Neste tópico serão expostos os resultados adquiridos com o desenvolvimento
do programa, analisando o que foi apresentado com exemplos e exercícios de alguns
livros de resistência dos materiais, como o Hibbeler (2010) e o Beer (2011). Em todos
os problemas será utilizado o método das seções para sua resolução, uma vez que,
o programa desenvolvido apresenta a mesma metodologia. Para que assim, possam
ser feitas as devidas análises sobre o funcionamento e qualidade de resposta do
programa.
4.1. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO E DUAS CARGAS PONTUAIS
Para o caso 5.47 do livro do Beer 5ª edição, capitulo 5. Tem-se uma viga
biapoiada, com um carregamento uniformemente distribuído ao longo de toda a viga
juntamente com duas cargas pontuais nos nós B e C (ver Figura 34). Será realizado
o traçado dos diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga.
Figura 34 - Problema estrutural com carregamento distribuído e forças pontuais.
Fonte: Beer (2011).
Nesse exemplo, o primeiro passo para sua resolução por meio do programa
apresentado é a implantação dos dados que o problema oferece. Com isso, é feito a
plotagem do problema estrutural para o relatório (ver figura 35).
Webert Araújo Oliveira, Página 40 Figura 35 - Problema estrutural desenvolvido com o programa.
Fonte: Autoria própria.
Em seguida temos a apresentação do DCL, para o problema, exibindo todas as
forças atuantes na viga, assim como as reações presentes, graças aos seus apoios.
Com a imagem do DCL (figura 36), o passo seguinte para resolução do exercício é a
determinação dos valores de cada reação (ver figura 37).
Figura 36 - Representação do DCL.
Fonte: Autoria própria.
Figura 37 - Cálculo das reações do problema estrutural.
Webert Araújo Oliveira, Página 41
Dessa forma, ocorreu a divisão dos elementos em trechos, de acordo com o
método das seções (figura 38) e com isso, foram obtidas as equações dos esforços
normal, cortante e fletor, para cada seção (ver figura 39).
Figura 38 - Seccionamento da viga pelo método das seções.
Fonte: Autoria própria.
Figura 39 - Equações dos esforços internos para o primeiro trecho.
Fonte: Autoria própria.
O mesmo procedimento foi realizado para a segunda seção como podemos
observar na figura 40. Juntamente com sua seção pode-se observar as equações
desse trecho (ver figura 41).
Webert Araújo Oliveira, Página 42 Figura 40 - Seção do trecho BC para o exemplo 5.47.
Fonte: Autoria própria.
Figura 41 - Equações dos esforços internos para a segunda seção.
Fonte: Autoria própria.
Para o trecho CD também houve uma divisão devido a mudança entre a força
pontual do nó C e a distribuída presente na última parte da viga. Assim, podemos ver
nas figuras 42 e 43 esse seccionamento e as equações de momento e esforço para
aquela barra.
Figura 42 - Divisão para o trecho CD.
Webert Araújo Oliveira, Página 43 Figura 43 - Equações para a última seção.
Fonte: Autoria própria.
Por fim, são foram feitas as plotagens de seus diagramas para cada esforço,
com o intuito de se fazer uma análise do elemento exposto. Após o desenvolvimento
de todo o relatório, percebesse uma igualdade em todos os valores e representações
gráficas do programa com a resolução do exercício por meio do autor do livro (ver
figuras 44, 45, 46 e 47).
Figura 44 - Diagrama de esforço cortante proposto pelo livro.
Webert Araújo Oliveira, Página 44 Figura 45 - Diagrama de esforço cortante desenvolvido pelo programa
Fonte: Autoria própria.
O livro nos mostra uma solução geral para quaisquer valores de carregamento
e tamanho do elemento. Atribuindo informações para o programa, é possível perceber
que não se tem diferenças nos traçados mostrando assim uma eficiência do programa.
Figura 46 - Diagrama de momento fletor obtido pelo livro.
Fonte: Beer (2011).
Figura 47 - Diagrama de momento fletor apresentado por meio do programa.
Webert Araújo Oliveira, Página 45
Assim como nos gráficos anteriores, a semelhança entre o diagrama de
momento fletor feito pelo livro e programa, nos mostra mais uma vez a efetividade
para resolução do problema que foi proposto.
4.2. VIGA ENGASTADA COM CARREGAMENTO LINEARMENTE DISTRIBUÍDO
O problema
5.4do livro do Beer 5ª edição, capitulo 5 e página 336 mostra uma
viga engastada com carregamento linearmente distribuído ao longo do eixo da viga
(ver Figura 48).
O problema pede para que seja realizado o traçado dos diagramas demomento fletor e esforço cortante nessa viga.
Figura 48 - Problema proposto pelo livro.
Fonte: Beer (2011).
Neste problema o autor não nos fornece dados, para que possamos inseri-los
no programa, se fazendo necessário a suposição das informações iniciais para
entrada no programa. Assim, por meio desses dados pode ser feito a plotagem do
problema estrutural. (ver figura 49).
Figura 49 - Problema estrutural desenvolvido com o programa.
Webert Araújo Oliveira, Página 46
Com a representação do exercício, a passo seguinte foi o desenvolvimento do
diagrama de corpo livre, onde foi explicitado todas as forças e reações atuantes na
viga estudada (ver figura 50). A partir do DCL, foram calculados os valores para as
reações verticais atuantes no elemento, como mostra a figura 51.
Figura 50 - DCL do programa.
Fonte: Autoria própria.
Figura 51 - Obtenção das reações.
Fonte: Autoria própria.
Após encontrados os valores das reações, foi feito o seccionamento da viga
(figura 52), para se determinar as equações dos esforços internos no seu trecho (figura
53).
Webert Araújo Oliveira, Página 47 Figura 52 - Divisão da viga em seções.
Fonte: Autoria própria.
Figura 53 - Equações dos esforços internos.
Fonte: Autoria própria.
Como último ponto para o desenvolvimento do relatório foi obtido a plotagem
dos diagramas para esforço cortante e momento fletor (ver figuras 54 e 55). Executado
todos os passos e finalizado o relatório pode ser feito a análise para as reações
encontradas e traçados determinados.
Figura 54 - Diagrama de esforço cortante do programa.
Webert Araújo Oliveira, Página 48 Figura 55 - Diagrama de momento fletor feito pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
De Acordo com os resultados propostos pelo livro e fazendo uma comparação
com o relatório do programa, observou-se semelhança no traçado do gráfico de
momento fletor e pelo esforço cortante. Ainda foi apresentado os valores encontrados
para as reações. Desse modo, o programa satisfez todas as exigências propostas
pelo exercício (ver figuras 56 e 57).
Figura 56 - Diagrama de esforço cortante apresentado pelo livro.
Fonte: Beer (2011).
Figura 57 - Diagrama de momento fletor do livro.
Webert Araújo Oliveira, Página 49
4.3. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORME
DISTRIBUÍDO E CARGA PONTUAL
O problema 5.10 do livro do Beer 5ª edição e capitulo 5 dos problemas propostos, temos uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído entre o seu primeiro trecho AC, além de uma carga pontual no seu último nó, no trecho CB (ver Figura 58). A questão pede para se obter os valores máximos de momento fletor e esforço cortante da viga, mas vamos nos deter apenas aos traçados dos diagramas que são o foco desse trabalho.
Figura 58 - Problema estrutural proposto pelo livro.
Fonte: Beer (2011).
A partir dos dados fornecidos pelo livro, foi feito a plotagem do primeiro passo
do relatório, com a apresentação do problema estrutural para o usuário, com base nos
dados inseridos no programa inicialmente (ver figura 59).
Figura 59 - Problema proposto pelo programa.
Webert Araújo Oliveira, Página 50
Com problema estrutural apresentado o próximo passo foi a obtenção do DCL,
para o exercício com todas as forças presentes no elemento (ver figura 60). Por meio
do DCL, foram obtidas as equações para o cálculo das reações encontradas na viga.
Seus valores estão expostos na figura 61.
Figura 60 - Imagem do DCL para o exercício.
Fonte: Autoria própria.
Figura 61 - Equações e valores das reações presentes na viga.
Fonte: Autoria própria.
Encontradas as reações, foi realizado o seccionamento da viga me duas
seções para realização das análises de seus esforços internos, afim de se descobrir
suas equações para cada trecho e assim poder montar os diagramas de tais forças.
Nas figuras 62 e 63, pode ser visto a primeira seção da viga, assim como, suas
equações.
Webert Araújo Oliveira, Página 51 Figura 62 - Primeiro seccionamento da viga.
Fonte: Autoria própria.
Figura 63 - Equações dos esforços para o primeiro trecho.
Fonte: Autoria própria.
O processo se repete para o próximo trecho, neste caso tem-se duas divisões
devido a mudança de carregamento que ocorre no elemento entre a carga distribuída
e a força pontual. Assim como no primeiro trecho, temos a ilustração de sua nova
seção (figura 64) e suas equações (figura 65).
Figura 64 - Seção para o segundo trecho da viga.
Webert Araújo Oliveira, Página 52 Figura 65 - Equações dos esforços para o trecho BC.
Fonte: Autoria própria.
Com a obtenção de todas as equações pode ser feito então a plotagem dos
diagramas de esforço cortante e momento fletor, para assim fazer suas análises de
acordo os gráficos apresentados pela resolução do livro. Nas figuras 66 e 67 temos a
ilustração desses diagramas propostos pelo programa.
Figura 66 - Diagrama de esforço cortante feito pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
Figura 67 - Diagrama de momento fletor do programa.
Webert Araújo Oliveira, Página 53
Ao final do relatório com a obtenção de todas os valores e gráficos necessários
para o problema foi feito a análise juntamente com os diagramas propostos pelo livro
e ao observar as figuras 68 e 69, temos uma semelhança nos traçados, nos mostrando
que o programa conseguiu mais uma vez resolver e apresentar os resultados do
exercício.
Figura 68 - Diagrama de esforço cortante realizado pelo livro.
Fonte: Beer (2011).
Figura 69 - Diagrama de momento fletor obtido pelo livro.
Fonte: Beer (2011).
4.4. VIGA ENGASTADA COM CARREGAMENTO UNIFORME DISTRIBUÍDO,
CARGAS PONTUAIS E MOMENTO ATUANTE
No livro do Hibbeler 7ª edição, capitulo 6, há um exemplo com uma viga engastada que apresenta um carregamento uniforme distribuído no seu primeiro trecho, além de duas cargas pontuais em dois pontos do elemento, um deles sendo na extremidade e um momento atuante na extremidade da viga (ver Figura 70). O Exemplo pede para representar graficamente os diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga assim como suas equações em cada trecho.
Webert Araújo Oliveira, Página 54 Figura 70 - Exercício proposto.
Fonte: Hibbeler (2010).
Inserindo os dados iniciais do problema no programa, temos a representação
de seu elemento com todas as suas cargas atuantes e seu apoio determinando o tipo
de viga analisada. A ilustração da figura 71 mostra todas essas informações, para
início de resolução.
Figura 71 - Problema estrutural apresentado pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
Desse modo, a próxima etapa para resolução da atividade é o desenvolvimento
do DCL que ode ser visto na figura 72 e com ele observar as forças e reações
presentes no elemento, para que com isso se obtenha os valores dessas reações (ver
figura 73).
Figura 72 - Desenvolvimento do DCL.
Webert Araújo Oliveira, Página 55 Figura 73 - Cálculo das reações.
Fonte: Autoria própria.
O próximo passo é fazer o seccionamento da viga, para este exemplo serão
feitas duas divisões sendo elas entre a carga distribuída e as forças pontuais, como
se tem no método onde se secciona sempre na mudança de carregamento. Assim
para o primeiro trecho temos a seguinte imagem de sua seção (figura 74) e equações
de esforço cortante e momento fletor (figura 75).
Figura 74 - Seção referente ao trecho AB.
Webert Araújo Oliveira, Página 56 Figura 75 - Equações dos esforços internos para a primeira seção.
Fonte: Autoria própria.
Seguindo o raciocínio anterior temos a divisão da segunda seção entre as duas
cargas pontuais e o momento. Com isso, obtemos o segundo trecho dividido
apresentado na figura 76 e junto do mesmo as suas equações de esforços internos
como mostra a figura 77.
Figura 76 - Seção para o trecho BC.
Fonte: Autoria própria.
Figura 77 - Equações dos esforços para o segundo trecho.
Webert Araújo Oliveira, Página 57
Para finalizar o relatório deste exercício foram executados os diagramas dos
esforços por meio de suas equações para cada trecho e com isso, pode ser observado
e comparado com os gráficos presentes no problema. Os diagramas desenvolvidos
pelo programa são vistos nas figuras abaixo.
Figura 78 - Diagrama de esforço cortante.
Fonte: Autoria própria.
Figura 79 - Diagrama de momento fletor.
Fonte: Autoria própria.
Nas figuras 80 e 81 Temos a resposta do livro, apresentando seus gráficos, por
meio de suas equações. Ao se comparar com os diagramas desenvolvidos pelo
programa vemos sua igualdade e com isso temos mais um tipo de problema que pode
ser solucionado.
Webert Araújo Oliveira, Página 58 Figura 80 - Diagrama de esforço cortante feito pelo livro.
Fonte: Hibbeler (2010).
Figura 81 - Diagrama de momento fletor executado pelo Hibbeler.
Fonte: Hibbeler (2010).
4.5. VIGA ENGASTADA COM CARREGAMENTO TRAPEZOIDAL DISTRIBUÍDO
AO LONGO DE SEU EIXO
No exemplo 6.38 do livro do Hibbeler 7ª edição, capitulo 6. Pede para simular graficamente os diagramas de momento fletor e esforço cortante para uma viga engastada com carga trapezoidal posicionada ao longo da viga (ver Figura 82).
Figura 82 - Problema proposto 6.38.
Webert Araújo Oliveira, Página 59
Assim como nos problemas anteriores, foi utilizado os dados fornecidos no
exemplo para desenvolvimento do relatório e posteriormente feito sua análise,
comparando com o resultado do livro. Dessa forma, na figura 83 temos o problema
executado pelo programa, realizando assim o primeiro passo para obtenção do
relatório.
Figura 83 - Problema exposto pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
Em seguida temos o desenvolvimento do diagrama de corpo livre e juntamente
com ele as equações em x, y e do momento no ponto A, para o cálculo das reações
desenvolvidas pelo engaste presente na viga. O DCL está representado na figura 84
e os valores das reações na imagem 85.
Figura 84 - DCL referente ao exercício proposto.
Webert Araújo Oliveira, Página 60 Figura 85 - Reações desenvolvidas pelo engaste.
Fonte: Autoria própria.
Por não existir troca de carregamento ao longo do elemento, neste caso a carga
trapezoidal atua sozinha em toda a viga, foi feito apenas uma divisão no trecho para
se obter seus esforços internos. Com isso, nas figuras abaixo temos a seção e suas
equações.
Figura 86 - Seção do trecho AB.
Fonte: Autoria própria.
Figura 87 - Equações dos esforços internos para a viga analisada.
Webert Araújo Oliveira, Página 61
Por fim, temos a execução dos diagramas por parte do programa para
completar o relatório e assim analisar se seus resultados condizem com os
apresentados pela resolução do livro. Observando os gráficos de ambos temos mais
uma vez a obtenção do mesmo resultado, resultando em mais um tipo de problema
que pode ser resolvido por meio do programa proposto. Nas figuras que seguem
tem-se o detem-senvolvimento de cada meio para os diagramas.
Figura 88 - Diagrama de esforço cortante feito pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
Figura 89 - Diagrama de esforço cortante desenvolvido pelo livro.
Webert Araújo Oliveira, Página 62 Figura 90 - Diagrama de momento fletor realizado pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
Figura 91 - Diagrama de momento fletor resultante do livro.
Fonte: Hibbeler (2010).
4.6. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO PARABÓLICO
DISTRIBUÍDO AO LONGO DE SEU EIXO
Para este exemplo será avaliado a capacidade do programa de resolver um
problema com carregamento parabólico, por meio da aproximação dessa carga com
segmentos de retas, fazendo com que a mesma apresente um comportamento linear.
Na figura 92 temos a apresentação do problema.
Webert Araújo Oliveira, Página 63 Figura 92 - Representação de problema com carga em forma de parábola.
Fonte: Hibbeler (2010).
Para resolução de tal problema, foi feito a divisão dessa viga em vários
segmentos de modo que sua carga tivesse um comportamento linear ao longo das
divisões. Com os dados fornecidos foi montado o seguinte script no programa para
resolução da viga (ver figura 93).
Figura 93 - Implantação de dados no programa.
Fonte: Hibbeler (2010).
Com isso, foram feitas essas repartições até que ocorresse uma convergência
nos valores de suas reações, onde em determinado ponto não houvesse uma
mudança brusca nos resultados encontrados. Assim, foram feitos testes com até 8
Webert Araújo Oliveira, Página 64
divisões da viga e sua carga. Nas figuras 94 e 95 temos algumas dessas repartições,
a primeira com 3 e a segunda com 7.
Figura 94 - Problema e DCL proposto pelo programa com 3 divisões.
Fonte: Autoria própria.
Figura 95 - Problema e DCL proposto pelo programa com 7 divisões.
Fonte: Autoria própria.
Para obtenção do valor da carga distribuída em cada trecho foi utilizado a
equação de w apresentada pelo problema da figura 92. Com isso cada força era
sessenta vezes a distância do seu trecho. Com o DCL feito para as divisões, foram
Webert Araújo Oliveira, Página 65
calculados os valores de suas reações. Nas ilustrações abaixo temos as diferenças
entre as reações com 3 divisões e com 7.
Figura 96 - Valores das reações com 3 divisões.
Fonte: Autoria própria.
Figura 97 - Valores das reações com 7 divisões.
Fonte: Autoria própria.
Após 8 repartições, os valores apresentados tinham uma variação pequena em
seu valor (ver tabela 1). dessa forma, com a convergência desses valores e fazendo
a resolução de tal exemplo a mão temos uma coerência nos resultados do programa,
visto que os valores das reações para esse caso são de 40 kN em VA e 120 kN em
VH. Se continuássemos a fazer mais interações chegaríamos a tal valor fechado.
Webert Araújo Oliveira, Página 66 Tabela 1 - Valores das reações em cada divisão.
DIVISÕES VA (kN) VC (kN)
2 49,95 130,05
3 44,24 124,31
4 42,71 122,29
5 41,69 121,51
6 41,35 120,87
7 40,70 120,93
8 40,72 120,52
Fonte: Autoria própria.
Dessa forma, o programa desenvolveu para o seu relatório as seções de cada
trecho e com elas as equações para o esforço cortante e momento fletor em cada
divisão. E a partir dessas equações, foram executados os diagramas para os dois
tipos de esforços, que podem ser vistos nas figuras 98 e 99.
Figura 98 - Diagrama de esforço cortante feito pelo programa.
Webert Araújo Oliveira, Página 67 Figura 99 - Diagrama de momento fletor obtido pelo programa.
Fonte: Autoria própria.
Após feita todas as análises dos casos, temos que suas exigências foram
executadas com perfeição pelo programa, mostrando que o mesmo apresenta grande
confiabilidade e que é capaz de resolver qualquer tipo de exercício sobre análise de
vigas, quanto ao traçado de diagramas além da resolução de suas equações e
obtenção dos valores das reações.
Assim como nos livros, o programa apresenta o sentido para o gráfico de
momento fletor invertido, uma vez que para se ter melhor visão e análise os valores
negativos desse diagrama se apresentam acima do eixo y, enquanto os positivos
ficam abaixo.
Webert Araújo Oliveira, Página 68
5. CONCLUSÃO
Neste capítulo serão abordadas algumas informações sobre os resultados obtidos em todo o trabalho. De forma geral o programa se mostrou eficiente e com ótimo desempenho para os tipos de vigas analisadas, alcançando os diagramas com dados de forma generalizada inseridos pelo usuário. O mesmo ainda demonstrou versatilidade em seu manuseio.