O estudo de sistemas de equações linea res na 7a série, normalmente, concentra esforços na discussão, compreensão e sistematização dos métodos de resolução (adição e substituição) de sistemas determinados. Ocorre que, em inúme-ras situações de ordem prática, o que precisa-mos resolver são sistemas com mais incógnitas do que equações e, ainda para complicar (ou fa-cilitar), sistemas que requerem apenas soluções inteiras positivas.
Vejamos alguns exemplos adaptados de ar-tigos da Revista do Professor de Matemática 2.
Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas serão formadas de cada tipo?
Exemplo 2 – quantas quadras de vôlei e quantas quadras de basquete são necessá- rias para que 80 alunos joguem simulta-neamente? E se forem 77 alunos? (Dado: uma partida de basquete é disputada por 5 jogadores, e uma de vôlei por 6.)
Exemplo 3 – um laboratório dispõe de duas máquinas para examinar amostras de sangue. uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. quantas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2 000 amostras?
Exemplo 4 – um caixa eletrônico dis po-nibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00,
R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar R$ 250,00, de quantas maneiras diferentes ele poderá receber suas notas?
Exemplo 5 – Deseja-se adquirir um total de 100 peças dos tipos A, B e C, sendo que os preços unitários das peças são R$ 1,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se dispomos de R$ 200,00 para a compra, quantas e quais são as possibilidades de compras que podemos fazer?
Escrevendo cada um desses problemas em linguagem algébrica, encontraremos equações do tipo ax + by = c ou ax + by + cz = d, em que nos interessam apenas as soluções inteiras e positivas do tipo (x,y) ou (x,y,z).
Exemplo 1:
t: número de filas com 3 ônibus. c: número de filas com 5 ônibus. 3t + 5c = 13
Exemplo 2:
v: número de pares de times de vôlei. b: número de pares de times de basquete. 12v + 10b = 80 ou 12v + 10b = 77
2 A Revista do Professor de Matemática é editada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em:
lembrete: usamos 12v, e não 6v, porque para haver uma partida de vôlei precisamos de dois times completos de 6 jogadores; o mes-mo raciocínio se aplica a 10b no lugar de 5b.
Exemplo 3:
x: número de amostras examinadas pela máquina x
y: número de amostras examinadas pela máquina Y 15x + 25y = 2 000 Exemplo 4: x: total de notas de R$ 20,00 y: total de notas de R$ 50,00 z: total de notas de R$ 100,00 20x + 50y + 100z = 250 Exemplo 5:
a: número de peças adquiridas do tipo A b: número de peças adquiridas do tipo B c: número de peças adquiridas do tipo C a + 10b + 20c = 200
Problemas nos quais nos interessam as so-luções inteiras positivas de uma equação com mais de uma incógnita, normalmente, recebem o nome de equações diofantinas, em homenagem ao matemático Diofanto de Alexandria, que vi-veu por volta do ano 250 d.C. e se interessou por problemas dessa natureza (ver nota histórica ao final do texto).
uma equação diofantina, como acabamos de descrever, pode apresentar uma, mais de uma ou nenhuma solução. O estudo aprofun-dado das equações diofantinas permite-nos encaminhar a discussão para:
1. estabelecer um critério de existências de so-lução que envolva diretamente a noção de máximo divisor comum;
2. estabelecer um algoritmo para encontrar as soluções, quando elas existirem.
Nesta Situação de Aprendizagem, inves-tigaremos problemas envolvendo equações diofantinas com o uso de tabelas e, a partir da observação de padrões e regularidades, identificaremos suas soluções. Não investiga-remos o algoritmo de resolução das equações diofantinas, no entanto, ele é uma decorrên-cia quase que imediata da análise que fare-mos para determinar quando uma equação diofantina tem ou não solução. Deve ficar claro, por meio da atividade, que o recurso das tabelas, usado para a busca de soluções, torna-se muito complicado quando estamos diante de um problema em que os coeficien-tes da equação são números muito altos, o que certamente justificará o interesse pela busca de um algoritmo geral. Caso o pro-fessor identifique esse interesse nos alunos, deixaremos duas indicações bibliográficas nas quais o algoritmo e sua demonstração podem ser encontrados.
A forma como pretendemos apresen-tar o estudo de problemas relacionados às
equações diofantinas, apesar de não usual na escola básica, sugere pelo menos três aspec-tos que justificam plenamente sua abordagem: 1) trabalha-se com a identificação de padrões e regularidades; 2) trabalha-se com a ideia de múltiplos, divisores e do máximo divisor co-mum; 3) trabalha-se, indiretamente, com racio-cínio de contagem.
A seguir, apresentaremos a resolução dos exemplos indicados no início desta proposta, contando com sua análise, professor, sobre outros desdobramentos possíveis para ativi-dades com os alunos.
Resolução do exemplo 1
Montaremos uma tabela que nos permita avaliar possibilidades para t e c, de tal forma que se atenda à restrição 3t + 5c = 13:
Inicialmente, fixamos t = 0 e variamos o valor de c, o que permite observar que não há solução para o problema quando t = 0, por-que a soma 3t + 5c sempre será um múltiplo de 5 (lembre-se de que queremos 3t + 5c = 13). Note que não fizemos mais do que 4 linhas na tabela com t = 0 por dois motivos: em pri-meiro lugar, pode-se observar com facilidade que 3t + 5c será sempre múltiplo de 5, o que não fornece solução para o problema e, em segundo lugar, na quarta linha já atingimos soma maior do que os 13 ônibus possíveis do problema.
Da 5a linha até a 9a, fizemos o mesmo tipo de análise, só que agora com c = 0. Também concluímos, nesse caso, que não há solução possível com c = 0.
Com os valores possíveis de 3t e de 5c lista-dos na última coluna da tabela, nos interessa agora procurar somas de dois deles que totali-zem 13. No caso do problema, a única soma que totaliza 13 é 10 + 3. Segue, portanto, que a única solução do problema é 3.1 + 5.2 = 13, ou seja, (t,c) = (1,2).
Deve-se observar, por meio desse exemplo, que o fato de um problema dessa natureza ter uma, mais de uma ou nenhuma solução está diretamente relacionado com os valores atri-buídos aos coeficientes da equação, que no caso do exemplo 1 foram 3, 5 e 13. Outras escolhas poderiam implicar na existência de mais de uma solução (se trocássemos, por exemplo, o 13 por 15) ou de nenhuma solu-ção (se trocássemos, por exemplo, 3 por 2). linha número de filas com
3 ônibus (t) número de filas com 5 ônibus (c) total de ônibus (3t + 5c) 1 0 0 0 2 0 1 5 3 0 2 10 4 0 3 15 5 1 0 3 6 2 0 6 7 3 0 9 8 4 0 12 9 5 0 15 10 1 2 13
Resolução do exemplo 2
Montaremos uma tabela que nos permita avaliar possibilidades para v e b de tal forma que se atenda à restrição 12v + 10b = 80 (na se-quência, analisaremos o caso 12v + 10b = 77).
Com as nove primeiras linhas da tabela, descobrimos uma solução do problema, que é v = 0 e b = 8. Note que o padrão seguido nas nove primeiras linhas não foi continuado, porque na nona linha já se atingiu 80, que é o número de alunos da escola na primeira situação proposta no enunciado do problema. Da 10a à 15a linha, identificamos que não há solução quando b = 0. O padrão com b = 0 não prosseguiu para além da 15a linha, porque na linha seguinte já
linha n o de pares de times de vôlei (v) no de pares de times de basquete (b) total de alunos (12v + 10b) 1 0 0 0 2 0 1 10 3 0 2 20 4 0 3 30 5 0 4 40 6 0 5 50 7 0 6 60 8 0 7 70 9 0 8 80 10 1 0 12 11 2 0 24 12 3 0 36 13 4 0 48 14 5 0 60 15 6 0 72 16 5 2 80
ultrapassaríamos 80 alunos. Por fim, buscando combinações de resultados da última coluna cuja soma seja 80, encontraremos mais uma so-lução para o problema, que é v = 5 e b = 2. Esse problema apresenta, portanto, soluções do tipo (v,b), que são (0,8) e (5,2).
Dando continuidade à análise desse exem-plo, é fácil perceber que não existe solução para a equação 12v + 10b = 77. uma justifica-tiva razoável para isso é a seguinte:
os múltiplos de 10 terminam sempre em 0, f
portanto, 10b tem algarismo das unidades igual a zero;
os múltiplos de 12 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8, f
portanto, 12v termina em algarismo das uni-dades igual a um desses números;
decorre dos itens anteriores que a soma 12v + 10b f
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 e, como 77 tem al-garismos das unidades igual a 7, 12v + 10b nunca será igual a 77.
Pode-se demonstrar que:
uma equação diofantina ax + by = c tem so-lução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum entre a e b for um número que divide c.
O teorema que acabamos de enunciar garante a existência de soluções inteiras (in-clui os negativos). lembramos que nos cinco exemplos que estamos analisando, nos interes-sam as soluções inteiras positivas. Ou seja, sua aplicação em problemas desse tipo exige que se faça uma análise com critério, porque pode ser que a equação tenha uma solução com in-teiros negativos e, nesse caso, essa solução não interessaria para o problema em questão.
Veremos a seguir os passos da demonstra-ção do teorema.
Recordemos as seguintes propriedades de divisibilidade entre inteiros:
1. Se d divide a, então d dividirá a.m, para qualquer m inteiro.
Exemplo: 7 divide 21, então 7 divide 9 . 21 (se 7 divide 21, então 21 é múltiplo de 7 e, portanto, o produto de 21 por qualquer in-teiro será divisível por 7).
2. Se d divide a e divide b, então d dividirá a + b.
Exemplo: 3 divide 6 e 9, então, 3 divide 6 + 9 (como
6 9
3
+
é igual a6
3
9
3
+
, e como 3 divide 6 e 9, então 3 dividirá 6 + 9). 3. Se d é MDC(a,b), então existem inteiros r e stais que a . r + b . s = d.
Exemplo: MDC(6,9) = 3, e 6.(–1) + 9.(1) = 3 (note que –1 e 1 não são os únicos valores r e s tais que a.r + b.s = d; temos também, por exemplo, 2 e –1).
Veja que o algoritmo nos permite escrever 1) 9 = 1 . 6 + 3 e 2) 6 = 2 . 3 + 0. Da primeira igualdade temos 3) 3 = 9 – 1 . 6 e da segunda 4) 2 . 3 = 6 – 0. Substituindo 4 em 3, temos 3 = 9 − 1 . (6 – 0), ou seja, 3 = (1) . 9 + (–1) . 6.
Por meio das duas primeiras propriedades listadas, sabemos que se a equação ax + by = c tiver alguma solução com x’ e y’ inteiros, e se d for um divisor comum de a e b, então d divi-dirá c. Em particular, como o MDC (a,b) é um divisor comum de a e b, a condição necessária para que a equação tenha solução inteira é que MDC (a,b) divida c. Já sabemos que é necessário que MDC (a,b) divida c para que a equação dio-fantina tenha solução inteira. Agora nos resta perguntar se essa condição também é suficiente. A resposta é sim, e decorre da terceira proprie-dade listada. Chamando o MDC (a,b) de d, se d dividir c, então c = d.m e, pela propriedade 3, existem inteiros r e s tais que a.r + b.s = d. Multipli-cando ambos os membros da igualdade por m, te-mos a.(r.m) + b.(s.m) = d.m, ou seja, a.x’ + b.y’ = c.
Resolução do exemplo 3
Com o resultado que acabamos de demons-trar, como o MDC(15,25) = 5 divide 2 000, o problema tem solução inteira. Com o uso de uma tabela, é possível encontrar as 27 soluções do problema, que são os seguintes pares (x,y): (130,2), (125,5), (120,8), (115,11), (110,14), (105,17), (100,20), (95,23), (90,26), (85,29), (80,32), (75,35), (70,38), (65,41), (60,44), (55,47), (50,50), (45,53), (40,56), (35,59), (30,62), (25,65), (20,68), (15,71), (10,74), (5,77), (0,80)
Essa propriedade é uma decorrência quase imediata do algoritmo de Euclides para determinação do MDC entre dois números:
1 2
9 6 3
Resolução do exemplo 4
Como o MDC (20,50,100) = 10 divide 250, o problema tem solução inteira. utilizando uma ta-bela encontramos as seguintes soluções (x,y,z): (0,1,2), (0,3,1), (0,5,0), (5,1,1), (5,3,0), (10,1,0)
Resolução do exemplo 5
uma vez que o MDC (1,10,20) = 1 divide 200, a equação possui solução inteira. utilizando uma tabela encontraremos as 91 soluções (a,b,c):
Observe que a tabela tem uma série de re-gularidades que, uma vez identificadas, facili-tam a generalização das triplas ordenadas. Por exemplo, as primeiras 11 triplas, que começam com a = 0, têm soma b + c iniciando em 10 e aumentando sempre uma unidade. Nas demais sequências de triplas (conforme organizamos anteriormente), a será um múltiplo de 10, b será igual a 19, 18, 17, ... , 10 (reduzindo sempre duas unidades para a tripla seguinte) e c será igual a 0, 1, 2, ... (terminando em 9, 8, 7, 6 ou 5, dependendo da sequência).