(Obmep) O polígono ABCDEF é um hexágono regular. Os pon-tos M e N são pontos médios dos lados AF e BC, respectiva-mente. O hexágono ABNGHM é simétrico em relação à reta que passa por M e N. Qual é a razão entre as áreas dos hexá-gonos ABNGHM e ABCDEF ?
a) 103 b)
114 c)
73 d)
157 e) 125
Faça a atividade no caderno.
A B
Não, pois as medidas dos lados correspondentes não são proporcionais.
sim
10; 24
A medida do lado do triângulo equilátero é metade da medida do lado do hexágono maior.
10, 24
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Resolvendo em equipe
• Esta seção destaca as eta-pas selecionadas para en-caminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favore-cer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências espe-cíficas de Matemática 2, 3 e 8, a seção permite a transfe-rência de estratégias de reso-lução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das ativi-dades do item “Aplicando”, da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, deste ou de outros capítulos, por exemplo.
• Uma forma alternativa de resolução seria decompor o hexágono regular ABCDEF em 24 pequenos triângulos equiláteros congruentes e verificar que o hexágo- no ABNGHM é composto de 10 desses triângulos equilá-teros.
Portanto, a razão entre as áreas dos hexágonos ABNGHM e ABCDEF é 2410 , ou seja, 125 (alternativa e).
LUIZ RUBIO
Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desen-volvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver Competência específica 2:
De-senvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capa-cidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos co-nhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Competência específica 3: Com-preender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemáti-ca (AritmétiMatemáti-ca, Álgebra, Geome-tria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhe-cimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimen-tos matemáticos, desenvolvendo
Faça as atividades no caderno.
Trabalhando os conhecimentos adquiridos
Revisitando
Aplicando
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
253 1 No caderno, copie as frases a seguir completando-as com as palavras do quadro.
inscritível retângulo tangentes quadrilátero
a) Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são à circunferência.
b) Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é um triângulo .
c) Os ângulos opostos de um convexo inscrito em uma circunferência são suplementares.
d) Todo polígono regular é e circunscritível a uma circunferência.
2 Usando régua e compasso, construa os seguintes polígonos regulares inscritos em uma circunferência:
a) um quadrado; b) um triângulo equilátero; c) um hexágono regular.
3 Analise as sentenças abaixo e identifique a falsa, corrigindo-a no caderno.
a) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é dada por (n 2 2) 3 180°.
b) A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono regular é 360°.
c) O ângulo formado por dois lados consecutivos de um polígono é um ângulo interno.
d) A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular é n 3 360°.
4 As relações métricas estudadas neste capítulo referem-se a que elementos dos polígonos regulares?
1 Calcule o perímetro de um triângulo equi-látero inscrito em uma circunferência cujo raio mede 7 3 cm.
2 Em uma circunferência está inscrito um hexá-gono regular cujo lado mede 6 cm. Qual é a soma das medidas de um lado e do apótema de um triân gulo equilátero inscrito na mesma circunferência?
3 (Enem)
STEPHEN FINN/SHUTTERSTOCK
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante* por rotações, em torno de seu centro, de: regular inscrito em uma circunferência cujo comprimento mede 18,84 cm? (Use s 5 3,14.) 5 O perímetro de um hexágono regular é
2,16 dm. Qual é a medida do raio do círculo circunscrito a esse hexágono?
6 Cada lado do triângulo equilátero ABC, ao lado, foi dividido em três par-tes iguais. Demonstre que DEFGHI é um
C GUILHERME CASAGRANDI
Construção de figuras.
tangentes
retângulo
quadrilátero inscritível
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular é 360°.
verdadeira verdadeira
verdadeira
Neste capítulo, são estudadas as relações entre as medidas do lado e do apótema de um polígono regular e do raio da circunferência em que tal polígono está inscrito.
63 cm conhecimentos adquiridos”
tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incenti-vando a revisão, a autoava-liação e a criatividade por meio da resolução e elabora-ção de problemas. É compos-ta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluin-do desafios, cuidaincluin-dosamente escolhidas para que os alunos as resolvam com base nos co-nhecimentos adquiridos até o momento.
Revisitando
• Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados.
Se tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a bus-car a troca de conhecimen-to em grupo; caso a dúvida persista, ajude-os a encon-trar um bom caminho para a compreensão.
Aplicando
• Na atividade 6, podemos observar que :ABC 8 :AEF pelo caso LAL (há dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses la-dos são congruentes).
Então: AEAB
Portanto, DEFGHI é um hexá-gono regular.
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254
ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
7 A foto abaixo mostra o Marco Zero, monu-mento de mármore em forma de hexágo-no regular que indica o centro oficial da cidade de São Paulo. Ele é utilizado como base para medir dis tâncias. Determine as medidas a, d e D dos ângulos indicados.
Marco Zero, na Praça da Sé, São Paulo (SP).
O monumento data de 1934. Cada um dos lados indica simbolicamente a direção de alguns estados brasileiros e do litoral. Foto de 2018.
a d
D
8 Uma circunferência cujo diâmetro mede 10 cm está dividida em seis partes iguais.
Observe a figura abaixo e determine o perí-metro do quadrilátero BCEF.
E F
D C
A B
9 Determine o polígono regular cujos ângulos centrais medem
4
1 da medida do ângulo interno.
10 A diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 9 2 cm. Calcule a medida a do apótema do quadrado.
a
A B
D C
O
11 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 3 960°. Qual é a medida de um ângulo central e de um ângu-lo externo desse polígono?
12 Calcule a razão entre as medidas dos lados do hexágono regular e as do quadrado inscritos em uma circunferência cujo raio mede 3 cm.
13 Determine a razão entre o perímetro do hexágono regular inscrito em uma circunfe-rência cujo raio mede 3 2 m e o perímetro de um hexágono regular circunscrito a essa mesma circunferência.
14 Um polígono regular tem n lados. Escreva, em função de n, a medida de um ângulo central e a medida de um ângulo interno do polígono.
A
B
O C
DESAFIO
(Enem) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segu-rança é que a base da escultura esteja inte-gralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixa-da sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?
a) R > L
VALDIR DE OLIVEIRA/FOTOARENA
a 5 30°, d 5 120°, D 5 90°
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• Na resolução do Desafio, espera-se que os alunos per-cebam a necessidade de que o quadrado de lado L esteja no interior de uma circunfe-rência de raio R. Pensando em quadrado inscrito em uma circunferência, sabemos que o limite disso é L 5 R 2.
Portanto, R L
H 2 (alterna-tiva a).
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255 15 Determine dois polígonos regulares em que
a razão entre as medidas dos ângulos inter-nos, nessa ordem, seja
5
3 e a razão entre o número de lados, nessa ordem, seja 3
1. 16 Utilize um software de Geometria dinâmica
para realizar as construções de acordo com os passos abaixo.
a) construa um pentágono regular ABCDE;
b) determine o centro O do polígono;
c) construa a circunferência de raio OA d) construa um pentágono regular FGHIJ
circunscrito à circunferência;
e) construa um apótema do pentágono me-nor e um apótema do pentágono maior;
f) verifique, utilizando a calculadora dis-ponível no software, a validade da re-lação entre as medidas dos lados dos polígonos, a medida do apótema do polígono menor e a do raio da circunfe-rência. Para isso, realize as medidas ne-cessárias com a ferramenta de medidas do software.
g) movimente os pontos do pentágono ABCDE e observe o que acontece com a relação entre as medidas do lado e do apótema dos pentágonos.
17 A figura abaixo mostra um bloco de comandos realizado no Tucaprog (software de progra-mação visual disponível em: <https://www.
humorcomciencia.com/apps/tucaprog/>.
Acesso em: 5 out. 2018).
Observe os comandos e responda às ques-tões a seguir.
a) Esse bloco de comandos dá origem a qual polígono regular?
b) Em um polígono regular temos o ângulo central, o ângulo interno e o ângulo externo.
Qual deles está representado no comando
“Virar no sentido horário 45°”?
c) Utilize o Tucaprog para construir um tetra-coságono regular (polígono com 24 lados).
Elaborando
Observe a construção a seguir.
4 cm
Considere que os triângulos HIJ e ABC são equiláteros e BC 5 4 cm.
• No caderno, elabore duas questões relacionadas com a figura.
• Troque de caderno com um colega e responda às questões elaboradas por ele.
• Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que ele respondeu corretamen-te e em que pontos ele se equivocou.
Lembre-se:
Não escreva no livro!
ADILSON SECCO
©WILLIAN SILVA/ HUMOR COM CIÊNCIA
octógono regular
ângulo externo
Construção de figura no software.
Construção de figura no software do item a ao e.
Itens f e g: respostas pessoais.
Respostas pessoais.
quadrado e dodecágono
• Caso os alunos não te-nham acesso a um software de Geometria dinâmica para realizar as construções pro-postas na atividade 16, pode--se dividir a turma em grupos e solicitar a cada aluno do grupo que faça as constru-ções com régua e compasso, considerando o pentágono inicial com lados de medidas diferentes aos dos demais co-legas. Depois, para fazerem a verificação pedida no item f, poderão usar as medidas in-dicadas nas construções dos demais colegas do grupo.
• Na atividade 17, caso os alunos não tenham acesso ao software indicado, pergunte quais seriam os comandos necessários para a construção do polígono pedido. Desse modo, deverão indicar que o processo deverá ser repetido 24 vezes, e que a distância pode variar, mas o giro deve ser de 15° no sentido horário.
Elaborando
• A seção incentiva a ela-boração de questões pelos alunos, favorecendo o de-senvolvimento das compe-tências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5.
• Exemplos de perguntas que podem ser elaboradas: Qual é a área de triângulo menor?
(Resposta: 4 3 cm); Qual é o perímetro do triângulo maior? (Resposta: 24 cm).
É hora de extrapolar
Faça as atividades no caderno.Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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