Teorema 2.2.13. Seja (X,M, µ) um espa¸co de medida σ-finito tal que L2(X) ´e sepa-
r´avel. Se K∈ L2P D(X), ent˜ao K ´e auto-adjunto, do tipo Hilbert-Schmidt e compacto.
Em particular, as conclus˜oes do Teorema 1.5.2 valem para K.
Demonstra¸c˜ao: ComoK ≥ 0 e o corpo envolvido ´e C, pelo Teorema 1.4.17 segue que K ´e auto-adjunto. O restante segue do Teorema 1.6.2 e do Teorema 1.6.3.
O corol´ario seguinte serve de motiva¸c˜ao para a pr´oxima se¸c˜ao.
Corol´ario 2.2.14. Sob as condi¸c˜oes do Teorema 2.2.13 o n´ucleo K admite uma ex- pans˜ao L2(X × X)-convergente na forma
K =
∞
X
n=1
λn(K)φn⊗ φn,
onde o conjunto{φn} ´e L2(X)-ortonormal e cada φn ´e uma autofun¸c˜ao do operador K
associada ao respectivo autovalor n˜ao-negativo λn(K).
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao deste corol´ario segue do Teorema 1.6.6.
2.3
Representa¸c˜ao de n´ucleos
L
2-positivos definidos
Nesta se¸c˜ao, assumindo-se que D ´e um subconjunto ∂-mensur´avel e fechado de Rm bem como outras hip´oteses, caracterizamos os n´ucleos de L2P D(D)∩ C(D × D)por s´eries que s˜ao L2(D× D), absoluta e uniformemente convergentes. As ferramentas
b´asicas s˜ao a Observa¸c˜ao 2.2.11 e o Teorema 2.2.13. Come¸camos com algumas defini¸c˜oes de classes de fun¸c˜oes e n´ucleos que aparecem na se¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.3.1. Seja X um subconjunto de Rm e V um espa¸co vetorial normado. Se
X ´e ilimitado, indicamos por Co(X, V ) o conjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas f : X → V
que se anulam no infinito, ou seja, que satisfazem lim|x|→∞f (x) = 0 em V . Se X ´e
limitado, escrevemos Co(X, V ) := C(X, V ).
No caso em que V = C, escrevemos Co(X, V ) = Co(X).
Se K : X× X → C ´e um n´ucleo qualquer e x ∈ X, escrevemos Kx para denotar
a fun¸c˜ao Kx : X → C dada por Kx(y) := K(x, y), y ∈ X. Similarmente, para y ∈ X
fixo, definimos a fun¸c˜ao Ky : X → C dada por Ky(x) := K(x, y), x∈ X.
Defini¸c˜ao 2.3.2. Seja X um subconjunto mensur´avel de Rm. Dizemos que um n´ucleo
K : X× X → C ´e suave quando:
(i) Kx ∈ L2(X), x ∈ X, e Ky ∈ L2(X), y ∈ X;
Co(X, L2(X));
(iii) K ∈ Co(X × X).
Observa¸c˜ao 2.3.3. Nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao, a fun¸c˜ao x ∈ X 7→ kKxkL2(X) ´e um
elemento de Co(X). De fato, a continuidade da fun¸c˜ao segue da desigualdade trian-
gular e da continuidade de x ∈ X 7→ Kx ∈ L2(X). Se X ´e ilimitado, a igualdade
lim|x|→∞kKxkL2(X) = 0 segue do item (ii) da defini¸c˜ao e da continuidade da norma.
O pr´oximo teorema ´e o principal resultado da se¸c˜ao. ´E uma vers˜ao multidimensional de resultado an´alogo provado em [28]. Antes do teorema, enunciamos e provamos as etapas t´ecnicas necess´arias na prova do mesmo.
Lema 2.3.4. Seja K : X × X → C um n´ucleo suave. Ent˜ao a imagem do operador
integral associado K ´e um subconjunto de Co(X).
Demonstra¸c˜ao: Isto segue da igualdade K(φ)(x) = Z X K(x, y)φ(y) dy = Z X φ(y)Kx(y) dy = Hφ◦ Kx, φ∈ L2(X),
onde Hφ(ψ) =hφ, ψi, ψ ∈ L2(X), e do item (ii) da defini¸c˜ao.
Lema 2.3.5. Seja D um subconjunto ∂-mensur´avel de Rm. Seja K : D× D → C um
n´ucleo suave cujo operador integral associado K possui uma representa¸c˜ao espectral
L2(D)-convergente na forma K(f) = ∞ X n=1 λn(K)hf, φniφn, f ∈ L2(D),
onde {φn} ´e um subconjunto ortonormal de L2(D) e {λn(K)} ⊂ [0, ∞) ´e a seq¨uˆencia
de autovalores de K. Ent˜ao a s´erie
∞
X
n=1
λn(K)|φn(x)|2, x∈ D,
converge absolutamente em D. Em particular
0≤
∞
X
n=1
λn(K)|φn(x)|2 ≤ K(x, x), x ∈ D.
Demonstra¸c˜ao: Podemos assumir, sem perda de generalidade, que λn(K) > 0, n =
1, 2, . . .. Fixemos p≥ 1 e consideremos o n´ucleo Kp dado por
Kp(x, y) = K(x, y)− p
X
n=1
2.3 Representa¸c˜ao de n´ucleos L2-positivos definidos 31
O fato de K ser suave e o Lema 2.3.4 mostram que Kp ∈ Co(D×D). Se Kp ´e o operador
integral com n´ucleo Kp, podemos utilizar o Teorema de Fubini e o Teorema 1.4.2 para
obter hKp(f ), fi = Z D " Z D Ã K(x, y)− p X 1 λn(K)φn(x)φn(y) ! f (y) dy # f (x) dx = Z D Ã ∞ X n=1 λn(K)hf, φniφn(x) ! f (x) dx − p X n=1 Z D Z D λn(K)φn(x)φn(y)f (y)f (x) dy dx = ∞ X n=p+1 λn(K)|hf, φni|2, f ∈ L2(D).
Em particular, hKp(f ), fi ≥ 0, f ∈ L2(D), ou seja, Kp ´e um operador positivo. Pela
Observa¸c˜ao 2.2.11, Kp(x, x) ≥ 0, x ∈ D. Logo, como p ´e arbitr´ario, segue que
0≤
∞
X
n=1
λn(K)|φn(x)|2 ≤ K(x, x) < ∞, x ∈ D.
A prova est´a completa.
Lema 2.3.6. Assuma que as hip´oteses do Lema 2.3.5 valem e que D ´e fechado. Fixado
x∈ D, a s´erie
∞
X
n=1
λn(K)φn(x)φn(y),
converge absoluta e uniformemente em D para a fun¸c˜ao cont´ınua Bx dada por Bx(y) :=
B(x, y), y∈ D. A mesma conclus˜ao ´e v´alida trocando-se a ordem das vari´aveis. Demonstra¸c˜ao: A suavidade de K garante que M = maxy∈DK(y, y) <∞. Utilizando
a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o Lema 2.3.5 deduzimos que para 1≤ p ≤ q, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q X n=p λn(K)φn(x)φn(y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≤ M q X n=p λn(K)|φn(x)|2, x, y ∈ D,
conseq¨uentemente, pelo crit´erio de Cauchy ([35, p.147]), a convergˆencia da s´erie P∞
n=1λn(K)|φn(x)|2 implica na convergˆencia da s´erie ∞
X
n=1
em D× D, absolutamente em x e uniformemente em y. Sendo assim, fixado x ∈ D, sua soma Bx(y) = B(x, y) ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a y, pelo Teorema 1.2.4. De maneira
an´aloga, conclu´ımos que, fixado y ∈ D, B(x, y) ´e cont´ınua em rela¸c˜ao a x.
Note que o lema anterior continua v´alido se trocarmos a hip´otese “D fechado” por “K ´e limitado”.
Teorema 2.3.7. Seja D um subconjunto ∂-mensur´avel e fechado de Rm. Seja K : D×
D→ C um n´ucleo suave cujo operador integral associado K possui uma representa¸c˜ao
espectral L2(D)-convergente na forma
K(f) =
∞
X
n=1
λn(K)hf, φniφn, f ∈ L2(D),
onde{φn} ´e um subconjunto ortonormal de L2(D) e a seq¨uˆencia{λn(K)} de autovalores
de K ´e um subconjunto de um setor circular de ˆangulo < π e v´ertice na origem de C. Ent˜ao a s´erie
∞
X
n=1
λn(K)φn(x)φn(y)
converge absoluta e uniformemente para K em D× D. Ainda, se λn(K) ´e n˜ao-nulo,
ent˜ao φn∈ Co(D).
Demonstra¸c˜ao: Vamos demonstrar o teorema usando um operador integral auxiliar. Para tanto, escolhamos α∈ [0, 2π] de modo que os autovalores
αn = eiαλn(K) := α1n+ iα2n, n = 1, 2, . . . ,
do operador P := eiαK estejam em um setor circular limitado pelos raios t = ±ls,
s ≥ 0, para algum l > 0. O operador T := (P + P∗)/2 tem, pelo Corol´ario 1.4.9, forma
espectral T (f ) = ∞ X n=1 α1n(T )hf, φniφn, f ∈ L2(D), com α1
n(T ) = α1n ≥ 0. Ele ´e um operador integral com n´ucleo
L(x, y) = e
iαK(x, y) + e−iαK(y, x)
2 ,
que ´e suave. Pelo Lema 2.3.6 conclu´ımos que, para cada x∈ D fixo, a s´erie
∞
X
n=1
2.3 Representa¸c˜ao de n´ucleos L2-positivos definidos 33
converge absoluta e uniformemente para uma fun¸c˜ao cont´ınua Bx(y) = B(x, y), y ∈ D.
O pr´oximo passo da prova consiste em concluir que B(x, y) = L(x, y), x, y ∈ D. Feito isso a convergˆencia uniforme da s´erie
∞
X
n=1
α1nφn(x)φn(y), x, y ∈ D,
seguir´a. Aplicando a desigualdade de Bessel e a Observa¸c˜ao 2.3.3 obtemos
∞ X n=1 (α1n)2|φn(x)|2 = ∞ X n=1 |hφn, Lxi|2 ≤ kLxk2L2(D)≤ max x∈D{kLxk 2 L2(D)} < ∞. (2.2)
Logo, pelo Teorema de Riesz-Fisher, conclu´ımos que
∞
X
n=1
(α1nφn(x))φn ∈ L2(D), x∈ D,
ou seja, Bx ∈ L2(D), x∈ D. Al´em disso, pelo Teorema 1.4.2, vale
Z D B(x, y)f (y)dy = ∞ X n=1 α1 nhf, φniφn(x), f ∈ L2(D), x∈ D.
A s´erie acima converge uniformemente, pois, pelas desigualdades de Cauchy-Schwarz e Bessel e as estimativas acima,
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q X n=p α1nφn(x)hf, φni ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≤ q X n=p (α1n)2|φn(x)|2 q X n=p |hf, φni|2 ≤ max x∈D{kLxk 2 L2(D)} q X n=p |hf, φni|2.
Voltando `a defini¸c˜ao de T , notamos agora que Z
D
[L(x, y)− B(x, y)] f(y) dy = 0, x ∈ D, f ∈ L2(D).
Fixado x∈ D, as fun¸c˜oes B(x, ·) e L(x, ·) coincidem quase sempre. Como D n˜ao possui pontos isolados, tem medida positiva e as fun¸c˜oes acima s˜ao cont´ınuas em y, temos que B(x,·) = L(x, ·), x ∈ D. Em particular, B(x, x) = L(x, x) = ∞ X n=1 α1n|φn(x)|2, x∈ D.
Sendo assim, para cada x∈ D, a seq¨uˆencia {Bp(x, x)} = {Ppn=1xn|φn(x)|2} ´e mon´o-
as autofun¸c˜oes φn de T associadas aos autovalores n˜ao nulos s˜ao elementos de Co(D).
Logo, as fun¸c˜oes x ∈ D 7→ Bp(x, x) e x ∈ D 7→ L(x, x) s˜ao elementos de Co(D). Por-
tanto, pelo Teorema 1.2.3 e pelo Teorema de Dini, a s´erie da igualdade acima converge uniformemente em D. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz para escrever
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q X n=p α1nφn(x)φn(y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≤ q X n=p α1n|φn(x)|2 q X n=p α1n|φn(y)|2, q≥ p,
conclu´ımos que a s´erie dupla (2.1) converge absoluta e uniformemente para L em D×D. A convergˆencia da s´erie do enunciado pode agora ser analisada. Usando a estimativa
|αn|2 =|λn(K)|2 = (α1n)2+ (α2n)2 ≤ (α1n)2(1 + l2), n = 1, 2, . . . ,
e a desigualdade de Cauchy-Schwarz mais uma vez, obtemos (para q ≥ p ≥ 1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ q X n=p λn(K)φn(x)φn(y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≤ (1 + l2) q X n=p α1n|φn(x)|2 q X n=p αn1|φn(y)|2.
Logo, a convergˆencia da s´eria dupla ´e absoluta e uniforme em D× D. Sua soma G ´e necessariamente um elemento de Co(D× D). Agora, repetindo o racioc´ınio empregado
na conclus˜ao da igualdade entre B e L para os n´ucleos G e K, a partir da equa¸c˜ao (2.2), conclu´ımos que G = K em D× D. A prova est´a completa.
Terminamos esta se¸c˜ao com uma vers˜ao mais fraca do teorema anterior, j´a adaptada ao contexto do trabalho.
Teorema 2.3.8. Seja D um subconjunto ∂-mensur´avel e fechado de Rm. Se K ∈
L2P D(D) ´e um n´ucleo suave, ent˜ao valem as seguintes afirma¸c˜oes:
(i) ImK ⊂ Co(D)∩ L2(D).
(ii) K ´e represent´avel por uma s´erie L2(D×D), absoluta e uniformemente convergente
da forma K(x, y) = ∞ X n=1 λn(K)φn(x)φn(y), x, y ∈ D,
sendo {φn} um conjunto L2(D)-ortonormal e λ1(K) ≥ λ2(K) ≥ · · · ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao: Utilizando o Teorema 2.2.13 e o Cor´ol´ario 1.5.3 temos que K ´e represent´avel por uma s´erie L2(D)-convergente da forma
K(f) =
∞
X
n=1
λn(K)hf, φniφn, f ∈ L2(D),
onde {λn(K)} s˜ao os autovalores (n˜ao-negativos) de K e {φn} ´e uma base L2(D)-
ortonormal de autofun¸c˜oes de K. Logo, os itens (i) e (ii) seguem do Lema 2.3.4 e do Teorema 2.3.7.