Defini¸c˜ao 3.4. Em R2 ou R3, a equa¸c˜ao vetorial de uma Reta L, com dire¸c˜ao ~v 6= 0
que passa pelo ponto P0 cujo vetor posi¸c˜ao ´e ~P0 =
−→ OP0, ´e:
~
P = ~P0+ t ~v
O ponto P com vetor posi¸c˜ao ~P = −→OP est´a sobre a reta L, ∀ t ∈ R.
Defini¸c˜ao 3.5. A equa¸c˜ao normal de um Plano P com vetor normal ~n 6= 0 que cont´em o ponto P0 = (x0, y0, z0) ´e:
~
n.( ~P − ~P0) = 0.
O ponto P com vetor posi¸c˜ao ~P = −→OP est´a sobre o plano P, ∀ t ∈ R.
3.6
Exerc´ıcios
1. Sejam A = (1, 2), B = (0, 1), C = (−1, −1) e D = (2, 3) pontos de R2. Calcule e grafique os vetores posi¸c˜ao (na posi¸c˜ao padr˜ao) de modo que sejam o resultado de:
a) −→AB +−BC−→ b) −CD + 2−→ −→AB c) −→AB −−−→CD d)−−→CD −−→AB e) −12 −−→DC
2. Sejam A = (1, 0, 2), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 2) e D = (2, 1, 0) pontos de R3. Calcule e
grafique os vetores posi¸c˜ao de modo que sejam o resultado de: a) −→AB b) −−→CD +−→AB c) AB ×−→ −−→CD d) (−−→CD −−→AB) ×−−→CD
3. Encontre um vetor n˜ao-nulo ~u com ponto inicial P = (−1, 3, −1) tal que a) ~u tenha a mesma dire¸c˜ao e sentido que ~v = (2, 1, −1).
b) ~u tenha a mesma dire¸c˜ao mas sentido oposto que ~v = (1, −1, 1).
4. Um excursionista anda 4 na dire¸c˜ao norte e depois 5 na dire¸c˜ao nordeste. Desenhe os vetores deslocamento que representam o passeio do excursionista e o vetor que representa o deslocamento a partir do ponto inicial.
5. Sejam ~u = (1,√3), ~v = (0, 1) e ~w = (1, 1) vetores de R2.
(ii) Calcular a) P r~v~u b) P rw~~v c) P r~vw~ d) ](~u, ~v) e) ](~v, ~w).
(iii) Calcule a ´area do paralelogramo determinado por: a) ~u e ~v b) ~v e ~w.
6. Ache as componentes dos vetores u, v, u + v e u − v onde u e v aparecem na figura
7. Encontre todos os poss´ıveis valores de k para os quais os vetores s˜ao ortogonais i) ~u = (2, 3), ~v = (k + 1, k − 1) ii) ~u = (1, −1, 2), ~v = (k2, k, −3).
8. Sejam ~u = (2, 1, −1), ~v = (0, 1, 2) e ~w = (−1, 1, 3) vetores de R3.
(i) Calcular a) ~u × ~v b) ~w/| ~w| c) |~u.(~v × ~w)| d) −2~v × ~w e) |~u × ~v × ~w|. (ii) Calcular a) P r~v~u b) P r~u~v c) P r~uw~ d) ](~u, ~v) e) ](~v, ~w).
9. Calcule o valor de m para que a ´area do paralelogramo determinado pelos vetores ~
u = (m, −3, 1) e ~v = (1, −2, 2) seja igual a√26.
10. Calcule a ´area do triˆangulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados A = (−4, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (0, −1, 3).
11. Sejam os pontos A = (1, 1, −1), B = (−3, 2, −2), C = (2, 2, −4). Prove que o triˆangulo ABC ´e retˆangulo.
12. Encontre o vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A = (3, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2). Calcule a ´area do triˆangulo ABC.
13. Prove que ku − vk ≥ kuk − kvk para todo vetor u e v em Rn (Dica: Substitua u por
u − v na desigualdade triangular).
14. Suponha conhecido que u.v = u.w. Pode-se concluir que u = w?. Em caso afirmativo dˆe uma prova v´alida em Rn, caso contr´ario dˆe um contra-exemplo espec´ıfico de vetores u, v, w para os quais a igualdade ´e falsa.
15. Prove que: (a) (u + v) · (u − v) = kuk2− kvk2 (b) ku + vk2+ ku − vk2 = 2kuk2+ 2kvk2 (c) u · v = 14ku + vk2− 1 4ku − vk 2 (d) ku + vk = ku − vk se, e somente se u ⊥ v (e) proju(v − proju(v)) = ~0.
16. Um paralelep´ıpedo ´e determinado pelos vetores ~u = (3, −1, 4), ~v = (2, 0, 1) e ~w = (−2, 1, 5). Calcule seu volume, e a altura relativa `a base definida pelos vetores ~u e ~v. 17. Encontre as equa¸c˜oes vetoriais para as retas que passam por:
(a) P0 = (4, −3, 5) e ´e paralela a ~v = (0, −1, 3).
(b) P = (5, −7, 2) e Q = (0, 0, 4)
(c) P = (2, −5, 7) e ´e perpendicular ao plano 3x − 2y + 5z = 7. 18. Encontre uma equa¸c˜ao para o plano que passa por:
(a) P0 = (3, −7, 5) e ´e paralelo ao plano de equa¸c˜ao 3x − y + 2z = 5.
(b) P = (3, 1, 2), Q = (5, −1, 3) e (−4, 2, 0).
(c) P = (2, −3, 0) e ´e perpendicular `a reta (x, y, z) = (2, −5, 3) + t(6, −6, 5).
19. Determine a distˆancia do ponto Q = (1, 0, 2) `a reta r que passa por P0 = (3, 1, 1) e ´e
Cap´ıtulo 4
Espa¸co Vetorial
Nos cap´ıtulos anteriores vimos que a ´algebra de matrizes e vetores s˜ao similares em muitos aspectos. Em particular podemos fazer a adi¸c˜ao de matrizes e vetores, e podemos multiplicar ambos por um escalar. As propriedades resultantes de essas duas opera¸c˜oes s˜ao idˆenticas para as matrizes e vetores. O que se pretende agora ´e usar essas propriedades para definir “vetores”de forma geral.
Um espa¸co vetorial ´e um conjunto V de elementos chamados vetores, onde est˜ao definidas duas opera¸c˜oes:
1. Axioma da Adi¸c˜ao: Para todo u, v ∈ V , a soma u ⊕ v ∈ V .
2. Axioma do Produto por um escalar α: Seja α ∈ R (ou α ∈ C) e v ∈ V , ent˜ao α v ∈ V .
Al´em disso, para todo u, v, w ∈ V e α, β ∈ R (ou C), os seguintes axiomas s˜ao satisfeitos: Em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao:
Ax.3. (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) Ax.4. u ⊕ v = v ⊕ u
Ax.5. ∃ 0 ∈ V, u ⊕ 0 = u
Ax.6. ∃ (−u) ∈ V, u ⊕ (−u) = 0
Em rela¸c˜ao ao produto por um escalar: Ax.7. (αβ) u = α (β u)
Ax.8. (α + β) u = (α u) ⊕ (β u) Ax.9. α (u ⊕ v) = (α u) ⊕ (α v) Ax.10. 1 u = u
espa¸co vetorial real. No caso dos escalares serem complexos, V ser´a chamado espa¸co vetorial complexo.
Em diante, nos trabalharemos s´o com espa¸cos vetoriais reais.
Exemplo 4.1. V = Rn = {(x1, x2, . . . , xn)/xi ∈ R} ´e um espa¸co vetorial real com as
opera¸c˜oes
(x1, x2, . . . , xn) ⊕ (y1, y2, . . . , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn) (4.1)
α (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn) (4.2)
Solu¸c˜ao A prova ´e simplesmente a generaliza¸c˜ao das propriedades vistas para vetores no plano e no espa¸co. Assim, pelas proprias defini¸c˜oes de adi¸c˜ao de vetores (4.1) e multiplica¸c˜ao de um vetor por um escalar real (4.2), ´e simples verificar todos os axiomas de espa¸co vetorial.
Exemplo 4.2. O conjunto V = Mm×n(R) de todas as matrizes reais de ordem m × n ´e um
espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de matrizes e multiplica¸c˜ao por um escalar. Assim, para A = [aij]m×n, B = [bij]m×n e α ∈ R, definimos:
A ⊕ B = [cij]m×n onde cij = aij + bij (4.3)
α A = [dij]m×n onde dij = α aij (4.4)
Exemplo 4.3. O conjunto V = Pn(R), de todos os polinˆomios a0 + a1t + · · · + antn com
coeficientes ai ∈ R ´e um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao de polinˆomios
e multiplica¸c˜ao por um escalar.
De fato, para p(t) = a0+ a1t + · · · + antn ∈ Pn(R) e q(t) = b0+ b1t + · · · + bntn∈ Pn(R),
basta definir
(p ⊕ q)(t) = p(t) + q(t) = (a0+ b0) + (a1+ b1)t + · · · + (an+ bn)tn
(α p)(t) = α p(t) = α a0+ (α a1)t + · · · + (α an)tn.
Exemplo 4.4. O conjunto V de todas as fun¸c˜oes reais definidas sobre o intervalo [a, b], ´e um espa¸co vetorial. Para isso, basta definirmos para f = f (x) e g = g(x) ∈ V , as opera¸c˜oes usuais:
(f ⊕ g)(x) = f (x) + g(x) (α f )(x) = α f (x)
Exemplo 4.5. Nenhum dos conjuntos N, Z, Q ´e espa¸co vetorial real, pois em todos eles
o produto de um de seus elementos por um escalar, ´e um n´umero real, o que contraria o Axioma 2 de espa¸co vetorial.
4.1
Subespa¸cos Vetoriais
Seja W , (W 6= ∅) um subconjunto do espa¸co vetorial V . Dizemos que W ´e um subespa¸co vetorial em rela¸c˜ao `as opera¸c˜oes de V , se:
i) u, v ∈ W ⇒ u ⊕ v ∈ W
ii) α ∈ R e u ∈ W ⇒ α u ∈ W.
Exemplo 4.6. Seja V = M2×2(R) e
W = {A ∈ M2×2(R)/todos os elementos da diagonal de A s˜ao zeros}.
Prove que W ´e um subespa¸co vetorial de V , com as opera¸c˜oes usuais de matrizes.
Solu¸c˜ao: Sejam A = 0 a12 a21 0 e B = 0 b12 b21 0
matrizes quaisquer de W , ent˜ao
A + B = 0 a12+ b12 a21+ b21 0 ∈ W. Se α ∈ R e A ∈ W , ent˜ao αA = α.0 α.a12 α.a21 α.0 = 0 α.a12 α.a21 0 ∈ W
Exemplo 4.7. Considere o subconjunto W = {(x, 1) ∈ R2/x ∈ R} com as opera¸c˜oes usuais
de R2. Prove que W n˜ao ´e um subespa¸co vetorial.
Solu¸c˜ao:Basta notar que a soma de dois elementos de W n˜ao pertence a W . Os elementos (3, 1) ∈ W e (5, 1) ∈ W , mas a soma
4.1.1
Propriedades dos Subespa¸cos
Soma.
Sejam W1 e W2 subspa¸cos de um espa¸co vetorial V . Ent˜ao, o conjunto
W1+ W2 = {v ∈ V / v = w1+ w2, w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2} (4.5)
´e um subespa¸co de V .
Exemplo 4.8. Sejam W1 e W2 duas retas de R3 que passam pela origem, ent˜ao W1 + W2
´e o plano em R3 que cont´em as duas retas.
Interse¸c˜ao.
Sejam W1 e W2 subspa¸cos de um espa¸co vetorial V . A interse¸c˜ao W1∩ W2 ´e um subespa¸co
de V .
Exemplo 4.9. Sejam W1 e W2 dois planos de R3 que passam pela origem, de modo que
W1∩ W2 ´e uma reta em R3 que cont´em o (0, 0, 0). A interse¸c˜ao W1∩ W2 ´e um subespa¸co
de R3.
Quando W1∩ W2 = {0}, ent˜ao W1+ W2 ´e chamada soma direta de W1 com W2, e ser´a