Decaimento dos autovalores de operadores integrais gerados por núcleos positivos...

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Decaimento dos autovalores de operadores

integrais gerados

por n´

ucleos positivos definidos

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Decaimento dos autovalores de operadores

integrais gerados

por n´

ucleos positivos definidos

1

Jos´e Claudinei Ferreira

Orientador: Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

“ VERS ˜

AO REVISADA AP ´

OS DEFESA

_”

Data da Defesa: 11/02/2008

Visto do Orientador:

USP - S˜ao Carlos Fevereiro/2008

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(7)

Agradecimentos

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Resumo

Inicialmente, estudamos alguns resultados clássicos da teoria dos núcleos positivos definidos e alguns resultados pertinentes. Es-tudamos em seguida, o Teorema de Mercer e algumas de suas gene-raliza¸cões e conseqüências, incluindo a caracteriza¸cão da trans-formada de Fourier de um núcleo positivo definido com dom´ınio

Rm_×_Rm_,_m _≥_{1. O trabalho traz um enfoque especial nos n´}_ucleos

cujo dom´ınio ´e um subconjunto n˜ao-compacto deRm_×_Rm_{, uma}

(10)

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Abstract

Firstly, we study some classical results from the theory of posi-tive definite kernels along with some related results. Secondly, we focus on generalizations of Mercer’s theorem and some of their im-plications. Special attention is given to the cases where the domain of the kernel is not compact, once the other cases are considered consistently in the literature. We include a characterization for the Fourier transform of a positive definite kernel onRm_×_Rm_,_m_≥_1.

(12)

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Fun¸cões e núcleos positivos definidos são muito utilizados em vários ramos da Matemática, tais como Análise de Fourier, Teoria dos Operadores, Teoria de Pro-babilidades, Problemas de Valores de Contorno para Equa¸cões Diferenciais Parciais, Teoria da Aproxima¸cão, entre outros, cada contexto exigindo uma formula¸cão ade-quada para o conceito. Este é antigo e provavelmente tem suas origens na Teoria dos Operadores Integrais. A referência [2] contém material introdutório sobre os núcleos positivos definidos enquanto que o artigo [39], apesar de antigo, apresenta uma re-visão histórica do assunto, descrevendo vários contextos onde eles são empregados. Sua utiliza¸cão em Teoria da Aproxima¸cão pode ser ratificada em [8, 36, 37].

Neste trabalho analisamos propriedades espectrais de operadores integrais definidos por núcleos positivos definidos em X _× X, onde X é um subconjunto Lebesgue-mensurável deRm_, _m_≥_{1. No caso em que}_X _{é compacto, muitas propriedades destes}

operadores podem ser encontradas na literatura. Um exemplo disto é o já antigo Teo-rema de Mercer e suas generaliza¸cões ([20, 26, 28]). Os resultados mais recentes de que temos not´ıcia são aqueles descritos nas referências [3, 4, 5, 6, 7, 9], entre outras, onde o contexto inclui apenas o caso m = 1 mas permite que o subconjunto X seja não compacto. Nestes artigos, três questões fundamentais são consideradas:

(i) se X é não-compacto, estabelecer condi¸cões sobre o núcleo gerador do operador integral de modo que a conclusão do Teorema de Mercer original ainda vale em algum sentido.

(ii) no caso em que X = R_{, assumindo-se que o Teorema de Mercer ´e v´alido, obter}

informa¸c˜oes sobre a transformada de Fourier do n´ucleo gerador.

(iii) assumindo-se alguma condi¸c˜ao de suavidade sobre o n´ucleo gerador do operador, analisar o decaimento dos autovalores do operador integral.

Neste trabalho pretendemos obter generaliza¸cões dos resultados acima para o caso em queXé um subconjunto deRm_,_m_≥_{1, incluindo o caso em que}_X_{é não-compacto.}

(14)

O trabalho pr´opriamente dito divide-se nas seguintes partes:

No Cap´ıtulo 1 apresentamos os resultados técnicos utilizados no trabalho; os resultados clássicos de Análise Funcional são descritos já adaptados ao contexto.

No Cap´ıtulo 2, inicialmente apresentamos duas formula¸cões para o conceito de po-sitividade definida, analisando poss´ıveis rela¸cões entre elas. Em um segundo estágio, demonstramos uma versão do Teorema de Mercer, já adaptada aos dom´ınios que con-sideramos aqui, analisando algumas rela¸cões entre núcleos positivos definidos e sua transformada de Fourier.

No Cap´ıtulo 3 analisamos o decaimento dos autovalores de operadores integrais asso-ciados a n´ucleos positivos definidos, estendendo resultados da literatura para o caso multidimensional.

(15)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao xiii

1 Preliminares 1

1.1 Matrizes n˜ao-negativas definidas . . . 1

1.2 Alguns resultados de topologia e an´alise . . . 2

1.3 Alguns resultados da teoria da medida . . . 7

1.4 Espa¸cos de Banach e de Hilbert . . . 10

1.5 Um pouco de teoria espectral . . . 14

1.6 Operadores do tipo Hilbert-Schmidt . . . 15

1.7 Transformada de Fourier . . . 19

2 N´ucleos Positivos Definidos 21 2.1 N´ucleos positivos definidos . . . 21

2.2 N´ucleos L2_{-positivos definidos . . . .} ₂₅

2.3 Representa¸c˜ao de n´ucleos L2_{-positivos definidos . . . .} ₂₉

2.4 N´ucleos L2_{-positivos definidos: generaliza¸c˜oes . . . .} ₃₅

2.5 N´ucleos L2_{-positivos definidos: caracteriza¸c˜ao . . . .} ₄₀

2.6 N´ucleos L2_{-positivos definidos e a Transformada de Fourier . . . .} ₄₇

3 Decaimento de autovalores 57 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 57

3.2 Aproxima¸c˜ao por operadores de posto finito . . . 58

3.3 A raiz quadrada de um operador . . . 59

3.4 Operadores de posto finito . . . 62

3.5 N´ucleos lipschitzianos . . . 66

3.6 N´ucleos diferenci´aveis . . . 70

3.7 An´alise das estimativas . . . 79

(16)

3.8 Considera¸c˜oes finais . . . 82

Referˆencias Bibliogr´aficas 83

(17)

Cap´ıtulo

1

Preliminares

Este cap´ıtulo contém resultados básicos, clássicos e técnicos utilizados no trabalho. Enquanto alguns são enunciados em sua formula¸cão mais geral, outros mais técnicos já aparecem descritos na maneira como serão empregados.

O critério adotado para a inclusão ou não de demonstra¸cão dos resultados foi baseado no número de fontes encontradas para os mesmos. Havendo mais de uma referência onde o resultado aparece, optamos pela não inclusão de demonstra¸cão do mesmo.

1.1 Matrizes n˜

ao-negativas definidas

Uma das formula¸cões de positividade definida recai no conceito de positividade definida para matrizes. Tal conceito é estudado detalhadamente em [17], uma referência sólida para a teoria de matrizes e suas aplica¸cões. O s´ımboloAn×n denota uma matriz

gen´erica de ordemncom entradas emC_{enquanto que}_x_,_x_∈Cn_{, corresponde ao vetor}

obtido dex, conjugando-se cada uma de suas coordenadas.

Defini¸cão 1.1.1. Uma matriz An×n é não-negativa definida quando

xAxT _≥0, x_∈Cn_.

Propriedades 1.1.2. SejaAn×numa matriz n˜ao-negativa definida. Valem as seguintes

afirma¸c˜oes:

(i) Qualquer submatriz principal de Aé não-negativa definida; (ii) Todo autovalor de A é não-negativo;

(18)

(iii) As entradas na diagonal principal de A s˜ao todas n˜ao-negativas; em s´ımbolos,

Aii ≥0,i= 1,2, . . . , n;

(iv) O tra¸co de A, denotado por tr(A), ´e n˜ao-negativo. Ainda, se S _{⊂ {}1,2, . . . , n_}

é não-vazio e A(S) é a matriz obtida de A, excluindo-se as linhas e as colunas de A

correspondentes aos ´ındices de _{1,2, . . . , n_{} \}S, então tr(A(S)) é não-negativo; (v) Se S _{⊂ {}1,2, . . . , n_} é não-vazio, então o determinante deA(S) é não-negativo; (vi) Aé hermiteana, ou seja, Aij =Aji,i, j = 1,2, . . . , n.

1.2 Alguns resultados de topologia e an´

alise

Come¸camos com os resultados cl´assicos de Weierstrass ([27, p.167]) e Dini ([23, p.211]).

Teorema 1.2.1 (Weierstrass). Se X ´e um espa¸co topol´ogico compacto e f :X_→R

´e cont´ınua, ent˜ao existem x0, x1 ∈X tais que f(x0)≤f(x)≤f(x1), x∈X.

Teorema 1.2.2 (Dini). SejamX um espa¸co topol´ogico compacto e _{fn} uma

seqüên-cia de fun¸cões reais cont´ınuas definidas em X. Se _{fn} é monótona e pontualmente

convergente para uma fun¸cão cont´ınua f :X →R_{, então a convergência é uniforme.}

Demonstra¸cão: Suponhamos, sem perda de generalidade, que a seqüência é decres-cente. Cada fun¸cão fn−f é cont´ınua e a seqüência {fn−f}é decrescente. ComoX é

compacto, o teorema anterior justifica a existˆencia de xn∈X tal que

Mn:=fn(xn)−f(xn) = max

x∈X{fn(x)−f(x)}.

Claramente, _{Mn} é uma seqüência decrescente de termos não-negativos. Logo,

con-verge para algum c ≥ 0. Mostremos que c = 0. Da compacidade de X novamente, passando para uma subseqüência, se necessário, podemos assumir que {xn} converge

para algum x0 ∈X. Como

Mk =fk(xk)−f(xk)≤fm(xk)−f(xk), k ≥m,

fazendo k → ∞ e usando a continuidade das fun¸c˜oes envolvidas, deduzimos que c ≤

fm(x0)−f(x0). Fazendo agora m → ∞, obtemos c ≤ 0. Finalmente, fixado ǫ > 0,

existe N _∈N _{tal que} _M_n _{< ǫ}_{, quando} _n_≥_N_{. Portanto,}

0_≤fn(x)−f(x)≤fn(xn)−f(xn) = Mn< ǫ, x∈X.

Segue que

(19)

1.2 Alguns resultados de topologia e an´alise 3

ou seja,{fn}converge uniformemente para f.

No que segue|·|denota a norma euclidiana deRm_{. O resultado abaixo ´e uma vers˜ao}

do teorema anterior no caso em queX n˜ao ´e compacto.

Teorema 1.2.3. Sejam X um subconjunto fechado e ilimitado de Rm _e _{_f

n} uma

seqüência monótona de fun¸cões cont´ınuas definidas em X, pontualmente convergente para uma fun¸cão cont´ınua f. Se

lim

|x|→∞fn(x) = lim|x|→∞f(x) = 0, n = 1,2, . . . ,

ent˜ao _{fn} converge uniformemente para f.

Demonstra¸cão: Sem perda de generalidade vamos assumir que a seqüência {fn} é

decrescente. Cada fun¸cãofn−fé cont´ınua e não-negativa. Se lim|x|→∞(fn(x)−f(x)) = 0

existe xn∈X tal que

Mn := max

x∈X{fn(x)−f(x)}=fn(xn)−f(xn).

Claramente,{Mn}é uma seqüência decrescente de termos não-negativos, pois

fn(x)−f(x)> fn+1(x)−f(x), x∈X, n = 1,2. . . .

Logo, ela converge para algum c ≥ 0. Vamos mostrar que c = 0, considerando dois casos:

Caso 1: {xn}´e ilimitada. Neste caso, podemos assumir que|xn| → ∞, quandon → ∞,

e conseq¨uentemente, a desigualdade acima implica que

lim

n→∞(fn(xn)−f(xn)) = 0.

Logo, c= 0.

Caso 2: {xn}´e limitada. Neste caso, existe um cubo fechadoQ, tal que{xn} ⊂Q∩X.

Como o cubo ´e compacto, podemos assumir que{xn}converge para x0 ∈Q∩X. Da´ı,

procedendo-se como no teorema anterior, segue que c= 0. Em qualquer caso, dado ǫ >0, existeN ∈N _{tal que}

0_≤fn(x)−f(x)≤fn(xn)−f(xn) =Mn < ǫ, n≥N, x∈X,

ou seja,{fn}converge uniformemente para f.

Uma demonstra¸cão mais formal da teorema anterior é como segue. Defina um novo conjunto Y dado pela expressão

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e considere agora as fun¸c˜oes fn, n = 1,2, . . ., e f como fun¸c˜oes de Y em R, onde

fn(∞) := 0 e f(∞) := 0. Neste caso podemos considerar o conjunto Y como sendo

uma compactifica¸cão de X ([27, p.183]). Como as fun¸cões fn, n = 1,2, . . ., e f são

fun¸c˜oes cont´ınuas em Y, o Teorema de Dini nos d´a o resultado.

Uma prova para o teorema a seguir pode ser encontrada em ([27, p.130]).

Teorema 1.2.4. Sejam X um espa¸co topológico e M um espa¸co métrico. Se uma seqüência de fun¸cões deXemM converge uniformemente para uma fun¸cãof :X →M

e cada elemento da seqüência é uma fun¸cão cont´ınua, então f é cont´ınua.

O restante dos resultados referem-se à ordem de convergência de algumas seqüên-cias e séries especiais. Eles são utilizados no estudo do decaimento dos autovalores de operadores integrais no Cap´ıtulo 3.

Lema 1.2.5. Se m, q, γ e p são números reais e p >1, então existe N0 ∈N tal que

(p(n+ 1)m+q)γ _≤pγ+1nmγ, n _≥N0.

Demonstra¸c˜ao: Basta notar que

lim

n→∞

(p(n+ 1)m₊_q₎γ

pγ+1_nmγ =

1

p,

e usar que p−1 _<_1.

Uma seqüência{an}de números reais éeventualmente não-crescente quando existe

n0 tal que {an0+n}é não-crescente e de termos não-negativos.

Lema 1.2.6. Seja _{an} uma seqüência eventualmente não-crescente. Assuma que

e-xistem constantes m, N0, p, q ∈N, p≥1, γ ∈R e C ≥0, tais que

∞

X j=k(n)+q+1

nγaj ≤C, n≥N0,

ondek(n)_{∈ {}0,1, . . . , pnm_}_{. Ent˜ao o conjunto}_{_nm+γ_a

2pnm₊_q :n= 1,2, . . .}´e limitado.

Em particular, existe N1 tal que

0≤nm+γa2pnm₊_q ≤C, n≥N₁.

Demonstra¸c˜ao: Seja n0 um inteiro positivo com a seguinte caracter´ıstica: a

subse-qüência de termos não negativos {an0+j} é não-crescente. Defina N1 = max{n0, N0} e

note que

∞

X j=pnm₊_q₊₁

nγaj ≤

∞

X j=k(n)+q+1

(21)

1.2 Alguns resultados de topologia e an´alise 5

Utilizando as hip´oteses e observando que o vetor (nγ_a

pnm₊_q₊₁, nγa_pnm₊_q₊₂, . . . , nγa₂_pnm₊_q) possui pnm _≥_nm _{coordenadas, temos que}

nm+γa2pnm₊_q = nmnγa₂_pnm₊_q

≤ nγapnm₊_q₊₁+· · ·+nγa₂_pnm₊_q

≤

∞

X j=pnm₊_q₊₁

nγaj ≤C, n ≥N1.

Logo,_{nm+γ_a

2pnm₊_q}∞_n₌₁ ⊂[−r, r], onder= max{C,|nm+γa₂_pnm₊_q|:n= 1,2, . . . , N₁}, o que conclui a prova do lema.

Teorema 1.2.7. Seja {an} uma seqüência eventualmente não-crescente. Assuma que

existem constantes m, N0, p, q ∈N, p≥1, γ ∈R e C≥0, tais que

∞

X j=k(n)+q+1

nγaj ≤C, n≥N0,

onde k(n) _{∈ {}0,1, . . . , pnm_}_{. Ent˜ao o conjunto} _{_n1+γ/m_a

n : n = 1,2. . .} ´e limitado.

Em particular, existe um inteiro N tal que

0_≤n1+γ/man≤(2p)1+γ/mC, n ≥N.

Demonstra¸c˜ao: Do Lema 1.2.6 j´a temos que o conjunto_{nm+γ_a

2pnm₊_q, n= 1,2, . . .} ´e limitado. Na verdade, a prova do lema revela que existe N1 >0 tal que

0≤nm+γa2pnm₊_q≤C, n≥N₁. Para cada naturals > q, existe ns ∈N tal que

2pnm_s +q≤s≤2p(ns+ 1)m+q.

Com isso temos que existe um naturalN2 ≥N1 tal que

s1+γ/mas ≤(2p(ns+ 1)m+q)1+γ/ma2pnm

s+q, s≥N2.

Do Lema 1.2.5, comp1 = 2pe γ1 = 1 +γ/m, segue que existe N3 ≥N1+N2 tal que

sγ1_a

s ≤pγ11+1nmγs 1a2pnm s +q=p

γ1+1

1 nms+γa2pnm s+q ≤p

γ1+1

1 C, s≥N3.

Desta forma, o conjunto _{n1+γ/m_a

n, n=N3, N3+ 1, . . .}´e limitado.

(22)

Defini¸cão 1.2.8. Sejam {an} e {bn} duas seqüências numéricas. Assuma que bn = 0

apenas para um número finito de ´ındices. Dizemos que an=o(bn) quando a seqüência

{anb−n1}converge para 0. Dizemos que an =O(bn) quando {anb−n1, n=N0, N0+ 1, . . .} ´e limitada, para algum N0 ∈N.

Podemos restabelecer parte do Teorema 1.2.7 utilizando a linguagem da defini¸c˜ao acima.

Corolário 1.2.9. Se a seqüência {an} satisfaz às hipóteses do Teorema 1.2.7, então

an=O(n−1−γ/m).

Outra conseqüência do mesmo teorema é como segue.

Corolário 1.2.10. Se _{an} é eventualmente não-crescente e a série P∞_n₌₁an é

con-vergente, ent˜ao an=o(n−1).

Demonstra¸cão: Sem perda de generalidade podemos assumir que_{an}é não-crescente

de termos não-negativos. A convergência da série implica que limn→∞P∞j=naj = 0.

Desta forma, dado ǫ >0, existe N =N(ǫ) tal que

∞

X j=n+1

aj ≤ǫ, n ≥N.

Aplicando o Teorema 1.2.7, comγ = 0,p= 1 eq = 0, segue que existeN1 =N1(ǫ)≥N

tal que

0_≤nan≤2ǫ, n≥N1.

Isto completa a prova.

Corolário 1.2.11. Seja _{an} uma seqüência eventualmente não-crescente. Se para

cada C≥0 existem constantes m, N =N(C), p, q ∈N_{, com} _p_≥₁_{, e} _γ _∈R_{, tais que}

∞

X j=k(n)+q+1

nγaj ≤C, n≥N,

onde k(n)∈ {0,1, . . . , pnm_}_{, ent˜ao} _a

n=o(n−1−γ/m).

Demonstra¸cão: Seja _{Cj} uma seqüência de números reais positivos convergindo

para 0. Do Teorema 1.2.7 segue que, para cada Cj, existe Nj tal que

0_≤n1+γ/man≤(2p)1+γ/mCj, n≥Nj,

(23)

1.3 Alguns resultados da teoria da medida 7

1.3 Alguns resultados da teoria da medida

Nesta se¸c˜ao, revisamos alguns conceitos e resultados b´asicos da teoria da medida. Inicialmente, introduzimos os espa¸cosLp _{usuais ([12, p.181]).}

Defini¸c˜ao 1.3.1. Se (X,M, µ) ´e um espa¸co de medida e p∈[1,∞), definimos

Lp(X) := _{f :X _→C_:_f_´e_µ_{-mensur´avel e} _k_f_k_Lp₍_X₎<∞},

onde

kf_kLp₍_X₎ :=

·Z X|

f(x)_|p_dµ₍_x₎ ¸1/p

.

O conjuntoLp₍_X_{) torna-se um espa¸co vetorial quando identificamos quaisquer duas}

fun¸cões f e g de Lp₍_X_{) que são idênticas a menos de um conjunto em} _M _{de medida}

nula (o termo equivalente para tal identifica¸cão é f e g são iguais quase sempre ou, simplificadamente,f =g q.s.).

No caso em que X = Rm_{, a menos de especifica¸cão em contrário,} _M _{é a fam´ılia}

de todos os conjuntos mensur´aveis de X e µ ´e a medida de Lebesgue usual de Rm_.

Observa¸cão análoga vale no caso em que X é subconjunto de Rm_{. No contexto de}

Lp₍_X_×_X_{), a medida} _µ_{´e a medida produto correspondente.}

As afirma¸c˜oes inclu´ıdas no teorema abaixo est˜ao provadas em [12, p.183, 245].

Teorema 1.3.2. Valem as seguintes propriedades:

(i) O espa¸co (Lp₍_X₎_,_{k · k}

Lp₍_X₎) ´e um espa¸co de Banach;

(ii) O conjunto das fun¸c˜oes de classe C∞ _{e de suporte compacto em} _Rm_{, ´e um}

sub-conjunto denso do espa¸co Lp₍_Rm₎_{. Em particular,} _Lp₍_Rm₎_∩_Lq₍_Rm₎_{´e um subconjunto}

denso de ambos,Lp₍_Rm₎ _e _Lq₍_Rm₎_.

A estrutura sobre a qual a maioria dos resultados deste trabalho são desenvolvidos é aquela onde a norma é oriunda de um produto interno. Neste sentido, o exemplo abaixo registra a estrutura ideal.

Exemplo 1.3.3.Se (X,_M, µ) é espa¸co de medida, entãoL2₍_X_{) é um espa¸co de Hilbert}

com produto interno dado por

hf, giL2₍_X₎ :=

Z X

f(x)g(x)dµ(x), f, g∈L2(X).

Por simplicidade vamos denotar o produto interno deL2₍_X_{) por}_h·_,_·i_.

(24)

Teorema 1.3.4 (Desigualdade de Hölder). Seja (X,M, µ) um espa¸co de medida. Seja p_∈[1,_∞) e considere o expoente conjugado q de p. Se f e g são fun¸cões mensu-ráveis em X, então

kf gkL1₍_X₎ ≤ kfk_Lp₍_X₎kgk_Lq₍_X₎.

Em particular, se f ∈Lp₍_X₎ _e _g _∈_Lq₍_X₎_{, ent˜ao} _{f g}_∈_L1₍_X₎_.

Corol´ario 1.3.5. Sejam (X,_M, µ), p e q como no teorema anterior. Se µ(X)<_∞ e

p < q < ∞, ent˜ao Lq₍_X₎_⊂_Lp₍_X₎ _e _k_f_k

Lp₍_X₎ ≤ kfk_Lq₍_X₎µ(X)(q−p)/pq.

No que segue, L+₍_X_{) indica o conjunto das fun¸cões mensuráveis em} _X _{que são}

n˜ao-negativas (podem at´e assumir o valor _∞).

Teorema 1.3.6 (Convergência Monótona). Se{fn}é uma seqüência não-decrescente

de L+₍_X₎_{, ent˜ao}

Z X

lim

n→∞fn = limn→∞

Z X

fn.

Teorema 1.3.7. Se f ∈L+₍_X₎_{, ent˜ao} R

Xf = 0 se, e somente se, f = 0 q.s..

Teorema 1.3.8. Se fn → f em L1(X), então existe uma subseqüência {fnj} tal que

fnj →f q.s..

Teorema 1.3.9 (Convergência Dominada). Seja {fn} uma seqüência em L1(X)

que satisfaz:

(i) limn→∞fn =f q.s.;

(ii) Existe uma fun¸c˜ao g ∈L1₍_X₎ _{tal que tal que} _|_f

n| ≤g q.s., para todo n.

Ent˜ao f _∈L1₍_X₎ _e

Z X

f = lim

n→∞

Z X

fn.

Os seguintes resultados que garantem a itera¸c˜ao de integrais em espa¸cos produtos podem ser encontrados em [12, p.67].

Teorema 1.3.10 (Fubini-Tonelli). Sejam (X,_M, µ) e (Y,_N, ν) espa¸cos de medida

σ-finitos.

(i) (Tonelli) Se f ∈L+₍_X_×_Y₎_{, ent˜ao}

g(x) =

Z Y

f(x, y)dν(y)_∈L+(X), h(y) =

Z X

f(x, y)dµ(x)_∈L+(Y),

e vale a f´ormula

Z X×Y

f d(µ_×ν) =

Z X

·Z Y

f(x, y)dν(y)

¸

dµ(x) =

Z Y

·Z X

f(x, y)dµ(x)

¸

(25)

1.3 Alguns resultados da teoria da medida 9

(ii) (Fubini) Se f ∈ L1₍_X _×_Y₎_{, ent˜ao} _f₍_x,_·₎ _∈ _L1₍_Y₎ _{para quase todo} _x_, _f₍_·_{, y}₎ _∈

L1₍_X₎ _{para quase todo}_y_{, e as fun¸c˜oes definidas quase sempre}

g(x) =

Z Y

f(x, y)dν(y), h(y) =

Z X

f(x, y)dµ(x),

são elementos de L1₍_X₎ _e _L1₍_Y₎ _{respectivamente. Além disso, a fórmula do item} ₍_i₎ vale.

Teorema 1.3.11 (Mudan¸ca de Variáveis em Integrais). SejamΩum subconjunto aberto de Rm _e _G _{: Ω} _→ _Rm _um _C1_{-difeomorfismo. Se} _f _{é uma fun¸cão} Lebesgue-mensurável em G(Ω), então f _◦G é Lebesgue-mensurável em Ω. Se f _≥ 0 ou f _∈ L1₍_G_(Ω))_{, então}

Z G(Ω)

f(x)dx=

Z

Ω

f_◦G(x)_|det(JG(x))_|dx,

onde det(JG(x)) ´e o determinante da matriz do jacobiano de G(x).

Teorema 1.3.12. Sejamc eC constantes positivas, B :=_{x_∈Rm _:_|_x_|_{< c}_} _e_f _uma

fun¸c˜ao Lebesgue-mensur´avel em Rm_.

(i) Se |f(x)| ≤ C|x|−α_, _x _∈ _B_{, para algum} _{α < m}_{, ent˜ao} _f _∈ _L1₍_B₎_{. Entretanto, se}

|f(x)_{| ≥}C_|x_|−m_, _x_∈_B_{, ent˜ao} _{f /}_∈_L1₍_B₎_;

(ii) Se _|f(x)_{| ≤}C_|x_|−α_, _x_6∈_B_{, para algum}_{α > m}_{, ent˜ao} _f _∈_L1₍_Rm_\_B₎_{. Entretanto,}

se |f(x)| ≥C|x|−m_, _x_6∈_B_{, ent˜ao} _{f /}_∈_L1₍_Rm_\_B₎_.

Utilizamos o Teorema 1.3.13 abaixo na Se¸c˜ao 2.2 na an´alise do conceito de positivi-dade definida. Sex0 ∈Rm e r >0,C[x0, r] denota o cubo fechado de centro x0 e lados

de comprimento r >0 paralelos aos eixos coordenados.

Teorema 1.3.13 (Diferencia¸c˜ao de Lebesgue). Sejam X um subconjunto de Rm

e f : X → C _{uma fun¸cão. Assuma que} _C_[_x₀_{, r}_] _⊂ _X_{. Se} _f _{é cont´ınua em} _C_[_x₀_{, s}_]_, s_∈(0, r), então

lim

s→0+

1

|C[x0, s]|

Z C[x0,s]

f(y)dy=f(x0),

onde |C[x0, s]|´e o volume de C[x0, s].

Não faremos a demonstra¸cão deste teorema aqui, já que o mesmo é conhecido e pode ser encontrado em uma forma mais geral em [12, p.98] ou em [42, p.100].

Teorema 1.3.14. Sejaf :Rm _→_C_{Lebesgue-mensur´avel. Assuma que} _f _∈_L1₍_Rm₎_ou

f _∈ L+₍_Rm₎_{. Se} _f _{´e radial, ou seja, existe} _g _{: (0}_,_∞₎ _→ _[0_,_∞₎ _{tal que} _f₍_x_{) =} _g₍_|_x_|₎_,

x_∈Rm_{, ent˜ao}

Z

Rm

f(x)dx= 2π

m/2

Γ (m/2)

Z ∞

0

(26)

1.4 Espa¸

cos de Banach e de Hilbert

Esta se¸cão contém os pré-requisitos de Análise Funcional utilizados ao longo do tra-balho. Somente alguns poucos resultados não tão populares são premiados com alguma demonstra¸cão.

Observamos que em todo o trabalho utilizamos apenas espa¸cos de Hilbert separáveis de dimensão infinita, com excessão de Rm_{. Logo, alguns dos resultados aqui cotados}

podem aparecer em formula¸c˜oes mais gerais na literatura.

Come¸camos com a desigualdade de Cauchy-Schwarz e uma de suas conseqüências envolvendo convergência. Em concordância com as nota¸cões anteriores, vamos escrever

k · kX para denotar a norma do espa¸co vetorial normadoX.

Teorema 1.4.1. Se _H ´e um espa¸co de Hilbert com produto interno_h·,_·iH, ent˜ao

|hx, y_iH| ≤ kxkHkykH, x, y ∈ H.

Teorema 1.4.2. Seja _H um espa¸co de Hilbert. Se _{xn} e {yn} são seqüências de H

que convergem para x e y, respectivamente, ent˜ao _{hxn, yniH} converge para hx, yiH.

Usaremos a seguinte vers˜ao da desigualdade de Bessel ([43, p.34]).

Teorema 1.4.3. Se H´e um espa¸co de Hilbert e{xn}´e um subconjunto ortonormal de

H, ent˜ao

kyk2

H≥ ∞

X n=1

|hy, xniH|2, y∈ H.

O teorema abaixo inclui no seu enunciado o Teorema de Riesz-Fischer ([12, p.175] e [43, p.34, 36]).

Teorema 1.4.4. Se _H ´e um espa¸co de Hilbert e _{xn} ´e uma base ortonormal de H,

ent˜ao

y=

∞

X n=1

hy, xniHxn, y∈ H

e

ky_k2

H= ∞

X n=1

|hy, xniH|2, y∈ H.

Além disso, se {cn} é uma seqüência de números complexos tal que P∞_n₌₁|cn|2 < ∞,

ent˜ao x:=P∞

n=1cnxn ∈ H e cn =hx, xniH.

Exemplo 1.4.5. SeXé um subconjunto mensurável deRm_{, então}_L2₍_X_{) é um espa¸co}

(27)

1.4 Espa¸cos de Banach e de Hilbert 11

Conclu´ımos a se¸c˜ao com alguns resultados sobre tranforma¸c˜oes lineares.

Defini¸c˜ao 1.4.6. Sejam X e Y espa¸cos vetoriais sobre R _ou C_{. O conjunto} _L₍_X_,_Y₎

´e o conjunto de todos os operadores lineares cont´ınuos de _X em _Y. Quando X = Y, escrevemos_L(_X,_Y) = _L(X).

A prova do resultado abaixo pode ser encontrada em [12, p.154].

Teorema 1.4.7. Valem as seguintes propriedades:

(i) Se X e Y são espa¸cos vetoriais normados, então L(X,Y) é um espa¸co vetorial normado. A expressão

kT_kL(X,Y) := sup{kT(x)kY :x∈ X,kxkX = 1}

= sup

½

kT(x)kY

kx_kX

: 06=x∈ X

¾

= inf_{C :_kT(x)_kY ≤CkxkX, x∈ X },

define uma norma em _L(_X,_Y).

(ii) Nas condi¸cões em (i), se Y é um espa¸co de Banach, então L(X,Y) também o é.

A defini¸c˜ao de operador adjunto origina-se do seguinte teorema ([43, p.76]).

Teorema 1.4.8. Sejam H1 e H2 espa¸cos de Hilbert. Se T ∈ L(H1,H2), ent˜ao existe um ´unico operador T∗ _{∈ L}₍_H

2,H1) tal que

hT(x), y_iH2 =hx, T∗(y)iH1, x∈ H1, y ∈ H2.

Corolário 1.4.9. Sejam H um espa¸co de Hilbert e T ∈ L(H). Se existir um subcon-junto ortonormal {xn} de H e uma seqüência limitada {λn} tais que

T(x) =

∞

X n=1

λnhx, xniHxn,

ent˜ao

T∗(x) =

∞

X n=1

λnhx, xniHxn.

Defini¸c˜ao 1.4.10. O operadorT∗ _{descrito no teorema anterior ´e denominado operador}

adjunto de T.

(28)

Defini¸cão 1.4.12. Sejam X e Y espa¸cos de Banach. Um operador T ∈ L(X,Y) é compacto ou completamente cont´ınuo quando a imagem de cada seqüência limitada de

X possui uma subseq¨uˆencia convergente em Y.

Um exemplo elementar de operador compacto ´e fornecido pelo teorema abaixo.

Teorema 1.4.13. SejamX e Y espa¸cos de Banach. Se T ∈ L(X,Y) tem posto finito, ent˜ao T ´e compacto.

Demonstra¸cão: Seja _{xn} uma seqüência em X e suponha que kxnkX ≤ c < ∞,

n = 1,2, . . ., para algum c > 0. Como T tem posto finito, existe um subconjunto linearmente independente {yi :i= 1,2, . . . , N} deY tal que

T(x) =

N X

i=0

αi(x)yi, x∈ X.

Em particular, T(xn) = PN_i₌₀αi(xn)yi. Como kT(xn)kY ≤ ckTkL(X,Y) < ∞, n =

1,2, . . ., a seq¨uˆencia {vn} deRN definida por vn := (α1(xn), α2(xn), . . . , αN(xn)), n =

1,2. . ., é limitada. Logo, possui uma subseqüência convergente. Portanto, {T(xn)}

possui uma subseq¨uˆencia convergente. A compacidade de T segue.

Outra maneira de obtermos operadores compactos ´e sugerida pelo teorema abaixo ([33, p.200] e [40, p.124]).

Teorema 1.4.14. Sejam X,Y e Z espa¸cos de Banach. Se T ∈ L(X,Y), S ∈ L(Y,Z)

e T ou S é compacto, então a composi¸cão ST é um operador compacto.

No contexto de espa¸cos de Hilbert temos o seguinte resultado b´asico ([40, p.124]).

Teorema 1.4.15. SejamH um espa¸co de Hilbert eT ∈ L(H). EntãoT é um operador compacto se, e somente se, T∗ _{é compacto.}

Defini¸c˜ao 1.4.16. Seja H um espa¸co de Hilbert. Um operador T ∈ L(H) ´e positivo quando

hT(x), x_iH≥0, x∈ H.

Nas condi¸cões da defini¸cão acima, se T _{∈ L}(_H) é positivo, escrevemos T _≥ 0. Se

T1, T2 ∈ L(H), escrevemos T1 ≥T2 para indicar que T1−T2 ≥0.

SeT ∈ L(H), ent˜ao T∗_T _≥_{0 uma vez que}

hT∗T(x), x_iH=hx, T∗T(x)iH=hT(x), T(x)iH=kT(x)k2H ≥0, x∈ H.

(29)

1.4 Espa¸cos de Banach e de Hilbert 13

Teorema 1.4.17. SejaH um espa¸co de Hilbert complexo. Se T ∈ L(H)é um operador positivo, então T é um operador auto-adjunto.

Talvez, a principal caracter´ıstica de um operador positivo seja o fato do mesmo possuir uma ´unica ra´ız quadrada ([43, p.221]).

Teorema 1.4.18 (Lema da Raiz Quadrada). Sejam H um espa¸co de Hilbert e

T _{∈ L}(_H). SeT _≥0, ent˜ao existe um ´unico _{S ∈ L}(_H), _{S ≥}0, tal que _S2 ₌_T_.

O operador _S descrito acima ´e usualmente denotado por √T e chamado de ra´ız quadrada deT.

Se T _{∈ L}(_H), definimos _|T_| := √T∗_T_{. Observe que se} _T _≥ _{0, ent˜ao} _|_T_| ₌ _T_.

O teorema abaixo fornece uma caracteriza¸c˜ao de compacidade via este conceito ([40, p.124]).

Teorema 1.4.19. SejamH um espa¸co de Hilbert eT ∈ L(H). Então T é um operador compacto se, e somente se, _|T_|é um operador compacto.

Defini¸c˜ao 1.4.20. Sejam _H um espa¸co de Hilbert e _{xn} uma base ortonormal de H.

Se T ∈ L(H) e T ≥0, o tra¸co de T ´e definido por

tr(T) :=

∞

X n=1

hT(xn), xniH.

Não é dif´ıcil verificar quetr(T) independe da base ortonormal utilizada ([33, p.206]). Fechamos a se¸cão introduzindo mais uma categoria de operadores que utilizamos no trabalho.

Defini¸c˜ao 1.4.21. Seja _Hespa¸co de Hilbert. Um operadorT _{∈ L}(_H)´e nuclear quando

tr(_|T_|) :=tr(√T∗_T₎_<_∞_.

A nomenclatura em inglês para o termo nuclear utilizado acima é “trace-class”. Como não encontramos uma tradu¸cão para o termo, preferimos usar esta que é mais comum no contexto de espa¸cos de Banach.

As propriedades b´asicas dos operadores nucleares que utilizamos est˜ao listadas abaixo ([33, p.207, 209, 211]).

Teorema 1.4.22. Nas condi¸c˜oes da defini¸c˜ao acima, valem as seguintes propriedades:

(i) O conjunto dos operadores nucleares ´e um sub-espa¸co vetorial de _L(_H);

(ii) Se T ∈ L(H) é um operador nuclear e{xn}é uma base ortonormal de H, então a

s´erie P∞

n=1hT(xn), xniH ´e absolutamente convergente;

(iii) Nas condi¸c˜oes do item (ii), o valor da s´erie independe da base utilizada;

(30)

O espa¸co dos operadores nucleares é normalizável. Uma poss´ıvel norma é dada pela expressão

kT_ktr :=

∞

X n=1

|hT(xn), xniH|,

onde_{xn}´e uma base ortonormal deH. Como a express˜aotr(T) :=P∞_n₌₁hT(xn), xniH

é absolutamente convergente e independe da base é imediato que tr(_·) é um funcional linear cont´ınuo no espa¸co dos operadores nucleares com norma menor ou igual a 1.

1.5 Um pouco de teoria espectral

Esta se¸cão contém aqueles resultados da Teoria Espectral que envolvem operadores dos tipos citados na se¸cão anterior.

No caso de operadores compactos sobre espa¸cos de Hilbert, o resultado mais b´asico ´e o Teorema de Riesz-Schauder ([33, p.203]). Utilizamos o s´ımbolo σ(T) para denotar o espectro de um operador T.

Teorema 1.5.1 (Riesz-Schauder). Seja _H um espa¸co de Hilbert. Se T é um ope-rador compacto sobre H, então σ(T) é um subconjunto discreto de C_{, sem pontos de}

acumula¸cão, exceto possivelmente 0. Além disso, λ(T)_∈σ(T)_{\ {}0_}é um autovalor de

T de multiplicidade finita.

Quando o operador é também auto-adjunto, o resultado anterior pode ser refinado como segue ([33, p.203]). Por simplicidade de nota¸cão a utilizamos o s´ımbolo λ(T) para representar um autovalor do operador T ou 0 o qual também será chamado de autovalor, sem preju´ısos aos resultados.

Teorema 1.5.2 (Hilbert-Schmidt). Seja T um operador compacto sobre um espa¸co de Hilbert _H. Se T ´e auto-adjunto, ent˜ao existe uma base ortonormal _{xn} de H e

{λn(T)} ⊂R tais que

T(x) =

∞

X n=1

λn(T)hx, xniHxn, x∈ H,

com _|λ1(T)| ≥ |λ2(T)| ≥ · · · ≥ 0 e limn→∞λn(T) = 0. A convergência da série é na

norma de _H.

Uma vers˜ao do teorema no caso em que o operador ´e compacto e normal pode ser encontrada em [41, p.167].

Corolário 1.5.3. Nas condi¸cões do Teorema de Hilbert-Schmidt, se T _≥ 0, então

(31)

1.6 Operadores do tipo Hilbert-Schmidt 15

Demonstra¸c˜ao: Basta notar que se T(x) = λ(T)x e x 6= 0, ent˜ao 0 ≤ hT(x), xiH =

λ(T)_hx, x_iH.

Se T ´e um operador compacto sobre um espa¸co de Hilbert, j´a sabemos que _|T_|

é auto-adjunto e positivo. Logo, o Teorema de Hilbert-Schmidt é aplicável para este operador. Por simplicidade, denotamos os autovalores de|T| por{sn(T)}e assumimos

que os mesmos est˜ao ordenados na forma

s1(T)≥s2(T)≥ · · · ≥0,

levando-se em conta poss´ıveis repeti¸c˜oes relacionadas com a multiplicidade alg´ebrica desj(T).

Utilizando-se o teorema anterior e algumas manipula¸cões algébricas, não é dif´ıcil verificar que se T é compacto e auto-adjunto, ou pelo menos normal, sobre um espa¸co de Hilbert, entãoλn(T∗) =λn(T) e sn(T) = |λn(T)|([15, p.27]).

Na análise do decaimento dos autovalores de operadores compactos, alguns resul-tados mais finos de análise espectral são necessários. Um deles é descrito abaixo ([14, p.51] e [15, p.28]).

Teorema 1.5.4. Se _H é um espa¸co de Hilbert e T _{∈ L}(_H)é compacto, então

sn+1(T) = min{kT −SkL(H):S ∈Fn}, n= 1,2, . . . ,

onde Fn ´e o subconjunto de L(H) formado pelos operadores de posto no m´aximo n.

1.6 Operadores do tipo Hilbert-Schmidt

Muitos resultados obtidos nas se¸cões anteriores são válidos quando o operador em questão é compacto. Nesta se¸cão estudamos algumas propriedades de uma classe espe-cial de operadores compactos, os operadores do tipo Hilbert-Schmidt.

Defini¸c˜ao 1.6.1. Seja H um espa¸co de Hilbert. Dizemos que um operador T ∈ L(H)

´e do tipo Hilbert-Schmidt quando T∗_T _{´e nuclear.}

Algumas propriedades b´asicas dos operadores do tipo Hilbert-Schmidt est˜ao regis-tradas no teorema abaixo ([33, p.210]).

Teorema 1.6.2. Seja H um espa¸co de Hilbert.

(i)O conjuntoFformado pelos operadores do tipo Hilbert-Schmidt sobreH´e um espa¸co vetorial. A express˜ao

kTkF:=

p

(32)

define uma norma em F;

(ii) Se T _{∈ L}(_H)é do tipo Hilbert-Schmidt, então T é compacto;

(iii) Se T _{∈ L}(_H)´e do tipo Hilbert-Schmidt, ent˜ao _kT_kL(H)≤ kTkF.

Conclu´ımos a se¸c˜ao apresentando uma caracteriza¸c˜ao para operadores do tipo Hilbert-Schmidt. A prova pode ser encontrada em [33, p. 210] e [40, p.132].

Teorema 1.6.3. Sejam (M,_M, µ) um espa¸co de medida σ-finito para o qual _H =

L2(M, µ) é separável e T ∈ L(H). As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(i) T ´e do tipo Hilbert-Schmidt;

(ii) Existe K _∈L2₍_M _×_{M, µ}_×_µ₎ _{tal que}

T(f)(x) =

Z M

K(x, y)f(y)dµ(y), f _{∈ H}(q.s.)

Observe que no caso deT ser do tipo Hilbert-Schmidt, a representa¸cão de T dada pelo teorema acima, ainda nos dá a seguinte fórmula:

kT_k2_L₍_H₎ _{≤ k}T_k2F=tr(T

∗_T_{) =}

Z M×M |

K(x, y)_|2dµ(x)dµ(y).

Observa¸cão 1.6.4. Operadores com uma representa¸cão como aquela descrita no item (ii) do teorema anterior são comumente chamados de operadores integrais. Na formu-la¸cão mais comum deste trabalho eles são da formaT :L2₍_X₎_→_L2₍_X_{), onde}_X_⊂_Rm

é Lebesgue-mensurável. Neste caso, sempre escreveremos T = K em consonância com a letra K usada para indicar a fun¸cão geradora do operador. Se K _∈ L2₍_X_×_X_{), a}

desigualdade de Cauchy-Schwarz e o Teorema de Fubini implicam que

kK(φ)_k2

L2₍_X₎ =

Z X|K

(φ)(x)_|2_dx

=

Z X

¯ ¯ ¯ ¯ Z

X

K(x, y)φ(y)dy

¯ ¯ ¯ ¯

2

dx

≤

Z X

Ã µZ

X

|K(x, y)|2_dy

¶1/2µZ X

|φ(y)|2_dy

¶1/2!2

dx

= _kK_k2

L2₍_X_×_X₎kφk2_L2₍_X₎, φ∈L2(X),

ou seja, _kKkL(L2₍_X₎₎ ≤ kKk_L2₍_X_×_X₎.

(33)

1.6 Operadores do tipo Hilbert-Schmidt 17

Lema 1.6.5. Sejam(M1,M1, µ1)e(M2,M2, µ2)espa¸cos de medidaσ-finitos. Suponha queL2₍_M

1, µ1)eL2(M2, µ2)s˜ao espa¸cos separ´aveis e sejam{φn}e{ψm}bases

ortonor-mais de L2₍_M

1, µ1) e L2(M2, µ2), respectivamente. Defina

φn⊗ψm(x, y) := φn(x)ψm(y), m, n= 1,2, . . . , x∈M1, y∈M2. Ent˜ao{φn⊗ψm:m, n= 1,2, . . .}´e uma base ortonormal de L2(M1×M2, µ1×µ2).

Demonstra¸cão: Não é dif´ıcil ver que a seqüência dupla{φn⊗ψm}é um subconjunto

ortonormal deL2₍_M

1×M2, µ1×µ2). Mostremos que ´e uma base ortonormal. Suponha

quef _∈L2₍_M

1×M2, µ1×µ2) ´e ortogonal a este conjunto, ou seja, que

Z M2

Z M1

f(x, y)φn(x)ψm(y)dµ1(x)dµ2(y) = 0, m, n= 1,2, . . . .

Aplicando o Teorema de Fubini, temos que

Z M2

·Z M1

f(x, y)φn(x)dµ1(x)

¸

ψm(y)dµ2(y) = 0.

Como a integral entre colchetes na express˜ao acima define um elemento deL2₍_M 2, µ2)

e{ψm}´e uma base deL2(M2, dµ2), temos que

Z M1

f(x, y)φn(x)dµ1(x) = 0,

exceto para y∈Sn⊂M2, onde µ2(Sn) = 0. Segue que Z

M1

f(x, y)φn(x)dµ1(x) = 0, n= 1,2, . . . , y ∈M2\ ∪∞n=1Sn.

conseq¨uentemente, para cada y _∈ M2 \ ∪∞n=1Sn, f(x, y) = 0 µ1-quase sempre, pois

{φn}´e base deL2(M1, µ1) ef(., y)∈L2(M1, µ1) quase sempre. Comoµ2(∪∞n=1Sn) = 0,

f(x, y) = 0 µ1×µ2-quase sempre. Portanto, a prova est´a completa.

Deste ponto em diante, toda fun¸c˜ao da forma K : X _× X _→ C _{ser´a chamada}

de núcleo sobre X, ou simplesmente núcleo, quando o contexto permitir. No teorema abaixo utilizamos a no¸cão de núcleo hermitiano, significando que K(x, y) = K(y, x),

x, y _∈X.

Teorema 1.6.6. Sejam(X,M, µ) um espa¸co de medidaσ-finito eK ∈L2₍_X_×_X₎_{. Se}

L2₍_X₎_{é separável e} _K _{é hermitiano então existe uma seqüência}_{_λ

n}:={λn(K)} ⊂R

e uma base ortonormal {φn} de L2(X) tais que

K =

∞

X n=1

λn(K)φn⊗φn.

(34)

Demonstra¸cão: Como K é hermitiano, o operador integral associado K é auto-adjunto. Sendo um operador integral, o Teorema 1.6.3 garante que_Ké do tipo Hilbert-Schmidt, logo compacto. Pelo Teorema 1.5.2 segue que existe uma base ortonormal

{φn} de L2(X) e uma seq¨uˆencia {λn(K)} ⊂ R tais que K(φn) = λn(K)φn. Como o

Lema 1.6.5 garante que _{φn⊗φm} ´e uma base ortonormal de L2(X×X), podemos

usar o Teorema 1.4.4, para escrever

K =

∞

X m,n=1

hK, φn⊗φmiφn⊗φm.

Entretanto, pelo Teorema de Fubini,

hK, φn⊗φmi = Z

X Z

X

K(x, y)φn(x)φm(y)dµ(x)dµ(y)

=

Z X

·Z X

K(x, y)φm(y)dµ(y) ¸

φn(x)dµ(x)

=

Z X

λm(K)φm(x)φn(x)dµ(x)

= λm(K)δmn,

onde δmn ´e a fun¸c˜ao delta de Kronecker. Segue que

K =

∞

X n=1

λn(K)φn⊗φn

e também que a convergência é em L2₍_X_×_X_).

O lema seguinte ser´a ´util posteriormente.

Lema 1.6.7. Sejam(M1,M1, µ1) e (M2,M2, µ2) espa¸cos de medida σ-finitos,{fn} ⊂

L2₍_M

1, dµ1) e {gn} ⊂ L2(M2, dµ2). Assuma que existem f ∈ L2(M1, dµ1) e g ∈

L2₍_M

2, dµ2) tais que limn→∞kfn−fkL2₍_M

1,µ1) = 0 e limn→∞kgn → gkL2(M2,µ2) = 0.

Ent˜ao

lim

n→∞kfn⊗gn−f⊗gkL

2₍_M_1×_M

2,µ1×µ2) = 0.

Demonstra¸c˜ao: Por simplicidade vamos omitir os sub-´ındices nas normas. Inicial-mente note que

kfn⊗gn−f ⊗gk = kfn⊗gn−fn⊗g+fn⊗g−f ⊗gk

≤ kfn⊗gn−fn⊗gk+kfn⊗g−f ⊗gk

= kfn⊗(gn−g)k+k(fn−f)⊗gk, n = 1,2, . . . .

Aplicando o Teorema de Fubini, conclu´ımos que

kfn⊗gn−f⊗gk ≤ kfnk kgn−gk+kfn−fk kgk, n= 1,2, . . . ,

(35)

1.7 Transformada de Fourier 19

1.7 Transformada de Fourier

Nesta se¸cão apresentamos muito rapidamente o conceito de transformada de Fourier e registramos algumas de suas propriedades. As demonstra¸cões e resultados mais de-licados relativos ao conceito podem ser encontrados em [12] e [13]. O produto interno usual de dois vetoresx, y de Rm _{é denotado por} _x_·_y_.

Defini¸cão 1.7.1. A transformada de Fourier é a fun¸cão f _∈ L1₍_Rm₎ _{7→ F}₍_f₎ _dada

pela f´ormula

F(f)(v) =

Z

Rm

f(x)e−2πix·vdx, v ∈Rm_.

Em geral escrevemos: ˆf :=_F(f). Como

|fˆ(v)_{| ≤}

Z

Rm|

f(x)e−2πix·v_|dx=

Z

Rm|

f(x)_|dx=_kf_kL1₍_Rm₎, v ∈Rm,

ˆ

f é uma fun¸cão limitada. Ainda, se f, g ∈L1₍_Rm_{) e} _α_∈_C_{, então}

\

(f +αg)(v) = ˆf(v) +αgˆ(v), v ∈Rm_,

ou seja, a transformada de Fourier ´e linear.

A defini¸cão de transformada de Fourier também se aplica às fun¸cões pertencentes aL1(Rm₎_∩_L2₍_Rm_{), que é um subconjunto denso de} _L2₍_Rm_{). O teorema a seguir ([12,}

p.253]) permite a extensão do conceito para todas as fun¸cões deste espa¸co. Entretanto, ele é apenas um teorema de existência, não dando uma expressão geral para a trans-formada de Fourier.

Teorema 1.7.2 (Plancherel). Se f ∈ L1₍_Rm₎_∩ _L2₍_Rm₎_{, ent˜ao} _F₍_f₎ _∈ _L2₍_Rm₎_.

Ainda, a restri¸c˜ao de F a L1₍_Rm₎_∩_L2₍_Rm₎ _{pode ser estendida, de maneira ´}_{unica, a}

um isomorfismo unit´ario de L2₍_Rm₎ _em _L2₍_Rm₎_.

Corol´ario 1.7.3 (Identidade de Parseval). Se f, g _∈L2₍_Rm₎_{, ent˜ao}

hf, g_i=

Z

Rm

f(x)g(x)dx=

Z

Rm ˆ

f(x)ˆg(x)dx=_hf ,ˆ ˆg_i.

Para finalizar a se¸cão, apresentamos três resultados que utilizamos à frente.

Lema 1.7.4 (Riemann-Lebesgue). Se f _∈ L1₍_Rm₎_{, ent˜ao} _fˆ_{´e cont´ınua e possui}

o comportamento assint´otico lim|v|→∞fˆ(v) = 0. Em particular, fˆ ´e uniformemente

cont´ınua.

(36)

Demonstra¸c˜ao: Se φ∈L1₍_Rm₎_∩_L2₍_Rm_{), ent˜ao}

ˆ

φ(v) =

Z

Rm

φ(x)e−2πix·v_dx₌ Z

Rm

φ(x)e−2πix·(−v)_dx_{= ˆ}_φ₍₋_v₎_, _v _∈Rm_.

Se f _∈ L2₍_Rm_{), usamos a densidade de} _L1₍_Rm₎_∩ _L2₍_Rm_{) em} _L2₍_Rm_{) e o Teorema}

1.3.8 para obter uma seq¨uˆencia {fn} ⊂L1(Rm)∩L2(Rm) tal que fn →f em L2(Rm)

e fn →f quase sempre. Como a transformada de Fourier estendida ´e um isomorfismo,

temos que ˆfn → fêm L2(Rm) e podemos assumir que esta convergência é tambem

quase sempre. Conseq¨uentemente,

lim

n→∞

ˆ

fn(v) = lim n→∞

ˆ

fn(−v) =f(ˆv) = ˆf(−v), v ∈Rm q.s.

Redefinindo-se ˆf em um conjunto de medida nula, se necess´ario, o resultado segue.

Observa¸c˜ao 1.7.6. Para fun¸c˜oes de Lp₍_Rm _×_Rm_), _p _{= 1}_,_{2, vamos escrever}

conve-nientemente a transformada de Fourier. Para tanto, note que podemos visualizar uma fun¸c˜ao f(x, y), x, y _∈ Rm _{como uma fun¸c˜ao} _g₍_z_{), onde} _z _{= (}_x

1, . . . , xm, y1, . . . , ym) ∈

R2m_{. Com esta observa¸c˜ao ´e natural que a transformada de Fourier de}_f _∈_L1₍_Rm_×_Rm₎

seja definida, via Teorema de Fubini, da seguinte forma

ˆ

f(v, w) =

Z

Rm

Z

Rm

f(x, y)e−2πi(x,y)·(v,w)dx dy=

Z

R2m

g(z)e−2πiz·udz = ˆg(z),

onde u= (v1, . . . , vm, w1, . . . , wm).

Lema 1.7.7. Se φ, ψ_∈L2₍_Rm₎_{, ent˜ao} _φ\_⊗_ψ₍_{v, w}_{) = ˆ}_φ₍_v_{) ˆ}_ψ₍_w₎_, _{v, w}_∈_Rm_.

Demonstra¸cão: Se φ, ψ ∈ L2₍_Rm_{), existem seqüências} _{_φ

n} e {ψn} de L1(Rm)∩

L2₍_Rm_{) que convergem, em} _L2₍_Rm_{), para} _φ _e _ψ_{, respectivamente. Logo, pelo Lema}

1.6.7, a seq¨uˆencia {φn⊗ψn} converge paraφ⊗ψ, emL2(Rm×Rm). Como φn⊗ψn∈

L1₍_Rm_×_Rm₎_∩_L2₍_Rm_×_Rm_), _n_{= 1}_,₂_{, . . . ,}

\

φn⊗ψn(v, w) = ˆφn(v) ˆψn(w), v, w∈Rm, n= 1,2, . . . .

Tomando-se o limite quando n → ∞ e usando a continuidade da transformada de Fourier, deduzimos queφ\_⊗ψ(v, w) = ˆφ(v) ˆψ(w),v, w_∈Rm_{, quase sempre. Redefinindo}

\

φ_⊗ψ em um conjunto de medida nula, se necess´ario, conclu´ımos a prova do lema.

(37)

Cap´ıtulo

2

N´

ucleos Positivos Definidos

Neste cap´ıtulo apresentamos duas vertentes para o conceito de positividade definida de um n´ucleo K : X _×X _→ C_{. Estudamos poss´ıveis rela¸c˜oes entre os conceitos e}

algumas de suas propriedades. Apresentamos algumas varia¸cões e generaliza¸cões e fi-nalizamos estudando algumas propriedades da transformada de Fourier de um núcleo positivo definido, no caso em que X =Rm_.

2.1 N´

ucleos positivos definidos

Nesta se¸c˜ao introduzimos o conceito usual de positividade definida e analisamos algumas de suas propriedades.

Defini¸cão 2.1.1. Seja X um conjunto não-vazio. Dizemos que um núcleoK sobreX é positivo definido quando a matrizA= (K(xi, xj)) de ordem né não-negativa definida,

para qualquern _≥1 e qualquer n-upla (x1, x2, . . . , xn)∈Xn.

´

E fácil ver que a defini¸cão acima equivale então à validade da desigualdade

n X i,j=1

cicjK(xi, xj)≥0,

quando n _≥ 1, _{x1, x2, . . . , xn} ⊂ X e {c1, c2, . . . , cn} ⊂ C. Escrevemos P D(X) para

denotar a classe dos n´ucleos positivos definidos com dom´ınio X_×X.

Exemplo 2.1.2. Se f : X _→ C _{é uma fun¸cão qualquer, o n´}_{ucleo dado pela fórmula} K :=f⊗f, é positivo definido. De fato, se{x1, x2, . . . , xn} ⊂X e{c1, c2, . . . , cn} ⊂C,

(38)

ent˜ao

n X i,j=1

cicjK(xi, xj) = n X i,j=1

cicjf(xi)f(xj) = n X i,j=1

cif(xi)cjf(xj) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i,j=1

cif(xi) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 .

Exemplo 2.1.3. SeX´e um espa¸co vetorial complexo com produto interno_h·,_·iX, ent˜ao

K(x, y) := hx, yiX, x, y ∈ X, ´e positivo definido. Basta notar que a forma quadr´atica

da defini¸c˜ao pode ser escrita na forma

n X i,j=1

¯

cicjK(xi, xj) = ° ° ° ° ° n X j=1

cjxj ° ° ° ° ° 2 X .

Exemplo 2.1.4. Seja (X, µ) um espa¸co de medida e S :X×X →C _{tal que}_S₍_·_{, x}₎_∈ L2₍_X_), _x_∈_X_{. Neste caso o n´}_ucleo _K _{dado por}

K(x, y) =

Z X

S(z, y)S(z, x)dµ(z), x∈X,

é um elemento de P D(X). De fato, a forma quadrática da defini¸cão toma a forma

n X i,j=1

¯

cicjK(xi, xj) = Z

X n X i,j=1

cicjS(z, xj)S(z, xi)dµ(z) = Z X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X j=1

cjS(z, xj) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2

dµ(z).

O exemplo anterior nos dá uma fórmula para a constru¸cão de núcleos positivos definidos. Veremos posteriormente (veja o Lema 3.3.3) que alguns núcleos positivos definidos de L2₍_X_×_X_{) que geram operadores integrais nucleares possuem uma}

repre-senta¸c˜ao semelhante.

Listamos abaixo algumas propriedades importantes dos n´ucleos positivos definidos.

Propriedades 2.1.5.

(i) Se K1, K2, . . . , Kp ∈P D(X) e d1, d2, . . . , dp ≥0, ent˜ao Pp_j₌₁djKj ∈P D(X).

De fato, basta observar que a forma quadr´atica para K toma a forma

n X i,j=1

cicjK(xi, xj) = p X l=1 dl Ã _n X i,j=1

cicjKl(xi, xj) !

.

(ii) Se _{Kp} é uma seqüência emP D(X) que converge para K, então K ∈P D(X).

De fato, neste caso a forma quadr´atica para K toma a forma

n X i,j=1

cicjK(xi, xj) = lim p→∞

n X i,j=1

cicjKp(xi, xj).

(iii) Se K1, K2 ∈P D(X), ent˜ao o produto K1K2 ∈P D(X).

(39)

2.1 N´ucleos positivos definidos 23

(iv) SeK ∈ P D(X) ´e limitado, f(z) = P∞

n=0anzn ´e holomorfa em {z ∈ C :|z|< ρ},

an≥0, n= 0,1, . . ., e a composi¸c˜ao f◦K faz sentido, ent˜ao f ◦K ∈P D(X).

(v) Seja K :X_×X _→R_{um n´}_{ucleo hermitiano. Ent˜ao} _K _∈_{P D}₍_X_{) se, e somente se,}

n X l,j=1

clcjK(xl, xj)≥0,

quandon _≥1,_{x1, x2, . . . , xn} ⊂X e{c1, c2, . . . , cn} ⊂R.

Basta notar que, se{x1, x2, . . . , xn} ⊂X,{c1, c2, . . . , cn} ⊂Ce cj =aj +ibj, ent˜ao n

X l,j=1

clcjK(xl, xj) = n X l,j=1

(alaj+blbj)K(xl, xj) +i n X l,j=1

(albj −ajbl)K(xl, xj).

Exemplo 2.1.6. Sejam _{φn} uma seqüência de fun¸cões com dom´ınio X e {µn} uma

seqüência de termos não-negativos. Se a série P∞

n=1µnφn ⊗φn(x, y) ´e pontualmente

convergente emX×X, ent˜ao, pelas propriedades acima, vemos que

K(x, y) :=

∞

X n=1

µnφn(x)φn(y)

pertence a P D(X). Dentro de certas condi¸c˜oes, o Teorema 1.6.6 fornece uma esp´ecie de rec´ıproca deste resultado.

Vimos no Exemplo 2.1.2 que se X é um conjunto não-vazio, então P D(X)₆=_∅. Se

Y ⊂XeK :X×X →C_{é tal que}_K_|_Y_×_Y _∈_{P D}₍_Y_{), então não temos necessariamente}

que K ∈ P D(X). Isto pode ser ratificado no exemplo dado abaixo e na Observa¸c˜ao 2.2.10. SeY _⊂X e K _∈P D(Y), a extens˜ao ˙K deK dada por

˙

K(x, y) = χY(x)K(x, y)χY(y), x, y ∈X,

ondeχY é a fun¸cão caracter´ıstica deY, define um elemento deP D(X). A existência de

uma extensão cont´ınua é uma questão mais complicada para a qual possivelmente não exista uma resposta geral. No artigo [39] há uma discussão sobre o assunto, quando

X _⊂R_.

Exemplo 2.1.7. Se K(x, y) = (1_{− |}x₋y_|), x, y _∈R_{, ent˜ao} _Kχ

[−1,1]2 ´e um elemento

deP D(R_{) ([39]). Logo, se}_X _⊂Rm_{, max}_{|_x

j|:j = 1,2, . . . , m} ≤1,x∈X, e

Km(x, y) := m− m X

1

|xi−yi|, x, y ∈X,

ent˜ao Km ∈P D(X). De fato, se {y1, y2, . . . , yp} ⊂X e{c1, c2, . . . , cp} ⊂R, ent˜ao p

X j,l=1

cjclKm(yj, yl) = m X

i=1

Ã _p X j,l=1

cjclK(yji, yil) !

(40)

Por outro lado, tomando x1, x2 ∈ R, com |x1−x2|= 2 +ǫ, ǫ > 0, e 0< c1 = c2 ∈ R,

vemos que

2

X i,j=1

cicjK(xi, xj) = Ã ₂

X j=1

cj !2

−

2

X i,j=1

cicj|xi−xj|= 4c21 −2c21(2 +ǫ)<0.

Segue que K 6∈ P D(X) quando X ⊃ [−1−ǫ,1 +ǫ]. Em particular, Km 6∈ P D(X),

quando X _⊂Rm _e_X _cont´em _{_x_∈_Rm _{: max}_{|_x

j|:j = 1,2, . . . , m} ≤1 +ǫ}.

Para mais exemplos veja [2, p.79], [38] e [39].

Para finalizarmos a se¸cão, vejamos mais três propriedades básicas dos núcleos po-sitivos definidos.

Teorema 2.1.8. Se K _∈P D(X), ent˜ao:

(i) K(x, x)≥0, x∈X;

(ii) K ´e hermitiano;

(iii) _|K(x, y)_|2 _≤_K₍_{x, x}₎_K₍_{y, y}₎_, _{x, y} _∈_X_.

Demonstra¸cão: O item (i) segue da defini¸cão usando-se n = 1. O item (ii) segue da defini¸cão usando-sen= 2 e do fato de uma matriz não-negativa definida ser hermiteana. Quanto a (iii), ele segue da defini¸cão com n= 2 e do item anterior.

Corolário 2.1.9. Seja (X,M, µ) um espa¸co de medida σ-finito. Se K ∈P D(X) e a fun¸cão x_∈X _7→K(x, x) pertence a L1₍_X₎_{, então} _K _∈_L2₍_X_×_X₎ _e

kK_kL2₍_X_×_X₎ ≤

Z X

K(x, x)dµ(x).

Demonstra¸c˜ao: Se K _∈ P D(X), o Teorema 2.1.8-(iii) implica que _|K(x, y)_|2 _≤

K(x, x)K(y, y), x, y ∈ X. Se x ∈ X 7→ K(x, x) pertence a L1₍_X_{), podemos integrar}

esta desigualdade para obter

Z X

Z X|

K(x, y)_|2_dµ₍_x₎_dµ₍_y₎ _≤

Z X

K(x, x)K(y, y)dµ(x)dµ(y)

=

µZ X

K(x, x)dµ(x)

¶2

.

Lembrando que K(x, x)≥0, a desigualdade do corol´ario segue.

Observa¸c˜ao 2.1.10. No caso em que X =Rm _{e o n´}_ucleo _K _{do Teorema 2.1.8 satisfaz}

K(x, y) = f(x−y), x, y ∈X, as conclus˜oes do teorema tomam a seguinte forma: (i) f(0) _≥0;

(41)

2.2 N´ucleos L2_{-positivos definidos} ₂₅

O exemplo seguinte satisfaz às condi¸cões da observa¸cão anterior e tem aplica¸cões importantes em problemas de interpola¸cão na esfera S1 _([18]).

Exemplo 2.1.11. O n´ucleo K(x, y) := f(x₋y), x, y _∈ X _⊂ R_{, ´e positivo definido,}

onde

f(x) =

∞

X n=0

ρncos(nx) = 1−ρcos(x)

1 +ρ2₋₂_ρ_cos(_x₎, ρ∈(0,1), x∈X.

2.2 N´

ucleos

L

2

-positivos definidos

O conceito de positividade definida tem muitas aplica¸cões em diversas áreas da Matemática, cada contexto exigindo uma adequa¸cão conveniente do mesmo. Nesta se¸cão introduzimos uma versão que é mais adequada ao contexto de espa¸cos de Hilbert, não sendo, portanto, equivalente ao conceito introduzido na se¸cão anterior.

Defini¸cão 2.2.1. Sejam (X,_M, µ) um espa¸co de medida e K _∈L2₍_X_×_X₎_{. Dizemos} queK é um núcleo L2_{-positivo definido, e escrevemos} _K _∈_L2_{P D}₍_X₎_{, quando}

hK(φ), φi=

Z X

µZ X

K(x, y)φ(y)dµ(y)

¶

φ(x)dµ(x)≥0, φ∈L2(X).

Vejamos um exemplo de n´ucleo L2_{-positivo definido.}

Exemplo 2.2.2. Sejam (X,_M, µ) um espa¸co de medida e f _∈L2₍_X_{). Como}

Z X

µZ X

f(x)f(y)φ(y)dµ(y)

¶

φ(x)dµ(x) =

¯ ¯ ¯ ¯ Z

X

f(x)φ(x)dµ(x)

¯ ¯ ¯ ¯

2

, φ_∈L2₍_X₎_,

temos queK :=f_⊗f _∈L2_{P D}₍_X_).

A proposi¸cão abaixo indica um contexto onde as defini¸cões de positividade definida coincidem. O lema abaixo é utilizado em sua demonstra¸cão.

Lema 2.2.3. Sejam X um subconjunto mensur´avel de Rm _e _K _∈_L2₍_X_×_X₎_{. Ent˜ao,}

K _∈L2_{P D}₍_X₎ _{se, e somente se,} _K_˙ _∈_L2_{P D}₍_Rm₎_.

Demonstra¸c˜ao: Basta observar dois fatos: se φ _∈ L2₍_Rm_{), ent˜ao} _φ_|

X ∈ L2(X); se

ψ ∈L2₍_X_{) e definirmos ˙}_ψ₍_x_{) :=} _χ

X(x)ψ(x), x∈Rm, ent˜ao ˙ψ ∈L2(Rm).

Proposi¸cão 2.2.4. Seja X um subconjunto mensurável de Rm_{. Se} _K _∈_{P D}₍_X₎_, _K˙ _é

um elemento de L2₍_X_×_X₎ _{e a fun¸c˜ao}

(x, y)_∈Rm_×Rm _7→_K˙₍_{x, y}₎_φ₍_x₎_φ₍_y₎_, _φ_∈_L2₍Rm₎_∩_C₍Rm₎_,