Resultados do problema de otimização

Na otimização, busca-se a determinação dos parâmetros ótimos do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de amortecimento do amortecedor, posicionados transversalmente ao mecanismo de quatro-barras. Considera-se aqui a mesma força externa aplicada na análise cinética, possibilitando a comparação dos resultados obtidos anteriormente e os resultados otimizados. Como descrito no capítulo 6, o objetivo da otimização é a minimização das funções deslocamento, velocidade e aceleração resultante da barra acopladora, dependendo da aplicação do mecanismo.

Considerando as restrições apresentadas no capítulo 6, impõe-se uma frequência natural amortecida desejada constante e igual a 4 Hz (anexo A), uma faixa do fator de amortecimento entre 0.2 e 0.4, e utilizam-se as equações 7.1 e 7.2 apresentadas a seguir, para obter as faixas de variação para o coeficiente elástico da mola e para o amortecimento, lembrando que a amplitude da força externa é de 2500 N. 𝑘 = 𝜔𝑑 2_𝑚 (1 − 𝜁2₎ (7.1) 𝑐 = 2𝜁√𝑘𝑚 (7.2) Força Externa

Tabela 7.8: Definição dos limites dos parâmetros a serem otimizados Limite inferior Limite superior 𝜔_𝑑[𝐻𝑧]

𝜁 0,2 0,4

K [N/m] 164493 187992 4

C [N.s/m] 2565 5484 4

A figura 7.31 ilustra a variação do máximo deslocamento (overshoot do sistema) em função da variação do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de amortecimento. Nota-se que, considerando apenas essas restrições, o menor pico é atingido para os valores máximos das variáveis otimizadas. Ou seja, estas restrições não são suficientes, e torna-se necessário a inserção de uma nova restrição ao problema, neste caso, o tempo de estabilização. Caso contrário, o menor valor do overshoot do sistema sempre seria atingido quando o problema de otimização atingisse os limites superiores definidos no início do problema para as variáveis otimizadas.

Figura 7.31: Variação do máximo pico da curva de resposta do sistema (deslocamento resultante do centro de massa do acoplador) em função do coeficiente de amortecimento da

Considerando diferentes valores de tempo de estabilização, e utilizando sempre o mesmo ponto inicial na otimização, assim como os mesmos valores para os limites inferiores e superiores das variáveis a serem otimizadas, obtiveram-se os valores apresentados na tabela 7.8. O ponto inicial escolhido é próximo dos valores do limite inferior para os parâmetros iniciais definidos na tabela 7.8.

Tabela 7.9: Resultados da otimização

Tss [s] Ponto inicial [k0; c0] [N/m; N.s/m] Ponto ótimo [k; c] [N/m; N.s/m] Pico máximo [m] 0,075 [164500; 2566] [170348; 3526] 0,0119 0,15 [164500; 2566] [185284; 4730] 0,0135

A figura 7.32 ilustra o deslocamento do centro de massa no acoplador, para diferentes valores otimizados. Analisando a figura 7.34 e a tabela 7.9, nota-se que o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema.

Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico de máximo deslocamento foi reduzido em 80%. Ainda, a frequência natural amortecida e o fator de amortecimento mantiveram-se dentro das restrições estabelecidas.

Modificando a função objetivo do processo de otimização, agora para a velocidade, adicionando uma restrição de modo que a velocidade seja reduzida em no mínimo 50% do valor original, e mantendo os limites inferiores e superiores dos parâmetros a serem otimizados, realizou-se uma nova otimização do sistema. Os valores para diferentes tempos de estabilização e pontos iniciais estão apresentados na tabela 7.10.

Tabela 7.10: Resultados da otimização

Tss [s] Ponto inicial [k0; c0] [N/m; N.s/m] Ponto ótimo [k; c] [N/m; N.s/m] Pico máximo [m/s] 0,075 [164500; 2566] [176211; 4278] 0,5473 0,15 [164500; 2566] [180604; 4763] 0,3755

A figura 7.33 ilustra a velocidade do centro de massa no acoplador, para diferentes valores otimizados. Analisando a figura 7.33 e a tabela 7.10, nota-se que o tempo de estabilização e o pico de máxima velocidade são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema. Devido à restrição do fator de amortecimento, valores maiores de tempo de estabilização não foram possíveis, pois as variáveis otimizadas atingiam os limites superiores definidos antes da convergência.

Figura 7.33: Velocidade do centro de massa do acoplador.

Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico de máxima velocidade foi reduzido em 78% a 85%, dependendo do tempo de estabilização.

O último caso de otimização simulado foi para o caso da utilização da aceleração do ponto de interesse na barra acopladora como função objetivo. A tabela 7.11 apresenta os valores obtidos no processo de otimização.

Tabela 7.11: Resultados da otimização

Tss [s] Ponto inicial [k0; c0] [N/m; N.s/m] Ponto ótimo [k; c] [N/m; N.s/m] Pico máximo [m/s2_] 0,075 [164500; 2566] [169922; 3465] -33.53 0,15 [164500; 2566] [187992; 5484] -22.89

A figura 7.34 ilustra a aceleração do centro de massa no acoplador, para diferentes valores otimizados. Novamente, assim como nos casos de otimização da velocidade e a do deslocamento, nota-se que o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são

grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor o pico máximo do sistema.

Figura 7.34: Aceleração do centro de massa do acoplador.

Comparando as curvas otimizadas com a curva do sistema original, nota-se que o pico de máxima aceleração foi reduzido em 45% a 60% do valor inicial, dependendo do tempo de estabilização.

8 CONCLUSÃO

O desenvolvimento do presente estudo possibilitou a criação de um software, integrando ferramentas de síntese de mecanismos de quatro-barras, análises cinemática e cinética do mecanismo sintetizado, e por último a otimização de parâmetros dinâmicos associados ao mesmo. O intuito é prover ao projetista mecânico uma ferramenta genérica e abrangente, que permita uma rápida síntese mecânica e análise dinâmica dos mecanismos.

Utilizando-se o software MATLAB, criou-se um algoritmo capaz de utilizar as formulações descritas no capítulo 3 (síntese analítica) para a obtenção dos comprimentos de barra de mecanismos do tipo quatro-barras, bem como a trajetória no plano cartesiano do ponto de interesse e a variação do ângulo da 2ª manivela e do acoplador em função do ângulo de entrada no mecanismo (1ª manivela). Os métodos analíticos de síntese garantem que o mecanismo passará pelos pontos de precisão especificados, porém não garantem que o mesmo possa se movimentar continuamente entre dois pontos de precisão sucessivos. Dessa forma, a utilização do software possibilita uma rápida alteração dos parâmetros do mecanismo para que o mesmo funcione na operação desejada, diferentemente da síntese gráfica, que exige a construção de um mecanismo diferente para cada parâmetro modificado.

Integrando o programa de síntese ao de análise desenvolvido por Saint Martin (2014), implementou-se a análise cinemática e cinética para mecanismos de quatro-barras. Utilizando- se as duas ferramentas conjuntamente, é possível detectar possíveis pontos de singularidade do mecanismo, e rapidamente refazer o processo da síntese, de modo a obter novo mecanismo que atenda às especificações de projeto.

Finalmente, propôs-se a otimização do coeficiente elástico da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando a minimização dos máximos das funções deslocamento, velocidade ou aceleração da barra acopladora do mecanismo de quatro-barras simulado. O objetivo da implementação de diferentes funções objetivo foi tornar o algoritmo o mais genérico possível, e possibilitar ao projetista a variação das funções de acordo com a utilização desejada do mecanismo. Ainda, consideraram-se como restrições aos problemas de otimização, uma faixa do fator de amortecimento entre 0.2 e 0.4, o tempo de estabilização do sistema, e uma frequência natural amortecida desejada constante e igual a 4 Hz (anexo A). Nota-se que, para as diferentes otimizações, o tempo de estabilização e o pico de máximo do sistema são grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o tempo de estabilização, menor o pico

máximo do sistema. O coeficiente de amortecimento é a variável com maior influência nas curvas de resposta, de tal forma que o seu aumento resulta na redução do pico de máximo do sistema e no tempo de estabilização. Por outro lado, o aumento no valor do coeficiente de elasticidade da mola também resulta em redução dos picos de máximo, e possui maior influência na variação das frequências naturais do sistema. Os valores ótimos para o coeficiente elástico da mola e o coeficiente de amortecimento dependem das necessidades de projeto, tais como aplicação, esforços aos quais o mecanismo é submetido, transmissibilidade de vibrações, e o orçamento disponível.

Como sugestão para próximos trabalhos, citam-se a integração de outras metodologias de síntese de mecanismos de quatro-barras, tornando possível também a implementação de métodos com síntese de mecanismos tridimensionais.

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