algebralin-2013

(1)

UENF

Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro

CCT-LCMAT

Laboratório de Ciências Matemáticas

´

ALGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA

Liliana A. L. Mescua

Rigoberto G. S. Castro

(2)

(3)

Sum´

ario

1 Matrizes 1

1.1 Tipos de Matrizes . . . 2

1.2 Opera¸c˜oes com Matrizes . . . 3

1.2.1 Adi¸c˜ao . . . 3

1.2.2 Subtra¸c˜ao . . . 4

1.2.3 Multiplica¸c˜ao de um n´umero real por uma Matriz . . . 5

1.2.4 Multiplica¸c˜ao de Matrizes . . . 5

1.3 Matriz Inversa . . . 6

1.3.1 M´etodo de Gauss Jordam para o C´alculo de Inversa . . . 7

1.4 Determinante de uma Matriz . . . 10

1.4.1 Propriedades do Determinante . . . 11

1.4.2 Cálculo por Redu¸cão de Linhas ou Colunas-Triangula¸cão . . . 12

1.5 A Matriz Adjunta e a Inversibilidade de Matrizes . . . 14

1.6 Exerc´ıcios . . . 15

2 Sistemas de Equa¸cões Lineares Algébricas 17 2.1 Classifica¸cão de um Sistema Linear . . . 18

2.2 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . 19

(4)

3 Vetores 26 3.1 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica . . . 26

3.1.1 Adi¸c˜ao de Vetores . . . 27

3.1.2 Multiplica¸c˜ao de um N´umero Real por um Vetor . . . 28

3.1.3 Angulo entre dois vetores . . . .ˆ 29 3.2 Interpreta¸c˜ao Alg´ebrica . . . 29

3.2.1 Interpreta¸c˜ao Alg´ebrica no Plano . . . 30

3.2.2 Interpreta¸c˜ao Alg´ebrica no Espa¸co . . . 32

3.3 Produto Escalar . . . 33

3.3.1 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica do Produto Escalar . . . 34

3.3.2 Angulo entre dois Vetores . . . .ˆ 35 3.3.3 Proje¸c˜ao de um Vetor sobre Outro . . . 36

3.4 Produto Vetorial . . . 36

3.4.1 Propriedades . . . 38

3.4.2 Interpreta¸c˜ao Geom´etrica . . . 39

3.5 Retas e Planos . . . 40

4 Espa¸co Vetorial 43 4.1 Subespa¸cos Vetoriais . . . 45

4.1.1 Propriedades dos Subespa¸cos . . . 46

4.2 Combina¸c˜ao Linear . . . 47

4.3 Espa¸co Gerado . . . 48

(5)

4.5 Base e Dimens˜ao . . . 53

4.5.1 Componentes de um Vetor . . . 56

4.6 Espa¸co Vetorial Euclideano . . . 57

4.6.1 Complementos Ortogonais . . . 59

4.6.2 Uma Rela¸c˜ao Geometrica Entre Espa¸co Nulo e Espa¸co Linha . . . 60

4.6.3 Conjuntos Ortogonais e Ortonormais . . . 60

4.6.4 Processo de Gram - Schimidt . . . 62

5 Transforma¸c˜oes Lineares 69 5.1 Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares . . . 72

5.1.1 Exerc´ıcios . . . 73

5.2 N´ucleo de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 74

5.3 Imagem de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 75

5.4 Propriedades do N´ucleo e da Imagem . . . 77

5.4.1 Exerc´ıcios . . . 77

5.5 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 79

5.6 Opera¸c˜oes com Transforma¸c˜oes Lineares . . . 84

5.6.1 Adi¸c˜ao ou Soma . . . 84

5.6.2 Multiplica¸c˜ao por Escalar . . . 84

5.6.3 Composi¸c˜ao . . . 84

5.6.4 Exerc´ıcios . . . 86

5.7 Mudan¸ca de Base . . . 87

(6)

7 Diagonaliza¸c˜ao de Matrizes 94

7.1 Exerc´ıcios . . . 96 7.2 Matrizes Sim´etricas e autovetores ortogonais . . . 96

8 Aplica¸c˜oes 98

8.1 Método de M´ınimos Quadrados . . . 98 8.1.1 Ajuste de M´ınimos Quadrados a Dados . . . 100 8.2 Rota¸cão de Cônicas . . . 104

(7)

Cap´ıtulo 1

Matrizes

Defini¸cão 1.1. Uma matriz de ordem m × n é uma tabela de números chamados de ele-mentos ou termos da matriz. Esta tabela possui mn eleele-mentos escalares (números reais ou complexos) dispostos em m linhas (número de filas horizontais) e n colunas (número de filas verticais). Por conven¸cão usaremos sempre as letras maiúsculas A, B, C, D, . . . para nomea-las A =         a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... ... am1 am2 . . . amn         =         a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... ... am1 am2 . . . amn         = (aij)m×n. (1.1) Exemplo: A =   2 2 0 1 −3 5   2×3 B =   1 4 0 7   2×2 (1.2)

Exerc´ıcio: Escreva a matriz A = (aij)3×2 , onde seus elementos aij = 2i + j.

Observa¸c˜ao 1.1. De acordo com o n´umero de linhas e colunas da matriz, podemos destacar os seguintes casos particulares

• Quando m = 1, matriz linha • Quando n = 1, matriz coluna • Quando m = n, matriz quadrada

(8)

Defini¸c˜ao 1.2. (Igualdade de Matrizes:) Duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)m×n s˜ao

ditas iguais, se todos seus elementos correspondentes s˜ao iguais, isto ´e, se aij = bij.

Exerc´ıcio: Determine a, b, c, d de modo que:      a 1 1 b + 1 c − 2 d2      =      2 1 1 1 6 3      .

1.1 Tipos de Matrizes

Matriz Nula: É uma matriz cujos elementos são todos nulos, isto é aij = 0, ∀ i, j.

Denotamos por O ou Om×n

Matriz Diagonal Uma matriz quadrada D = (dij)n×n ´e dita diagonal quando dij = 0,

∀ i 6= j. Exemplo: D =   2 0 0 4  

Matriz Identidade: ´E uma matriz diagonal onde aii= 1 para todo i, e aij = 0 para todo

i 6= j. Exemplo: I =         1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... ... 0 0 . . . 1        

Matriz Triangular Uma matriz quadrada A = (aij)nxn´e dita triangular superior, se aij = 0

para i > j. Uma matriz B = (bij)nxn ´e dita triangular inferior quando bij = 0, para i < j.

Exemplo: A =         5 4 4 5 0 1 9 6 0 0 3 8 0 0 0 0         e B =         5 0 0 0 2 1 0 0 9 7 3 0 8 6 5 1        

(9)

Exemplo:      4 3 1 3 2 0 1 0 5      e         a b c d b e f g c f h i d g i k        

Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão”da parte inferior, em rela¸cão à diagonal.

Matriz Transposta A transposta de uma matriz A = (aij)m×n, ´e uma outra matriz AT =

(bij)n×m, cujas linhas s˜ao as colunas de A, isto ´e, bij = aji.

Exemplo: A transposta de A =      3 −1 4 −2 5 −3      3×2 ´e AT ₌   3 4 5 −1 −2 −3   2×3 ´

E simples verificar que:

1. A transposta da transposta de uma matriz ´e ela mesma, isto ´e (AT₎T _{= A.}

2. Uma matriz é simétrica se somente se ela for igual à sua transposta, isto é, A = AT_.

1.2 Opera¸

c˜

oes com Matrizes

Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas opera¸c˜oes. Veremos algumas delas e suas propriedades a seguir:

1.2.1 Adi¸

c˜

ao

A soma de duas matrizes da mesma ordem, A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, ´e uma matriz

m × n, definida por A + B = (aij + bij)m×n. Exemplo:      1 4 2 5 3 6      +      −1 1 −3 0 4 √2      =      1 − 1 4 + 1 2 − 3 5 + 0 3 + 4 6 +√2      =      0 5 −1 5 7 6 +√2      .

(10)

Propriedades da Adi¸c˜ao

Se as matrizes A, B e C possuem a mesma ordem, valem as seguintes propriedades:

1. A + B = B + A (comutativa).

2. A + (B + C) = (A + B) + C (associativa).

3. A + O = A, quando O ´e uma matriz nula (elemento neutro).

4. Seja A = (aij)m×n. Chama-se matriz oposta de A, a matriz m × n representada por

−A = (−aij)m×n, tal que A + (−A) = O (−A ´e o elemento oposto).

5. (A + B)T _{= A}T _{+ B}T_{, a transposta de uma soma ´}_{e igual a somas das transpostas.}

Exemplo: A matriz oposta de A =      1 −4 2 0 7 3      ´ e − A =      −1 4 −2 0 −7 −3      .

1.2.2 Subtra¸

c˜

ao

A diferen¸ca de duas matrizes da mesma ordem, A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, ´e uma matriz

m × n, que denota-se por A − B, que ´e a soma de A com a oposta de B; isto ´e:

A − B = A + (−B) = (aij)m×n+ (−bij)m×n = (aij − bij)m×n (1.3) Exemplo:      1 4 2 5 3 6      −      −1 1 −3 0 4 2      =      1 + 1 4 − 1 2 + 3 5 − 0 3 − 4 6 − 2      =      2 3 5 5 −1 4      . Exerc´ıcio:

1. Sejam A = (aij)3×2 e B = (bij)3×2, tal que aij = 2i + j e bij = 1 + i − j.

(a) Determine as matrizes C = A + B e D = A − B.

(11)

2. Encontre as matrizes 2 × 2, A e B, sabendo que: A + B +   1 1 1 1  =   4 0 1/2 −1  +   0 2 3/2 4   A − B =   6 −3 4 0  −   2 −2 2 1  .

1.2.3 Multiplica¸

c˜

ao de um n´

umero real por uma Matriz

Seja A = (aij)m×n e k um n´umero escalar. Definimos o m´ultiplo escalar B = kA =

(bij)m×n, a matriz m × n onde bij = kaij. Exemplo Se A =      3 −1 1 0 6 4      , ent˜ao 2A =      6 −2 2 0 12 8      e 1 3 A =      1 −1/3 1/3 0 2 4/3     

1.2.4 Multiplica¸

c˜

ao de Matrizes

Sejam as matrizes A = (aij)m×p e B = (bij)p×n. Definimos C = A · B = (cuv)m×n, tal que

cuv = p

X

k=1

aukbkv para todo 1 ≤ u ≤ m e 1 ≤ v ≤ n (1.4)

Observa¸cão 1.2. Só se pode efetuar o produto de duas matrizes Am×p e Bp×n, se o número

de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz, sendo assim o resultado da multiplica¸cão de A por B será uma matriz de ordem m × n. Note que o elemento cij é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos

elementos correspondentes da j-´esima coluna da segunda matriz, e somando este produtos.

Exemplo: a)   −1 2   2×1 −3 4 1×2 =   −1.(−3) −1.(4) 2.(−3) 2.(4)   =   3 −4 −6 8   2×2 b)   1 0 3 −2   2×2   −1 1 5 3   2×2 =   1.(−1) + 0.(5) 1.(1) + 0.(3) 3.(−1) + −2.(5) 3.(1) + −2.(3)  =   −1 1 −13 −3   2×2

(12)

Observa¸cão 1.3. A propriedade conmutativa em matrizes nem sempre é válida, isto é AB e BA não necessariamente são iguais. No item b) do exemplo anterior verifique se AB = BA.

Se A ´e uma matriz quadrada n × n e I a matriz identidade n × n, ent˜ao AI = IA = A.

Propriedades da Multiplica¸c˜ao

Supondo que a ordem das matrizes A, B e C estejam definidas de modo que cada uma das opera¸cões abaixo indicadas possam ser efetuadas, então as propriedades seguintes serão válidas.

1. (A.B).C = A.(B.C) (associatividade).

2. (A ± B).C = A.C ± B.C (distributividade `a direita). 3. A.(B ± C) = A.B ± A.C (ditributividade `a esquerda). 4. k(B ± C) = kB ± kC, _{k, s ∈ R}

5. (k ± s)A = kA ± sA, _{k, s ∈ R} 6. k(sA) = (ks)A, _{k, s ∈ R}

7. (α.A)T = α.AT, onde α ´e qualquer escalar. 8. (A.B)T _{= B}T_.AT _{(deve-se observar a ordem).}

Matriz Anti-sim´etrica: ´E uma matriz quadrada, onde AT _{= −A.}

Exemplo: A =      0 3 4 −3 0 −6 −4 6 0      ´ e anti-sim´erica.

1.3 Matriz Inversa

Uma matriz quadrada A ´e dita invers´ıvel ou n˜ao singular, se existir uma outra matriz B (inversa multiplicativa), da mesma ordem, tal que A.B = I e B.A = I. Denotaremos B = A−1, sendo que

(13)

Defini¸cão 1.3. Uma matriz A é dita não invers´ıvel ou singular se ela não tem uma inversa multiplicativa.

Propriedades

1. Uma matriz invers´ıvel tem uma ´unica inversa multiplicativa.

2. Se A e B são matrizes de mesma ordem, ambas invers´ıveis, então A e B é invers´ıvel e (A.B)−1 = B−1 . A−1.

3. Nem toda matriz tem inversa.

Exemplo: As matr´ızes A =   2 1 0 4   e B =   1/2 −1/8 0 1/4 

 s˜ao inversas uma da outra ja que A.B = B.A = I

Exerc´ıcio: Encontre a inversa da matriz A =   1 1 0 1  .

1.3.1 M´

etodo de Gauss Jordam para o C´

alculo de Inversa

Uma forma para achar a inversa de uma matriz quadrada A, e que envolve substancialmente menos contas do que aplicando a defini¸cão diretamente, é usando as opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz aumentada associada (A|I) de modo que esta se transforme numa matriz aumentada da forma (I|B). Diremos que B = A−1.

As opera¸c˜oes elementares permitidas s˜ao:

1. Permutar linhas Li ←→ Lj

2. Multiplicar uma linha por um n´umero real α n˜ao nulo, Li ←→ αLi.

3. Somar a uma linha um m´ultiplo de uma outra, Li ←→ Li+ αLj.

Exemplo: Ache a inversa da matriz A =      2 3 0 1 −2 −1 2 0 −1      se existir.

(14)

Solu¸c˜ao: A partir da matriz aumentada (A|I), usando as opera¸c˜oes por linhas temos: (A|I) =      2 3 0 | 1 0 0 1 −2 −1 | 0 1 0 2 0 −1 | 0 0 1      L1 ←→ L2 L2 ←→ L1 L3 ←→ L3 =      1 −2 −1 | 0 1 0 2 3 0 | 1 0 0 2 0 −1 | 0 0 1      L1 ←→ L1 L2 ←→ L2− 2L1 L3 ←→ L3− 2L1 =      1 −2 −1 | 0 1 0 0 7 2 | 1 −2 0 0 4 1 | 0 −2 1      L1 ←→ L1 L2 ←→ L2/7 L3 ←→ L3 =      1 −2 −1 | 0 1 0 0 1 2/7 | 1/7 −2/7 0 0 4 1 | 0 −2 1      L1 ←→ L1+ 2L2 L2 ←→ L2 L3 ←→ L3− 4L2 =      1 0 −3/7 | 2/7 3/7 0 0 1 2/7 | 1/7 −2/7 0 0 0 −1/7 | −4/7 −6/7 1      L1 ←→ L1− 3L3 L2 ←→ L2+ 2L3 L3 ←→ −7L3 =      1 0 0 | 2 3 −3 0 1 0 | −1 −2 2 0 0 1 | 4 6 −7      = (I|A−1)

Portanto, a inversa da matriz A existe e ´e dada por A−1 =      2 3 −3 −1 −2 2 4 6 −7     

Exemplo: Encontre a inversa da matriz A =      2 1 −4 −4 −1 6 −2 2 −2      se existir.

(15)

Solu¸c˜ao: A partir da matriz aumentada (A|I), usando as opera¸c˜oes por linhas temos: (A|I) =      2 1 −4 | 1 0 0 −4 −1 6 | 0 1 0 −2 2 −2 | 0 0 1      L1 ←→ L1 L2 ←→ L2+ 2L1 L3 ←→ L3+ L1 =      2 1 −4 | 1 0 0 0 1 −2 | 2 1 0 0 3 −6 | 1 0 1      L1 ←→ L1 L2 ←→ L2 L3 ←→ L3− 3L2 =      2 1 −4 | 1 0 0 0 1 −2 | 2 1 0 0 0 0 | −5 −3 1     

Nesse ponto vemos que não é poss´ıvel reduzir A a I, ja que encontramos uma linha de zeros do lado esquerdo da matriz completa. Consequentemente A não é invers´ıvel.

Exemplo Seja a matriz A = 

 a b c d



. Usando o m´etodo de Gauss Jordam, prove que a matriz inversa dela ´e

(16)

1.4 Determinante de uma Matriz

´

E poss´ıvel associar a cada matriz A de ordem n × n, um escalar (número real ou complexo), que denotaremos por det A, cujo valor vai nos dizer se a matriz é ou não invert´ıvel. Antes de dar a defini¸cão geral vamos a considerar alguns casos particulares.

Caso 1. Se A = (a) ´e uma matriz 1 × 1, definimos o determinante de A por: det A = a.

Diremos que A tem inversa multiplicativa (A ´e invert´ıvel) se e s´o se det A 6= 0. Caso 2. Se A =   a11 a12 a21 a22 

 ´e uma matriz 2 × 2, definimos o determinante de A pelo fator inverso que aparece em (1.5), neste caso ser´a:

det A = a11a22− a12a21. Caso 3. Se A =      a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     

´e uma matriz 3 × 3, definimos o determinante de A por:

det A = a11a22a33− a11a32a23− a12a21a33+ a12a31a23+ a13a21a32− a13a31a22.

Note que o det A é o fator inverso que se obtém ao calcular a matriz inversa de A usando o método de Gauss Jordam.

Podemos reescrever a equa¸c˜ao anterior na forma

det A = a11(a22a33− a32a23) − a12(a21a33− a31a23) + a13(a21a32− a31a22) (1.6)

Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M1j a submatriz 2 × 2 de A formada retirando-se a

primeira linha e a j-´esima coluna de A. O determinante de A (1.6) pode ser, ent˜ao, colocado na forma

det A = a11 det M11− a12 det M12+ a13 det M13 (1.7)

(17)

Defini¸c˜ao 1.4. (Menores e Cofatores): Seja A = (aij) uma matriz n × n. O ij-´esimo

menor de A ´e o determinante da submatriz Mij, de ordem (n − 1) × (n − 1), que sobra

quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O ij-ésimo Cofator Aij de A

(ou o cofator de aij) ´e definido como

Aij = (−1)i+jdet Mij.

Defini¸cão 1.5. (Desenvolvimento de Laplace) O determinante de uma matriz n × n é o número real det A, definido por

det A = ai1.Ai1+ ai2.Ai2+ ... + a1n.Ain (1.8)

ou

det A = a1j.A1j + a2j.A2j + ... + anj.Anj, (1.9)

onde Aij ´e ij-´esimo cofator de A.

Exemplo: Ache o determinante da matriz A =      0 1 5 3 −6 9 2 6 1      .

Solu¸c˜ao.: Calculando a matriz de cofatores temos:

cof (A) =      −60 15 30 29 −10 2 39 15 −3     

Logo, o determinante de A pode-se obter por exemplo das seguintes formas:

1. Em rela¸cão a primera linha, det A = 0(−60) + 1(15) + 5(30) = 165. 2. Em rela¸cão a tercera linha, det A = 2(39) + 6(15) + 1(−3) = 165. 3. Em rela¸cão a segunda coluna, det A = 1(15) − 6(−10) + 6(15) = 165.

1.4.1 Propriedades do Determinante

(18)

1. Se A tem uma linha o uma coluna de zeros, então det A = 0. 2. Se duas linhas ou colunas de A são iguais, então det A = 0. 3. det A = det AT_.

4. Se A ´e uma matriz, triangular superior ou triangular inferior ou diagonal, ent˜ao o det A ´

e igual ao produto de seus elementos da diagonal.

5. Se B ´e uma matriz de ordem n × n, ent˜ao: det(A + B) 6= det A + det B e det(AB) = det A det B

6. Seja B a matriz obtida ao multiplicar uma ´unica linha ou coluna de A por k, ent˜ao: det B = k det A (det A = 1

k det B).

7. Seja B a matriz obtida ao permutar duas linhas (ou duas colunas) de A, ent˜ao det B = − det A.

8. Seja B a matriz obtida ao somar um m´ultiplo de uma linha (ou colunas) de A a uma outra linha (ou coluna), ent˜ao det B = det A.

1.4.2 C´

alculo por Redu¸

c˜

ao de Linhas ou Colunas-Triangula¸

c˜

ao

A seguir apresentamos um m´etodo para calcular determinantes que envolve substancialmente menos contas que aplicando a defini¸c˜ao diretamente.

Assim, tendo em mente as propriedades 6, 7 e 8, a id´eia ser´a reduzir a matriz A ao formato triangular.

Exemplo: Ache o determinante da matriz A =      0 1 5 3 −6 9 2 6 1      .

(19)

Solu¸c˜ao: Usando as propriedades 6, 7 e 8, obtemos que det A = 0 1 5 3 −6 9 2 6 1 = − 3 −6 9 0 1 5 2 6 1

(linhas 2 e 3 foram permutadas)

= −3 1 −2 3 0 1 5 2 6 1

(o fator comun 3 da linha 1 foi retirado)

= −3 1 −2 3 0 1 5 0 10 −5 (linha 3 + (-2) (linha 1)) = −3 1 −2 3 0 1 5 0 0 −55 (linha 3 + (-10) (linha 2)) = −3(1)(1)(−55) = 165

Exemplo: Ache o determinante da matriz A =         1 0 0 3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 −5         .

Solu¸c˜ao: Reduzindo a matriz a uma triangular inferior usando opera¸c˜oes por coluna, obte-mos que det A = 1 0 0 3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 −5 = 1 0 0 0 2 7 0 0 0 6 3 0 7 3 1 −26 (coluna 4 + (-3)(coluna 1)) = (1)(7)(3)(−26) = −546

(20)

1.5 A Matriz Adjunta e a Inversibilidade de Matrizes

Suponhamos que An×n tenha inversa, isto ´e, existe A−1 tal que A · A−1 = I. Usando o

determinante obt´em-se

det (A · A−1) = det A · det A−1 e det I = 1 Ent˜ao:

det A−1 = 1 det A

Defini¸c˜ao 1.6. Seja a matriz A ∈ Mn×n(R). Chamaremos Adjunta de A, a matriz Adj(A)

que é a transposta da matriz de cofatores. Simbolicamente, Adj(A) = (cof (A))T. Teorema 1.1. Se A é uma matriz invers´ıvel, então:

A−1 = 1

det A Adj (A).

Uma condi¸cão necessária para que A tenha inversa é que o det A 6= 0.

Ex.: Ache a inversa de A =   1 2 −1 3  .

Solu¸c˜ao: Calculando temos que det A = 5, a matriz de cofatores cof (A) =   3 1 −2 1   e a

adjunta Adj(A) = (cof (A))T = 

 3 −2 1 1



, logo pelo Teorema 1.1

A−1 = 1 5 ·   3 −2 1 1  . (1.10)

Teorema 1.2. Uma matriz A de ordem n × n ´e n˜ao invers´ıvel se e somente se det(A) = 0

(21)

1.6 Exerc´ıcios

Para conferir seus resultados recomenda-se usar um calculador online

Dica: http://www.solvemymath.com/online math calculator/algebra combinatorics/

1. Sejam A =   3 0 −1 5  , B =   4 −2 1 0 2 3  , C =      1 2 3 4 5 6      e D =   0 −3 −2 1  . Calcular A + 2D, B − CT_, _BT_CT _{− CB,} _A3_, _{DA − AD.} 2. Seja A =   √ 2 x2 4x 1 

. Calcule os poss´ıveis valores de x, para que AT = A.

3. (i) Se A ´e uma matriz sim´etrica n × n, calcule AT _{− A.}

(ii) Se A é uma matriz triangular inferior, AT é uma matriz triangular . . . . (iii) A é uma matriz diagonal, calcule AT_.

4. Seja a matriz A =      2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5      . Usando cofatores,

(i) Calcule det A desenvolvendo em rela¸cão à primeira linha. (ii) Calcule det A desenvolvendo em rela¸cão à primeira coluna. (iii) Calcule det A desenvolvendo em rela¸cão à segunda coluna.

5. Usando cofatores e fazendo o menor n´umero de opera¸c˜oes, calcule o determinante de

A =         2 0 3 0 3 0 0 1 0 2 3 0 2 0 1 4         , B =         4 0 2 1 5 0 4 2 2 0 3 4 1 1 2 3         e C =         2 0 0 1 0 1 0 0 1 6 2 0 1 1 −2 3         .

6. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes (use as opera¸c˜oes elemen-tares por linhas para reduzir as matrizes abaixo `a sua forma triangular).

A =      2 0 −1 3 0 2 4 −3 7      , B =      t + 3 −1 1 5 t − 3 1 6 −6 t + 4      e C =      1 4 −5 0 0 1 −1 8 7      .

(22)

7. Encontre todos os valores poss´ıveis de c que tornem a matriz invers´ıvel      1 1 1 1 9 c 1 c 3      . 8. Sejam as matrizes A =      −1 3 −4 2 4 1 −4 2 −9      B =      1 0 0 1 3 0 1 3 5      C =      cos θ sen θ 0 − sen θ cos θ 0 0 0 1      D =      2 5 5 −1 −1 0 2 4 3      E =      2 0 3 0 3 2 −2 0 −4      F =      2 0 0 8 1 0 −5 3 6      e G =      a b c c a b b c a      .

(i) Calcule os cofatores das matrizes A, B, C, D, E, F e G.

(ii) Determine a inversa das matrizes A, B e C usando o Teorema 1.1. 9. Encontre a inversa das matrizes dadas usando opera¸c˜oes por linha

     2 3 0 1 −2 −1 2 0 −1      ,      1 1 0 1 0 1 0 1 1      ,      0 a 0 b 0 c 0 d 0      ,         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c d         ,         √ 2 0 2√2 0 −4√2 √2 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1         .

10. Sejam A e B matrizes 3 × 3 com det A = 4 e det B = 5. Encontre o valor de det(AB), det(3A), det(2AB), det(A−1B)

11. Uma matriz A ´e ortogonal se sua inversa ´e igual a sua transposta, ou seja, A−1= AT_.

Provar que a matriz A =   cos θ − sen θ sen θ cos θ  ´e ortogonal.

(23)

Cap´ıtulo 2

Sistemas de Equa¸

c˜

oes Lineares

Alg´

ebricas

Uma equa¸cão linear de n incognitas é uma equa¸cão da forma

a1x1+ a2x2+ · · · + anxn= b (2.1)

Um sistema linear de m equa¸cões algébricas lineares de n variáveis (incognitas) é um conjunto de equa¸cões lineares que devem ser resolvidas simultaneamente, por exemplo:

               a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 .. . am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn= bm (2.2)

onde os aij e bi s˜ao n´umeros reais.

Em 1858, o matemático inglês Artur Cayley introduz uma nota¸cão abreviada para ex-pressar o sistema linear (2.2), na forma matricial:

        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn         m×n .         x1 x2 .. . xn         n×1 =         b1 b2 .. . bm         m×1 . (2.3)

Assim a forma matricial (2.3) escreve-se abreviadamente por:

(24)

onde A ´e uma matriz m × n, b um vetor m × 1 e x ´e um vetor n × 1.

“Se b = 0, o sistema é dito homogêneo, caso contrário ele é não-homogêneo”.

2.1 Classifica¸

c˜

ao de um Sistema Linear

O sistema linear (2.2) pode ter ou n˜ao solu¸c˜ao. Assim, classificaremos os sistemas lineares em dois tipos:

1. Compat´ıvel (ou poss´ıvel)  



Determinado, uma única solu¸cão Indeterminado mais de uma solu¸cão. 2. Incompat´ıvel (ou imposs´ıvel) quando não possui solu¸cão.

Se o sistema linear (2.2) tem o número de equa¸cões igual ao número de incognitas (m = n), então a matriz A associada a forma matricial equivalente (2.4) será uma matriz quadrada n × n. Logo,

• Se a matriz A é invers´ıvel, isto é, o det A 6= 0, então o sistema tem única solu¸cão, ou seja, x = A−1b.

• Se a matriz A não é invers´ıvel, isto é det A = 0, então o sistema não tem solu¸cão, ou existe solu¸cão mas não é única.

(Um sistema homogˆeneo: Ax = 0, onde det A = 0, possui infinitas solu¸c˜oes)

Observa¸cão 2.1. Um sistema linear homogêneo Ax = 0 admite sempre a solu¸cão nula, chamada solu¸cão trivial. Logo, um sistema linear homogêneo é sempre compat´ıvel.

Exemplo: ´E simples verificar que a solu¸c˜ao nula x = (0, 0, 0)T _´_{e solu¸c˜}_{ao do sistema linear}

homogˆeneo,    3x1− x2+ 7x3 = 0 x1 − 2x2+ 3x3 = 0. ⇐⇒   3 −1 7 1 −2 3        x1 x2 x3      =      0 0 0      ⇐⇒ Ax = 0

(25)

Uma interpreta¸cão geométrica das solu¸cões de um sistema linear, pode ser observada para sistemas de ordem 2 × 2. Por exemplo, sejam os sistemas:

I)    x1+ x2 = 2 x1− x2 = 2 II)    x1+ x2 = 2 x1+ x2 = 1 III)    x1+ x2 = 2 −x1− x2 = −2.

A solu¸c˜ao dos respectivos sistemas podem ser visualizados nos seguintes gr´aficos

(a) Caso I (b) Caso II (c) Caso III

Figura 2.1:

2.2 M´

etodo de Elimina¸

c˜

ao de Gauss

Consiste na resolu¸cão de Sistemas por Escalonamento onde o objetivo é migrar de um sistema linear Ax = b para outro que lhe seja equivalente, e de resolu¸cão mais simples. A idéia então é, usar as opera¸cões elementares sobre as linhas da matriz aumentada (A | b) de modo que esta se transforme à forma (A0| b0_{) onde A}0 _´_{e uma matriz escalonada (*).}

Assim, o sistema final equivalente A0x = b0 será resolvido usando substitui¸cões regressivas. Defini¸cão 2.1. * Uma matriz esta escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes propriedades:

1. Todas as linhas que consistem inteiramente de zeros estão na parte inferior da matriz. 2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado elemento lider) está

(26)

Observa¸cão 2.2. A forma escalonada de uma matriz não é única. Logo, dependendo de sua escolha na hora de fazer as opera¸cões elementares vc. poderá obter várias matrizes equivalentes, porém sempre uma mesma solu¸cão.

Exemplo: Ache a solu¸c˜ao do sistema linear          x1+ 2x2+ x3 = 3 3x1− x2− 3x3 = −1 2x1+ 3x2+ x3 = 4. ⇐⇒      1 2 1 3 −1 −3 2 3 1           x1 x2 x3      =      3 −1 4      ⇐⇒ Ax = b

Sol.: Apartir da matriz aumentada, usando as opera¸c˜oes por linhas temos:

(A|b) =      1 2 1 | 3 3 −1 −3 | −1 2 3 1 | 4      L2 ←→ L2− 3L1 L3 ←→ L3− 2L1 =      1 2 1 | 3 0 −7 −6 | −10 0 −1 −1 | −2      L2 ←→ L3 =      1 2 1 | 3 0 −1 −1 | −2 0 −7 −6 | −10      L3 ←→ L3− 7L2 =      1 2 1 | 3 0 −1 −1 | −2 0 0 1 | 4      = (A0|b0₎

O sistema equivalente resultante ´e          x1 +2x2 + x3 = 3 −x2 − x3 = −2 x3 = 4.

A solu¸cão deste último sistema obtem-se resolvendo a última equa¸cão e substituindo a res-pectiva solu¸cão na equa¸cão anterior, até chegar na primeira. Neste caso temos que x3 = 4,

x2 = −2 e x1 = 3

(27)

     x + 2y + z + t = 1 x + 3y − z + t = 3

Sol.: A matriz aumentada (A|b) associada ao sistema ´e         1 2 1 1 1 1 3 −1 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         .

Logo, fazendo L2 ←→ L2− L1, a forma escalonada torna-se

        1 2 1 1 1 0 1 −2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0         .

Observemos que o número de variáveis livres ( que não dependem de outras variáveis) é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada. No exemplo dado, z e t são as variáveis livres .

Assim , para z = λ1 e t = λ2 obtemos mediante substitui¸c˜oes regresivas:

y = 2 + 2λ1, x = 1 − 2(2 + 2λ1) − λ1− λ2 = −3 − 5λ1− λ2.

Defini¸cão 2.2. O posto de uma matriz, posto(A), é o número de linhas não nulas de qualquer uma de suas formas escalonadas por linhas.

Teorema 2.1. (O Teorema do Posto) Seja A a matriz dos coeficientes de um sistema de equa¸cões lineares com n variáveis. Se o sistema for poss´ıvel, então o

n´umero de vari´aveis livres = n − posto(A)

No último exemplo, ja que o sistema tem solu¸cão, pelo Teorema do Posto temos 4 − 2 = 2 variáveis livres, neste caso z e t.

Exemplo Resolva o sistema              x − y + 2z = 3 x + 2y − z = −3 2y − 2z = 1

(28)

Sol.: A matriz aumentada (A|b) associada ao sistema ´e      1 −1 2 3 1 2 −1 −3 0 2 −2 1      .

Logo, fazendo L2 ←→ L2− L1, a forma escalonada torna-se

     1 −1 2 3 0 3 −3 −6 0 2 −2 1      .

Finalmente, fazendo L3 ←→ 3L3 − 2L2, temos

     1 −1 2 3 0 3 −3 −6 0 0 0 15      levando `a equa¸c˜ao imposs´ıvel 0 = 15.

Assim o sistema não tem solu¸cão, ele é imposs´ıvel.

2.3 Resolu¸

c˜

ao de Sistemas pela Regra de Cramer

O método de Cramer nos permitirá escrever a solu¸cão de um sistema de equa¸cões lineares n × n em fun¸cão de determinantes. Entretanto, devemos salientar que este método envolve o cálculo de n + 1 determinantes de ordem n o que equivale a resolver mais opera¸cões que no método de Gauss.

Seja A uma matriz invers´ıvel n × n e seja b ∈ Rn. Seja Ai a matriz obtida substituindo-se

a i-ésima coluna de A por b. Se x = (x1, x2, . . . , xn)T for a única solu¸cão de Ax = b, então:

xi =

det (Ai)

det A para i = 1, 2, . . . , n. Exemplo: Ache a solu¸c˜ao do sistema linear

         x1+ 2x2+ x3 = 3 3x1− x2− 3x3 = −1 2x1+ 3x2+ x3 = 4. ⇐⇒      1 2 1 3 −1 −3 2 3 1           x1 x2 x3      =      3 −1 4      ⇐⇒ Ax = b

Sol.: Usando o m´etodo de Cramer e sabendo que

(29)

temos que: x1 = 3 2 1 −1 −1 −3 4 3 1 = (3(−1 + 9) − 2(−1 + 12) + 1(−3 + 4)) = 24 − 22 + 1 = 3 x2 = 1 3 1 3 −1 −3 2 4 1 = (1(−1 + 12) − 3(3 + 6) + 1(12 + 2)) = 11 − 27 + 14 = −2 x3 = 1 2 3 3 −1 −1 2 3 4 = (1(−4 + 3) − 2(12 + 2) + 3(9 + 2)) = −1 − 28 + 33 = 4

2.4 Exerc´ıcios

1. Resolva os seguintes sistemas pelo m´etodo de Gauss-Jordan.

(i)      3x − y = 4 2x − 1₂y = 1 (ii)      2x − 3y = 4 x − 3y = 1 (iii)              x − 3y − 2z = 0 −x + 2y + z = 0 2x + 4y + 6z = 0 (iv)              2x + 3y − z + 4w = 0 3x − y + w = 1 3x − 4y + z − w = 2 (v)              √ 2x + y + 2z = 1 √ 2y − 3z = −√2 − y + √2z = 1 (vi)              −x + 3y − 2z + 4w = 0 2x − 6y + z − 2w = −3 x − 3y + 4z − 8w = 2 (vii)              1 2x + y − z − 6w = 2 1 6x + 1 2y − 3w +t = −1 1 3x − 2z −4t = 8 (viii)              2x + y = 3 4x + y = 7 2x + 5y = −1

(30)

ix)                    x + y + z + w = 4 x + 2y + 3z + 4w = 10 x + 3y + 6z + 10w = 20 x + 4y + 10z + 20w = 35 x)                    x + y + 2z + w = 1 x − y − z + w = 0 y + z = −1 x + y + w = 2 2. O sistema seguinte n˜ao tem solu¸c˜oes para quais valores de a?. Exatamente uma

solu¸cão?. Infinitas solu¸cões.              x + 2y − 3z = 4 3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2− 14)z = a + 2              x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = −2 3. Determine k para que o sistema admita solu¸cão

             −4x + 3y = 2 5x − 4y = 0 2x − y = k 4. Resolva o sistema      x + y + z = 4 2x + 5y − 2z = 3

5. Estabele¸ca a condi¸c˜ao que deve ser satisfeita a e b para que o sistema seja compat´ıvel.

a)              x − 2y − z = a 2x + y + 3z = b 4x − 3y + z = 1 b)      ax + y = −1 2x + y = b c)      x + ay = 1 bx + 2y = 5

6. Encontre os coeficientes do polinˆomio p(x) = ax3 _{+ bx}2 _{+ cx + d cujo gr´}_{afico passa}

pelos pontos (0, −3), (2, −5), (3, 0) e (−1, −8).

7. Encontre a reta interse¸c˜ao de cada par de planos dados a) 3x + 2y + z = −1 e 2x − y + 4z = 5

(31)

8. Mentiras que meu Computador me Contou (David Poole) Existem sistemas chamados Malcondicionados que s˜ao extremadamente sens´ıveis a arredondamentos, a seguir um exemplo deste para vc pensar.

a) Resolva o seguinte sistema exatamente (trabalhe apenas com fra¸c˜oes)      x + y = 0 x +801₈₀₀y = 1.

b) Sabendo que a forma decimal de 801₈₀₀ = 1, 00125 use uma calculadora online e resolva o sistema:      x + y = 0 x + 1, 00125y = 1.

Dica: http://www.solvemymath.com/online math calculator/

c) Resolva o sistema dado em a) arredondando 801₈₀₀ = 1, 0012 e 801₈₀₀ = 1, 001.

d) Conclua que mesmo um pequeno erro de arredondamento pode levar a grandes erros de resultado. Explique geometricamente.

(32)

Cap´ıtulo 3

Vetores

Com o intuito de esclarecer melhor o conceito de vetor, uma abordagem geométrica e algébrica serão apresentadas.

3.1 Interpreta¸

c˜

ao Geom´

etrica

Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Por exemplo, comprimento, área, volume, massa, densidade e temperatura. As grandezas vetori-ais, são o caso contrario, isto é, não basta saber seu módulo e unidade correspondente, para serem perfeitamente caracterizadas precissamos sua dire¸cão e seu sentido. Por exemplo, for¸ca, velocidade e acelera¸cão.

Defini¸cão 3.1. Um vetor ~v é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma dire¸cão, mesmo sentido e mesmo módulo, sendo:

- A dire¸cão, a da reta colinear que contém o segmento ou reta paralela. - O sentido, dado pela orienta¸cão do movimento.

- O m´odulo, o comprimento do segmento.

(33)

Na seguinte figura todos os segmentos orientados paralelos ou colineares, de mesmo sen-tido e mesmo comprimento, representam um ´unico vetor.

3.1.1 Adi¸

c˜

ao de Vetores

Consideremos dois vetores ~u e ~v, cuja soma ~u + ~v pretendemos encontrar. Tomemos um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um segmento orientado −→AB representante do vetor ~u e um segmento orientado −BC representante do vetor ~−→ v. O vetor representado pelo segmento orientado−→AC ser´a o representante do vetor soma ~u + ~v, isto ´e,

~u + ~v =−→AC ou

−→

AB +−BC =−→ −→AC

Sendo ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, a adi¸c˜ao admite as seguintes propriedades

1. Conmutativa: ~u + ~v = ~v + ~u.

2. Associativa: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w). 3. Elemento Neutro: ~u + ~0 = ~u

4. Elemento Oposto: ~u + (−~u) = ~0

(34)

3.1.2 Multiplica¸

c˜

ao de um N´

umero Real por um Vetor

Dado um vetor ~u 6= 0 e um n´umero real α 6= 0, chama-se produto do n´umero real α pelo vetor ~u, o vetor α~u tal que:

1. Módulo ou comprimento: |α~v| = |α||~v| 2. Dire¸cão: α~v é paralelo a ~v

(35)

3.1.3 Angulo entre dois vetores

ˆ

O ângulo entre os vetores não nulos u e v é o ângulo θ formado por duas semi-retas −→OA e −−→

OB de mesma origem O, onde ~u =−→OA, ~v =−OB e 0 ≤ θ ≤ π.−→

• Se ~u//~v e ~u e ~v têm o mesmo sentido, então θ = 0. Na figura acima, o âgulo entre ~u e 2~u é zero.

• Se ~u//~v e ~u e ~v têm sentidos contrários, então θ = π. Na figura acima, o âgulo entre ~

u e −3~u ´e π.

3.2 Interpreta¸

c˜

ao Alg´

ebrica

O representante de um vetor ~v = −→AB, está na posi¸cão padrão se seu ponto inicial A coincidir com a origem O do sistema de coordenadas. Então ~v =−→OP , onde o ponto P = B−A é extremidade do vetor. Dessa forma, todo vetor ~v é vetor posi¸cão de algum ponto P (unicamente determinado) e as coordenadas de P são as mesmas que as componentes de ~v.

Observa¸c˜ao 3.2. Todo vetor ~v em Rn _{pode-se representar matricialmente por: ~}_{v =}

        x1 x2 .. . xn        

(36)

Exemplo: Se um vetor tem origem em (1, 2) e extremidade em (7, 12), ele ´e representado por −→v = (6, 10), pois:

−

→_{v = (7, 12) − (1, 2) = (6, 10)}

3.2.1 Interpreta¸

c˜

ao Alg´

ebrica no Plano

Consideremos dois vetores ~v1e ~v2 n˜ao paralelos, representados com a origem no mesmo ponto

O, e sejam r1 e r2 retas contendo estes representantes, respectivamente.

Os vetores ~u, ~v, ~w, ~x e ~y, representados na figura podem ser escritos em fun¸c˜ao de ~v1 e

~ v2 por ~ u = 3~v1+ 4~v2 ~v = −2~v1 + 3~v2 w = −3~~ v1− ~v2 ~ x = 2~v1+ 0~v2 ~y = 0~v1+ 3~v2

De modo geral dados dois vetores quaisquer ~v1 e ~v2, existe uma s´o dupla de n´umeros reais

a1 e a2, tal que

v = a1 v~1+ a2 v~2.

O vetor ~v é chamado combina¸cão linear de v1 e v2. O conjunto B = { ~v1, ~v2} é chamado

(37)

“Qualquer conjunto de dois vetores n˜ao paralelos forma uma base no plano”

Observa¸cão 3.3. Dentre as infinitas bases que existem no plano a mais importante é aquela que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Esta base é chamada de base canônica e esta determinada pelos vetores ortogonais e unitários ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1).

Assim, qualquer vetor ~v = (x, y) do plano pode-se escrever da forma v = x ~i + y ~j.

Igualdade de Vetores. Dois vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) s˜ao iguais se,

x1 = x2 e y1 = y2.

Neste caso, escrevemos ~u = ~v.

Defini¸c˜ao 3.2. Sejam dois vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) e α ∈ R. Define-se

1. ~u + ~v = (x1+ x2, y1+ y2)

2. α~u = (α x1, α y1)

3. −~u = (−1)~u = (−x1, −y1)

4. ~u − ~v = ~u + (−~v) = (x1− x2, y1− y2).

As defini¸cões anteriores e as opera¸cões algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades seguintes: 1. ~u + ~v = ~v + ~u 2. ~u + ~0 = ~u 3. (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) 4. ~u + (−~u) = ~0 5. α(β~v) = (αβ)~v 6. α(~u + ~v) = α~u + α~v

(38)

7. (α + β)~u = α~u + β~u 8. 1~u = ~u.

Observa¸cão 3.4. E importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que s˜´ ao os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma dire¸cão e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes de −→AB (A = (x1, y1), B = (x2, y2)), o que “melhor o caracteriza” é

aquele que tem origem em O = (0, 0) e extremidade no ponto P = (x2− x1, y2− y1). O vetor

~

v = −→OP é também chamado vetor posi¸cão, vetor diretor ou representante natural de −→AB.

M´odulo de um vetor Seja o vetor ~u = (x, y). Pelo Teorema de Pitagoras, vem

|u| =px2_{+ y}2_. _(3.1)

3.2.2 Interpreta¸

c˜

ao Alg´

ebrica no Espa¸

co

No plano vimos que dado qualquer vetor ~u, este pode ser escrito como uma combina¸cão da base canônica {~i,~j}, isto é, ~u = (x, y) = x~i + y ~j. Analogamente, no espa¸co, consideraremos a base canônica {~i, ~j, ~k}, como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz, neste caso

~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). Assim, dado um vetor qualquer ~_{u ∈ R}3 _{este pode-se expressar da forma}

~

u = (x, y, z) = x~i + y ~j + z ~k. (3.2)

As defini¸cões e conclusões no espa¸co são análogas às do plano.

Defini¸c˜ao 3.3. Sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) e α ∈ R. Define-se

1. ~u = ~v se e somente se x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

2. ~u + ~v = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)

3. α~u = (α x1, α y1, α z1)

(39)

5. ~u − ~v = ~u + (−~v) = (x1− x2, y1− y2, z1− z2). Al´em disso, 1. ~u + ~v = ~v + ~u 2. ~u + ~0 = ~u 3. (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) 4. ~u + (−~u) = ~0 5. α(β~v) = (αβ)~v 6. α(~u + ~v) = α~u + α~v 7. (α + β)~u = α~u + β~u 8. 1~u = ~u.

M´odulo de um vetor Seja o vetor ~u = (x, y, z),

|u| =px2_{+ y}2_{+ z}2_. _(3.3)

3.3 Produto Escalar

Chama-se produto escalar de dois vetores ~u e ~v ao n´umero real ~u · ~v, o qual ´e a soma dos produtos de suas componentes correspondentes de ~u e ~v.

Quando ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) =⇒ ~u · ~v = x1x2+ y1y2. (3.4)

Quando u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) =⇒ ~u · ~v = x1x2+ y1y2 + z1z2. (3.5)

Propriedades do Produto Escalar Dados os vetores u, v e w e o número real α, é fácil verificar que: Além disso,

1. ~u · ~v = ~v · ~u

(40)

3. (~u + ~v) · ~w = ~u · ~w + ~v · ~w 4. α · (~u · ~v) = (α~u) · ~v = ~u · (α~v)

5. ~u · ~u > 0 se ~u 6= ~0 e ~u · ~u = 0 se ~u = ~0. 6. ~u · ~u = |~u|2_.

3.3.1 Interpreta¸

c˜

ao Geom´

etrica do Produto Escalar

Se ~u e ~v são dois vetores não nulos e θ é o ângulo entre eles, então: ~

u · ~v = |~u| |~v| cos θ. (3.6) De fato, aplicando a lei dos cossenos ao triˆangulo ABC, temos:

|~u − ~v|2 = |~u|2+ |~v|2− 2|~u||~v| cos θ.

Por outro lado, como |~u − ~v|2 _{= (~}_{u − ~}_{v) · (~}_{u − ~}_{v) = |~}_u|2 _{− 2~}_{u · ~}_{v + |~}_v|2_{, ent˜}_{ao a igualdade}

segue-se.

Exemplo 3.1. Sejam |~u| = 2, |~v| = 3 e 120o _{o ˆ}_{angulo entre ~}_{u e ~}_{v. Calcular}

(41)

Sol.

i) ~u · ~v = |~u||~v| cos 120o = (2)(3) −1

2 = −3 (3.7)

ii) |~u + ~v| =p|~u|2_{+ |~}_v|2_{+ 2~}_{u · ~}_{v =}p₂2_{+ 3}2_{+ 2(−3) =} √₇ _(3.8)

ii) |~u − ~v| =p|~u|2_{+ |~}_v|2_{− 2~}_{u · ~}_{v =}p₂2_{+ 3}2_{− 2(−3) =}√_19. _(3.9)

3.3.2 Angulo entre dois Vetores

ˆ

Seja θ o ˆangulo entre ~u e ~v, ent˜ao:

cos θ = ~u · ~v |~u||~v|. Exemplo 3.2. Sejam ~u = (4, −2), ~v = (3, 1) cos θ = (4, −2) · (3, 1) |(4, −2)||(3, 1)| = 4.3 + (−2).1 p42_{+ (−2)}2√₃2_{+ 1} = 10 √ 20√10 = √ 2 2 Logo, θ = arccos √ 2 2 ⇒ θ = 45 o_.

Exemplo 3.3. Um vetor ~v do espa¸co forma com os vetores ~i e ~j ˆangulos de 60o _{e 120}o_,

respectivamente. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 2.

Solu¸c˜ao Das hipˆoteses temos para v = (x, y, z) que:

cos 60o = ~v ·~i |~v||~i| = ~v ·~i (2)(1) ⇒ x = ~v ·~i = 2 cos 60 o = 1 e cos 120o = ~v · ~j |~v||~j| = ~v · ~j (2)(1) ⇒ y = ~v · ~j = 2 cos 120 o _{= −1}

Por outro lado, ja que |~v| =px2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 2, tem-se z = ±}√_{2. Portanto, ~}_{v = (1, −1,}√₂₎

ou ~v = (1, −1, −√2).

Observa¸c˜ao 3.5. Note que dois vetores ~u e ~v diferentes de zero, s˜ao ortogonais (~u⊥~v), se e somente se ~u · ~v = 0.

(42)

Exemplo. Os vetores ~u = (10,√2) e ~v = (−1₅,√2) formam um ˆangulo de 90o_{, pois ~}_{u · ~}_{v =}

10(−1₅) +√2(√2) = 0

Observa¸c˜ao 3.6. Sejam dois vetores ~u e ~v quaisquer, 1. |~u · ~v| ≤ |~u||~v| (Desigualdade de Schwartz)

2. |~u + ~v| ≤ |~u| + |~v| (Desigualdade Triangular).

3.3.3 Proje¸

c˜

ao de um Vetor sobre Outro

Sejam os vetores ~u e ~v não nulos e θ o ângulo entre eles. O objetivo será decompor um dos vetores, digamos ~u, da forma

~u = ~u1+ ~u2

sendo ~u1k~v e ~u2 ⊥ ~v.

O vetor ~u1 ´e chamado proje¸c˜ao ortogonal de ~u sobre ~v, e denotado por:

~

u1 = P roj~v ~u.

Com efeito, ja que: ~u1k~v ⇒ ~u1 = α~v e dado que ~u2 = ~u − ~u1 = ~u − α~v ent˜ao

~u2 ⊥ ~v ⇒ (~u − α~v) ⊥ ~v ⇒ (~u − α~v) · ~v = 0 ⇒ α = ~ u · ~v |~v|2 Portanto, P roj~v ~u = ~u1 = ~u · ~v |~v|2 ~v.

Chamamos de componente de u sobre v ao vetor

Comp~v ~u = ~u2 = ~u − α~v = ~u − P roj~v ~u.

3.4 Produto Vetorial

Chama-se produto vetorial de dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) de R3, tomados

nessa ordem, e reprentados por ~u × ~v, ao vetor: ~ u × ~v = y1 z1 y2 z2 ~i − x1 z1 x2 z2 ~j + x1 y1 x2 y2 ~k.

(43)

Pela facilidade para memorizar denotaremos a defini¸c˜ao anterior da forma: ~ u × ~v = ~i ~j ~k x1 y1 z1 x2 y2 z2 .

Exemplo 3.4. Calcular ~u × ~v para ~u = (5, 4, 3) e ~v = (1, 0, 1).

Solu¸c˜ao ~ u × ~v = ~i ~j ~k 5 4 3 1 0 1 = 4 3 0 1 ~i − 5 3 1 1 ~j + 5 4 1 0 ~k = 4~i − 2~j − 4~k.

Observa¸cão 3.7. Uma forma prática para o cálculo de ~u × ~v é dispondo os dois vetores em linha, e repetindo pela ordem, as duas primeras colunas, As três componentes de ~u × ~v são dadas pelos três determinantes, conforme a seguir.

(44)

O sentido do vetor ~u × ~v poderá ser determinado pela regra da mão direita, isto é, se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma dire¸cão de rota¸cão, então o polegar estendido indicará o sentido de ~u × ~v.

3.4.1 Propriedades

As demonstra¸cões das seguintes propriedades são uma consequência direta da defini¸cão de produto vetorial e das propriedades de determinante.

1. ~v × ~u = −~u × ~v.

2. ~u × ~v = ~0, se e somente se, ~u k ~v.

3. O vetor ~u × ~v ´e simultaneamente perpendicular a ~u e ~v, isto ´e (~u × ~v) · ~u = ~0 e (~u × ~v) · ~v = ~0.

(45)

4. ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w e (~u + ~v) × ~w = ~u × ~w + ~v × ~w. 5. α (~u × ~v) = (α ~u) × ~v = ~u × (α ~v).

6. ~u · (~v × ~w) = (~u × ~v) · ~w.

7. |~u × ~v|2 _{= |~}_u|2 _|~v|2_{− (~}_{u · ~}_v)2_{, (chamada identidade de Lagrange).}

Observa¸c˜ao 3.8. Como uma consequˆencia da identidade de Lagrange e tendo em conta que ~

u · ~v = |~u| |~v| cos θ, temos que:

|~u × ~v| = |~u| |~v| sen θ

3.4.2 Interpreta¸

c˜

ao Geom´

etrica

• A ´area de um paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v , onde a medida da base ´

e ~u e a altura ´e |~v| sen θ, ´e

A = (base)x(altura) = |~u| |~v| sen θ = ku × vk

• O volume do paralelep´ıpedo de arestas determinadas pelos vetores não coplanares ~u, ~v e ~w (os três vetores não se encontram num mesmo plano) é:

(46)

3.5 Retas e Planos

Defini¸c˜_{ao 3.4. Em R}2 _{ou R}3_{, a equa¸}_c˜_{ao vetorial de uma Reta L, com dire¸}_c˜_{ao ~}_{v 6= 0}

que passa pelo ponto P0 cujo vetor posi¸c˜ao ´e ~P0 =

−→ OP0, ´e:

~

P = ~P0+ t ~v

O ponto P com vetor posi¸c˜ao ~P = −→OP est´a sobre a reta L, ∀ t ∈ R.

Defini¸cão 3.5. A equa¸cão normal de um Plano P com vetor normal ~n 6= 0 que contém o ponto P0 = (x0, y0, z0) é:

~

n.( ~P − ~P0) = 0.

O ponto P com vetor posi¸c˜ao ~P = −→OP est´a sobre o plano P, ∀ t ∈ R.

3.6 Exerc´ıcios

1. Sejam A = (1, 2), B = (0, 1), C = (−1, −1) e D = (2, 3) pontos de R2. Calcule e grafique os vetores posi¸cão (na posi¸cão padrão) de modo que sejam o resultado de:

a) −→AB +−BC−→ b) −CD + 2−→ −→AB c) −→AB −−−→CD d)−−→CD −−→AB e) −1₂ −−→DC

2. Sejam A = (1, 0, 2), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 2) e D = (2, 1, 0) pontos de R3_{. Calcule e}

grafique os vetores posi¸c˜ao de modo que sejam o resultado de: a) −→AB b) −−→CD +−→AB c) AB ×−→ −−→CD d) (−−→CD −−→AB) ×−−→CD

3. Encontre um vetor n˜ao-nulo ~u com ponto inicial P = (−1, 3, −1) tal que a) ~u tenha a mesma dire¸c˜ao e sentido que ~v = (2, 1, −1).

b) ~u tenha a mesma dire¸c˜ao mas sentido oposto que ~v = (1, −1, 1).

4. Um excursionista anda 4 na dire¸c˜ao norte e depois 5 na dire¸c˜ao nordeste. Desenhe os vetores deslocamento que representam o passeio do excursionista e o vetor que representa o deslocamento a partir do ponto inicial.

5. Sejam ~u = (1,√3), ~v = (0, 1) e ~_{w = (1, 1) vetores de R}2_.

(47)

(ii) Calcular a) P r~v~u b) P rw~~v c) P r~vw~ d) ](~u, ~v) e) ](~v, ~w).

(iii) Calcule a ´area do paralelogramo determinado por: a) ~u e ~v b) ~v e ~w.

6. Ache as componentes dos vetores u, v, u + v e u − v onde u e v aparecem na figura

7. Encontre todos os poss´ıveis valores de k para os quais os vetores s˜ao ortogonais i) ~u = (2, 3), ~v = (k + 1, k − 1) ii) ~u = (1, −1, 2), ~v = (k2_{, k, −3).}

8. Sejam ~u = (2, 1, −1), ~v = (0, 1, 2) e ~_{w = (−1, 1, 3) vetores de R}3.

(i) Calcular a) ~u × ~v b) ~w/| ~w| c) |~u.(~v × ~w)| d) −2~v × ~w e) |~u × ~v × ~w|. (ii) Calcular a) P r~v~u b) P r~u~v c) P r~uw~ d) ](~u, ~v) e) ](~v, ~w).

9. Calcule o valor de m para que a ´area do paralelogramo determinado pelos vetores ~

u = (m, −3, 1) e ~v = (1, −2, 2) seja igual a√26.

10. Calcule a ´area do triˆangulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados A = (−4, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (0, −1, 3).

11. Sejam os pontos A = (1, 1, −1), B = (−3, 2, −2), C = (2, 2, −4). Prove que o triângulo ABC é retângulo.

12. Encontre o vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A = (3, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2). Calcule a ´area do triˆangulo ABC.

(48)

13. Prove que ku − vk ≥ kuk − kvk para todo vetor u e v em Rn _{(Dica: Substitua u por}

u − v na desigualdade triangular).

14. Suponha conhecido que u.v = u.w. Pode-se concluir que u = w?. Em caso afirmativo dê uma prova válida em Rn, caso contrário dê um contra-exemplo espec´ıfico de vetores u, v, w para os quais a igualdade é falsa.

15. Prove que: (a) (u + v) · (u − v) = kuk2_{− kvk}2 (b) ku + vk2_{+ ku − vk}2 _{= 2kuk}2_{+ 2kvk}2 (c) u · v = 1₄ku + vk2₋ 1 4ku − vk 2 (d) ku + vk = ku − vk se, e somente se u ⊥ v (e) proju(v − proju(v)) = ~0.

16. Um paralelep´ıpedo é determinado pelos vetores ~u = (3, −1, 4), ~v = (2, 0, 1) e ~w = (−2, 1, 5). Calcule seu volume, e a altura relativa à base definida pelos vetores ~u e ~v. 17. Encontre as equa¸cões vetoriais para as retas que passam por:

(a) P0 = (4, −3, 5) e ´e paralela a ~v = (0, −1, 3).

(b) P = (5, −7, 2) e Q = (0, 0, 4)

(c) P = (2, −5, 7) e ´e perpendicular ao plano 3x − 2y + 5z = 7. 18. Encontre uma equa¸c˜ao para o plano que passa por:

(a) P0 = (3, −7, 5) e ´e paralelo ao plano de equa¸c˜ao 3x − y + 2z = 5.

(b) P = (3, 1, 2), Q = (5, −1, 3) e (−4, 2, 0).

(c) P = (2, −3, 0) e ´e perpendicular `a reta (x, y, z) = (2, −5, 3) + t(6, −6, 5).

19. Determine a distância do ponto Q = (1, 0, 2) à reta r que passa por P0 = (3, 1, 1) e é

(49)

Cap´ıtulo 4

Espa¸

co Vetorial

Nos cap´ıtulos anteriores vimos que a álgebra de matrizes e vetores são similares em muitos aspectos. Em particular podemos fazer a adi¸cão de matrizes e vetores, e podemos multiplicar ambos por um escalar. As propriedades resultantes de essas duas opera¸cões são idênticas para as matrizes e vetores. O que se pretende agora é usar essas propriedades para definir “vetores”de forma geral.

Um espa¸co vetorial é um conjunto V de elementos chamados vetores, onde estão definidas duas opera¸cões:

1. Axioma da Adi¸c˜ao: Para todo u, v ∈ V , a soma u ⊕ v ∈ V .

2. Axioma do Produto por um escalar α: Seja α ∈ R (ou α ∈ C) e v ∈ V , ent˜ao α v ∈ V .

Al´_{em disso, para todo u, v, w ∈ V e α, β ∈ R (ou C), os seguintes axiomas são satisfeitos:} Em rela¸cão à adi¸cão:

Ax.3. (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) Ax.4. u ⊕ v = v ⊕ u

Ax.5. ∃ 0 ∈ V, u ⊕ 0 = u

Ax.6. ∃ (−u) ∈ V, u ⊕ (−u) = 0

Em rela¸c˜ao ao produto por um escalar: Ax.7. (αβ) u = α (β u)

Ax.8. (α + β) u = (α u) ⊕ (β u) Ax.9. α (u ⊕ v) = (α u) ⊕ (α v) Ax.10. 1 u = u

(50)

espa¸co vetorial real. No caso dos escalares serem complexos, V ser´a chamado espa¸co vetorial complexo.

Em diante, nos trabalharemos s´o com espa¸cos vetoriais reais.

Exemplo 4.1. _{V = R}n = {(x1, x2, . . . , xn)/xi ∈ R} ´e um espa¸co vetorial real com as

opera¸c˜oes

(x1, x2, . . . , xn) ⊕ (y1, y2, . . . , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn) (4.1)

α (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn) (4.2)

Solu¸cão A prova é simplesmente a generaliza¸cão das propriedades vistas para vetores no plano e no espa¸co. Assim, pelas proprias defini¸cões de adi¸cão de vetores (4.1) e multiplica¸cão de um vetor por um escalar real (4.2), é simples verificar todos os axiomas de espa¸co vetorial.

Exemplo 4.2. O conjunto V = Mm×n(R) de todas as matrizes reais de ordem m × n ´e um

espa¸co vetorial real com as opera¸cões de adi¸cão de matrizes e multiplica¸cão por um escalar. Assim, para A = [aij]m×n, B = [bij]m×n e α ∈ R, definimos:

A ⊕ B = [cij]m×n onde cij = aij + bij (4.3)

α A = [dij]m×n onde dij = α aij (4.4)

Exemplo 4.3. O conjunto V = Pn(R), de todos os polinˆomios a0 + a1t + · · · + antn com

coeficientes ai ∈ R é um espa¸co vetorial real com as opera¸cões usuais de adi¸cão de polinômios

e multiplica¸c˜ao por um escalar.

De fato, para p(t) = a0+ a1t + · · · + antn ∈ Pn(R) e q(t) = b0+ b1t + · · · + bntn∈ Pn(R),

basta definir

(p ⊕ q)(t) = p(t) + q(t) = (a0+ b0) + (a1+ b1)t + · · · + (an+ bn)tn

(α p)(t) = α p(t) = α a0+ (α a1)t + · · · + (α an)tn.

Exemplo 4.4. O conjunto V de todas as fun¸cões reais definidas sobre o intervalo [a, b], é um espa¸co vetorial. Para isso, basta definirmos para f = f (x) e g = g(x) ∈ V , as opera¸cões usuais:

(f ⊕ g)(x) = f (x) + g(x) (α f )(x) = α f (x)

(51)

Exemplo 4.5. _{Nenhum dos conjuntos N, Z, Q ´e espa¸co vetorial real, pois em todos eles}

o produto de um de seus elementos por um escalar, ´e um n´umero real, o que contraria o Axioma 2 de espa¸co vetorial.

4.1 Subespa¸

cos Vetoriais

Seja W , (W 6= ∅) um subconjunto do espa¸co vetorial V . Dizemos que W é um subespa¸co vetorial em rela¸cão às opera¸cões de V , se:

i) u, v ∈ W ⇒ u ⊕ v ∈ W

ii) α ∈ R e u ∈ W ⇒ α u ∈ W.

Exemplo 4.6. Seja V = M2×2(R) e

W = {A ∈ M2×2(R)/todos os elementos da diagonal de A s˜ao zeros}.

Prove que W ´e um subespa¸co vetorial de V , com as opera¸c˜oes usuais de matrizes.

Solu¸c˜ao: Sejam A =   0 a12 a21 0   e B =   0 b12 b21 0 

 matrizes quaisquer de W , ent˜ao

A + B =   0 a12+ b12 a21+ b21 0  ∈ W. Se α ∈ R e A ∈ W , ent˜ao αA =   α.0 α.a12 α.a21 α.0  =   0 α.a12 α.a21 0  ∈ W

Exemplo 4.7. Considere o subconjunto W = {(x, 1) ∈ R2_{/x ∈ R} com as opera¸c˜oes usuais}

de R2_{. Prove que W n˜}_{ao ´}_{e um subespa¸}_{co vetorial.}

Solu¸c˜ao:Basta notar que a soma de dois elementos de W n˜ao pertence a W . Os elementos (3, 1) ∈ W e (5, 1) ∈ W , mas a soma

(52)

4.1.1 Propriedades dos Subespa¸

cos

Soma.

Sejam W1 e W2 subspa¸cos de um espa¸co vetorial V . Ent˜ao, o conjunto

W1+ W2 = {v ∈ V / v = w1+ w2, w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2} (4.5)

´e um subespa¸co de V .

Exemplo 4.8. Sejam W1 e W2 duas retas de R3 que passam pela origem, ent˜ao W1 + W2

´_{e o plano em R}3 _{que cont´}_{em as duas retas.}

Interse¸c˜ao.

Sejam W1 e W2 subspa¸cos de um espa¸co vetorial V . A interse¸c˜ao W1∩ W2 ´e um subespa¸co

de V .

Exemplo 4.9. Sejam W1 e W2 dois planos de R3 que passam pela origem, de modo que

W1∩ W2 é uma reta em R3 que contém o (0, 0, 0). A interse¸cão W1∩ W2 é um subespa¸co

de R3.

Quando W1∩ W2 = {0}, então W1+ W2 é chamada soma direta de W1 com W2, e será

(53)

4.2 Combina¸

c˜

ao Linear

Dizemos que um vetor w ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores v1, v2, . . . , vn do espa¸co

vetorial real V , (V, +, .), se existem α1, α2, . . . , αn ∈ R tal que

w = α1· v1+ α2 · v2+ . . . + αn· vn.

Exemplo 4.10. Considere os vetores ~u = (1, 2, −1), ~_{v = (6, 4, 2) ∈ R}3_{. Mostre que ~}_{w =}

(9, 2, 7) ´e uma combina¸c˜ao linear de ~u e ~v

Solu¸c˜_{ao: Suponhamos que existem α, β ∈ R de modo que} (9, 2, 7) = α(1, 2, −1) + β(6, 4, 2). Ent˜ao,              α + 6β = 9 2α + 4β = 2 −α + 2β = 7 implica que α = −3, β = 2

Portanto, (9, 2, 7) = −3(1, 2, −1) + 2(6, 4, 2), consequentemente ~w ´e uma combina¸c˜ao linear de ~u e ~v.

Exemplo 4.11. Considere os polinômios p(x) = 1, q(x) = 1 + x e r(x) = 1 + x + x2. Mostre que qualquer polinômio de ordem 2 pode-se escrever como uma combina¸cão linear de p(x), q(x) e r(x).

Solu¸c˜_{ao: Suponhamos que existem α, β, γ ∈ R de modo que}

(54)

Ent˜ao,              α + β + γ = a0 β + γ = b0 γ = c0 , logo γ = c0, β = b0− c0, α = a0 − b0− c0. Portanto, a0+ b0x + c0x2 = (a0− b0− c0) p(x) + (b0− c0) q(x) + c0 r(x).

4.3 Espa¸

co Gerado

O subconjunto S de todos os vetores do espa¸co vetorial real V (V, +, .), que são com-bina¸cões lineares dos vetores v1, v2, . . . , vn, é chamado de subespa¸co vetorial gerado por

v1, v2, . . . , vn e ser´a denotado por

S = ger{v1, v2, . . . , vn} = [v1, v2, . . . , vn]

Para verificar que S ´e subespa¸co vetorial de V , basta notar que para qualquer u, v ∈ S e α ∈ R verifica-se que

u + v = (α1· v1 + α2· v2+ · · · + αn· vn) + (β1· v1 + β2· v2+ · · · + βn· vn)

= (α1+ β1) · v1+ (α2+ β2) · v2+ · · · + (αn+ βn) · vn∈ S

α · u = α · (α1· v1+ α2· v2+ · · · + αn· vn)

= (αα1) · v1+ (αα2) · v2+ · · · + (ααn) · vn ∈ S.

Exemplo 4.12. Calcule o conjunto de geradores do subespa¸co vetorial S de M2×2(R), quando

S = (  a b c d  ∈ M2×2(R) a = −d e c = 2b ) . (4.6)

Solu¸c˜ao Usando a defini¸c˜ao de S temos

S = (  −d b 2b d   b e d ∈ R ) . (4.7) Logo, S = ( d   −1 0 0 1  + b   0 1 2 0   b e d ∈ R ) = ger (  −1 0 0 1  ,   0 1 2 0   ) .

(55)

Exemplo 4.13. Mostre que o conjunto de polinˆomios {t2_{+ t, t, 1} gera o espa¸}_{co vetorial,}

P2(R), dos polinˆomios de grau ≤ 2.

Solu¸c˜ao Consideremos p(t) = a2t2+ a1t + a0 ∈ P2(R). Suponhamos α, β, γ ∈ R tais que:

p(t) = α(t2 + t) + βt + γ1 ⇒ a2t2+ a1t + a0 = αt2+ (α + β)t + γ.

Comparando o primeiro e ´ultimo polinˆomio obtemos α = a2, α + β = a1 e γ = a0, logo

α = a2, β = a1− a2, γ = a0.

4.4 Independˆ

encia e Dependˆ

encia Linear

Seja V um espa¸co vetorial real, (V, +, ·), e v1, v2, . . . , vn ∈ V . Dizemos que o conjunto

{v1, v2, . . . , vn} ´e linearmente independente (L.I.), se:

α1 · v1+ α2· v2 + . . . + αn· vn = 0 =⇒ α1 = α2 = . . . = αn= 0. (4.8)

No caso em que exista algum αi 6= 0, diremos que o conjunto {v1, v2, . . . , vn} ´e linearmente

dependentes (L.D.).

Teorema 4.1. {v1, . . . , vn} ´e linearmente dependente, se e somente se, um destes vetores

for combina¸c˜ao linear dos outros. Prova:

{v1, . . . , vn} ´e L.D ⇐⇒ ∃ αi 6= 0 / α1v1+ α2v2+ . . . + αivi+ . . . + αnvn= 0

⇐⇒ αivi = −α1v1− . . . − αi−1vi−1− αi+1vi+1− . . . − αnvn

⇐⇒ vi = − α1 αi v1− . . . − αi−1 αi vi−1− αi+1 αi vi+1− . . . − αn αi vn

⇐⇒ vi ∈ ger{v1, v2, . . . , vi−1, vi+1. . . , vn} (4.9)

Exemplo 4.14. Os vetores canˆonicos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) s˜ao L.I.?

Solu¸c˜ao Suponhamos que

α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0).

Somando temos que (α1, α2, α3) = (0, 0, 0). Logo, α1 = α2 = α3 = 0, consequentemente os

(56)

Exemplo 4.15. As matrizes A =   1 −2 4 3 0 −1   e B =   2 −4 8 6 0 −2   s˜ao L.D. Solu¸c˜ao De fato, α1A + α2B =   0 0 0 0 0 0   ⇔ α1 = −2α2.

Corol´ario 4.1. Qualquer conjunto de vetores contendo o vetor nulo ´e L.D.

Exemplo 4.16. Os vetores ~u = (1, −2, 3), ~v = (2, −4, 6) e ~w = (1, 1, 1) s˜ao L.D. pois

2~u − ~v + 0 ~w = ~0.

Corol´ario 4.2. Todo subconjunto de um conjunto de vetores L.I. ´e L.I.

Exemplo 4.17. E sabido que o conjunto S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´´ e L.I, logo qualquer subconjunto de S tamb´em ´e L.I.

Observa¸c˜ao 4.2. Se ~u1 = (x11, . . . , x1n), ~u2 = (x21, . . . , x2n), . . . , ~un = (xn1, . . . , xnn) s˜ao

n-vetores L.I. em Rn,

α1~u1+ α2~u2+ · · · + αn~un = ~0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn= 0.

Da afirma¸c˜ao anterior deduzimos que      x11 x21 . . . xn1 .. . . . ... x1n x2n . . . xnn           α1 .. . αn      =      0 .. . 0      =⇒ α1 = α2 = · · · = αn= 0. sempre que det      x11 x21 . . . xn1 .. . . . ... x1n x2n . . . xnn      6= 0 Exemplo 4.18. Os vetores ~u1 = (1, −2, 7, √ 2), ~u2 = (0, 4, −6, 1), ~u3 = (0, 0, 1, π), ~u4 = (0, 0, 0, sen 1) s˜_{ao L.I. em R}4

(57)

Solu¸cão Segundo a observa¸cão anterior eles são L.I. pois o determinante da matriz (u1, u2, u3, u4)

´e diferente de zero. De fato,

det         1 0 0 0 −2 4 0 0 7 −6 1 0 √ 2 1 π sen 1         = 4 sen 1

Exemplo 4.19. Seja r > n. Qualquer conjunto com r vetores no espa¸_{co vetorial R}n é line-armente dependente pois todo sistema homogêneo de equa¸cões lineares com mais incógnitas do que equa¸cões admite uma solu¸cão não trivial (diferente de zero).

Observa¸c˜ao 4.3. Geometricamente, a dependˆ_{encia de dois vetores no plano R}2 _{acontece se}

e somente se eles se encontram sobre a mesma reta passando pela origem. No espa¸co R3_,

três vetores são L. D. se eles estão contidos no mesmo plano passando pela origem. `

As vezes é poss´ıvel deduzir a dependência linear de fun¸cões apartir de identidades conhe-cidas, por exemplo ao provar que: {sen2x, cos2x, 5} é um conjunto L.D no espa¸co vetorial das fun¸cões reais de vari´_{avel real, F (R, R), basta notar que}

α sen2x + β cos2x + γ 5 = 0 ⇐⇒ α = β = 5, γ = −1.

De modo geral, não existe um método para provar a dependência ou independência linear de conjuntos em F (R, R), pois existem casos onde estas idêntidades não podem ser aplicadas. Um teorema útil para determinar se um conjunto particular de fun¸cões é L.I é enunciado a seguir.

Teorema 4.2. Sejam as func˜oes reais f1, f2, . . . , fn ∈ Cn−1([a, b]) (cont´ınuas e com

deri-vadas cont´ınuas at´e a ordem n − 1 em todo [a, b]). Se existe um ponto x0 ∈ [a, b] tal que o

wronskiano W [f1, f2, . . . , fn](x0), W [f1, f2, . . . , fn](x0) = det         f1(x0) f2(x0) . . . fn(x0) f₁0(x0) f20(x0) . . . fn0(x0) .. . ... · · · ... f₁n−1(x0) f2n−1(x0) . . . fnn−1(x0)         6= 0, (4.10)

(58)

Exemplo 4.20. As fun¸c˜oes ex_{, e}−x _s˜

ao L.I. em C(R)?.

Solu¸c˜ao Segundo o teorema anterior eles s˜ao L.I. em C2_{(R), pois o Wronskiano}

W [ex, e−x](x0) = det   ex0 _e−x0 ex0 _−e−x0  = −2 6= 0, ∀x0 ∈ R. (4.11)

Por outro lado, ja que C2_{(R) ⊆ C(R) o resultado segue-se.}

Exemplo 4.21. As fun¸c˜oes 1, x, x2, x3 s˜_{ao L.I. em C(R)?.}

Solu¸c˜ao Segundo o teorema anterior eles s˜ao L.I. em C3_{(R), pois o Wronskiano}

W [1, x, x2, x3](x0) = det         1 x0 x20 x30 0 1 2x0 3x20 0 0 2 6x0 0 0 0 6         = 12 6= 0, ∀x0 ∈ R. (4.12)

Por outro lado, ja que C3_{(R) ⊆ C(R) o resultado segue-se.}

Exemplo 4.22. As fun¸c˜oes x2 _{e x|x| s˜}_{ao L.I. em C([−1, 1])?.}

Solu¸c˜ao Ja que x2_{, x|x| ∈ C}1_{([−1, 1]), calculando o Wronskiano temos}

W [x2, x|x|](x0) = det   x2 0 x0|x0| 2x0 2|x0|  ≡ 0, (4.13)

o que não nos dá a informa¸cão sobre se as fun¸cões são L.I ou não. Logo, para responder a pergunta, suponha que:

αx2+ βx|x| = 0, x ∈ [−1, 1]. Em particular, para x = 1 e para x = −1, temos o sistema

α + β = 0 α − β = 0,