Faça as atividades no caderno.
Revisitando Revisitando
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5 Qual é a relação entre as medidas de um ângulo inscrito em uma circunferência e de um ângulo central, se ambos definem um mesmo arco de circunferência?
1 Observe a figura e escreva, no caderno, o nome de cada elemento indicado.
a) O b) AO c) BC d) DE
2 No caderno, copie os itens a seguir e substitua cada pelas palavras correspondentes, de modo a tornar as sentenças verdadeiras.
a) Se a distância entre o centro de uma circunferência e uma reta for igual ao raio, então essa reta é à circunferência.
b) Se a distância entre o centro de uma circunferência e uma reta for maior que o raio, então essa é à circunferência.
c) Se a distância entre o centro de uma circunferência e uma reta for menor que o raio, então essa reta é à circunferência.
3 Desenhe, no caderno, duas circunferências secantes usando compasso. Anote as medidas dos raios e analise a distância entre os centros dessas circunferências.
4 Sabendo que as retas PA e PB são tangentes à circunferência, demonstre, no caderno, que os arcos AC eBC
$ $ são congruentes.
ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO
1 A medida do raio de uma circunferência é dada pela expressão r 5 x 2
5 2 3. Se o diâmetro mede 18 cm, qual é o valor de x ?
2 Determine o perímetro do quadrado ABCD, sabendo que no lado AB há um ponto E, que é o ponto de tangência desse lado com a circunferência inscrita ao quadrado, e que AE 5 8 cm.
4,8 cm
Espera-se que os alunos percebam que os triângulos PAO e PBO são semelhantes pelo caso LLL. Desse modo, os ângulos AOPW eBOPW são congruentes, assim como os arcos determinados por eles. Como a reta PC divide a circunferência em duas semicircunferências, temos que os arcos AC% %eBC
são congruentes.
A medida do ângulo inscrito corresponde à metade da medida do ângulo central.
• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”
tem como objetivo retomar os conceitos e os procedi-mentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a au-toavaliação e a criatividade por meio da resolução e da elaboração de problemas.
É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios, cuidadosa-mente escolhidos, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos ad-quiridos até o momento.
Revisitando
• Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolida-dos. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos con-teúdos avaliados na seção, sugira que retomem as pági-nas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conheci-mento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.
• Na atividade 4, espera-se que os alunos percebam a se-melhança dos triângulos PAO e PBO, fundamental para a resolução da atividade.
Aplicando
• Na atividade 1, retome com os alunos a relação entre a medida do raio e a medida do diâmetro.
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233 3 Com base na figura, responda às questões:
O
a) Quais são os segmentos que indicam raios?
b) Quais são os segmentos que represen-tam cordas?
c) Qual segmento indica o diâmetro?
4 O centro de uma circunferência de raio R é O, e A, B e C são pontos quaisquer do plano em que está contida a circunferência.
Se as relações med(OA) . R, med(OB) , R e med(OC) 5 R estão satisfeitas, especifi-que o ponto externo, o ponto da circunfe-rência e o ponto interno.
5 Se a distância de um ponto exterior ao ponto mais afastado de uma circunferên-cia vale 30 cm e a medida do raio é igual a 12 cm, qual é a distância desse ponto à circunferência?
6 A distância entre os centros de duas circun-ferências secantes é de 8 cm. Se a medida do raio da circunferência menor é 5 cm, cal-cule os valores inteiros positivos, em centí-metro, que o raio da circunferência maior pode assumir.
7 A distância de uma reta ao centro de uma circunferência de 10 cm de raio é dada por d 5 x
8
5 . Sabendo que a reta é tangente à circunferência, determine x.
8 Qual é a distância e a posição de um pon-to em relação a uma circunferência de 30 cm de diâmetro, se esse ponto dista 8 cm do centro dessa circunferência?
9 Três círculos de raios 5 m, 7 m e 10 m são tangentes entre si, dois a dois, externamente.
Determine as medidas dos lados do triân gulo cujos vértices são os centros desses círculos.
10 Determine quantas retas tangentes comuns podem ser traçadas: a duas circunferências secantes; a duas circunferências externas; a duas circunferências tangentes exteriores;
a duas circunferências tangentes interiores.
DESAFIO
Considere a figura abaixo. Mostre que, se t e r são tangentes à circunferência de centro C e diâmetro MN, e MP é bissetriz de AMCX , então med(MPNV ) 5 45°.
11 Usando régua e compasso, construa, no ca-derno, um triângulo:
a) de lados 7 cm, 6 cm e 5 cm e a circunfe-rência circunscrita a ele;
Lembre-se de determinar o circuncentro (encontro das mediatrizes do triângulo).
b) de lados 8 cm, 6 cm e 6 cm e a circunfe-rência inscrita a ele.
Lembre-se de determinar o incentro (en-contro das bissetrizes do triângulo).
12 Prove que, para qualquer ponto C de uma circunferência, exceto para A e B, temos med(ACBV ) 5 90°.
A B
C
O
ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
Lembre-se:
Não escreva no livro!
A é externo, B é interno e C é o ponto da circunferência.
6 cm
x 5 16 cm 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm e 12 cm
7 cm; interno
12 m, 15 m e 17 m são isósceles;
os ângulos das bases são a e b.
A soma das medidas dos ângulos internos do :ABC é:
ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO
• O Desafio pode ser resolvi-do em dupla. Permita que os alunos exponham suas reso-luções e faça as intervenções necessárias.
Sendo t e r retas tangentes à circunferência, temos que med (AMCY ) 5 90º e alunos não se recordem, re-lembre-os de que circuncen-tro é o cencircuncen-tro da circunfe-rência e, ao mesmo tempo, intersecção das mediatrizes do triângulo inscrito nesta circunferência; incentro é o centro da circunferência e, ao mesmo tempo, intersec-ção das bissetrizes de um triângulo no qual a circun-ferência está inscrita. Assim, temos:
construção do item a:
O
B C
A
construção do item b:
O
B C
A
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ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
13 Calcule o valor de a em grau.
O
A 15° a B
DESAFIO
Na figura, os lados do triângulo retângulo BAC tangenciam a circunferência. Prove que:
b 1 c 5 a 1 2r ân-gulo de medida a, conforme a figura abaixo.
Sabendo que o arco AB$
mede 130°, determi-ne a medida a, em grau.
O
A a B
16 Com base na figura, determine as posições relativas de:
18 Determine a medida do raio da circunferên-cia inscrita em um triângulo retângulo de catetos 5 cm e 12 cm, respectivamente, e hipotenusa 13 cm.
19 Na figura, a circunferência tem centro O e diâmetro AB. Sabe-se que AD OC/ e que o arco DC$
mede 70°. Determine a medida do ângulo COBV , em grau.
• No Desafio, verifique se os alunos percebem que, como a circunferência é inscrita no triângulo, temos que:
a 5 DC 1 BE. Caso seja ne-cessário, retome a ideia de um triângulo circunscrito a uma circunferência.
Temos que DC 5 b 2 r e BE 5 c 2 r.
Como a circunferência é ins-crita no triângulo, temos que:
a 5 b 2 r 1 c 2 r ] ] a 5 b 1 c 2 2r ] ] a 1 2r 5 b 1 c
• É possível resolver a ativi-dade 14 sem aplicar a ideia de ângulo central e inscrito.
Estimule os alunos a resol-ver a questão e resol-verifique se algum deles usou a seguinte estratégia: identificando que o triângulo OOeB é isósceles de base OB , pois os segmen-tos O ’O e O’B são raios, te-mos que os ângulos ’O OBW e
’
O BOV são congruentes. Pelo teorema do ângulo externo, tem-se que a soma das medi-das desses dois ângulos mede 80o; logo, cada ângulo é 40o. De maneira análoga, o triân-gulo AOC é isósceles de base AC, pois os segmentos CO e OA são raios, e, portanto, os ângulos OACX e OCWA são congruentes. Novamente, pelo teorema do ângulo ex-terno, a soma das medidas desses dois ângulos é 40o; logo, cada ângulo mede 20o.
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ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
20 Duas circunferências são tangentes interior-mente. A distância entre os centros é igual a 18 cm, e a soma das medidas de seus circun-ferência. Qual é a medida do ângulo central correspondente a esse arco?
22 Na figura, ABCD é um quadrado e AMN é um triângulo equilátero. Os dois estão inscritos em uma mesma circunferência. Determine a medida dos ângulos BAMW e MDWC.
23 Em uma circunferência, está inscrito um triân gulo ABC. Sabendo que seu lado BC tem a mesma medida que o raio da cir-cunferência, responda: quanto mede, em grau, o ângulo BACW ?
DESAFIO
Mostre que o perímetro de todo trapézio circuns-crito a uma circunferência é igual ao quádruplo da média aritmética das medidas das bases des-se trapézio.
O
24 A distância de uma reta t ao centro de uma circunferência de 8 cm de diâmetro é dada por x
5 2 13
e o cm. Estabeleça os valores de x para que a reta e a circunferência sejam:
a) tangentes; c) externas.
b) secantes;
25 Determine a medida do raio da circunfe-rência inscrita em um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm.
26 Observe a figura abaixo e depois calcule o que se pede.
V
so-bre uma circunferência. Sabendo que med(MDBW ) 5 60° e med(BMDX ) 5 80°, de-termine a medida do ângulo ACDV .
A 80°
Não escreva no livro!
24 cm
• Na atividade 20, sugira aos alunos que façam a figura que representa o enunciado.
• O Desafio solicita aos alu-nos que mostrem que o pe-rímetro de todo trapézio circunscrito a um círculo é igual ao quádruplo da mé-dia aritmética das medidas das bases desse trapézio. Su-gerimos retomar a proprie-dade: a soma das medidas de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência é igual à soma das medidas dos ou-tros dois. Dessa forma, se denotarmos por x e y as me-didas das bases do trapézio e por w e z as medidas dos lados não paralelos, temos que o perímetro do trapézio é dado por:
Portanto, o perímetro do tra-pézio circunscrito a um círculo é igual ao quádruplo da mé-dia aritmética das medidas das bases desse trapézio.
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29 Na figura, AB é um diâmetro da circunfe-rência e J 5 75°. Determine a medida do menor arco da circunferência que liga B a C.
C J
A B
O
30 Dada a imagem a seguir, o que podemos afirmar sobre os ângulos CV, DW e EW?
DESAFIO
Observe a figura e responda às questões.
A
O B
x
z
y y
z x
C
a) Qual é o valor de x 1 y 1 z?
b) Podemos afirmar que med(BOCV ) 5 2(x 1 z)?
Elaborando
Utilizando um software de Geometria dinâmica, faça uma construção geométrica de acordo com os passos a seguir.
1o) Construa uma circunferência C1 de centro em A e raio AB. 2o) Construa uma circunferência C2 de centro em B e raio AB.
3o) Marque C, uma das intersecções entre as circunferências C1 e C2. 4o) Trace a reta CA.
5o) Marque D, intersecção da circunferência C1 com a reta CA, D % C.
6o) Trace a semirreta AB. 7o) Trace a semirreta DB.
Agora faça o que se pede:
• Utilizando as ferramentas do software, analise a construção realizada e indique a relação entre os ângulos CABW e CDBW .
• No caderno, elabore uma questão sobre a construção realizada de maneira que um colega possa responder utilizando os recursos disponíveis no software de Geometria dinâmica.
• Troque de caderno com um colega e responda à questão elaborada por ele.
• Em dupla com o colega que respondeu à sua questão, troquem as descobertas que fizeram com a construção e a investigação dos passos descritos.
A B C
D E
ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI
Lembre-se:
Não escreva no livro!
30°
São todos ângulos retos.
Resposta pessoais.
2x 1 2y 1 2z 5 180° ] x 1 y 1 z 5 90°
sim, pois: med(BOCW ) 1 2y 5 180° ] med(BOCW ) 5 5 180° 2 2y 5 2x 1 2z 5 2(x 1 z)
• Para resolver o Desafio, retome com os alunos que a soma das medidas ângulos internos de um triângulo é 180o e que uma volta comple-ta na circunferência equivale a 360o.
Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
A
B C2
C1 C
D
ADILSON SECCO
med (CAXB) 5 2 3 med (CDWB) Sugestão de questão: Que tipo de triângulo os pontos A, B e C formam? (Resposta:
equilátero).
Elaborando
• A seção incentiva a criativi-dade e a elaboração de ques-tões pelos alunos, favorecen-do o desenvolvimento das competências gerais 2 e 10.
• Exemplo de construção, usando um software de Geo-metria dinâmica:
CAPÍTULO