Antes de se proceder ao cálculo do coeficiente de comportamento é necessário calcular o tipo de sistema estrutural do edifício. Analisando o art.º 5.2.2.1 (4)P do EC8, verifica-se que um sistema estrutural do tipo porticado, misto ou de paredes de ambos os tipos, deve possuir uma rigidez de torção mínima que satisfaça a expressão (4.7) do presente trabalho. Ou seja, para cada nível e segundo as direcções 𝑥 e 𝑦, o raio de torção não deve ser inferior ao raio de giração do piso em planta.
A expressão utilizada para o cálculo do raio de giração (𝑙𝑠) é a seguinte:
𝑙𝑠 = √ 𝐼𝑝𝐶𝑀
𝑚 (7.1)
Sendo:
𝐼𝑝𝐶𝑀 – Momento polar de inércia da massa do piso em planta em relação ao centro de gravidade do piso;
𝑚 – Massa do piso.
Tendo por base um elemento de massa 𝑚 e recorrendo ao conceito de continuidade, que se baseia na aplicação do cálculo integral, o momento de inércia de todos os pontos constituintes de um dado elemento contínuo, é dado por:
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𝐼 = ∫ 𝑟2 𝑑𝑚 𝑀
(7.3)
Em que 𝑟, representa a distância do elemento de massa 𝑑𝑚, ao eixo de referência. Contudo, através do conceito de massa volúmica, os elementos de massa podem passar a elementos de volume:
𝜌 =𝑑𝑚
𝑑𝑣 ⇔ 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 (7.4)
Como 𝑟2= 𝑥2+ 𝑦2, o momento de inércia relativamente ao eixo perpendicular ao piso em planta, 𝑧, é:
𝐼𝑧 = ∫(𝑥2+ 𝑦2) 𝜌𝑑𝑣 (7.5)
Se considerarmos agora a sua perpendicularidade em relação aos eixos ortogonais, 𝑥 e 𝑦, na planta do piso temos que 𝐼𝑥 = ∫ 𝑦2𝜌𝑑𝑣 e 𝐼𝑦= ∫ 𝑥2𝜌𝑑𝑣, uma vez que a terceira dimensão 𝑧 apresenta um desenvolvimento muito reduzido quando comparada com as outras. Ou seja, conclui-se que o momento de inércia relativamente a um eixo perpendicular a uma placa é dado pela soma dos momentos de inércia relativos aos eixos perpendiculares assentes sobre o piso em planta (Teoria dos Eixos Perpendiculares).
O momento de inércia polar, ou momento polar de inércia, é aquele que é dado pela soma dos momentos de inércia de uma dada superfície plana, em relação a dois eixos ortogonais, centrados num dado ponto de referência:
𝐼𝑂 = 𝐼𝑥+ 𝐼𝑦 (7.6)
Então podemos concluir que, admitindo uma distribuição de massas uniformemente distribuídas ao longo do piso, para um elemento de massa 𝑚:
𝐼𝑧 = ∫ 𝑦2𝜌𝑑𝑣 + ∫ 𝑥2𝜌𝑑𝑣 = 𝜌 × (𝐼𝑥+ 𝐼𝑦) (7.7)
𝐼𝑝𝐶𝑀= 𝜌 × (𝐼𝑥𝐶𝑀+ 𝐼𝑦𝐶𝑀) (7.8)
O cálculo da massa do piso pode ser realizado considerando um piso aproximadamente rectangular, ou seja:
𝑚 = 𝜌 × 𝑎 × 𝑏 (7.9)
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𝑎 e 𝑏 – Representam as dimensões em planta do piso; 𝜌 – Massa por metro quadrado de piso;
Sendo assim, o cálculo do raio de giração pode ser simplificadamente obtido por:
𝑙𝑠= √𝜌 × (𝐼𝑥𝐶𝑀+ 𝐼𝑦𝐶𝑀) 𝜌 × 𝑎 × 𝑏 = √
𝐼𝑥𝐶𝑀+ 𝐼𝑦𝐶𝑀
𝐴 (7.10)
Em que 𝐴 representa a área do piso em estudo.
Obtiveram-se então os seguintes valores para os raios de giração de cada nível: Tabela 13 - Raio de Giração.
Laje 𝒍𝒔
Cobertura 5,77 Piso 2 8,12 Piso 1 9,34
O raio de torção (𝑟𝑖) foi calculado através da raiz quadrada entre a rigidez de torção (𝐾𝜃) e a rigidez de translacção (𝐾𝑗). Como a rigidez de translação depente da direcção em análise, apresentam-se as duas expressões referentes às duas direcções consideradas:
𝑟𝑥 = √𝐾𝐾𝜃 𝑦 (7.11) 𝑟𝑦= √𝐾𝜃 𝐾𝑥 (7.12) Com: 𝐾𝑥= ∑ 𝐾𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 (7.13) 𝐾𝑦= ∑ 𝐾𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 (7.14) 𝐾𝜃= ∑ 𝐾𝑥𝑖∙ 𝑌𝑖2 𝑛 𝑖=1 + ∑ 𝐾𝑦𝑖∙ 𝑋𝑖2 𝑛 𝑖=1 (7.15)
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Em que:
𝐾𝑥 – Rigidez à translacção segundo 𝑥, ou seja, força que é necessária aplicar na direcção 𝑥 para que ocorra um deslocamento unitário nesta mesma direcção;
𝐾𝑦 – Rigidez à translacção segundo 𝑦, ou seja, força que é necessária aplicar na direcção 𝑦 para que ocorra um deslocamento unitário nesta mesma direcção;
𝐾𝜃 – Rigidez de torção segundo 𝑧, ou seja, momento no plano do piso que é necessário aplicar para que ocorra uma rotação unitária em torno do centro de rigidez;
𝑋𝑖 = 𝑥𝑖− 𝑥𝐶𝑅 – Distância segundo 𝑥 do elemento 𝑖 ao centro de rigidez no plano do piso;
𝑌𝑖 = 𝑦𝑖− 𝑦𝐶𝑅 – Distância segundo 𝑦 do elemento 𝑖 ao centro de rigidez no plano do piso.
Ou seja, é necessário calcular previamente o centro de rigidez do piso em análise. O centro de rigidez define-se como o ponto do piso onde deve actuar a resultante das acções horizontais para que o piso sofra apenas um deslocamento de translacção e a sua posição, segundo os eixos 𝑥 e 𝑦, pode ser obtida pelas seguintes expressões:
𝑥𝐶𝑅 = ∑𝑛 𝐾𝑦𝑖∙ 𝑥𝑖 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1𝐾𝑦𝑖 (7.16) 𝑦𝐶𝑅 =∑ 𝐾𝑥𝑖∙ 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑𝑛𝑖=1𝐾𝑥𝑖 (7.17)
Os cálculos referentes ao centro de rigidez e de massas dos pisos elevados encontram-se no Anexo 2, sendo que os valores obtidos para estes e suas respectivas excentricidades foram os seguintes:
Tabela 14 - Centros de rigidez e de massa e respectivas excentricidades dos pisos elevados. Piso 𝒙𝒄𝒓 [m] 𝒚𝒄𝒓 [m] 𝒙𝒄𝒎 [m] 𝒚𝒄𝒎 [m] 𝒆𝒐𝒙 [m] 𝒆𝒐𝒚 [m] Cobertura 234,66 27,99 234,45 30,74 0,21 2,75
Piso 2 234,91 28,25 236,65 27,95 1,74 0,30 Piso 1 234,17 28,20 235,02 27,90 0,85 0,30
Figura 12 - Centros de massa (Azul) e de Rigidez (Vermelho) da Cobertura (esquerda), do piso 2 (centro) e do piso 1 (direita).
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O centro de rigidez de um piso encontra-se sempre mais próximo da zona de maior rigidez do respectivo piso em análise. Como podemos verificar, nos três pisos elevados, os centros de rigidez encontram-se muito próximos dos núcleos de elevadores, o que seria de esperar pois é a zona onde se encontram os elementos verticais mais rígidos dos pisos elevados.
Com o centro de rigidez de cada piso definido procede-se então ao cálculo dos valores da rigidez de translação e de rotação utilizando a seguinte equação:
𝐹 = 𝐾 × 𝑢 (7.18)
Sendo:
𝐹 – Força de translação ou rotação aplicada;
𝐾 – Rigidez de translação ou torção;
𝑢 – Deslocamento de translação ou rotação.
Através do programa “SAP2000”, para um determinado piso, esta equação permite, através da aplicação de uma força no centro de rigidez do piso em estudo, obter o seu consequente deslocamento. Tendo o deslocamento 𝑢 do piso devido à força 𝐹, obtemos facilmente a rigidez dos elementos primários, que suportam o piso, na direcção de aplicação da força 𝐹. Assim, foram obtidos os seguintes resultados:
Tabela 15 - Deslocamentos e rotações obtidas nos vários pisos quando aplicada uma determinada força. Piso 𝑭𝒙 [kN] 𝑭𝒚 [kN] [kN∙m] 𝑴𝒛 𝒖𝒙 [m] 𝒖𝒚 [m] 𝒖𝒛 [rad] Cobertura 1000,00 1000,00 1000,00 8,10E-03 6,27E-03 2,38E-04 Piso 2 1000,00 1000,00 1000,00 3,48E-03 2,75E-03 6,84E-05 Piso 1 1000,00 1000,00 1000,00 1,22E-03 1,04E03 2,44E-05
Tabela 16 - Valores de rigidez, raio de torção e raio de giração obtidos por piso. Piso 𝑲𝒙 [kN/m] 𝑲𝒚 [kN/m] 𝑲𝜽 [kN∙m/rad] 𝒓𝒙 [m] 𝒓𝒚 [m] 𝒍𝒔 [m] Cobertura 1,23E+05 1,59E+05 4,21E+06 5,14 5,84 5,77
Piso 2 2,87E+05 3,64E+05 1,46E+07 6,34 7,14 8,12 Piso 1 8,20E+05 9,62E+05 4,11E+07 6,54 7,08 9,34 Como podemos verificar, o sistema estrutural adoptado apenas apresenta uma rigidez de torção mínima ao nível da cobertura segundo a direcção 𝑦. Assim, podemos concluir que o sistema estrutural não apresenta a rigidez de torção mínima necessária para cumprir o art.º 4.2.3.2 (6) do EC8.