UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Mecânica
ELINE TIEMI SHIINO
Síntese e Análise de Mecanismo
de Quatro Barras
CAMPINAS
ELINE TIEMI SHIINO
Síntese e Análise de Mecanismo
de Quatro Barras
Orientadora: Profa. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Dedini
CAMPINAS 2017
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELA ALUNA ELINE TIEMI SHIINO, E ORIENTADA PELA PROFA. DRA. KATIA LUCCHESI CAVALCA DEDINI.
... ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)
Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestra em Engenharia Mecânica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS INTEGRADOS
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO
Síntese e Análise de Mecanismo
de Quatro-barras
Autora: Eline Tiemi Shiino
Orientadora: Katia Lucchesi Cavalca Dedini
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:
Profª. Drª. Katia Lucchesi Cavalca Dedini
Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo
Faculdade de Engenharia - UNESP Prof. Dr. Pablo Siqueira Meirelles
Faculdade de Engenharia Mecânica - UNICAMP
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.
Agradecimentos
Este trabalho não poderia ser concluído sem a ajuda de diversas pessoas às quais presto minha homenagem:
Aos meus pais, Lina e Janio, pelo apoio incondicional em todas as etapas e decisões tomadas até o momento.
Às minhas irmãs, Luciene e Luiza, pela amizade e companheirismo. Aos amigos de longa data, que mesmo à distância, se fazem presentes.
À Professora Katia, pela orientação e paciência prestadas ao longo destes anos de trabalho.
Aos colegas do LAMAR pelas conversas e trocas de experiências. Aos amigos da graduação, pelo companheirismo.
A todos os professores e colegas do departamento, que ajudaram de forma direta e indireta na conclusão deste trabalho.
À FEM/Unicamp pela educação e infraestrutura.
Resumo
O método estudado neste trabalho enquadra-se na síntese dimensional de mecanismos de quatro barras pelo método dos pontos de precisão. Utilizam-se as equações lineares de loop dos mecanismos de quatro-barras, em sua forma complexa, sendo posteriormente arranjados em sua forma matricial. A solução desse sistema retorna os comprimentos das barras dos mecanismos.
Em seguida, aplicam-se os conceitos de análise cinemática e cinética dos mecanismos sintetizados, obtendo, assim, uma completa caracterização do comportamento desses mecanismos. Da parte cinemática, retornam os gráficos de deslocamento, velocidade e aceleração angulares do acoplador e da segunda manivela em função da variação do ângulo de entrada na primeira manivela. Na parte cinética, analisam-se os efeitos da aplicação de uma força no acoplador. Como resultados, o algoritmo retorna gráficos de força, deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo.
Desenvolveu-se uma interface gráfica para fácil utilização dos algoritmos de síntese e de análise dinâmica para mecanismos de quatro-barras, utilizando o toolbox GUIDE do MATLAB. Além da resposta gráfica, o algoritmo permite o salvamento dos arquivos de entrada e saída, e a visualização de uma animação simulando o movimento do mecanismo, tanto na análise cinemática quanto na análise cinética, quando o sistema é submetido a uma força externa.
Finalmente, simulou-se o mecanismo de quatro-barras sintetizado, posicionando uma mola e um amortecedor transversalmente ao mesmo. Foram feitas as análises cinemática e cinética após a aplicação de uma força externa ao centro de massa do acoplador e a otimização do coeficiente de elasticidade da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando minimizar diferentes funções objetivo, sendo estas a curva de deslocamento do ponto de interesse no acoplador, a curva de velocidade, e a curva de aceleração, aplicando diferentes restrições a cada caso particular. O objetivo é oferecer uma ferramenta genérica, de síntese, análise e otimização de um mecanismo de quatro-barras, auxiliando o projetista de máquinas na obtenção da melhor solução possível de um problema.
Palavras-chave: Síntese de mecanismo, mecanismo - projeto, cinemática - análise, cinética, otimização.
Abstract
The method studied in this work fits in the dimensional synthesis of four-bar mechanisms by the method of the precision points. The linear loop equations of the four-bar mechanisms are used in their complex form and later arranged in their matrix form. The solution of this system returns the lengths of the bars of the mechanism.
Then, the concepts of kinematic and kinetic analysis of the synthesized mechanisms are applied, thus obtaining a complete characterization of the behavior of these mechanisms. From the kinematic part, the angular displacement, velocity and acceleration graphs of the coupling and the second crank are returned as a function of the variation of the input angle in the first crank. In the kinetic part, the effects of the application of a force on the coupler are analyzed. As results, the algorithm returns graphs of force, displacement, velocity and acceleration as a function of time.
A graphical interface was developed to enable easier user utilization of the synthesis and dynamic analysis algorithms for four-bar mechanisms, using the MATLAB GUIDE toolbox. In addition to the graphical response, the algorithm allows saving of the input and output files and the visualization of an animation simulating the movement of the mechanism, both in the kinematic analysis and in the kinetic analysis, when the system is subjected to an external force. Finally, the synthesized four-bar mechanism was simulated, positioning a spring and a damper transversely to the mechanism. Kinematic and kinetic analyzes were performed after the application of an external force to the center of mass of the coupler and the optimization of the coefficient of elasticity of the spring and the damping coefficient, aiming to minimize different objective functions, which are the displacement of the point of interest in the coupler, the velocity curve, and the acceleration curve, applying different restrictions to each particular case. The goal is to offer a generic tool for the synthesis, analysis and optimization of a four-bar mechanism, helping the machine designer to obtain the best possible solution to a problem.
Keywords: Mechanism synthesis, mechanism - project, kinematic - analysis, kinetic, optimization.
Lista de Ilustrações
Figura 3.1: Mecanismo de quatro-barras... 33
Figura 3.2(a): Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento. Duas posições... 35
Figura 3.2(b): Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento. Mecanismo finalizado... 35
Figura 3.3: Síntese de mecanismo para três posições. Geração por movimento... 39
Figura 3.4: Síntese de mecanismo para quatro posições. Geração por movimento... 43
Figura 3.5: Solução geométrica para a equação 3.109... 46
Figura 3.6: Síntese de mecanismo de quatro-barras para cinco posições. Geração por movimento... 50
Figura 4.1: Mecanismo quatro barras genérico... 56
Figura 4.2: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com dois pontos de precisão... 57
Figura 4.3: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 58
Figura 4.4: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com três pontos de precisão... 59
Figura 4.5: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 60
Figura 4.6: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com quatro pontos de precisão... 61
Figura 4.7: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 62
Figura 4.8: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-oscilador com cinco pontos de precisão... 64
Figura 4.9: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 64
Figura 4.10: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano... 65
Figura 4.11: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com dois pontos de precisão... 67
Figura 4.12: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 67
Figura 4.13: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com três pontos de precisão... 69
Figura 4.14: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 69
Figura 4.15: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com quatro pontos de precisão... 71
Figura 4.16: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 71
Figura 4.17: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Oscilador-oscilador com cinco pontos de precisão... 73
Figura 4.18: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 73
Figura 4.19: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano... 74
Figura 4.20: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com dois pontos de precisão... 76
Figura 4.21: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 76
Figura 4.22: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com três pontos de precisão... 78
Figura 4.23: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 78
Figura 4.24: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com quatro pontos de precisão... 80
Figura 4.25: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 80
Figura 4.26: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada teta. Manivela-manivela com cinco pontos de precisão... 82
Figura 4.27: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 82
Figura 4.28: Trajetórias sobrepostas do ponto de interesse do mecanismo no plano cartesiano... 83
Figura 5.1: Mecanismo de 4 barras genérico... 85
Figura 5.2: Análise do ponto de interesse em mecanismo 4 barras... 87
Figura 5.3: Transformação de coordenadas dos eixos cartesianos... 100
Figura 5.4: Gráfico de força constante... 101
Figura 6.1: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado)... 103
Figura 6.2: Sensibilidade à frequência de vibração de diferentes partes do corpo humano. Fonte: Rao S., Vibrações Mecânicas, 2011... 106
Figura 7.1: Mecanismo de 4 barras genérico... 111
Figura 7.3: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q... 113 Figura 7.4: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q... 113 Figura 7.5: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 114 Figura 7.6: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 115 Figura 7.7: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 115 Figura 7.8: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 116 Figura 7.9: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q... 117 Figura 7.10(a): Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q. ... 117 Figura 7.10(b): Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q. ... 118 Figura 7.11: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 118 Figura 7.12: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 119 Figura 7.13: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 119 Figura 7.14: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 120 Figura 7.15: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q... 121 Figura 7.16: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q. ... 122 Figura 7.17: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q. ... 122 Figura 7.18: Deslocamento x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 123 Figura 7.19: Velocidade x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada q. ... 124
Figura 7.20: Aceleração x e y do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo
de entrada q. ... 124
Figura 7.21: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 125
Figura 7.22: Trajetória do ponto de interesse no acoplador no plano cartesiano... 126
Figura 7.23: Mecanismo de quatro barras. Fonte: Peres (2012) (modificado)... 127
Figura 7.24: Posições angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q... 128
Figura 7.25: Velocidades angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q. ... 129
Figura 7.26: Acelerações angulares das barras C2 e C3 em função do ângulo de entrada q. ... 129
Figura 7.27: Deslocamento do centro de massa da barra C2 em função do tempo... 131
Figura 7.28: Velocidade do centro de massa da barra C2 em função do tempo... 131
Figura 7.29: Aceleração do centro de massa da barra C2 em função do tempo... 132
Figura 7.30: Mecanismo quatro barras resultante da síntese e análise cinemática e dinâmica. ... 133
Figura 7.31: Variação do máximo pico da curva de resposta do sistema (deslocamento resultante do centro de massa do acoplador) em função do coeficiente de amortecimento da mola e do coeficiente de elasticidade da mola... 134
Figura 7.32: Deslocamento do centro de massa do acoplador... 135
Figura 7.33: Velocidade do centro de massa do acoplador... 137
Figura 7.34: Aceleração do centro de massa do acoplador... 138
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Relação do número de pontos de precisão e o número de soluções disponíveis... 34 Tabela 4.1: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 2 pontos de precisão... 57 Tabela 4.2: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 3 pontos de precisão... 59 Tabela 4.3: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 4 pontos de precisão... 61 Tabela 4.4: Dados de entrada e saída para manivela-oscilador genérico - 5 pontos de precisão... 63 Tabela 4.5: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 2 pontos de precisão... 66 Tabela 4.6: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 3 pontos de precisão... 68 Tabela 4.7: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 4 pontos de precisão... 70 Tabela 4.8: Dados de entrada e saída para oscilador-oscilador genérico - 5 pontos de precisão... 72 Tabela 4.9: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 2 pontos de precisão... 75 Tabela 4.10: Dados de entrada e saída para manivela - manivela genérico - 3 pontos de precisão... 77 Tabela 4.11: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 4 pontos de precisão... 79 Tabela 4.12: Dados de entrada e saída para manivela-manivela genérico - 5 pontos de precisão... 81 Tabela 7.1: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela – oscilador... 112 Tabela 7.2: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador - oscilador... 116
Tabela 7.3: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo manivela –
manivela... 120
Tabela 7.4: Dados de entrada e saída para mecanismo oscilador – oscilador... 126
Tabela 7.5: Dados de entrada para análise cinemática de mecanismo do tipo oscilador - oscilador... 127
Tabela 7.6: Coordenadas cartesianas dos centros de massa das barras... 130
Tabela 7.7: Massa e momentos de inércia das barras móveis do mecanismo... 130
Tabela 7.8: Definição dos limites dos parâmetros a serem otimizados... 134
Tabela 7.9: Resultados da otimização – Deslocamento... 135
Tabela 7.10: Resultados da otimização – Velocidade... 136
Tabela 7.11: Resultados da otimização – Aceleração... 137
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
𝐏𝟏 Posição de um ponto de interesse na trajetória do acoplador
𝐏𝟐 Posição de um segundo ponto de interesse na trajetória do acoplador
R1 Vetor posição com respeito a um sistema cartesiano XY até P1
R2 Vetor posição com respeito a um sistema cartesiano XY até P2
P21 Vetor deslocamento entre os pontos P1 e P2
G Vetor da barra fixa
W Vetor da barra de entrada
V Vetor da barra acopladora
Z Vetor que define a parte esquerda da barra acopladora
S Vetor que define a parte direita da barra acopladora
U Vetor da barra de saída
C Comprimento de barra
A Ângulo de orientação da barra
q Coordenada generalizada – ângulo de orientação da barra de entrada
g Ângulo de orientação da barra fixa
K Coeficientes cinemáticos de velocidade
J Matriz jacobiana
L Coeficientes cinemáticos de aceleração
up Coordenada do eixo paralelo à barra acopladora de sistema móvel solidário ao
acoplador
vp Coordenada do eixo perpendicular à barra acopladora de sistema móvel
solidário ao acoplador
Vp Velocidade do ponto de interesse
Ap Aceleração do ponto de interesse
Ec Energia cinética
M Massa da barra
Vcm Velocidade do centro de massa
Icm Momento de inércia do centro de massa
Q Força generalizada
F Força
V Função potencial
h Passo do método Runge-Kutta
m Inclinação estimada do método Runge-Kutta
t Tempo
k Constante elástica da mola
c Coeficiente de amortecimento do amortecedor
s Variável de folga h Restrição de igualdade g Restrição de desigualdade L Função lagrangeana H Hessiana do lagrangeano Letras Gregas
θ Ângulo de orientação inicial da barra β Ângulo de variação angular da barra 𝜑 Ângulo de orientação inicial do vetor Z α Variação angular do vetor Z
δ Ângulo de orientação do vetor P21 σ Ângulo de orientação inicial da barra γ Ângulo de variação angular da barra ψ Ângulo de orientação do vetor S
Δ Cofator ω Velocidade angular ℐ Inércia generalizada ℭ Coeficiente centrípeto ζ Fator de amortecimento 𝜇 Parâmetro de barreira
𝜆 Vetor multiplicador de Lagrange
Superescritos ̇ Primeira derivada ̈ Segunda derivada c Conservativa nc Não conservativa Subscritos
x Projeção do vetor na coordenada X y Projeção do vetor na coordenada Y p Ponto de interesse
Sumário
Agradecimentos...5 Resumo...6 Abstract...7 Lista de Ilustrações...8 Lista de Tabelas...12Lista de Abreviaturas e Siglas...14
1 Introdução...20
2 Revisão da Literatura - Perspectiva Histórica...24
3 Síntese Analítica...33
3.1. Síntese analítica para duas posições...34
3.2. Síntese analítica para três posições...39
3.3. Síntese analítica para quatro posições...43
3.4. Síntese analítica para cinco posições...49
4 Resultados da Síntese...56
4.1. Manivela – Oscilador...56
4.1.1. Manivela - oscilador genérico com dois pontos de precisão...56
4.1.2. Manivela - oscilador genérico com três pontos de precisão...58
4.1.3. Manivela - oscilador genérico com quatro pontos de precisão...60
4.1.4. Manivela - oscilador genérico com cinco pontos de precisão...62
4.1.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - oscilador...65
4.2. Oscilador – oscilador...66
4.2.1. Oscilador - oscilador genérico com dois pontos de precisão ...66
4.2.2. Oscilador - oscilador genérico com três pontos de precisão...68
4.2.3. Oscilador - oscilador genérico com quatro pontos de precisão...70
4.2.4. Oscilador - oscilador genérico com cinco pontos de precisão...72
4.2.5. Comparação entre os mecanismos do tipo oscilador - oscilador...74
4.3. Manivela – manivela...74
4.3.2. Manivela - manivela genérico com três pontos de precisão...77
4.3.3. Manivela - manivela genérico com quatro pontos de precisão...79
4.3.4. Manivela - manivela genérico com cinco pontos de precisão...81
4.3.5. Comparação entre os mecanismos do tipo manivela - manivela...83
5 Fundamentação teórica da dinâmica dos mecanismos...84
5.1. Análise Cinemática...84
5.1.1. Análise de posição...84
5.1.2. Análise da velocidade...85
5.1.3. Análise da aceleração...86
5.1.4. Análise do ponto de interesse associado ao acoplador...87
5.1.5. Solução numérica para sistema de equações não-lineares...89
5.2. Análise Cinética...91
5.2.1. Energia Cinética de um sistema de corpos rígidos...92
5.2.2. Forças generalizadas...94
5.2.3. Equação de movimento de Eksergian...95
5.2.4. Representação de forças conservativas...97
5.2.5. Solução numérica da equação geral de Eksergian...98
5.3. Especificidades do algoritmo de análise cinemática e cinética...100
5.3.1. Matriz de transformação de coordenadas...100
5.3.2. Força Externa...101
6 Problema de Otimização...102
6.1 Modelagem matemática do problema...103
6.2 Método de otimização...107
7 Resultados da análise cinemática e cinética...111
7.1. Mecanismos sintetizados...111
7.1.1. Mecanismo manivela – oscilador...111
7.1.2. Mecanismo oscilador – oscilador...116
7.1.3. Mecanismo manivela – manivela...120
7.2. Síntese e simulação cinemática e cinética de um mecanismo de quatro-barras...125
7.2.2. Cinética...130
7.2.3. Resultados do problema de otimização...133
8 Conclusão...139
Referências...141
1 INTRODUÇÃO
O mecanismo plano constituído por quatro barras em uma cadeia cinemática fechada, com o formato de um quadrilátero, é muito versátil e, portanto, comumente encontrado em vários dispositivos mecânicos. A variedade de movimentos que podem ser gerados por esse tipo de mecanismo inclui uma linha aproximadamente reta (acoplamento de Watt e Scott Russel), curvas fechadas e até círculos (mecanismo de Galloway).
Muitos problemas de design de máquinas requerem a criação de um mecanismo (síntese) com um movimento particular. Erdman e Sandor (1997) definem três tipos de síntese cinemática, ou geração: por função, trajetória e movimento. (ERDMAN, A.G., E SANDOR G. N., 1997)
• A geração por função é definida como a correlação entre o movimento de entrada e o movimento de saída em um mecanismo;
• A geração por trajetória é definida como o controle de um ponto no plano de forma que este siga uma trajetória pré-definida;
• A geração por movimento é definida como o controle de uma linha no plano de forma que esta assuma alguma sequência de posições determinadas.
A síntese dimensional de um mecanismo é a determinação das proporções dos acoplamentos de modo a realizar os movimentos desejados. A técnica mais simples para o dimensionamento de um mecanismo de quatro barras é a gráfica. Porém, esta técnica funciona bem para até três posições. Para um número maior, opta-se pela utilização do método analítico. Durante os últimos anos, foram desenvolvidos vários métodos analíticos para a síntese dimensional de mecanismos. Norton divide estes métodos em três categorias, sendo denominadas: precisão, equação e otimização. (NORTON, 2011)
Os métodos de precisão englobam aqueles que procuram sintetizar um mecanismo que passará exatamente pelos pontos definidos previamente, sem, no entanto, se preocupar com a trajetória, ou com um eventual erro estrutural do mecanismo entre estes pontos. Os métodos de pontos de precisão possuem um número máximo de pontos que podem ser previamente definidos, que representam a quantidade de parâmetros independentes que definem um mecanismo. Para um mecanismo de quatro barras, o número máximo de pontos de precisão é nove, sendo que destes nove parâmetros independentes, quatro representam os comprimentos das barras, dois referem-se às coordenadas do ponto de interesse no acoplador, e os últimos três
parâmetros dizem respeito à localização e à orientação da barra fixa no sistema cartesiano global.
Para até cinco pontos de precisão em um mecanismo de quatro barras, as equações podem ser solucionadas de forma fechada, sem iteração. Contudo, utilizando de seis a nove pontos de precisão necessita-se de um método iterativo para encontrar a solução do sistema de equações não lineares, o que pode levar a problemas de não convergência, ou convergência que induz a soluções imaginárias, ou seja, no campo complexo. Independentemente do número de pontos de precisão, pode-se ainda encontrar soluções inviáveis, tais quais: problemas de ordem, nos quais o mecanismo sintetizado passa pelos pontos de precisão, porém não na sequência correta; problemas de circuito, para os quais o mecanismo não consegue se mover entre os pontos de precisão sem mudar a sua configuração de montagem; ou ainda os problemas em que ocorrem posições singulares, também chamadas de ponto morto, entre duas posições sucessivas, resultando no travamento da movimentação do mecanismo.
Os métodos de equação se referem à solução da equação da curva tricircular trinodal de grau seis do acoplador, de modo a encontrar o mecanismo que mais se aproxime da trajetória do ponto de interesse no acoplador, satisfazendo determinados pontos na curva.
Por último, os métodos de síntese analítica denominados “métodos de otimização” referem-se aqueles que utilizam um processo iterativo de otimização, visando minimizar uma função objetivo. A função objetivo pode ser obtida de várias formas, seja pelo método dos mínimos quadrados, através da diferença entre as posições calculadas e desejadas do ponto de interesse do acoplador, ou mesmo pelas equações de loop do mecanismo. Emprega-se uma estimativa inicial para os valores dimensionais do mecanismo, e a cada iteração novas dimensões são calculadas, buscando a minimização da função objetivo escolhida. Os métodos de otimização permitem a definição de um número maior de pontos de precisão do que os próprios métodos de precisão, sendo limitados somente pela capacidade de processamento computacional e os erros de arredondamento do mesmo. No entanto, nenhum dos pontos de precisão desejados serão exatamente iguais aos pontos calculados, sendo suficientemente precisos, contudo, para a maioria das aplicações em engenharia.
Dentre as aplicações da síntese de mecanismos de quatro-barras, pode-se citar Dimarogonas e Mourikis (1980), que desenvolveram um método para a síntese de mecanismos de quatro barras capaz de prover o movimento adequado a placas solares, seguindo assim o movimento do sol em um lugar específico. Este método utiliza, como parâmetros de projeto, pontos de precisão da altitude do sol em função da hora no local, gerando assim uma estimativa inicial para as dimensões do mecanismo. Por meio de métodos de otimização, o design original
é aprimorado, minimizando o erro e otimizando as características estruturais do mecanismo, requerendo apenas simples ajustes sazonais. (DIMAROGONAS, A. D., MOURIKIS A., 1980) Outra aplicação de mecanismos de quatro barras pode ser citada no campo das suspensões. Em 2008, Wongratanaphisan e Cole analisaram um mecanismo de quatro barras compensado gravitacionalmente por uma suspensão de molas. A análise é baseada no campo da energia potencial. O mecanismo proposto pode ser utilizado em sistemas mecânicos a baixas ou altas velocidades, sob aplicação de altas cargas e operando a acelerações da ordem de grandeza da aceleração gravitacional. (WONGRATANAPHISAN, T., COLE, M. O. T., 2008) Em 2010, McDonald e Agrawal desenvolveram um design de asas para micro veículos aéreos, inspirado nas asas de insetos e pássaros. Evidencia-se a necessidade de projeto de componentes extremamente leves, capazes de reproduzir os padrões de movimentos das asas dos animais, usando poucos atuadores, ou eventualmente um único. Utiliza-se, então, a síntese analítica de mecanismos para desenvolver um design otimizado de um mecanismo de quatro barras esférico, sendo este escolhido por possuir boa modelagem aerodinâmica. (MCDONALD, M., AGRAWAL, S. K., 2010)
O método estudado neste trabalho enquadra-se na síntese dimensional de mecanismos de quatro barras pelo método dos pontos de precisão. Esta teoria foi introduzida por Freudenstein e Sandor (1959), sendo posteriormente desenvolvida por Sandor e Erdman (1997). Utilizam-se as equações lineares de loop dos mecanismos de quatro-barras, em sua forma complexa, sendo posteriormente arranjados em sua forma matricial. A solução desse sistema retorna os comprimentos das barras dos mecanismos. (FREUDENSTEIN, F., SANDOR, G. N., 1959) (ERDMAN, A. G., E SANDOR, G. N., 1997)
Desenvolveu-se também um algoritmo computacional em MATLAB para o cálculo dos comprimentos das barras, a partir da aplicação da teoria de síntese analítica a ser explicitada no capítulo 3. O algoritmo retorna também gráficos de deslocamento do ponto de interesse no acoplador em função do ângulo de entrada, para o mecanismo sintetizado, assim como o cálculo do erro entre o ponto de interesse desejado e o obtido pela síntese. Pode-se obter, ainda, gráficos da variação do ângulo de rotação do acoplador e da segunda manivela em função do ângulo de entrada.
Através da utilização em conjunto com o programa de análise desenvolvido por Saint Martin (2014), permite-se a análise cinemática e cinética do mecanismo sintetizado, ou de outro mecanismo de quatro-barras qualquer, sendo, neste caso, necessário informar dados adicionais ao programa. Da parte cinemática, retornam os gráficos de deslocamento, velocidade e aceleração angulares do acoplador e da segunda manivela em função da variação do ângulo de
entrada na primeira manivela. Na parte cinética, analisam-se os efeitos da aplicação de uma força no acoplador, ou um momento aplicado à manivela de entrada. Como resultados, o algoritmo retorna gráficos de força, deslocamento, velocidade e aceleração em função do tempo. (SAINT MARTIN, L. B., 2014)
Desenvolveu-se uma interface gráfica para fácil utilização dos algoritmos de síntese e de análise dinâmica para mecanismos de quatro-barras, utilizando o toolbox GUIDE do MATLAB. Além da resposta gráfica, o algoritmo permite o salvamento dos arquivos de entrada e saída, e a visualização de uma animação simulando o movimento do mecanismo, tanto na análise cinemática quanto na análise cinética, quando o sistema é submetido a uma força externa.
Finalmente, simulou-se o mecanismo de quatro-barras sintetizado, posicionando uma mola e um amortecedor transversalmente ao mesmo. Foram feitas as análises cinemática e cinética após a aplicação de uma força externa ao centro de massa do acoplador e a otimização do coeficiente de elasticidade da mola e do coeficiente de amortecimento, buscando minimizar diferentes funções objetivo, sendo estas a curva de deslocamento do ponto de interesse no acoplador, a curva de velocidade, e a curva de aceleração, aplicando diferentes restrições a cada caso particular. O objetivo é oferecer uma ferramenta genérica, de síntese, análise e otimização de um mecanismo de quatro-barras, auxiliando o projetista de máquinas na obtenção da melhor solução possível de um problema.
2 REVISÃO DA LITERATURA – PERSPECTIVA HISTÓRICA
O desenvolvimento do mecanismo de quatro barras, a partir da manivela, ocorreu em duas etapas. Primeiramente, a barra de conexão foi acoplada à manivela, de modo a substituir o antebraço humano, formando assim uma díade. Esta etapa foi sucedida pela adição da quarta barra, fechando deste modo o mecanismo de quatro barras. As primeiras ilustrações de mecanismos de quatro barras do tipo manivela oscilador surgiram na China, por volta de 500 D.C., em um moinho em rotação, posto em movimento por meio de um pino e uma vara. Na Europa, este mecanismo só apareceu por volta de 1440 D.C., porém a primeira aplicação bem-sucedida e documentada de um mecanismo deste tipo foi em 1582, na London Bridge Waterworks, construída por Peter Moris. (NOLLE, 1973)
Em 1784, Watt utilizou o acoplador de um mecanismo de quatro barras para promover movimento aproximadamente linear a uma biela em um motor a vapor, evidenciando-se a partir deste momento a importância do estudo do movimento de um mecanismo. Análises matemáticas do movimento destes mecanismos, no entanto, passaram a ser intensamente estudadas somente por volta de 1860, enquanto as investigações a respeito da síntese de tais mecanismos foram publicadas tardiamente 20 anos depois. (NOLLE, 1973)
No século XVIII, Poinsot e Chasles realizaram progressos significativos no tratamento geométrico do movimento de corpos rígidos. Todavia, seu estudo não abrangia o movimento de corpos cujas restrições são definidas em termos da geometria de um conjunto de corpos articulados. Reuleaux baseou seus argumentos em cinemática pura, e desenvolveu, no processo, a síntese por tipo, agrupando os diferentes mecanismos de acordo com seu propósito. Na segunda metade do século XIX, após a publicação dos trabalhos de Chebyshev e Burmester, os métodos analíticos e geométricos aproximados para síntese por geração de movimento, nos quais o mecanismo move-se por uma linha aproximadamente reta, se desenvolveram rapidamente. Chebyshev estudou o mecanismo de Watt e mecanismos de quatro barras em geral, empregando métodos puramente analíticos, formulando uma série de funções cujos coeficientes eram parâmetros do mecanismo. Burmester, por outro lado, empregou apenas argumentos geométricos na síntese, desenvolvendo relações cinemáticas para um corpo em movimento plano, assumindo três, quatro e cinco posições distintas. Disto, Burmester descobriu que certos pontos de interesse em um corpo se localizam em arcos de circunferência, sendo denominados assim de circle points. A abordagem de Burmester não requer conhecimento
algébrico da curva do acoplador, visto que busca a definição do mecanismo através da localização das barras de entrada e saída relacionando-as ao movimento do plano do acoplador. A geração de movimento precisamente linear por um mecanismo foi desenvolvida por Peaucellier em 1864. (NOLLE, 1973)
Em 1875, Samuel Roberts publicou as primeiras propriedades algébricas de curvas para mecanismos de quatro barras planares, para as quais afirmava que a trajetória de um ponto em um acoplador formaria uma curva tricircular de grau seis. Expressões analíticas para a trajetória de um ponto na linha de centro do acoplador foram posteriormente desenvolvidas por Johnson W. W., em 1876. Já em 1903, Somov desenvolve expressões para a curva do acoplador, cujas formas permitiram o conhecimento da influência dos parâmetros do mecanismo nas possíveis mudanças de trajetória do acoplador. (NOLLE, 1973)
Como mencionado anteriormente, Burmester em 1888, introduziu uma técnica geométrica para síntese de mecanismos, denominada por este motivo de teoria de Burmester, sendo aplicável a até 5 diferentes posições de uma barra. Seu trabalho serviu de referência para os estudos de Muller, em 1892, que estabeleceu inúmeros teoremas a respeito de colinearidade, ordem de contato, simetria e localização dos pontos de Burmester, todos relacionados ao deslocamento infinitesimal. Além disso, Muller estabeleceu as relações algébricas existentes entre as evolutas de pontos em uma trajetória e seus respectivos centros de curvatura. Allievi, em 1895, foi o primeiro a aplicar a teoria de Burmester para mecanismos de quatro-barras, no final do século XIX. (NOLLE, 1973)
No século XX, várias teorias se desenvolveram para a síntese de mecanismos, das quais poucas possuem forma fechada, e muitas necessitam de solução numérica iterativa, facilitada após o surgimento dos computadores. Os vários métodos desenvolvidos a partir desta época podem ser divididos em 3 categorias distintas, a saber: pontos de precisão, equação da curva do acoplador e otimização. Os métodos de pontos de precisão, utilizados neste trabalho, buscam soluções nas quais o mecanismo passará precisamente nos pontos designados, mas podem se desviar da trajetória desejada entre os mesmos. Os métodos de equação da curva do acoplador solucionam a curva do acoplador tricircular trinodal de sexto grau, de modo a encontrar um mecanismo que passará pela trajetória completa do acoplador. Por último, os métodos de otimização referem-se aos procedimentos iterativos de otimização que buscam minimizar uma função objetiva, como por exemplo, o método do desvio dos mínimos quadrados, entre os pontos desejados e os calculados na trajetória do acoplador. (NORTON, 2011)
Os métodos de pontos de precisão são limitados pelo número de equações independentes que definem o mecanismo. Para um mecanismo de quatro barras, o número máximo de pontos
de precisão possível é nove. Para até 5 pontos, as equações podem ser resolvidas em sua forma fechada. De 6 até 9 pontos de precisão, as equações são não lineares, e necessitam de métodos iterativos para sua solução. (NORTON, 2011)
Freudenstein (1955), posteriormente associado a Sandor (1959), está entre os primeiros a publicar um trabalho direcionado à síntese de mecanismos com o método de pontos de precisão, utilizando-se das equações lineares de loop, para até cinco pontos de precisão. Este método é descrito em detalhes no capítulo 3 deste trabalho, sendo posteriormente aplicado no desenvolvimento de uma ferramenta computacional. (FREUDENSTEIN, F., 1955) (FREUDENSTEIN, F. E SANDOR, G. N., 1959)
Suh e Radcliffe (1966) apresentam uma abordagem similar à de Freudenstein (1955), utilizando-se de equações de loop. Este método também se enquadra na categoria de síntese analítica dos pontos de precisão. No entanto, este método leva a um sistema de equações não lineares, aplicável para até 5 posições distintas, utilizando-se o método numérico de Newton-Raphson. Esta abordagem leva, porém, a problemas de não convergência, ou ainda, convergência que pode resultar em soluções inviáveis. Seu método se diferencia pela introdução da matriz de deslocamentos associada a posições múltiplas de um corpo rígido, para síntese de mecanismos planares ou tridimensionais. Para um mecanismo de quatro barras com acoplador, a matriz de deslocamento é função da rotação relativa (ângulo de rotação entre a primeira e a enésima posição) do acoplador, e dos pontos de precisão. (SUH, C. H. E RADCLIFFE, C. W., 1966).
Nolle e Hunt, utilizando um método da categoria de otimização, derivam em 1971 expressões analíticas para a síntese ótima de mecanismos de quatro barras planares. Seu método leva a um sistema de dez equações lineares não homogêneas, cuja solução gera valores ótimos para todas as variáveis independentes do problema, utilizando-se do método dos mínimos quadrados para a minimização da função erro. Devido à utilização de equações lineares, o método utiliza pouco tempo computacional, permitindo seu uso diversas vezes nos casos onde não há uma boa estimativa inicial. Em termos de tempo, leva-se um segundo a cada iteração, resultando em uma convergência rápida. Mostra-se ainda a possibilidade de aplicação deste método a mecanismos de 6 ou mais barras, e mecanismos tridimensionais para os quais a solução ótima é obtida após uma única iteração. (NOLLE, H. E HUNT, K. H., 1971)
Posteriormente, Suh (1973), aprimorando seus estudos na área de síntese analítica através do método dos pontos de precisão, publicou métodos matemáticos para solução de equações não lineares por meio do uso de sistemas matriciais e do método dos mínimos quadrados. O algoritmo dos mínimos quadrados publicado por Powell foi implementado, o que proporcionou
rápida convergência de funções residuais provenientes da função objetivo e das restrições dos mecanismos. Sua efetividade é demonstrada por meio de exemplos da síntese por otimização de mecanismos, no caso da geração por função, pela posição do acoplador, e no caso da geração por meio de uma curva espacial. Não só o algoritmo apresentou resultados válidos, como ainda se mostrou de fácil implementação. (SUH, C. H., 1973)
Loerch, Erdman e Sandor (1979), desenvolveram um método de síntese utilizando pontos de precisão, demonstrando um método gráfico, no qual são obtidas soluções para mecanismos de quatro barras com três pontos de precisão, nos quais quaisquer deslocamentos rotacionais podem ser estabelecidos. Além disso, são discutidos casos nos quais são determinadas duas posições e uma velocidade. As soluções são representadas por círculos formados pelas diferentes localizações de um ponto de interesse no acoplador, derivadas das equações analíticas baseadas em transformações bi lineares. Demonstra-se, ainda, uma solução para quatro pontos de precisão, utilizando-se da superposição de duas soluções, para o caso de três pontos de precisão. (LOERCH, R. J., ERDMAN A. G., SANDOR G. N., 1979).
Já em 1981, Erdman introduziu a expressão dos mecanismos de quatro barras por meio de números complexos, padronizando as equações para geração por função, geração por trajetória e geração por movimento. Diferentes estratégias para a síntese foram descritas, sugerindo a melhor solução para cada escolha de parâmetros iniciais. Recomenda-se considerar as vantagens e desvantagens do emprego de uma técnica específica para um determinado problema. Por fim, foram reproduzidas técnicas computacionais para os casos de síntese com três ou quatro pontos de precisão. (ERDMAN, A. G., 1981)
Posteriormente, Sandor e Erdman (1997) publicaram o livro “Mechanism Design: Analysis and Synthesis”, baseado nos estudos de Freudenstein (1955), e nas equações de loop, utilizando notação complexa, introduzidas por Erdman. Estes métodos de síntese analítica buscaram a determinação de um mecanismo que passe por pontos previamente determinados, sendo assim denominados métodos dos pontos de precisão. (ERDMAN, A. G., E SANDOR, G. N., 1997)
Em 1985, Midha e Zhao, discutiram a síntese de mecanismos de oito barras planares por meio das equações de loop e de equações não lineares. Este método, portanto, se enquadrou na categoria dos pontos de precisão, baseando-se na teoria desenvolvida por Freudenstein (1955) e, posteriormente, por Erdman e Sandor (1997). O método de Newton-Raphson foi utilizado para a solução destas equações não lineares. (MIDHA, A., ZHAO, Z.-L., 1985)
Blechschmidt e Uicker, em 1986, desenvolveram um método para a síntese de mecanismos de quatro-barras utilizando a curva algébrica do movimento de um ponto de
interesse no acoplador. Este método baseou-se na teoria de Burmester, pois a curva algébrica formada pelo ponto de interesse é um polinômio de sexto grau, do tipo tricircular trinodal. Deste modo, este método entra na categoria dos métodos de síntese analítica pelo uso da equação polinomial citada. Demonstrou-se que dada uma série de pontos na qual o ponto de interesse no acoplador deve passar, os coeficientes do polinômio podem ser encontrados. Os coeficientes do polinômio são funções não lineares dos parâmetros do mecanismo. O sistema de equações não lineares resultante pode ser resolvido por meio de técnicas de iteração ou otimização, determinando-se assim as dimensões das barras do mecanismo. (BLECHSCHMIDT, J. L., UICKER, J. J., 1986)
Morgan e Sommese, em 1987, e Wampler, em 1990 solucionaram o mecanismo de quatro barras para 5 posições distintas e pivôs fixos, utilizando-se das equações de loop e dos métodos de continuação, enquadrando-se nos métodos de síntese analítica dos pontos de precisão. Neste trabalho, demonstrou-se que, para um mecanismo passando por 5 pontos de precisão, os parâmetros de design devem satisfazer um sistema de equações polinomiais de quarto grau, com quatro incógnitas, e este sistema deve apresentar no máximo 36 soluções reais. No entanto, nem todas as soluções podem se apresentar utilizáveis, podendo ocorrer 3 tipos de soluções indesejáveis, a saber: as de solução complexa, com defeito de ordem (order defect), na qual o mecanismo sintetizado não consegue passar pelos pontos de precisão na ordem designada, ou soluções com defeito de continuidade (branch defects), em que o mecanismo precisa mudar sua configuração de montagem, ou forma, para satisfazer todos os pontos de precisão. (MORGAN, A. P. E A. J. SOMMESE, 1987) (MORGAN, A. P., E WAMPLER, C. W., 1990)
Subbian e Flugrad, em 1991, estenderam este estudo para pivôs móveis, enquadrando-se, portanto, na classe dos métodos de síntese analítica dos pontos de precisão. Apresentou-se uma diferente abordagem para a síntese por trajetória de mecanismos de quatro-barras, utilizando o método de continuação para solucionar o sistema de equações não lineares proveniente das equações de loop. Demonstrou-se, ainda, que o método de Newton pode ser aplicado na solução do sistema não-linear, sendo, no entanto, impossível assegurar um conjunto completo de soluções. Portanto, o método da continuação seria o mais confiável matematicamente. No entanto, dentre as soluções obtidas por este método, encontram-se as soluções reais, as soluções complexas e as soluções no infinito, das quais somente as reais são utilizáveis na síntese. (SUBBIAN, T. E FLUGRAD, J. D. R., 1991)
Já em 1992, Wampler, continuando os estudos anteriores de síntese analítica pelos pontos de precisão, utiliza uma combinação de redução de equação analítica e o método da continuação para exaustivamente computar todas as soluções (provou-se que há um máximo de 4326)
possíveis e genéricas para o problema de nove pontos de precisão, buscando, assim, controle máximo sobre a curva do acoplador. Vale ressaltar que nove é o número máximo de pontos de precisão possíveis de serem determinados previamente na síntese de mecanismos de quatro barras. Este método, contudo, não elimina os mecanismos fisicamente impossíveis ou com problemas como posições de alternância. (WAMPLER, C. W., 1992)
Em 1994, Tylaska e Kazerounian desenvolveram um método para síntese de mecanismos de quatro barras para 7 pontos de precisão (método de síntese analítica pelos pontos de precisão). Seu método era capaz de encontrar uma solução para qualquer conjunto de parâmetros iniciais, sendo, portanto, um avanço sobre outros métodos iterativos, que possuem certas restrições a respeito de suas estimativas iniciais. Uma particularidade deste método é a extensão do mesmo ao mecanismo de seis barras de Watt. (TYLASKA, T. E KAZEROUNIAN K., 1994)
Também em 1994, Avilés, Navalpotro, Amezua e Hernández, publicaram um método de síntese analítica de mecanismos planares através da otimização, tanto para geração por movimento, geração por trajetória, ou geração por função, ou seja, aplicável a todas as sínteses cinemáticas. Os mecanismos são discretizados em elementos finitos, visando facilitar a computação da matriz geométrica, que é uma matriz de rigidez. A função erro é baseada na energia elástica acumulada pelo mecanismo, quando este é forçado a satisfazer exatamente os dados da síntese. Portanto, durante o processo iterativo, considera-se que os elementos dos mecanismos são deformáveis. O sistema de equações não lineares de equilíbrio resultante é solucionado utilizando a matriz geométrica e o vetor força do sistema deformado. A minimização da função erro é obtida pelo método de Newton de segunda ordem, com uma abordagem semi-analítica. Provou-se que este método é muito estável para uma grande variedade de passos da iteração, apresentando convergência mesmo quando a solução inicial da iteração se apresenta distante da solução real. (AVILÉS, R., NAVALPOTRO, S., AMEZUA, E. E HERNÁNDEZ, A., 1994)
Bawab, et al. (1997), apresentaram um método de síntese mecânica baseado na teoria de otimização e na síntese retificada. Utilizaram a geração por movimento, na qual o mecanismo passa por dois, três, ou quatro posições. Apresentaram, ainda, técnicas para síntese automática, implementadas no software RECSYN (RECtified SYNthesis), buscando tornar o processo de otimização mais eficiente em termos de velocidade. Comparativamente, em um processo manual, necessita-se de tempo e conhecimentos de cinemática consideráveis para desenvolver uma solução iterativa aceitável. O algoritmo apresentado consumiu no máximo seis segundos para gerar uma solução. Isso foi possível devido à eliminação imediata de mecanismos
inviáveis, através do uso de ferramentas de retificação. Sendo assim, o método apresentado uniu aspectos da síntese analítica pelos pontos de precisão, de síntese cinemática pelo uso da geração por movimento, e de técnicas de otimização, eliminando soluções de mecanismos não viáveis. (BAWAB, S., SABADA, S. SRINIVASAN, U., KINZEL, G.L. E WALDRON, K. J., 1997)
Já em 1999, Liu e Yang sugeriram uma nova abordagem para a síntese analítica de mecanismos por otimização. Foram apontadas duas limitações nestes métodos de síntese, sendo estas: as estimativas iniciais são de difícil determinação e a solução ótima global é de árdua obtenção. Propôs-se, assim, uma metodologia que extingue a necessidade de estimativa inicial, de modo a não impedir a obtenção de todas as soluções possíveis. Utilizando-se das equações de loop do mecanismo, e buscando a minimização da função objetivo do sistema por meio das derivadas parciais das equações de loop, obteve-se um sistema de equações polinomiais solucionável pelo método da continuação. (LIU, A.-X. E YANG, T. -L., 1999)
Em 2001, Vasiliu e Yannou propuseram um método para a síntese analítica de mecanismos planares, cuja função era a geração de uma determinada trajetória. A maioria dos métodos para a síntese analítica e gráfica para geração por trajetória exige a especificação da mesma por meio de uma série de coordenadas de pontos, ao invés da especificação de uma forma geométrica. A respeito dos métodos de síntese por otimização, os mesmos mostram-se lentos, e sua convergência depende da solução inicial. Alternativamente, foi apresentada uma abordagem diferenciada pelo uso de uma rede neural. Este método enquadrou-se nos métodos de síntese analítica por otimização. O primeiro passo consistia na geração de um grande número de casos por meio da simulação cinemática de mecanismos, para valores aleatórios de comprimentos de barra, em um processo de orientação da rede neural. No segundo passo, durante sua utilização, a rede neural possibilitava a obtenção imediata de uma solução aproximada para o problema de síntese, através da interpolação de casos instalados na memória da rede. Concluiu-se que as duas maiores vantagens da utilização deste método são a capacidade do mesmo de levar em conta especificações de formato geométrico da trajetória, dificilmente concebível em métodos tradicionais, e a compilação preliminar da base de casos, usando a interpolação com a rede neural, o que acarreta em grande redução da base de dados. Entretanto, a implementação deste método requer um grande número de simulações cinemáticas, exigindo assim a utilização de um software. (VASILIU, A., YANNOU, B., 2001)
Wu e Chen, em 2005, desenvolveram um software de análise de mecanismos de quatro barras planares. O software realizava a análise cinemática completa do mecanismo, ilustrando, através de animações, seus movimentos. Sendo assim, permitia-se a rápida e fácil determinação de soluções para as variáveis do acoplador. (WU, T.-M., CHEN, C.-K., 2005)
Shariati e Norouzi, em 2010, descreveram um método de síntese analítica por otimização para mecanismos de quatro barras, com o objetivo de gerar uma função matemática definitiva. A função objetivo foi definida em termos dos mínimos quadrados dos erros entre a função gerada e a função desejada. Devido a não linearidade da função objetivo e das restrições do mecanismo, utilizou-se o método Sequential Quadratic Programming (SQP) para minimizar a função objetivo, de modo a encontrar o mecanismo ótimo. Este método é iterativo, e utilizado na otimização de equações não lineares, no qual a função objetivo e as restrições são diferenciadas duas vezes. No caso de não haver restrições para o problema, este se reduz ao método de Newton, determinando um ponto onde o gradiente da função objetivo é nulo. No caso de haver uma restrição, o método equivale ao método de Newton de primeira ordem com condições ótimas, ou condições de Karush-Kuhn-Tucker (K.K.T.). Este método está incluído em diversos pacotes computacionais, entre eles o MATLAB. (SHARIATI, M., NOROUZI, M., 2010).
Aoustin e Hamon, em 2013, utilizaram um mecanismo de quatro-barras para a concepção de um joelho para utilização em um robô bípede. Utilizaram, como parâmetros iniciais, as dimensões de uma perna humana característica, obtidas por radiografia. Estas dimensões foram otimizadas pelo método apresentado no artigo, de modo a produzir uma referência ótima para trajetórias percorridas pelo robô ao caminhar. Observou-se que o design mostrou-se ruim para baixas velocidades, porém eficiente para velocidades mais elevadas, o que demonstrou que estes mecanismos poderiam representar uma boa tecnologia a ser implementada para o aumento da velocidade de robôs bípedes. (AOUSTIN Y., HAMON, A., 2013)
Zhao, Yan e Ye, em 2014, aplicaram a teoria de Burmester no design das asas de um robô, propondo uma formula unificada para a síntese de mecanismos de quatro barras com um número qualquer de posições pré-definidas. As asas de um pássaro usualmente executam um movimento periódico, e definem-se 8 posições críticas pelas quais as asas devem passar. Utilizaram-se as coordenadas da circunferência na posição inicial como variáveis de design para estabelecer as equações de restrição, que foram posteriormente utilizadas na determinação das posições sucessivas através da matriz de transformação. Expandindo-se as equações quadráticas, e eliminando os itens quadráticos das coordenadas do centro da circunferência, foi obtido um sistema de equações lineares. A matriz de coeficientes aumentada, constituída pelas coordenadas do ponto no centro da circunferência na posição inicial, foi então utilizada para formar uma matriz 3 x 3. Igualando a matriz a zero, foram encontradas as soluções para o problema. O método provou-se suficientemente preciso para até quatro posições, utilizando-se
o método dos mínimos quadrados para otimização da solução. (ZHAO, J.-S., YAN, Z.-F. E YE, L., 2014)
Neste contexto, integrando-se técnicas de síntese analítica utilizando os pontos de precisão de mecanismos de quatro-barras, a análise cinemática e cinética dos mecanismos sintetizados, e finalmente, o estudo de técnicas de otimização, busca-se um estudo completo dos mecanismos de quatro-barras.
3 SÍNTESE ANALÍTICA
A construção gráfica para duas e três posições é de fácil realização. No entanto, problemas mais complexos, que possuem restrições quanto ao tamanho das barras, posição das barras e pivôs fixos, ângulos de transmissão e outros, requerem a repetição do método diversas vezes para encontrar uma solução ótima. A síntese analítica torna-se, portanto, necessária, já que o método gráfico se torna muito oneroso. A síntese analítica é essencialmente algébrica, tornando-a adequada para utilização em métodos computacionais.
As mesmas técnicas utilizadas para a síntese analítica de duas e três posições podem ser estendidas para quatro e cinco pontos de precisão, escrevendo mais equações de loop, uma para cada ponto de precisão. A tabela 3.1 mostra o número de variáveis escalares e prescritas (dados do problema), o número de equações escalares provenientes das equações de loop (para cada díade), e o número de variáveis disponíveis para livre escolha, em função do número de pontos de precisão escolhido. A figura 3.1 ilustra a localização destas variáveis.
Tabela 3.1: Relação do número de pontos de precisão e o número de soluções disponíveis. Nº de pontos de precisão Nº de variáveis escalares (total) Nº de equações escalares Nº de variáveis prescritas (dados de entrada) Nº de livres escolhas (condições iniciais para coordenada generalizada 𝒒, 𝒒̇, 𝒒̈) 2 8 2 3 3 3 12 4 6 2 4 16 6 9 1 5 20 8 12 0
Utilizando as equações de loop para a solução do problema de síntese do mecanismo de quatro barras, o sistema de equações pode ser solucionado diretamente, sem iterações, para até cinco pontos de precisão. Para seis ou mais pontos de precisão, necessita-se de um método iterativo para solucionar as equações não-lineares, o que pode levar a problemas de não convergência, ou convergência para soluções imaginárias. Neste capítulo, serão apresentados os equacionamentos para síntese analítica para dois, três, quatro e cinco pontos de precisão de mecanismos de quatro barras.
3.1 Síntese analítica para duas posições
Por ser o mecanismo mais versátil, diversos métodos foram criados para a solução de problemas utilizando o mecanismo de quatro barras. Os métodos analíticos aqui citados foram desenvolvidos por Erdman e Sandor (1997), sendo posteriormente aprimorados por Kaufman e Loerch. (ERDMAN, A.G., E SANDOR G. N., 1997)
A geração por movimento, definida como o controle de uma linha em um plano de modo que esta assuma uma sequência de posições previamente definidas, é comumente obtida utilizando um mecanismo quatro barras do tipo manivela ou duas manivelas. Nestes, um ponto no acoplador passa pela trajetória desejada, e o mecanismo também controla o ângulo no acoplador que possui a linha de interesse. O procedimento é descrito a seguir (Figura 3.2)
(a) Duas posições (b) Mecanismo finalizado
Figura 3.2: Síntese de mecanismo para duas posições. Geração por movimento.
Definem-se os dois pontos de precisão no plano com respeito a um sistema cartesiano global XY utilizando dois vetores de posição R1 e R2. A mudança no ângulo α2 do vetor Z indica a rotação desejada para o acoplador. O vetor P21, que define a diferença de deslocamentos entre a posição P1 e P2, é definido como:
𝑃21= 𝑅2− 𝑅1 (3.8)
Os vetores em sequência W1Z1 definem a metade esquerda do mecanismo. Já U1S1 define a metade direita do mecanismo. A equação que relaciona Z1 a S1 é:
𝑉1 = 𝑍1− 𝑆1 (3.9)
𝐺1 = 𝑊1+ 𝑉1− 𝑈1 (3.10)
Portanto, ao determinar os vetores W1, Z1, U1 e S1, ter-se-á um mecanismo que satisfaz as especificações iniciais. Faz-se um loop na parte esquerda do mecanismo, começando com W2.
𝑊2+ 𝑍2− 𝑃21− 𝑍1− 𝑊1 = 0 (3.11)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2)+ 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2)− 𝑝
21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑− 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.12) A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como:
𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝
21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑− 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.13) Simplificando e arranjando:
𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2− 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2− 1) = 𝑝
21𝑒𝑗𝛿2 (3.14)
Separando as partes real e imaginária: Parte real: [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2− 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2− 1) − [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2 (3.15) Parte imaginária: [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2− 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2+ [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2− 1) + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.16)
Há oito variáveis nestas duas equações: 𝑤, 𝜃, 𝛽2, 𝑧, 𝜑, 𝛼2, 𝑝21𝛿2. Pode-se resolver apenas para duas. Três destas variáveis foram definidas no inicio, 𝛼2, 𝑝21, 𝛿2. Das cinco restantes,
𝑤, 𝜃, 𝛽2, 𝑧, 𝜑, deve-se assumir o valor de três para que seja possível resolver para as outras duas. Assume-se o valor dos três ângulos, 𝜃, 𝛽2, 𝜑, de modo a obter como resultado a magnitude de w e z. Simplificando as equações e substituindo alguns termos por constantes:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃(𝑐𝑜𝑠 𝛽2− 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝛽2 (3.17) 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜑(𝑐𝑜𝑠𝛼2− 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.18) 𝐶 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝜑2 (3.19) 𝐷 = 𝑠𝑖𝑛𝜃(𝑐𝑜𝑠𝛽2− 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛽2 (3.20) 𝐸 = 𝑠𝑖𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.21) 𝐹 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.22)
As equações da parte real e imaginária ficam:
𝐴𝑤 + 𝐵𝑧 = 𝐶 (3.23)
𝐷𝑤 + 𝐸𝑧 = 𝐹 (3.24)
Resolvendo ambas as equações simultaneamente:
𝑤 = 𝐶𝐸 − 𝐵𝐹 𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.25) 𝑧 = 𝐴𝐹 − 𝐶𝐷 𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.26)
Repetindo o procedimento para o lado direito do mecanismo: Equação do loop:
𝑈2+ 𝑆2− 𝑃21− 𝑆1− 𝑈1 = 0 (3.27)
Reescrevendo na sua forma complexa:
𝑢𝑒𝑗𝜎(𝑒𝑗𝛾2 − 1) + 𝑠𝑒𝑗𝜓(𝑒𝑗𝛼2− 1) = 𝑝
21𝑒𝑗𝛿2 (3.28)
𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜎 (𝑐𝑜𝑠𝛾2− 1) − 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2+ 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜓 (𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) − 𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠 𝛿2 (3.29) Parte imaginária: 𝑢 𝑠𝑖𝑛 𝜎 (𝑐𝑜𝑠𝛾2− 1) + 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2+ 𝑠 𝑠𝑖𝑛 𝜓 (𝑐𝑜𝑠𝛼2− 1) + 𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜓 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛 𝛿2 (3.30)
Assumindo os valores dos ângulos σ, ψ e γ2, e lembrando que os valores de p21, α2 e δ2 estão definidos, e substituindo os termos das equações pelas seguintes constantes:
𝐴 = 𝑐𝑜𝑠 𝜎(𝑐𝑜𝑠 𝛾2− 1) − 𝑠𝑖𝑛 𝜎 𝑠𝑖𝑛𝛾2 (3.31) 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝜓(𝑐𝑜𝑠𝛼2− 1) − 𝑠𝑖𝑛𝜓𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.32) 𝐶 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2 (3.33) 𝐷 = 𝑠𝑖𝑛𝜎(𝑐𝑜𝑠𝛾2− 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜎𝑠𝑖𝑛𝛾2 (3.34) 𝐸 = 𝑠𝑖𝑛𝜓(𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 1) + 𝑐𝑜𝑠𝜓𝑠𝑖𝑛𝛼2 (3.35) 𝐹 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.36)
As equações da parte real e imaginária ficam:
𝐴𝑢 + 𝐵𝑠 = 𝐶 (3.37)
𝐷𝑢 + 𝐸𝑠 = 𝐹 (3.38)
Resolvendo ambas as equações simultaneamente:
𝑢 = 𝐶𝐸 − 𝐵𝐹
𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.39)
𝑠 = 𝐴𝐹 − 𝐶𝐷
𝐴𝐸 − 𝐵𝐷 (3.40)
3.2. Síntese analítica para três posições
Para três pontos de precisão, o procedimento é muito similar. No entanto, para encontrar as dimensões das barras, necessitam-se de duas equações de loop para a parte direita do mecanismo, e duas para a parte esquerda. O procedimento será exemplificado a seguir, para um problema similar ao descrito anteriormente (Figura 3.3).
Figura 3.3: Síntese de mecanismo para três posições. Geração por movimento.
As equações de loop da parte esquerda, para a segunda e terceira posições, em relação à posição inicial, são:
𝑊2+ 𝑍2− 𝑃21− 𝑍1− 𝑊1 = 0 (3.41)
𝑊3+ 𝑍3− 𝑃31− 𝑍1− 𝑊1 = 0 (3.42)
Substituindo os vetores por seus números complexos equivalentes:
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽2)+ 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼2)− 𝑝
21𝑒𝑗𝛿2 − 𝑧𝑒𝑗𝜑− 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.43)
𝑤𝑒𝑗(𝜃+𝛽3)+ 𝑧𝑒𝑗(𝜑+𝛼3)− 𝑝
A soma dos ângulos dos expoentes pode ser reescrita como: 𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽2 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼2 − 𝑝 21𝑒𝑗𝜑2− 𝑧𝑒𝑗𝜑− 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.45) 𝑤𝑒𝑗𝜃𝑒𝑗𝛽3 + 𝑧𝑒𝑗𝜑𝑒𝑗𝛼3 − 𝑝31𝑒𝑗𝜑3− 𝑧𝑒𝑗𝜑− 𝑤𝑒𝑗𝜃 = 0 (3.46) Simplificando e arranjando: 𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽2− 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼2− 1) = 𝑝 21𝑒𝑗𝛿2 (3.47) 𝑤𝑒𝑗𝜃(𝑒𝑗𝛽3− 1) + 𝑧𝑒𝑗𝜑(𝑒𝑗𝛼3− 1) = 𝑝 31𝑒𝑗𝛿3 (3.48)
Separando as partes real e imaginária: Parte real: [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2− 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2− 1) − [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑐𝑜𝑠𝛿2 (3.49) [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽3− 1) − [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽3+ [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼3− 1) − [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼3 = 𝑝31𝑐𝑜𝑠𝛿3 (3.50) Parte imaginária: [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2− 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2+ [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2− 1) + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.51) [𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃](𝑐𝑜𝑠𝛽2− 1) + [𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 𝑠𝑖𝑛 𝛽2+ [𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜑](𝑐𝑜𝑠 𝛼2− 1) + [𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜑] 𝑠𝑖𝑛 𝛼2 = 𝑝21𝑠𝑖𝑛𝛿2 (3.52)
Estão presentes doze variáveis nestas equações. Destas, seis são definidas no início do problema: α2, α3, p21, p31, δ2 e δ3. Das outras seis, duas devem ser assumidas, para que se possa encontrar as outras quatro. Assumindo os valores de β2 e β3, resta determinar as magnitudes e os ângulos dos vetores W e Z (w, θ, z e φ). Para simplificar a solução, utilizam-se as componentes cartesianas dos vetores W e Z, ao invés de suas coordenadas polares.
𝑊1𝑥 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3.53)
