CAPÍTULO 2: ABORDAGEM PSICOLÓGICA DA CONCEPTUALIZAÇÃO
3.4. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS REFERENTES À NOÇÃO DE LIMITE
Nesta etapa, durante o processo de investigação da construção de
significados pelos estudantes, foi utilizado o método da resolução de problemas,
utilizando-se o gravador e as produções escritas como instrumentos para registrar
as respostas, na perspectiva de poder identificar na(s) heurística(s) empregada(s) na
limite era construído por cada um deles. Dessa forma buscou-se observar a
sistemática de aplicação de regras e de estratégias utilizadas pelos alunos-sujeitos
ao longo dos problemas propostos, analisando-se os procedimentos que eram
utilizados para resolver cada problema. Como em relação ao uso da filmadora, o
mesmo fato, também, pode ser constatado com relação ao uso do gravador de fita
cassete, durante as seções de resolução de problemas. A maior dificuldade relatada
pelos participantes era de coordenar o uso da linguagem escrita e da oralisada,
concomitantemente, ou seja, eles diziam que não conseguiam escrever e ir
explicando ao mesmo tempo em voz alta o que estavam fazendo. E, por isso
mesmo, alguns preferiam primeiro fazer o comentário em voz alta e depois escrever
a resposta.
A busca dos participantes para a etapa de resolução de problemas se deu
após a primeira avaliação feita pelo professor da disciplina, a qual abordou questões
sobre limites (ver Anexo 1). Com isso a intenção era: 1. Estimar o nível de
preocupação do docente, durante o processo de avaliação do conteúdo discutido em
classe, com relação à compreensão dos conceitos sobre limite, exigido dos seus
alunos; 2. Verificar o padrão das questões formuladas e o que era exigido do aluno,
elementos do tipo: conhecimento de teoremas e propriedades sobre limites de
função; a determinação do limite de uma função; verificação da existência do limite
de uma função, dentre outros.
O processo de determinação dos participantes para esta etapa da
resolução de problemas se deu, tomando-se por base convite feito à participação
voluntária para participar da pesquisa.
As notas obtidas pelos alunos na disciplina foram utilizadas para se ter
109 estava inserido, em relação aos demais alunos do seu curso, e aos demais
estudantes de outros cursos da mesma Área.
Na seção de resolução de problemas o que se pretendia era verificar a
sua compreensão dos problemas apresentados durante o processo de investigação.
Ou seja, ter a compreensão da real construção dos significados dos conteúdos de
limites. Os problemas propostos, por sua vez, exploravam os mesmos aspectos
conceituais daqueles apresentados pelo professor na avaliação do primeiro
exercício, conforme é discutido mais adiante, ao se comentarem tais problemas.
Nessa fase de proposição e resolução de problemas fez-se uso de três
blocos de formulários: um formulário com perguntas referentes à identificação do
estudante, origem, escola que freqüentou no ensino médio, sobre a família, se
possui vínculo empregatício e sobre a disciplina Cálculo I (ver Apêndice 2); e o
último formulário com as perguntas a serem respondidas na sessão de Resolução
de Problemas (ver Apêndice 1).
No formulário com dados de entrevista buscou-se obter informações que
nos auxiliasse a enriquecer, de forma biográfico-contextual, análises referentes às
competências e dificuldades na sessão de resolução de problemas. Tais
informações biográficas, conforme se depreende do exame do guia de questões
(Apêndice 2), diziam respeito basicamente ao tipo de escola freqüentada durante o
ensino médio (rede pública ou privada); ao tipo de curso de nível médio que
freqüentou (científico, técnico ou magistério); ao local onde cursou o ensino médio,
(capital ou interior). Em tal questionário buscava-se igualmente obter subsídios
acerca de aspectos do tipo discutido na análise crítica do projeto de proposição e
oferta da disciplina de Pré cálculo, relacionados as possíveis deficiências de base,
conteúdos do ensino médio que são considerados básicos para a disciplina referida;
ou relacionados ao caráter abstrato dos seus conteúdos e à linguagem simbólica
muito densa, que exigem do estudante, por exemplo, familiaridade com significados
geométricos e o uso de metáforas conceituais, que são indispensáveis à atitude de
pensar e entender o significado de proposições e exemplos e imaginar caminhos
para determinar soluções de exercícios.
Já o terceiro formulário (Apêndice 1) referente aos problemas propostos,
pode ser dividido em três blocos. O que se pretendeu ao determinar as questões
constantes em cada bloco foi verificar: (1) A construção do significado do conceito
de limites pelo aluno ao longo do curso, no transcurso do programa da disciplina; (2)
Se este aluno consegue construir relações entre os tipos de limites de funções,
aprendidos; (3) Se consegue perceber quando ocorre a existência ou não de limites,
e; (4) Se consegue resolver os problemas de limite de função.
Com relação aos problemas propostos em cada um dos três blocos o que
se pode dizer é que eles foram sugeridos para que pudessem proporcionar uma
melhor compreensão acerca do processo de construção de significados para o
conceito de limite.
No primeiro bloco aparecem duas perguntas, sendo a primeira formulada
de forma indireta, com a intenção de obter do aluno respondente o seu conceito de
limite. Pretendia-se com a pergunta a seguir identificar como operava mentalmente o
estudante-respondente, como ele organizava cognitivamente os eventos por ele
conhecido, ou seja, de que forma mobilizava os seus esquemas existentes na
possibilidade de externar o conceito solicitado.
- Bloco 1, Pergunta 1: Se um colega lhe perguntasse o que é limite de uma função o que você responderia para ele?
111 A estratégia de usar uma terceira pessoa se justifica enquanto tentativa
para motivar o respondente a elaborar o conceito. Visto que no momento em que
escreve (ou fala) o conceito de limite de uma função para uma terceira pessoa, um
interlocutor fictício (que não é ele nem o seu interlocutor imediato, o pesquisador),
esse respondente se esmera para garantir a esse interlocutor fictício a melhor
versão do que seja esse limite.
A segunda questão foi pensada com a perspectiva de confrontar o
conceito elaborado pelo respondente na questão anterior com a sua compreensão
do que é o limite de uma função, isto é, se havia coerência entre o conceito que ele
tem sobre limite e o que ele escreveu.
Com a atividade proposta na pergunta abaixo, pretendeu-se verificar a
compreensão do conceito dado, pelo respondente, na questão anterior. Permitindo-
lhe, a partir das reflexões, análises e construções que iria realizar, flexibilidade e
mobilidade na compreensão daquele conceito que estava em desenvolvimento.
- Bloco 1, Pergunta 2: Crie um problema em que se possa utilizar o limite de uma função que, ilustre o seu conceito de limite. Indique de que maneira você resolveria
este problema.
Essa pretensão é ratificada no momento em que lhe é solicitado elaborar
um problema de limite de função para um outro e depois se colocar na posição
desse outro para resolver. A idéia subjacente é: se você compreende, você elabora
e você resolve.
No segundo bloco a terceira questão é composta de quatro itens que
sugerem a verificação da existência e concomitante determinação dos limites de
funções.
112 afirmativo calcule esse limite.
a. lim(2 3) 2 3 2 x x x b. 1 1 lim 1x x c. xlim1f x , , 1 1 1 1 , 3 2 2 x se x x x se x x f d. Seja 2 1 2 3 2 x se , x se , x f(x) , Calcule xlim2 f (x)
Nos três primeiros itens (a, b e c), em que o aluno deverá verificar a
existência ou não dos limites e calcula-los em caso afirmativo, aparece o que
podemos chamar de problemas padrão. O primeiro desses limites de função (letra a)
implica na determinação do limite de uma função contínua, uma função polinomial
do terceiro grau e que por isso mesmo tem um limite definido para x igual a 2,
conforme é solicitado, e é dezessete.
O segundo limite de função (letra b) é determinado por uma função que é
descontínua em x igual a 1 e que por isso mesmo possibilita o surgimento do
chamado limite infinito. Limite este que se estabelece na possibilidade da variável
independente x convergir para um valor que é o ponto de descontinuidade da
função, em outras palavras, a variável independente converge para um valor no qual
a função racional estabelecida tem o seu denominador convergindo para zero e o
numerador para um número diferente de zero. Isto é, no caso do item citado, à
medida que a variável x converge para um, na vizinhança, à sua esquerda, a função
dada cresce (ou decresce) indefinidamente no sentido negativo do eixo y (das
ordenadas) e na vizinhança oposta, à direita de um, cresce também indefinidamente
só que no sentido positivo do eixo das ordenadas, ou seja, quando x converge para
113 os limites laterais infinitos e particularmente o limite não existe, pois são diferentes,
por um lado menos infinito e por outro mais infinito.
No terceiro item (letra c) é apresentada uma função determinada por mais
de uma sentença, em que o aluno tem de verificar a existência do limite da função,
como no problema anterior, verificar o limite para seqüências numéricas para as
quais x converge à esquerda e à direita do número real 1, porém desta vez com
funções diferentes para cada uma das vizinhanças de 1, a primeira é uma função
do primeiro grau e, portanto contínua em 1, e, logo o seu limite à direita de 1 é
um e a segunda função que estabelece o limite á esquerda de 1 é uma função
racional que assume valor 2 para uma seqüência de valores de x à esquerda de
1. Assim como os limites laterais, à esquerda e à direita de 1 existem, porém são
diferentes, os limites da função f(x) não existe quando x tende a ( 1).
Na última questão desse bloco propõe-se a quebra de uma lógica didática
que permeia, em geral, este tipo de questão, que aparece na forma de mais de uma
sentença. Já que a função f(x) determinada por as duas sentenças que aparecem é
uma função contínua possui uma estrutura parecida com a do item precedente (letra
c), porém com solução bem diferente da encontrada no item anterior, pois nesta
situação o limite existe e é um. Mas, que o aluno para estabelecer a solução
precisará fazer uma abordagem similar à do item anterior.
O bloco três é composto de seis conceitos de limites e, o que se pede é
que o aluno respondente posicione-se em relação a conceitos que teriam sido
dados, por alunos da área II, sobre limite de função. Pretende-se aqui que ele
organize, amplie e/ou modifique qualitativamente a sua percepção conceitual de
limite de uma função.
Área II, quando solicitados que dessem um conceito de limite. Gostaria, se possível,
que você se posicionasse, tecendo comentários sobre cada uma dessas respostas.
a: Um limite descreve para onde uma função f(x) se move quando a variável x se move em direção a um certo ponto.
b: Um limite é um número ou ponto além do qual uma função não pode ultrapassar.
c: Um limite é um número do qual os valores y de uma função y = f(x) podem ficar arbitrariamente próximos ao se limitar os valores de x.
d: um limite é um número ou ponto do qual a função se aproxima, mas nunca alcança.
e: Um limite é uma aproximação que pode se tornar tão exata quanto você desejar.
f: Um limite é determinado ao se colocar na variável de uma função valores numéricos cada vez mais próximos a um dado número até que o limite seja alcançado.
Solicita-se que ele opine, corrija, propondo inclusive, se for o caso, um
conceito diferente do conceito em análise. Dos seis conceitos informais de limite de
uma função real a uma variável real, que aparecem, apenas dois estão mais
próximos do que seria a definição formal de limite, alternativas c e e.
O que se pretendeu verificar aqui foi à disponibilidade dos sujeitos em, ao
defrontar-se com esses seis conceitos de limite, estabelecer como verdadeiro
algum(ns) conceitos que seja(m) similar(es) ao(s) seu(s) ou se vai optar por
conceito(s) com significado(s) distinto(s) do(s) seu(s). Ainda, nesta etapa os
problemas propostos confrontam o aluno com as várias idéias (formais e informais)
sobre limites e, a intenção é avaliar também que tipos de crenças os estudantes
mantêm sobre este tema.
O capítulo seguinte figura com a análise das produções dos alunos-