Resultados iniciais - O problema das universidades

O problema das universidades

3.1 Resultados iniciais

Nesta seçcão vão ser apresentadas defini¸cões e resultados que irão ser necessários no decor-rer deste cap´ıtulo. Para além destes resultados, vai-se apresentar uma forma de se obter uma atribui¸cão estável para qualquer problema de admissões ou mostrar que ela não existe. Um problema de admissões (ou de recrutamento) é caracterizado por dois conjuntos finitos de agentes, duas listas de preferências de cada elemento de cada conjunto sobre os elementos do outro e uma quota, um número inteiro superior a zero, para cada elemento de um dos conjuntos.

Assim, para este problema, vão-se considerar dois conjuntos finitos distintos de agentes, U = u1, u₂, ..., u_{|U |} o conjunto das “universidades” e A = a1, a₂, ..., a_|A| o conjunto dos “alunos”. Cada aluno estabelece uma ordem de preferências estrita no conjunto das universidades a que se candidata e cada universidade estabelece uma ordem de preferências estrita no conjunto dos alunos que admite como candidatos. Tem-se ainda que cada univer-sidade tem uma quota (numerus clausus) para preencher, isto é, as universidades admitem que lhes seja atribu´ıdo um número de candidatos maior ou igual a um.

Para simplificar a visualiza¸cão, o problema de admissões vai ser representado por (Γ, q), em que Γ é um grafo dirigido, o grafo de admissões, e q =

qu1, qu2, ..., qu_{|U |}

é um vector de entradas inteiras positivas, tal que q_u_i é a quota da universidade u_i ∈ U . Os vértices do grafo de admissões Γ são pares ordenados da forma (u, a), com u ∈ U e a ∈ A, em que u é aceitável para a e a para u. Estes vértices estão localizados numa grelha U × A em que cada linha corresponde a uma universidade u ∈ U e cada coluna a um aluno (candidato) a ∈ A. As arestas dirigidas de Γ são pares ordenados de vértices e são de dois tipos: arestas horizontais da forma ((uk, ai) , (uk, aj)) que expressa a preferência da universidade u_k pelo candidato a_j em detrimento do candidato a_i, sendo a aresta orientada de (u_k, a_i) para (uk, aj); arestas verticais da forma ((ui, ak) , (uj, ak)) que expressa a preferência do aluno a_kpela universidade u_j em detrimento da universidade u_i, sendo a aresta orientada de

(u_i, a_k) para (u_j, a_k). Se a universidade u_k ∈ U prefere o candidato a_j ao candidato a_i, com a_i, a_j ∈ A, esta preferência vai ser escrita, no decorrer deste trabalho, da forma a_j >_u_k a_i; se o candidato a_k ∈ A prefere a universidade u_j à universidade u_i, com u_i, u_j ∈ U , esta preferência vai ser escrita da forma u_j >_a_k u_i. A quota de cada universidade u ∈ U , q_u, ´

e colocada a direita da linha do grafo correspondente a u. Na figura 3.1 pode-se ver um exemplo de um problema de admissões. Para já, não se distingue os vértives brancos dos pretos.

Figura 3.1: Um problema de admissões e uma atribui¸cão (vértices pretos).

Note-se que as arestas obtidas por transitividade são omitidas, isto é, se, por exemplo, o candidato a ∈ A tem a seguinte lista de preferências relativamente a três universidades:

a: ... u_i u_j u_k ...

com u_i, u_j, u_k ∈ U , tem-se que u_i >_a u_k, mas no grafo apenas irão aparecer as arestas ((uj, a) , (ui, a)) e ((uk, a) , (uj, a)). No exemplo da figura anterior, tem-se que a universi-dade u₁ prefere o candidato a₁ ao candidato a₂, no entanto não se representou a aresta ((u1, a2) , (u1, a1)), já que esta é obtida por transitividade através das arestas

((u₁, a₂) , (u₁, a₃)) e ((u₁, a₃) , (u₁, a₁)).

Com a ordem de preferˆencias que ´e estabelecida tanto nas linhas como nas colunas de Γ, ´

sem qualquer ambiguidade. Assim, os sucessores na linha do vértice (u, a) são os vértices da forma (u, a_j) tais que a_j >_u a; os sucessores na coluna do vértice (u, a) são os vértices da forma (u_i, a) tais que u_i >_a u. Os antecessores na linha e na coluna são definidos da mesma forma, mudando-se apenas o sentido da desigualdade. No exemplo da figura 3.1, tem-se que os sucessores na linha do vértice (u₃, a₇) são os vértices (u₃, a₆), (u₃, a₅) e (u₃, a₈) e os seus antecessores na linha são (u₃, a₁), (u₃, a₂), (u₃, a₄) e (u₃, a₃); o vértice (u₃, a₇) não tem sucessores na coluna e os seus antecessores na coluna são (u₁, a₇), (u₂, a₇) e (u₄, a₇). O melhor vértice de uma coluna é aquele que não tem sucessores nessa coluna; um conjunto R de vértices de uma linha u ∈ U tal que cada um dos seus elementos não tem qualquer sucessor que não esteja em R diz-se o melhor conjunto de vértices na linha u.

Uma atribui¸cão µ num problema de admissões (Γ, q) é um conjunto de vértices de Γ que tem no máximo um vértice em cada coluna e no máximo qu vértices na linha u, para cada u ∈ U . Para além disso, o facto de um vértice (u_i, a_j) ∈ µ quer dizer que µ atribui aj à universidade ui. Na figura 3.1, os vértices pretos representam uma atribui¸cão no problema de admissões apresentado; é de salientar que esta atribui¸cão preenche todas as quotas, mas não atribui o candidato a8 a qualquer universidade.

Uma atribui¸cão µ diz-se estável se, para todo o vértice (u, a) ∈ Γ, pelo menos uma das seguintes condi¸cões se verifica:

1. (u, a) ∈ µ;

2. (u, a) tem um sucessor na coluna que est´a em µ, ou seja,

∃ u_i ∈ U : (u_i, a) ∈ µ e u_i >_au;

3. (u, a) tem q_u sucessores na linha que est˜ao em µ, ou seja,

Ou seja, dados uma atribui¸cão µ e um vértice (u, a) /∈ µ, µ é estável se:

Se existir em Γ algum vértice (u, a) que não verifique nenhumas destas três condi¸cões apresentadas, diz-se que (u, a) bloqueia µ. Ou seja, uma atribui¸cão µ não é estável se e só se existe um vértices que a bloqueia. No exemplo apresentado na figura 3.1, a atribui¸cão apresentada não é estável, já que o vértice (u₃, a₈) não pertence à atribui¸cão e não é sucedido na linha nem na coluna por qualquer vértice dessa atribui¸cão, isto é, o vértice (u₃, a₈) bloqueia a atribui¸cão apresentada.

Há que salientar que uma atribui¸cão estável pode deixar algum candidato por atribuir ou uma universidade com a quota por preencher. O exemplo da figura 3.2 mostra como uma atribui¸cão estável pode não preencher todas as quotas das universidades ou deixar algum candidato por atribuir.

Figura 3.2: Duas atribui¸cões: vértices pretos - estável, vértices quadrados - não estável. Nesta figura são apresentadas duas atribui¸cões: uma das atribui¸cões, representada por quadrados, preenche todas as quotas e atribui todos os candidatos, mas não é estável (o vértice (u₁, a₃) bloqueia a atribui¸cão pois é antecedido tanto na linha como na colu-na por um vértice da mesma); a outra atribui¸cão, representada por vértices pretos, é a ´

unica atribui¸cão estável do problema e apenas preenche a quota da universidade u₁, não atribuindo o candidato a1.

se qualquer atribui¸cão estável do primeiro também é uma atribui¸cão estável do segundo e vice-versa.

Vai-se apresentar agora um algoritmo para a determina¸cão de uma atribui¸cão estável para um problema de admissões qualquer (Γ, q). É de salientar que o algoritmo que se vai apresentar é semelhante ao algoritmo guloso, uma vez que a cada execu¸cão se vai escolher a melhor universidade para os candidatos, podendo este conjunto de vértices formar ou não a atribui¸cão estável procurada.

Assim, dado um problema de admissões (Γ, q) e utilizando o algoritmo referido, escolhe--se de cada coluna o melhor vértice; a este conjunto de vértices chama-se γ. Se γ for uma atribui¸cão, isto é, se cada linha u tem no máximo q_u elementos deste conjunto, então γ é estável, pois qualquer vértice do grafo ou está em γ ou é sucedido na coluna por um vértice de γ.

Suponha-se agora que isto não acontece, ou seja, existe pelo menos uma linha u que contém mais do que qu vértices de γ. Vai-se escolher os qu melhores deles e chamar a este conjunto B_u. Qualquer vértice (u, b) que anteceda os vértices de B_u diz-se inútil para a universidade u.

Vai-se provar que os problemas (Γ, q) e (Γ⁰, q), em que Γ⁰ é obtido a partir de Γ apagando um vértice inútil (u, b), são equivalentes. Assim, pode-se obter um atribui¸cão estável µ para o problema Γ construindo uma atribui¸cão estável para o problema Γ^∗ que dele se obtém retirando todos os vértices inúteis. Considere-se uma atribui¸cão qualquer µ; quer-se provar a seguinte equivalência:

µ é estável para Γ ⇔ µ é estável para Γ⁰

Suponha-se que µ é uma atribui¸cão estável em Γ. Seja (u, b) ∈ Γ um antecessor qualquer dos vértices de B_u. Vai-se provar que (u, b) /∈ µ. Suponha-se que isto não acontece; então teria de existir um vértice (u, b₁) ∈ B_u tal que (u, b₁) /∈ µ. Esta situa¸cão está representada na figura seguinte, em que os vértices pretos representam os vértices da atribui¸cão estável

µ na linha u:

Como µ é estável, (u, b₁) tem de ter um sucessor na coluna ou q_u sucessores na linha de µ. Mas, por defini¸cão de B_u, (u, b₁) não tem sucessores na coluna; por outro lado, (u, b₁) ´

e sucessor de (u, b) ∈ µ, pelo que tem menos de q_u sucessores na linha de µ, contradizendo a estabilidade de µ. Logo, (u, b) /∈ µ. Do facto de qualquer vértice (u, b), antecessor dos vértices de B_u, não pertencer a µ, pode-se concluir que µ é uma atribui¸cão para Γ⁰. Além disso, µ também é estável para Γ⁰, pois a ordem de preferências para os restantes vértices continua a mesma.

Suponha-se agora que µ é uma atribui¸cão estável em Γ⁰. Então µ também é uma atribui¸cão em Γ. Tem-se ainda que as condi¸cões de estabilidade se verificam em Γ para todos os vértices, com excep¸cão, eventualmente, para (u, b). Podem assim acontecer duas coisas:

1. Todos os vértices de B_u estão em µ, pelo que (u, b) é seguido por q_u vértices de µ. 2. Algum vértice (u, a) de Bu não está em µ. Como (u, a) não tem sucessores na coluna,

então tem de ser seguido na linha por q_u vértices de µ em Γ⁰, pelo que também o é em Γ. Logo, como (u, a) sucede (u, b) em Γ, este também é seguido por qu vértices de µ.

Logo, µ ´e est´avel em Γ.

Vai-se provar que o procedimento seguinte determina uma atribui¸cão estável num pro-blema de admissões (Γ, q). Além disso, vai-se ver que a atribui¸cão obtida é a melhor escolha para os candidatos, tendo em conta as preferências por eles manifestadas. Considere-se então o problema (Γ, q) e fa¸ca-se o seguinte:

1. Para cada coluna a ∈ A, escolhe-se o seu melhor v´ertice; a este conjunto de v´ertices chama-se γ_A;

2a. Se γ_A é uma atribui¸cão, então γ_A é estável e é a atribui¸cão procurada. Termina-se aqui o procedimento.

2b. Suponha-se que γ_A não é uma atribui¸cão. Vão-se considerar as linhas u ∈ U de Γ que têm pelo menos q_u vértices de γ_A;

3. Para cada uma destas linhas, escolhem-se os qu primeiros v´ertices de γA, formando assim o conjunto B_u;

4. Apagam-se todos os v´ertices de Γ que antecedem os de Bu na linha, para qualquer linha u. Obt´em-se um novo grafo; toma-se para Γ este novo grafo e retorna-se ao ponto 1.

Para se ver que o processo indicado acima produz o resultado que se propõe, há que ver que ele termina num número finito de passos e que produz uma atribui¸cão estável para o problema (Γ, q) inicial. A cada repeti¸cão do processo, o grafo vai ficando com menos vértices; uma vez que estes são em número finito em cada linha u; ao fim de um número finito de repeti¸cões do processo, cada linha u tem, em Γ, um número de vértices menor ou igual a q_u, na pior das hipóteses.

Tem-se que o resultado final é uma atribui¸cão estável no “último” grafo considerado no processo; pelo que foi provado antes, a cada repeti¸cão do algoritmo vai-se apagando vértices “inúteis” para as linhas, pelo que se constrói uma sucessão de problemas equivalentes entre si. Assim, como o problema de admissões (Γ⁰, q), em que Γ⁰ é o último grafo do algoritmo, ´

e equivalente ao problema inicial, o resultado final do algoritmo é uma atribui¸cão estável em (Γ, q), à qual se dá o nome de µA.

Tem-se, ainda, que esta atribui¸cão estável é a melhor atribui¸cão do ponto de vista dos candidatos no grafo final, já que é escolhido o melhor vértice de cada coluna em Γ⁰. Ou

seja, como qualquer outra atribui¸cão estável neste grafo atribui a qualquer candidato uma universidade igual ou pior que a atribu´ıda por µ_A, então esta atribui¸cão vai ser melhor do que qualquer outra em Γ⁰. Uma vez que os sucessivos problemas são equivalentes, µ_A também vai ser a melhor atribui¸cão estável do ponto de vista dos candidatos em Γ; se existisse alguma atribui¸cão µ estável em Γ preferida a µ_A, como os dois problemas ((Γ, q) e (Γ⁰, q)) são equivalentes, µ também seria estável em Γ⁰ e preferida a µ_A por todos os candidatos, o que contradiz o que foi visto anteriormente. É de referir que esta compara¸cão de atribui¸cões estáveis será abordada naa próxima seçcão com mais detalhe.

Há que salientar que este algoritmo é apresentado por Gale e Shapley em [12] como sendo uma adapta¸cão do algorimo apresentado para o caso dos problemas de casamentos; ´

e tamb´em provada a optimalidade, relativamente aos candidatos, do seu resultado.

Como é de esperar, as universidades também gostariam que lhes fossem atribu´ıdos os candidatos que preferem. Assim, existe um processo semelhante ao anterior que produz a melhor atribui¸cão do ponto de vista das universidades. Dado um problema de admissões (Γ, q), o processo é o seguinte:

1. Para cada u ∈ U , escolhem-se os q_u melhores v´ertices da linha u. A este conjunto de v´ertices chama-se γU.

2a. Se γ_U é uma atribui¸cão, então é estável e é a atribui¸cão procurada. Termina o processo.

2b. Suponha-se que γ_U não é uma atribui¸cão. Consideram-se em Γ as colunas a ∈ A que têm pelo menos um vértice de γ_U.

3. Para cada coluna nestas condi¸c˜oes, escolhe-se o melhor v´ertice de γ_U, (u_a, a).

4. Apagam-se todos os v´ertices (v, a) que antecedem (u_a, a) na coluna, formando assim um novo grafo. Toma-se este grafo para Γ e retorna-se ao ponto 1.

Tal como acontecia no processo anterior, também este termina num número finito de passos e o resultado final também é uma atribui¸cão estável. Esta atribui¸cão vai ser a melhor do ponto de vista das universidades, à qual chamaremos µ_U.

Utilizando o problema de admissões da figura 3.1, vai-se aplicar ambos os algoritmos e encontrar as atribui¸cões µA e µU. Comece-se por determinar µA; na figura 3.3 é apre-sentada a sequência de problemas equivalentes obtidos da aplica¸cão do primeiro algoritmo anteriormente descrito.

Figura 3.3: Aplica¸c˜ao do algoritmo guloso para os candidatos.

Os vértices quadrados apresentados nesta figura em cada problema são os escolhidos a cada repeti¸cão do algoritmo; os vértices com uma cruz são os que vão sendo apagados, vértices inúteis na linha correspondente. No problema 3) da mesma figura, os vértices quadrados pertencem à atribui¸cão µA. Vai-se agora aplicar o segundo algoritmo ao pro-blema apresentado na figura 3.1; o processo terá in´ıcio no problema 3) da figura 3.3.

problemas obtidos no decorrer dos algoritmos são equivalentes, não há qualquer diferen¸ca entre aplicar o algoritmo a (Γ, q) ou ao problema 3) da figura 3.3. Na figura 3.4 está representada a sequência de problemas obtidos da aplica¸cão do algoritmo “guloso” para as universidades ao problema em causa.

Figura 3.4: Aplica¸c˜ao do algoritmo guloso para as universidades.

Os vértices pretos apresentados nesta figura em cada problema são os escolhidos a cada repeti¸cão do algoritmo; os vértices com uma cruz são os que vão sendo apagados, vértices inúteis na coluna correspondente. No problema 4) da mesma figura, os vértices pretos são os vértices da atribui¸cão µ_U. Analogamente ao que foi visto na resolu¸cão do problema de casamentos, a solu¸cão obtida da aplica¸cão do algoritmo guloso para os candidatos é a solu¸cão óptimal para estes, isto é, se µ é qualquer outra atribui¸cão estável, existe um candidato a ∈ A que prefere a universidade que lhe é atribu´ıda por µ_A à que é atribu´ıda por µ e, para os restantes candidatos, a sua atribui¸cão em µ é, quando muito, igual à de µ_A. Analogamente se prova que µ_U é a solu¸cão óptima para as universidades.

Decorre, assim, deste algoritmo o seguinte resultado:

Teorema 3.1.1. Todo o problema de recrutamento tem uma única atribui¸cão estável op-timal para os candidatos e uma única atribui¸cão estável optimal para as universidades.

Pelo que foi visto anteriormente, estas atribui¸cões são, respectivamente, µ_A e µ_U. Além disto, a unicidade das solu¸cões decorre da unicidade do grafo obtido da aplica¸cão dos dois algoritmos.

Dado um problema de recrutamento (Γ, q), se se lhe aplicar os dois processos referidos anteriormente, obter-se-à um grafo com menos vértices do que Γ, e, por outro lado, sem vértices “inúteis” tanto para os candidatos como para as universidades. A este grafo dá-se o nome de grafo útil . Usando o que foi provado anteriormente relativamente aos vértices que são apagados no decorrer de cada um dos processos, sabe-se que apenas os vértices do grafo útil podem pertencer a alguma atribui¸cão estável para Γ. Na figura 3.5, apresenta-se o grafo útil do problema de admissões da figura 3.1, bem como as suas atribui¸cões optimais para as universidades e para os candidatos.

Figura 3.5: O grafo útil e as atribui¸cões µ_A (vértices quadrados) e µ_U (vértices pretos). ´

E de salientar que se num problema de admissões (Γ, q) não existirem vértices inúteis, isto é, se o grafo útil do problema for igual ao grafo inicial, o algoritmo apresentado tanto para os candidatos como para as universidades é executado apenas uma vez. Ou seja, os vértices inicialmente escolhidos pelos algoritmos formam uma atribui¸cão estável.

se tem uma forma de encontrar atribui¸cões estáveis nesse problema. Na seçcão seguinte, vai-se ver de que forma se pode comparar duas quaisquer atribui¸cões estáveis, de modo a saber, de entre duas destas atribui¸cões, qual a melhor para cada um dos conjuntos.

3.2 Comparar atribui¸c˜oes est´aveis

Quando se está perante um problema de recrutamento (Γ, q), o objectivo não é só en-contrar uma atribui¸cão estável, mas também encontrar a melhor atribui¸cão. Para isso, é necessário conseguir comparar diferentes atribui¸cões estáveis para um dado problema de recrutamento. Para cada um dos candidatos é simples comparar duas atribui¸cões, uma vez que cada um deles é apenas atribu´ıdo a uma universidade em cada atribui¸cão e as preferências são estritas. Para cada uma das universidades, também se irá ver como se faz esta compara¸cão, apesar de, a cada universidade, poderem ser atribu´ıdos mais do que um candidato.

Seja µ (u) o conjunto dos candidatos atribu´ıdos pela atribui¸cão µ à universidade u ∈ U ; este conjunto tem no m´ınimo zero elementos e no máximo q_u (0 ≤ |µ (u)| ≤ q_u). Seja ainda µ (a) o conjunto “de universidades” atribu´ıdas a a ∈ A; este conjunto tem zero elementos ou um (|µ (a)| = 0 ou |µ (a)| = 1).

Sejam µ e µ⁰ duas atribui¸cões. A preferência de um candidato relativamente a duas atribui¸cões é expressa pela seguinte nota¸cão: diz-se que µ _a µ⁰ se µ (a) >_a µ⁰(a) ou µ (a) 6= ∅ e µ⁰(a) = ∅, o que traduz a preferência estrita do candidato a ∈ A pela atribui¸cão µ em detrimento da atribui¸cão µ⁰; µ _a µ⁰ se µ _a µ⁰ ou µ (a) = µ⁰(a), o que traduz uma preferência em sentido lato pela atribui¸cão µ relativamente a µ⁰.

Vai-se ver agora como se podem comparar duas atribui¸cões estáveis do ponto de vista das universidades. A nota¸cão usada para expressar esta preferência é semelhante à usada

para os candidatos: diz-se que µ _u µ⁰, se, dado um vértice (u, a) ∈ µ⁰\µ, b <_u a, então (u, b) /∈ µ, o que traduz a preferência estrita da universidade u ∈ U pelos candidatos atribu´ıdos por µ em detrimento dos que são atribu´ıdos por µ⁰; diz-se que µ _u µ⁰ se µ _u µ⁰ ou µ (u) = µ⁰(u), o que traduz uma preferência em sentido lato da universidade u ∈ U pela atribui¸cão µ relativamente a µ⁰.

Através do exemplo da figura 3.5, da seçcão anterior, pode-se concluir que, neste caso, µU u µA, para todo u ∈ U , e µA a µU, para todo a ∈ A. Para além disto, pelo que foi visto, para qualquer atribui¸cão estável µ, tem-se que µ_U _u µ, para todo u ∈ U , e que µAaµ, para todo a ∈ A.

Os dois resultados que se vão enunciar a seguir são importantes para o que se pretende encontrar: uma forma de comparar atribui¸cões estáveis do ponto de vista das universidades. Com eles ir-se-à concluir que o cardinal do conjunto dos elementos atribu´ıdos a qualquer universidade ou a qualquer candidato não depende da atribui¸cão desde que ela seja estável. Além disso, se uma atribui¸cão estável é prefer´ıvel em rela¸cão a outra atribui¸cão estável para uma universidade, sendo elas diferentes, tem-se que todos os vértices da melhor são preferi-dos por essa universidade aos vértices que pertencem exclusivamente à pior atribui¸cão. As

No documento A Matemática é abctracta, mas não há nada mais abstracto do que a Amizade. (páginas 85-125)