1) ∂∗E = ∂E. Portanto, como ν(x) é contínua, temos via argumento de
aproximação (densidade) que |ν(x)| = 1 em todos os pontos de ∂E. Do Teorema (5.3.1) segue que, para todo z ∈ ∂E ∩ Ω, existe uma bola tal que ∂E ∩ B tem uma representação como uma função Lipschitz contínua f. Pela observação (5.6) temos para quase todo y
Dif(y) =
νi(x)
νn(x)
,
onde x = (y, f(y)). Portanto a derivada de f coincidirá em quase todos os pontos com uma função contínua e assim f será necessariamente uma função de classe C1.
Exemplo 5.3. Seja u ≥ 0 definida na bola unitária B1 ⊂ Rn. Suponha ∆u = dµ para
alguma medida de Radon µ não-negativa com spt(µ) ⊂ {u = 0}. Então podemos inferir que
i. Supondo também que µ(Br(x))≤ Λrn−1 para algum Λ > 0 e para x ∈ spt(µ). Então u é Lipschitz no interior de B1;
ii. Se λrn−1 ≤ µ(Br(x)) ≤ Λrn−1 para λ, Λ > 0 e x ∈ spt(µ). Então o conjunto {x ∈ B1; u(x) > 0} tem perímetro localmente finito no interior de B1, ou seja, o
mesmo é um conjunto de Caccioppoli.
iii. Pode-se dar uma estimativa aproximada de Hn−1(∂∗{u > 0}∩ B1
2) do item anterior,
segundo os resultaodos da teoria temos
Hn−1
(∂∗{u > 0}∩ Br
2)≤ C(n, λ, Λ)r
O exemplo acima faz referência a Teoria de Regularidade Elíptica, em particular a regularidade da fronteira livre. Para mais informações e detalhes sobre esta teoria consulte Caffarelli-Salsa [87], Caffarelli [88] e Teixeira [45].