Voltando ` a no¸ c˜ ao de estabilidade

Os resultados que s˜ao apresentados nesta sec¸c˜ao podem ser encontrados em [9].

Na maioria dos textos sobre matchings est´aveis e “problemas de casamentos”, ´e usual aparecer a defini¸c˜ao de estabilidade apresentada a seguir. A defini¸c˜ao de estabilidade apresentada por Gale e Shapley em [12] ´e semelhante a esta.

Defini¸c˜ao 2.4.1. Sejam H = {A1, A2, ..., An} um conjunto de homens e F = {a1, a2, ..., an} um conjunto de mulheres, tal que cada A_i, com 1 ≤ i ≤ n, tem uma lista de preferˆencias em F e cada aj, com 1 ≤ j ≤ n, tem uma lista de preferˆencias em H. Ent˜ao um con-junto M de arestas independentes ´e um matching est´avel se e s´o se qualquer que seja Ai1aj2 ∈ M , com A/ i1 ∈ H e aj2 ∈ F , ent˜ao ou Ai1aj1 ∈ M , com aj1 ∈ F e aj1Ai1aj2 (Ai1

est´a casado com uma mulher que prefere a a_j2), ou A_i2a_j2 ∈ M , com A_i2 ∈ H e A_i2a_j2A_i1 (aj2 est´a casado com um homem que prefere a Ai1), com 1 ≤ i1, i2, j1, j2 ≤ n.

Note-se que, pela defini¸c˜ao anterior, o matching M que a verifique n˜ao necessita de ser completo, isto ´e, n˜ao ´e necess´ario formar n casais. Decorre da defini¸c˜ao anterior o seguinte resultado:

Lema 2.4.1. Seja G = (V, A) um grafo bipartido. Ent˜ao todo o matching est´avel em G ´e maximal nas arestas.

Demonstra¸c˜ao. Seja M um matching est´avel em G e suponha-se, por redu¸c˜ao ao absurdo, que existem A_i, a_j ∈ V (G), com 1 ≤ i, j ≤ n, tais que M0 = M ∪ {A_ia_j} tamb´em ´e um matching de G, com A_ia_j ∈ A (G) \M . Tem-se ent˜ao que A_i, a_j ∈ V (M ), pois M/ 0

´

e um matching. Assim, A_ia_j ∈ M nem existem quaisquer v´ertices a/ _j1, A_i1 ∈ M , com 1 ≤ i₁, j₁ ≤ n, tais que ou A_ia_j1 ou A_i1a_j pertencem a M , contradizendo a estabilidade de M .

Com este resultado, prova-se que n˜ao se podem acrescentar arestas a um matching est´avel, pois este deixaria de ser matching.

Defini¸c˜ao 2.4.2. Sejam H = {A₁, A₂, ..., A_n} um conjunto de homens e F = {a₁, a₂, ..., a_n} um conjunto de mulheres, tal que cada A_i tem uma lista de preferˆencias para os a_j e cada a_j tem uma lista de preferˆencias para os A_i, com 1 ≤ i, j ≤ n. Diz-se que um ciclo ´e um ciclo orientado de preferˆencias se se pode escrever da forma A_i1a_j1A_i2a_j2...A_ima_jm, em que a_j1 prefere A_i2 a A_i1, A_i2 prefere a_j2 a a_j1, ..., e a_jm prefere A_i1 a A_im.

Lema 2.4.2. Sejam M e M⁰ dois matchings est´aveis num grafo bipartido com uma certa lista de preferˆencias e seja C uma componente conexa do grafo G⁰ = (V (G⁰) , M ∪ M⁰), em que V (G⁰) = {v ∈ V (G) : vw ∈ M ou vw ∈ M⁰, para algum w ∈ V (G)}. Se C tem pelo menos trˆes v´ertices ent˜ao ´e um ciclo orientado de preferˆencias. Em particular, se A₁a₁, A₂a₂ ∈ M e A₁a₂ ∈ M0, ent˜ao A₁ prefere a₁ a a₂ se e s´o se a₂ prefere A₁ a A₂.

Observa¸c˜ao 2.4.1. Sejam M e M⁰ dois matchings est´aveis do grafo G = (V, A). Sendo C uma componente conexa do grafo de G⁰ = (V (G⁰) , M ∪ M⁰), em que

V (G⁰) = {v ∈ V (G) : vw ∈ M ou vw ∈ M⁰, para algum w ∈ V (G)} ,

pelo que foi visto no lema 1.1.1, na p´agina 19, C s´o pode ser uma de duas coisas: um caminho de comprimento maior ou igual a dois ou um ciclo de comprimento maior ou igual a quatro.

O grau dos v´ertices de C ´e no m´ınimo 1, pois tˆem de ser incidentes em alguma aresta de M ou M⁰, pelo que n˜ao se tem caminhos de comprimento zero. Suponha-se agora que C pode ter caminhos de comprimento um; ent˜ao C ´e constituido por apenas uma aresta A_ia_j pertencente a M , por exemplo. Neste caso, M⁰∪{A₁a_j} seria um matching, o que contradiz a hip´otese de M⁰ ser est´avel, logo maximal nas arestas. Como j´a se viu, as arestas de C s˜ao alternadamente de M e M⁰, caso contr´ario poderia existir um v´ertice com grau dois

em algum dos matchings. Portanto, C ´e caminho de comprimento maior ou igual a dois ou um ciclo de comprimento maior ou igual a quatro.

Demonstra¸c˜ao. Nesta prova n˜ao se vai distinguir entre homens e mulheres: ser˜ao ambos denotados por x₁, x₂, ... .

Sejam M e M⁰ dois matchings est´aveis num grafo bipartido com uma certa lista de preferˆencias e C como foi definido no enunciado do lema. Sabe-se ent˜ao que C ´e um caminho de comprimento maior ou igual a 2 ou ´e um ciclo de comprimento maior ou igual a 4, pela observa¸c˜ao anterior.

Suponhamos que C cont´em um caminho x1x2x3x4, em que x2 prefere x3 a x1. Se x2x3 ∈/ M , ent˜ao x₁x₂ ∈ M , x₂x₃ ∈ M0 e x₃x₄ ∈ M . Como M ´e est´avel e x₂ prefere x₃ a x₁, ent˜ao x3 prefere x4 a x2.

Pode-se ent˜ao concluir que se C ´e um ciclo, ele ´e orientado de preferˆencias. Isto porque se x₁x₂x₃...x_k ´e um ciclo e x₂ prefere x₃ a x₁, olhando para o caminho x₁x₂x₃x₄ vˆe-se que x₃ prefere x₄ a x₂, pelo que foi visto anteriormente; olhando para o caminho x₂x₃x₄x₅ vˆe-se que x₄ prefere x₅ a x₃. Continuando desta forma, pode-se concluir que x_k prefere x₁ a x_k−1 e que x₁ prefere x₂ a x_k.

Vai-se agora ver que C n˜ao pode ser um caminho. Suponha-se, ent˜ao, que C ´e um caminho da forma x1x2...xl, com l ≥ 3 e x1x2 ∈ M ; ent˜/ ao x1x2 ∈ M0 e x2x3 ∈ M . Tem-se que, para todo y ∈ V (G), x₁y /∈ M , pois, se pertencesse, C n˜ao come¸caria em x₁; ent˜ao x2 prefere x3 a x1, pela defini¸c˜ao de estabilidade apresentada nesta sec¸c˜ao. Por outro lado, supondo que x_l−1x_l ∈ M , ent˜/ ao x_l−1x_l ∈ M0 e x_l−2x_l−1 ∈ M . Tem-se ainda que x_l n˜ao tem par em M ; pelo argumento anterior, xl−1 prefere xl−2 a xl. No entanto, pelo que foi visto no in´ıcio desta prova, tem-se que se x₂ prefere x₃ a x₁, ent˜ao x₃ prefere x₄ a x₂, pelo que x4 prefere x5 a x6, e assim sucessivamente; conclui-se ent˜ao que xl−1 prefere xl a xl−2, contrariando o que foi visto anteriormente. Logo, C n˜ao pode ser um caminho, pelo que ´e um ciclo orientado de preferˆencias.

H´a agora que mostrar que se A₁a₁, A₂a₂ ∈ M e A₁a₂ ∈ M0, ent˜ao A₁ prefere a₁ a a₂ se e s´o se a₂ prefere A₁ a A₂. Sabe-se que a componente conexa C do grafo cujas arestas s˜ao M ∪ M⁰ e que cont´em A₁, a₂, A₂ e a₂ ´e um ciclo orientado de preferˆencias que cont´em o caminho A₂a₂A₁a₁. Logo, se A₁ prefere a₁ a a₂, ent˜ao a₂ prefere A₁ a A₂, e vice-versa.

O resultado seguinte decorre do lema anterior e com ele vai-se poder concluir que todos os matchings est´aveis tˆem o mesmo cardinal.

Teorema 2.4.1. Para qualquer lista de preferˆencias num grafo bipartido G = (H ˙∪F, A), existem subconjuntos H₁ ⊆ H e F₁ ⊆ F tais que todo o matching est´avel ´e um matching completo de H₁ em F₁. Em particular, todos os matchings est´aveis tˆem o mesmo cardinal.

Demonstra¸c˜ao. Suponha-se que a afirma¸c˜ao ´e falsa. Sejam M e M⁰ matchings est´aveis e sejam H₁ ⊆ H e F₁ ⊆ F tais que todo o matching est´avel, excepto M⁰, s˜ao matchings completos de H₁ em F₁. Ent˜ao existe uma aresta A_i1a_j1 em M , com 1 ≤ i₁, j₁ ≤ n tal que A_i1 n˜ao ´e adjacente a qualquer aresta de M⁰. Como qualquer matching est´avel ´e maximal, existe A_i2 ∈ H, com 1 ≤ i₂ ≤ n e A_i2 6= A_i1, tal que A_i2a_j1 ∈ M0; caso contr´ario, M⁰∪{A_i1a_j1} seria um matching pois ambos A_i1 e a_j1 estariam livres em M⁰, contradizendo a maximalidade de M⁰.

Assim, a componente conexa do grafo cujas arestas s˜ao M ∪ M⁰ e cujos v´ertices s˜ao as extremidades destas, que cont´em o v´ertice A_i1, cont´em ainda a_j1 e A_i2. Tem-se ainda que esta componente conexa n˜ao ´e um ciclo, pois n˜ao existe qualquer aresta de M⁰ incidente em A_i1, o que contradiz o que foi provado no lema anterior. Logo, todos os matchings est´aveis de G s˜ao completos de H₁ em F₁.

Para ver que todos os matchings tˆem o mesmo cardinal, basta observar que os conjuntos H₁ e F₁ s˜ao conjuntos fixos para todos os matchings est´aveis, pelo que n˜ao existe qualquer v´ertice A_i ∈ H\H₁ ou a_j ∈ F \F₁ que seja atribu´ıdo por qualquer matching est´avel de G,

com 1 ≤ i, j ≤ n.

O resultado que se segue ´e equivalente ao teorema 2.3.1, apresentado na p´agina 63, cuja prova ´e feita tendo em conta os resultados apresentados nesta sec¸c˜ao.

Corol´ario 2.4.1. Sejam M e M⁰ dois matchings est´aveis num grafo bipartido G = (V, A) com uma lista de preferˆencias. Suponha-se que A_ia_j ∈ M e A_ia_j ∈ M/ 0, com 1 ≤ i, j ≤ n. Ent˜ao, em M⁰, ambos A_i e a_j tˆem noivos e um deles (A_i ou a_j) est´a melhor em M⁰ do que em M e o outro est´a pior.

Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema anterior, o conjunto de homens e mulheres que se “casam” ´e o mesmo para todos os matchings est´aveis; logo, se A_ia_j ∈ M e A_ia_j ∈ M/ 0, ent˜ao existem A_i1, a_j1 ∈ V (G), com 1 ≤ i₁, j₁ ≤ n, tais que A_ia_j1, A_i1a_j ∈ M0. Pelo lema 2.4.2, tem-se que a componente conexa C do grafo cujas arestas s˜ao M ∪ M⁰, e cujos v´ertices s˜ao as extremidades destas, que cont´em A_i e a_j ´e um ciclo orientado de preferˆencias, pelo que se tem C = ...A_j1a_jA_ia_i1... ou C = ...a_i1A_ia_jA_j1.... Ou seja, ou A_i est´a melhor em M⁰ e a_j est´a pior ou A_i est´a pior em M⁰ e a_j est´a melhor, respectivamente.

Tem-se assim provado o que se pretendia.

Vai-se agora mostrar que as duas defini¸c˜oes de estabilidade apresentadas s˜ao equivalentes. H´a que salientar que esta prova ir´a ser feita apenas para matchings completos, uma vez que ´e apenas a esses que se aplica a defini¸c˜ao apresentada na sec¸c˜ao 2.1.

Sejam, ent˜ao, H = {A₁, A₂, ..., A_n} um conjunto de homens e F = {a₁, a₂, ..., a_n} um conjunto de mulheres, tal que cada A_i tem uma lista de preferˆencias para todos os a_j e cada a_j tem uma lista de preferˆencias para os A_i, com 1 ≤ i, j ≤ n. Quer-se provar que

M ´e um matching est´avel pela primeira defini¸c˜ao se e s´o se M ´e um matching est´avel pela segunda defini¸c˜ao.

Comece-se por provar que a condi¸c˜ao ´e necess´aria. Seja M = {A1a1, A2a2, ..., Anan} um matching est´avel pela primeira defini¸c˜ao de estabilidade e seja A_ia_j ∈ M , com 1 ≤ i, j ≤ n/ e i 6= j. Tem-se ent˜ao que n˜ao se verificam simultaneamente ajAiai e AiajAj, em que A_ia_i, A_ja_j ∈ M . Assim, existe uma mulher x (= a_i) tal que A_ix ∈ M e existe, tamb´em um homem X (= Aj) tal que Xaj ∈ M . Por outro lado, se se verificar ajAiai, ent˜ao tem que se ter A_ja_jA_i, ou seja, existe X ∈ H tal que Xa_j ∈ M e Xa_jA_i; se se verifica A_ia_jA_j, ent˜ao tem-se aiAiaj, ou seja, existe x ∈ F tal que Aix ∈ M e xAiaj. Logo, M ´e um matching est´avel pela segunda defini¸c˜ao apresentada.

Vai-se agora provar o sentido contr´ario da equivalˆencia. Para isso basta provar que se M = {A₁a₁, A₂a₂, ..., A_na_n} n˜ao ´e um matching est´avel pela primeira defini¸c˜ao de estabi-lidade, ent˜ao tamb´em n˜ao ´e est´avel pela segunda. Como M n˜ao ´e est´avel pela primeira defini¸c˜ao, ent˜ao falha uma das seguintes condi¸c˜oes: ou (i) a_k∈ A_ke A_k ∈ a_kpara 1 ≤ k ≤ n ou (ii) n˜ao existem j e k tais que A_ja_kA_k e a_kA_ja_j. Se falhasse a condi¸c˜ao (i), M n˜ao seria um matching. Logo, ter´a de falhar a condi¸c˜ao (ii), ou seja, exitem A_ka_k, A_ja_j ∈ M para os quais se verificam simultaneamente a_jA_ka_k e A_ka_jA_j, com 1 ≤ k, j ≤ n. Sabe-se que A_ka_j ∈ M ; para provar o que se pretende, basta ver que, para toda a mulher x ∈ F ,/ A_kx /∈ M ou a_jA_kx e que, para todo o homem X ∈ H, Xa_j ∈ M ou A/ _ka_jX. Considerem-se x ∈ F e X ∈ H.

- Se x 6= ak e X 6= Aj, ent˜ao Akx /∈ M e Xaj ∈ M , respectivamente;/

- Se x = a_k e X = A_j, A_kx e Xa_j pertencem a M ; por outro lado, sabe-se que a_jA_ka_k e A_ka_jA_j, pelo que a_jA_kx e A_ka_jX.

Logo, M n˜ao ´e est´avel pela segunda defini¸c˜ao de estabilidade. Tem-se assim provado o que se pretendia.

est´avel ou n˜ao, pode-se utilizar qualquer uma das no¸c˜oes de estabilidade.

2.5 Conclus˜ao

Tendo em conta o que foi visto no decorrer deste cap´ıtulo, concluiu-se que para qualquer problema de casamentos existe um matching est´avel, sejam as listas de preferˆencias com-pletas ou n˜ao; um dos matchings est´aveis de um problema deste g´enero pode ser encontrado atrav´es da aplica¸c˜ao do algoritmo apresentado. No decorrer deste, alguns v´ertices do prob-lema original s˜ao apagados, obtendo-se um novo problema equivalente ao original. Estes v´ertices s˜ao v´ertices “in´uteis” do problema, j´a que n˜ao v˜ao pertencer a qualquer matching est´avel do problema de casamentos original. Al´em disso, concluiu-se que o matching M obtido atrav´es do algoritmo apresentado ´e o melhor para os homens e o pior para as mul-heres; isto ´e, dado qualquer outro matching est´avel do problema de casamentos em causa, qualquer homem vai ficar com a mesma mulher que obteve em M ou com uma mulher que ele gosta menos e qualquer mulher vai ficar com o homem que obteve em M ou com um homem que prefere a este.

Dados dois matchings est´aveis M e M⁰ de um problema de casamentos, concluiu-se que se um destes matchings (por exemplo, M ) ´e prefer´ıvel para os homens ao outro, ent˜ao M⁰ ´

e melhor do que M para as mulheres.

Concluiu-se ainda que todos os matchings est´aveis de um problema de casamentos atribuem companheiras ao mesmo conjunto de homens e atribuem companheiros ao mesmo conjunto de mulheres; concluiu-se ainda que, se um homem e uma mulher tˆem companhei-ros num certo matching est´avel, tamb´em o v˜ao ter em qualquer outro matching est´avel.

´

e Shapley no seu artigo [12] fazem referˆencia a um exemplo com o qual se mostra que esta condi¸c˜ao ´e necess´aria; este exemplo ´e designado como o problema dos “companheiros de quarto”. Pretende-se distribuir um n´umero par de rapazes por quartos duplos e cada um tem uma ordem de preferˆencias sobre os restantes. A distribui¸c˜ao n˜ao ´e est´avel se dois rapazes que n˜ao estejam no mesmo quarto, preferirem ambos estar juntos a estar com os seus actuais companheiros. Com um exemplo de quatro rapazes, A, B, C e D, em que A coloca B em primeiro lugar das suas preferˆencias, B coloca C em primeiro lugar, C coloca A em primeiro lugar e D ´e ´ultimo nas listas de preferˆencias de A, B e C, ´e provada a existˆencia de uma lista de preferˆencias para a qual n˜ao existe qualquer distribui¸c˜ao est´avel. Independentemente da lista de preferˆencias de D, o rapaz que ´e colocado no seu quarto prefere estar no quarto de qualquer um dos outros dois e um destes preferia estar com o companheiro de D a estar com o seu.

No pr´oximo cap´ıtulo, vai-se generalizar a no¸c˜ao de estabilidade de forma a se poder aplicar a casos mais gerais. Assim, v˜ao ser considerados dois conjuntos de agentes, em que os elementos de um deles v˜ao poder aceitar um ou mais agentes do outro conjunto. De novo, v˜ao existir duas listas de preferˆencias estritas dos elementos de cada um dos conjuntos sobre os elementos do outro; o objectivo ser´a encontrar uma forma de compatibilizar da melhor forma estas listas, tendo em conta o limite m´aximo estabelecido para cada agente.