Resultados de Simulações – Modelo Proposto

Nesta seção, são apresentados os resultados das simulações feitas com o modelo proposto na Seção 3.5, para fins de ilustração de suas propriedades numéricas. As condições simuladas são escolhidas de modo a ilustrar a capacidade do modelo proposto de representar satisfatoriamente a maior parte dos fenômenos não-lineares comumente associados à ação do atrito, usando-se o comportamento do modelo LuGre original como referência de comparação.

O conjunto de simulações é o mesmo apresentado em Canudas et al. (1995) para ilustrar as propriedades do modelo LuGre original, e a maior parte dos parâmetros utilizados são os

mesmos do referido trabalho, sendo seus valores dados na Tab. 3.1. O único parâmetro que varia é a constante k_V utilizada no argumento do termo de suavização S &₀(y). Com respeito a esse parâmetro, três simulações são executadas, uma para cada um dos seguintes valores de

V

k : 106 [s/m], 107 [s/m] e 108 [s/m]. Os resultados obtidos em cada caso são apresentados todos juntos para fins de comparação. Todas as simulações foram realizadas no pacote computacional Matlab-Simulink, utilizando o método de integração de Runge-Kutta com passo de _2⋅10−5 _[s].

Tabela 3.1 Parâmetros empregados nas simulações

Parâmetro Valor Unidades

0 σ 5 10 [N/m] 1 σ ₁₀5 _[Ns/m] 2 σ 0,4 [Ns/m] C F 1,0 [N] S F 1,5 [N] S v 0,001 [m/s]

O primeiro conjunto de simulações trata do fenômeno denominado movimento de pré- deslizamento (pre-sliding displacement). Esse movimento ocorre quando uma força é aplicada a um corpo em repouso sobre uma superfície, mas sua magnitude não é suficiente para superar a força de atrito estático. Nessas condições, devido ao comportamento aproximadamente elástico das rugosidades presentes nas superfícies de contato, o corpo apresenta deslocamentos muito pequenos, que existem somente enquanto a força externa é aplicada. Quando essa força cessa de existir, as rugosidades voltam a uma condição de relaxamento, e o corpo retorna à sua posição original. Dessa forma, percebe-se que tal movimento não configura uma condição real de translação, pois o retorno do corpo à sua origem não requer a aplicação de uma nova força externa de sentido oposto ao da primeira para acontecer.

A fim de se representar esse comportamento, simulou-se a aplicação de uma força a um corpo de massa unitária e sujeito aos efeitos do atrito, conforme representado na Fig. 3.5.

Figura 3.5 – Representação do sistema simulado

Sobre esse corpo, foi aplicada uma força Fcuja magnitude era variada linearmente com o tempo com inclinação muito pequena (1/20 [N/s]). Inicialmente, essa força foi variada positivamente desde zero até 1,425 [N], o que corresponde a 95% do valor definido para a força de atrito estático (veja a Tab. 1). Depois de se manter nesse patamar durante algum tempo (15 segundos), o valor de F foi gradualmente decrescido (com a mesma inclinação absoluta) até atingir -1,425 [N]. Após permanecer por mais 15 segundos nessa condição, o valor absoluto dessa força foi novamente reduzido até zero, com a mesma taxa de variação. Os resultados obtidos nas simulações para cada valor de k_V são dados na Fig. 3.6. Nela, pode-se perceber que as previsões feitas por meio do modelo proposto estão qualitativamente de acordo com aquelas do modelo LuGre original. Quantitativamente, porém, observa-se que boas aproximações só são obtidas para valores elevados de k_V (da ordem de 107 [s/m]).

Figura 3.6 – Resultados das simulações para o movimento de pré-deslizamento

Também é possível ilustrar-se a capacidade do modelo proposto de representar o movimento adere-desliza (stick-slip motion), um fenômeno que ocorre a baixas velocidades.

Esse efeito pode ser compreendido por meio de um sistema massa-mola sujeito a atrito, como o ilustrado na Fig. 3.7. A entrada de excitação do sistema é o deslocamento x sofrido pela extremidade direita da mola, que ocorre a uma velocidade muito baixa.

Figura 3.7 – Sistema físico utilizado para representar o efeito do movimento adere-desliza

Estando o sistema inicialmente em repouso, à medida que a mola é puxada para a direita, a magnitude da força elástica aplicada à massa aumenta. Quando o valor dessa força se torna grande o suficiente para superar o atrito estático, o objeto começa a se mover para a direita. Segundo o comportamento da força de atrito em função da velocidade apresentado na Fig. 3.2, nessas circunstâncias, o valor absoluto dessa força é reduzido abruptamente, de modo que o corpo adquire uma grande aceleração nos estágios iniciais de seu movimento. Em decorrência disso, a variação de comprimento x−y da mola é rapidamente reduzida, e a magnitude da força elástica aplicada pela mesma torna- se inferior à da força de atrito. Assim, o corpo tem sua velocidade reduzida de forma igualmente abrupta, logo retornando ao repouso. Esse processo se repete à medida que a mola continua a ser puxada para a direita. Assim, é possível inferir que, nessas condições, o movimento resultante do corpo apresenta um padrão repetitivo, alternando períodos de imobilidade com outros de curta duração e forte variação na velocidade.

A situação acima descrita foi simulada com um bloco de massa unitária e uma mola com rigidez de 2 [N/m]. Os resultados obtidos são dados na Fig. 3.8. Percebe-se que a similaridade entre os resultados obtidos e com relação ao modelo LuGre é maior do que aquela obtida no caso do movimento de pré-deslizamento. Na visão detalhada (Fig. 3.8(b)), percebe-se que a respostas entre os diferentes modelos só pode ser distinguida para o caso em que ₌₁₀6

V

(a) simulação completa (b) visão em detalhe

Figura 3.8 – Resultados das simulações para o movimento adere-desliza

O próximo conjunto de simulações refere-se à predição de ciclos-limites em um sistema controlado em malha fechada. Trata-se de um problema que pode ocorrer em tarefas de posicionamento sujeitas a condições de atrito seco muito severas, especialmente nos casos em que os erros de posicionamento solicitados são muito pequenos. Esse fenômeno é estreitamente relacionado com o movimento adere-desliza. Dependendo de suas características construtivas, o atuador empregado para controlar a tarefa de posicionamento pode não ter uma resposta rápida o suficiente para acompanhar a variação repentina na força de atrito quando o objeto manipulado entra em movimento. Dessa forma, o atuador age sobre o sistema de maneira análoga àquela da mola considerada no caso do movimento adere- desliza, aplicando uma força excessiva ao objeto manipulado nos primeiros instantes de seu movimento e, com isso, fazendo-o ultrapassar a posição desejada antes de parar. Então, quando o sistema de controle reverte sua ação a fim de posicionar o objeto corretamente, o mesmo efeito volta a ocorrer, dessa vez no sentido oposto. Sob determinadas condições, esse fenômeno pode entrar em um processo de repetição indefinida, fazendo com que o objeto manipulado seja mantido em constante movimento em torno da posição desejada, mas nunca parando nela como pretendido.

O fenômeno acima foi simulado usando-se uma vez mais uma massa unitária sujeita ao atrito gerado pelos dois modelos aqui discutidos. O controlador utilizado foi do tipo PID, conforme ilustrado na Fig. 3.9. Assim como no exemplo originalmente proposto por Canudas de Wit et al., 1995, os ganhos do controlador utilizado são KP =3, KI =4 e KD =6. A

saída y do sistema foi solicitada a seguir uma entrada tipo salto unitário y_d, iniciada em 10

= t s.

Figura 3.9 – Sistema simulado para observação dos ciclos-limites

Figura 3.10 – Resultados das simulações para os ciclos-limites

Como se pode observar na Fig. 3.10, os dois modelos prevêem a ocorrência de ciclos- limites. Além disso, também se observa que as respostas do modelo proposto se aproximam muito daquelas do modelo original para valores de k_V iguais ou superiores a ₁₀7_{[s/m]. Nas}

vistas em detalhe apresentadas na Fig. 3.11, percebe-se que o efeito de um valor de k_V muito pequeno se reflete pouco na amplitude do ciclo-limite obtido, sendo mais perceptível na fase da resposta periódica em regime permanente: para ₌₁₀6

V

k [s/m], a resposta obtida tem um claro atraso em relação aos demais casos simulados.

(a) transiente inicial (b) regime permanente

Figura 3.11 – Resultados das simulações para os ciclos-limites – vista detalhada

(a) todos os testes realizados (b) vista em detalhe

Figura 3.12 – Resultados das simulações para forças de quebra variável

Outro importante fenômeno inerente ao comportamento do atrito é a força de quebra variável, isto é, a variação no valor da força de atrito para a qual se observa uma variação abrupta na velocidade de um corpo, indicando que ele acaba de assumir um movimento translacional propriamente dito. O valor dessa força de quebra depende da taxa com que o módulo força externa aplicada ao corpo é aumentado: em linhas gerais, quanto mais rápido é o crescimento dessa força externa, menor é o valor da força de quebra correspondente. Esse efeito foi simulado utilizando-se novamente o sistema representado na Fig. 3.5, variando-se a taxa de crescimento da força aplicada a cada simulação, e identificando-se o instante em que a velocidade resultante do sistema apresentava uma variação repentina e significativa. Os

resultados obtidos estão ilustrados na Fig. 3.12. Uma vez mais, verifica-se que valores de k_V

iguais ou superiores a ₁₀7_{[s/m] levam a predições do modelo proposto que são muito}

próximas daquelas obtidas por meio do modelo LuGre original.