Rigidez de flex˜ao e curvatura de membrana

A descri¸c˜ao da rigidez de flex˜ao de membrana est´a intimamente ligada ao conceito de curvatura de membrana. A curvatura caracteriza o quanto uma membrana foi flexionada num ponto particular. Por sua vez, a curvatura ´e descrita pelo raio de um c´ırculo que caracteriza a deforma¸c˜ao sofrida, como mostrado na figura 2.5.

A curvatura ´e definida como o inverso do raio, com sinal positivo ou negativo depen-dendo se o c´ırculo que a define est´a por cima ou por baixo da membrana respectivamente

como ilustrado na parte a) da figura 2.5. Se R → ∞, a membrana descrita ser´a plana

na dire¸c˜ao definida por R e viceversa. Por outro lado, os m´ınimos e m´aximos valores dos

raios num ponto particular definem as curvaturas principais, C1 e C2 associadas a esse

ponto. A curvatura m´edia, H, e a curvatura gaussianaG, s˜ao definidas em fun¸c˜ao de C1

e C2 como,

H = ¹

2^{(C1+C2) , G=C1C2. (2.1)}

O modelo de energia de Helfrich-Canham possibilita a descri¸c˜ao mais simples para a rigidez de flex˜ao da membrana [42]. Helfrich percebeu que a natureza da bicamada de fosfolip´ıdios tinha carater´ısticas similares aos cristais l´ıquidos. Baseando-se na teoria que existia na ´epoca para cristais l´ıquidos [43], ele prˆopos o funcional da energia de curvatura por unidade de ´area como,

E[C1, C2] = ^κ 2

I

dA[C1+C2−C0]2

, (2.2)

na equa¸c˜ao anterior C0 ´e a curvatura espontˆanea e κ´e a rigidez de flex˜ao da membrana.

Para entender a origem do parˆametro C0, usamos a figura 2.5 (b). Vemos que para uma

dada rigidez de flex˜ao κ, o raio de uma ves´ıcula e sua estabilidade podem ser controlados

pela tens˜ao no plano da bicamada. Esta tens˜ao aparece da deforma¸c˜ao de fosfolip´ıdios nas bordas causada pela flex˜ao da bicamada para evitar a exposi¸c˜ao da sua regi˜ao hidrof´obica `a ´agua ou pela inser¸c˜ao de outras mol´eculas presentes na membrana. S˜ao criadas for¸cas compressivas dentro da regi˜ao hidrof´ılica, para apertar as mol´eculas de modo `a minimizar a exposi¸c˜ao da cadeia hidrof´obica `a agua [44]. Estas for¸cas est˜ao presentes nessa regi˜ao mesmo sem a presen¸ca de uma for¸ca externa aplicada para flexionar a membrana, como no caso (c) da figura 2.5. Uma forma de caraterizar o efeito ´e introduzir o parˆametro

de curvatura espontˆanea C0 reduzindo a energia de flex˜ao. C0 pode ser ajustado por um

meios, as camadas sofrem diferentes processos de absor¸c˜ao de ´ıons e mol´eculas em seu entorno resultando em assimetrias na sua composi¸c˜ao. O pr´oprio modelo de mosaico fluido assume diferentes mol´eculas inseridas em cada camada. Devido a essas assimetrias, a membrana ter´a uma tendˆencia a se flexionar e adotar uma certa forma descrita pela

curvatura espontˆanea C0.

O parˆametro C0 n˜ao inclui os efeitos relacionados com a espessura da bicamada, nem

com as mudan¸cas de ´area relativa que a membrana experimenta quando flexionada. Para

incluir o efeito da diferen¸ca de ´area entre as duas camadas, adiciona-se um termo ∆A na

energia livre que descreve as membranas [45]. Este termo caracteriza a flex˜ao da bicamada quando um momento de flex˜ao aplicado numa certa dire¸c˜ao produz uma extens˜ao na camada externa e uma compress˜ao na camada interna, como mostrado na figura 2.5 (c). O funcional de energia ´e escrito ent˜ao como,

E[C1, C2] = ^κ 2 I dA[C1(r1) +C2(r2)−C0]2 + ^κ 2 π AD2(∆A−∆A0)2 (2.3) onde considera-se que as ´areas de cada camada n˜ao s˜ao constantes, mas podem ser ex-pandidas elasticamente como consequˆencia da flex˜ao sofrida. Cada camada possui uma

´area preferencial ou ´area em estado n˜ao perturbado (Aext

0 e Aint

0 ). Baseando-se apenas

no n´umero de lip´ıdios que contˆem as camadas, estas ´areas podem mudar devido a uma

perturba¸c˜ao externa, para valores de ´area maiores ou menores, (Aext e Aint), implicando

em um gasto de energia caracterizado pelo m´odulo de expans˜ao κ. Na equa¸c˜ao temos 2.3,

∆A=Aext

−Aint e ∆A0 =Aext

0 −Aint

0 ,A ´e a ´area total da membrana, eD ´e a distˆancia

A forma¸c˜ao e a descri¸c˜ao de ves´ıculas fechadas est˜ao intimamente ligadas ao conceito de rigidez de flex˜ao que acabamos de descrever, pois a capacidade da membrana de resistir a uma flex˜ao depende de como ela adapta sua curvatura local para responder `a mudan¸ca sofrida [39]. Cada fosfolip´ıdio que se desloca devido `a flex˜ao contribui para a cuvatura espontˆanea. A forma local da membrana depende das mol´eculas que est˜ao inseridas nela (prote´ınas transmembranais, rafts, colesterol, etc.) e de como est˜ao espacialmente dis-tribu´ıdas. De acordo com a classifica¸c˜ao descrita em [48], a figura 2.6 mostra 5 mecanismos que induzem curvaturas na bicamada fosfolip´ıdica. Se a mol´ecula se insere profundamente na bicamada, ela empurra os fosfolip´ıdios e for¸ca a membrana a ser dobrada localmente. Ao se inserir em uma das camadas a mol´ecula causa uma expans˜ao e rearranjo dos fos-folip´ıdeos pr´oximos. Para compensar a diferen¸ca de ´area das duas camadas, a membrana se dobra adquirindo uma curvatura espontˆanea [49], [46]. Portanto a inser¸c˜ao ou remo¸c˜ao

de mol´eculas na bicamada altera a curvatura C0, ver por exemplo os mecanismos b) e e)

da figura 2.6.

Al´em do mecanismo descrito anteriormente, a rela¸c˜ao entre o processo de curvar a membrana e o mecanismo de inser¸c˜ao de mol´eculas na bicamada de fosfolip´ıdios (curva-tura espontˆanea local), podemos mencionar outros mecanismos que causam curva(curva-turas na membrana, relacionados a prote´ınas que interagem com ela. O primeiro ´e o mecanismo de andaime, no qual o agregado de prote´ınas, ou dom´ınios de prote´ınas, funciona como um andaime que apresenta as suas curvaturas intr´ınsecas ao lip´ıdio, fazendo com que o lip´ıdio adquira a forma apresentada por eles, figura 2.6 parte d). Uma das fam´ılias de prote´ınas melhor caracterizadas que utilizam este mecanismo para induzir curvatura ´e o dom´ınio BAR e outra ´e a Clatrina. Estas prote´ınas possuem um dom´ınio curvado que interage com a membrana via intera¸c˜oes hidrof´obicas e eletrost´aticas [47].

Um outro mecanismo discutido recentemente, que n˜ao est´a representado na figura 2.6, est´a relacionado com a aglomera¸c˜ao de prote´ınas, onde a energia de deforma¸c˜ao da membrana ´e fornecida pela alta densidade superficial local de prote´ınas, como por exemplo

Figura 2.6: Mecanismos de deforma¸c˜ao de membrana. A membrana plasm´atica pode ser flexionada dando origem a curvaturas de membrana positivas ou negativas. a) Mudan¸cas na composi¸c˜ao lip´ıdica. b) Influˆencia de prote´ınas integrais da membrana que possuem curvatura intr´ınseca ou por oligomeriza¸c˜ao (convers˜ao de monˆomeros em complexos moleculares). c) Mudan¸cas na polimeriza¸c˜ao do citoesqueleto e arrasto de t´ubulos por prote´ınas motoras. d) Mecanismo de andaime direto ou indireto de prote´ınas. e) Inser¸c˜ao assim´etrica de prote´ınas [48].

a prote´ına GFP-Green Fluorescent Protein) [50]. Estas prote´ınas n˜ao s˜ao necessariamente

prote´ınas associadas `a membrana nem especializadas em dobrar membranas como seria o caso do dom´ınio BAR e da Clatrina. Uma outra origem de assimetrias na membrana plasm´atica vem do seu acoplamento com o citoesqueleto atrav´es de liga¸c˜oes entre os lip´ıdios de membrana e prote´ınas do citoesqueleto [63], representado na parte c) da figura 2.6 e detalhado mas adiante em 2.3.2.

A existˆencia de curvaturas na membrana, induzidas por diversos mecanismos, repre-sentam uma caracter´ısitica fundamental da membrana celular, por´em continua sendo um campo aberto a discuss˜ao sobre como caracterizar os efeitos derivados da mesma.