Governador José Serra Vice-Governador Alberto Goldman Secretário da Educação Paulo Renato Souza Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região Metropolitana da Grande São Paulo José Benedito de Oliveira Coordenador de Ensino do Interior Rubens Antonio Mandetta Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO Coordenação Geral Maria Inês Fini Concepção
Guiomar Namo de Mello Lino de Macedo Luis Carlos de Menezes Maria Inês Fini Ruy Berger GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini Presidente do Conselho Curador: Antonio Rafael Namur Muscat Presidente da Diretoria Executiva: Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos: Beatriz Scavazza e Angela Sprenger COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 7ª- série, volume 3 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-365-3
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.3:51
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegi-dos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos
profis-sionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem
caracte-rizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
S
umáRio
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5
Ficha do Caderno 7
orientação geral sobre os Cadernos 8
Situações de Aprendizagem 11
Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações 11
Situação de Aprendizagem 2 – Coordenadas cartesianas e transformações no plano 25
Situação de Aprendizagem 3 – Sistemas de equações lineares 38
Situação de Aprendizagem 4 – Equações com soluções inteiras e suas aplicações 50
Orientações para Recuperação 58
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 60
Considerações finais 61
S
ão PAulo FAz ESColA – umA PRoPoStA
CuRRiCulAR PARA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famí-lias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organi-zados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu,
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jo-vens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
F
iChA do CAdERno
Expandindo o mundo das equações
nome da disciplina: Matemática
área: Matemática
Etapa da educação básica: Ensino Fundamental
Série: 7a
Volume: 3
temas e conteúdos: Equações
Representações no plano através de coordenadas
Sistema de equações
o
RiEntAção gERAl SobRE oS CAdERnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se às suas formas de abordagem sugeridas ao longo do Caderno de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteú-dos, as competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades com extensões aproximadamente iguais, que podem corres-ponder a oito semanas de trabalho letivo. De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto com mais ou menos aprofundamento. A crité-rio do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contem-plar as oito unidades, uma vez que, juntas, elas compõem um panorama do conteúdo do bimestre, e, muitas vezes, uma das unida-des contribui para a compreensão das outras.
Insistimos, no entanto, no fato de que somente o professor, em sua circunstância particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode deter-minar adequadamente quanto tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas, além de uma visão panorâmica do conteúdo do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abor-dagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em sala de aula. As Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser ex-ploradas com mais ou menos intensidade, segun-do seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão das limitações no espaço dos Cadernos, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a expectativa é de que a forma de abordagem dos temas seja ex-plicitada nas atividades oferecidas.
São apresentados também em cada Cader-no, sempre que possível, materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em sintonia com a forma de abordagem pro-posta, que podem ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.
Conteúdos básicos do bimestre
O planejamento do 3o bimestre da 7a série
tem três objetivos centrais: contemplar o estu-do mais aprofundaestu-do das equações de 1o grau,
apresentar o plano cartesiano como recurso para organizar e representar informação e também apresentar a ideia de equação com mais de uma incógnita em dois contextos: o dos sistemas de equações e o das equações res-tritas às soluções inteiras.
Na Situação de Aprendizagem 1 – Expandindo a linguagem das equações, partimos de uma discus-são sobre a importância do trabalho com a leitu-ra, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem algébrica, discutin-do algumas estratégias para o desenvolvimento da competência leitora do aluno. Na sequência, sugerimos a continuidade do trabalho iniciado na série anterior com equações de 1o grau por
meio de estratégias para a resolução de pro- blemas. Na situação proposta, partimos de problemas que envolvem equacionamentos mais complexos do que os trabalhados na 6a série, e sugerimos estratégias de organização
de dados em tabelas, usando variações na posi-ção da incógnita como recurso para discussão de equações mais complexas. A situação é finalizada com a apresentação de uma proposta de trabalho com equações usualmente não trabalhadas na 7a série, em um contexto de desenvolvimento dos
raciocínios lógico e criativo.
Na Situação de Aprendizagem 2 – Coor-denadas cartesianas e transformações no pla-no, iniciamos a apresentação do recurso da
representação de figuras por meio de coorde-nadas. A ideia de representação da informação em um plano com eixos orientados não é nova, ela já apareceu nas séries anteriores quando foram trabalhados alguns temas relacionados aos gráficos no contexto do tratamento da in-formação; porém, agora, ela se desenvolverá na 7a série com novas explorações, tais como
a ideia de representação através de coorde-nadas, usada em mapas e guias de ruas, e as transformações no plano (translação, refle-xão, ampliação e redução). O trabalho com as transformações do plano também representa uma oportunidade de retomada das ideias de simetria axial e rotacional trabalhadas nas sé-ries anteriores.
Com a Situação de Aprendizagem 3 – Sis-temas de equações lineares, iniciamos a dis-cussão sobre o significado de equações com mais de uma incógnita, e sobre as estratégias para a resolução de sistemas de equações. O uso de mais de uma incógnita para orga-nizar as informações de um problema mais complexo é um recurso que deve ser compreen- dido, bem como devem ser compreendidas as estratégias de resolução de sistemas de equações lineares em uma 7a série. Além da
discussão dos métodos da adição e da subs-tituição, que será proposta por meio de uma retomada da ideia de balança desenvolvida na 6a série, dois outros importantes aspectos serão
unidade 1 – Equações de 1o grau (problemas).
unidade 2 – Equações e inequações de 1o grau (problemas).
unidade 3 – Sistema de coordenadas car-tesianas.
unidade 4 – Transformações geométricas no plano.
unidade 5 – Sistemas de equações lineares (método da adição).
unidade 6 – Sistemas de equações lineares (método da substituição).
unidade 7 – Sistemas de equações lineares (interpretação gráfica).
unidade 8 – Equações com soluções inteiras. Certamente a estratégia proposta não tem a
intenção de explorar a discussão de sistemas lineares com a profundidade que será feita mais adiante no Ensino Médio, mas tem o caráter de desenvolver no aluno a compreen-são do uso das linguagens algébrica e gráfica como aliadas na análise e interpretação de um problema com equações lineares.
Na Situação de Aprendizagem 4 – Equa-ções com soluEqua-ções inteiras e suas aplicaEqua-ções, apresentamos uma série de problemas que, uma vez equacionados, conduzem a uma única equação com mais de uma incógnita. Equações como essas, que em domínio real seriam classificadas como indeterminadas, podem ter um número finito de soluções in-teiras e positivas. Problemas dessa natureza, ou seja, problemas em que estamos interes-sados nas soluções inteiras positivas de uma equação com mais de uma incógnita, são muito frequentes em situações do nosso dia a dia, e sua discussão, por meio da organiza-ção e análise dos dados em tabelas, trabalha com o desenvolvimento de várias habilidades matemáticas, como será descrito nesta Situa-ção de Aprendizagem.
Como se pode perceber, este Caderno apresenta inúmeras possibilidades de abor-dagem sobre os três objetivos centrais do 3o bimestre citados no primeiro parágrafo,
porém, deve ficar a critério do professor a es-colha daquelas que são mais adequadas ao
seu programa e das maneiras para explorá-las. Sabemos, evidentemente, que o bimestre apresenta uma quantidade grande de novas informações para o aluno, o que demanda um tempo maior reservado para a reflexão e a sistematização. Contamos com a leitura cuidadosa das propostas aqui apresentadas, mas entendemos como legítimo que o profes-sor faça seus cortes e recortes de maneira a adequá-las às suas necessidades.
Quadro geral de conteúdos do
3
obimestre da 7
asérie do Ensino
SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 1
ExPANDINDO A lINguAgEM DAS EquAçõES
Nesta Situação de Aprendizagemdiscu-tiremos aspectos relacionados com a leitura, interpretação de enunciados e transcrição das informações para a linguagem algébrica.
O trabalho prossegue com resolução de proble-mas envolvendo equações de 1o grau,
utilizan-do o recurso de organização das informações em tabelas.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: equações de 1o grau; equações variadas (resolução por métodos não algorítmicos); inequações.
Competências e habilidades: leitura e interpretação de enunciados; transposição entre as
lin-guagens escrita e algébrica; raciocínio lógico dedutivo.
Estratégias: equacionar e resolver problemas de maneiras diferentes confrontando resultados
e identificando equivalências; utilizar a heurística como método de investigação da solução de equações; estudar desigualdades por meio da resolução de problemas contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
O estudo da Álgebra no Ensino Fundamen-tal inicia-se de forma organizada e intencional na 6a série, com o uso de letras na
representa-ção de problemas que envolvem regularidades, padrões e relação entre grandezas. Ainda na 6a série, o aluno deve tomar contato e reconhecer
as equações simples como um importante re-curso para organizar e representar informações. Assim, parte significativa do empenho do professor como o parceiro mais experiente do aluno deve ser o de selecionar adequadamen-te problemas que permitam a maior abrangência de situações passíveis de transposição da lin-guagem materna para a linlin-guagem da álgebra. Outro objetivo que também deve ser atingido
na 6a série é o da sistematização de métodos de
resolução de equações simples de 1o grau.
De acordo com esta proposta de planeja-mento, o 3o bimestre da 7a série será dedicado à
sequência do estudo da Álgebra, sendo, portan-to, indispensável que o professor avalie, no início do curso, em que estágio encontra-se o conheci-mento dos alunos no que diz respeito à transposi-ção de problemas da língua escrita para a álgebra (e vice-versa) e ao tipo de equação que o aluno consegue resolver por um método que não seja apenas o de tentativa e erro. Feita essa avaliação, a sequência de trabalho do bimestre poderá ser planejada, tendo como objetivo a ampliação do repertório de situações de transposição en-tre linguagens e a ampliação de estratégias de
resolução de equações mais complexas (ainda com o foco voltado às equações de 1o grau). Na
Situação de Aprendizagem 1, apresentaremos al-gumas possibilidades de trabalho nessa direção.
A leitura atenta de um problema é o primei-ro passo no caminho da transposição para a linguagem algébrica, mas estudos indicam que apenas a boa leitura não é garantia para a trans-posição correta. Veja, por exemplo, a seguinte situação-pro blema apresentada para estudantes universitários e os seus resultados: usando as va-riáveis A para número de alunos e P para o de professores, escreva uma equação para represen-tar a afirmação “há seis vezes mais alunos do que professores nesta universidade”. A resposta correta não é 6A = P, apesar de boa parte dos estudantes ter assinalado essa alternativa. Se essa fosse a resposta, para um total de 10 alunos tería-mos 60 professores, exatamente o contrário do que afirma o enunciado. O correto seria A = 6P.
Aproveitando esse exemplo, uma estratégia importante que merece ser discutida pelo pro-fessor com seus alunos é a da verificação. Note que, após a transposição entre as linguagens, que conduziu equivocadamente à expressão 6A = P, caso o aluno confrontasse seu resulta-do com um exemplo numérico, é possível que tivesse identificado seu erro. Bastaria, nesse caso, atribuir um valor qualquer para A, como 10, obtendo em seguida 60, o que indicaria que para cada 1 aluno teríamos 6 professores. Confrontando esse resultado com as informa-ções do texto, fica evidente que a correção a ser feita é a da troca entre A e P na expressão errada, resul tando corretamente na expressão
A = 6P (nesse caso, para 1 professor temos 6 alunos, para 2 professores temos 12 alunos, para 3 professores temos 18 alunos, e assim sucessivamente).
Veremos a seguir alguns exemplos que podem ser utilizados para o mesmo tipo de trabalho.
Atividade 1
Escreva uma sentença matemática que re-presente a seguinte frase:
“X reais a menos que Y reais é igual a 40 reais”. É possível que boa parte dos estudantes responda X – Y = 40, quando o correto seria Y – X = 40. Um exemplo numérico pode ajudá-los a esclarecer a questão: “Dez reais a menos que 50 reais é igual a 40 reais” (50 – 10 = 40).
Atividade 2
Se X operários constroem um muro em Y horas, quantas horas serão necessárias para que o triplo do número de operários construa o mesmo muro? (Naturalmente, estamos su-pondo que todos os operários têm rendimento igual no desempenho da tarefa de construção.)
correta é Y
3. Veja como um exemplo
numérico seria útil na identificação do erro da expressão 3Y:
Se X = 1 operário e Y = 6 horas, X = 3 operários construiriam o muro mais rapidamente, construiriam na terça parte do tempo, ou seja, em 2 horas. Nesse caso, evidencia-se que a resposta 3Y, que resultaria em 3 . 6 = 18 horas, está errada.
Outro aspecto que pode ser trabalhado na verificação das estratégias de transposição de problemas para a linguagem algébrica é o uso adequado da notação, como veremos na ativi-dade a seguir.
Atividade 3
Escreva uma expressão, com as letras indica-das na figura, para a área do retângulo.
a
b c
Alguns alunos devem escrever que a área é igual a “a . b + c”, quando o correto seria “a . (b + c)”. Nesse caso específico, a verificação com números pode conduzir a dois tipos de situação, como veremos usando os valores numéricos a = 3, b = 4 e c = 2: Situação 1: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2 e conclui que o resultado é 18. Nesse caso, ele obteve o resultado esperado para o problema, mas a partir de uma expressão escrita de forma errada para sua resolução (pela expressão formulada o resultado seria 14). Duas hipóteses
podem ser levantadas nessa situação: ele armou a expressão com letras, mas não a utilizou quando foi fazer a verificação com números (fez a verificação apenas interpretando a figura), ou ele armou a expressão e, ao substituir os números, não associou a ideia de que em uma expressão com multiplicações e somas fazemos primeiro as multiplicações.
Situação 2: O aluno arma a conta 3 . 4 + 2, lembra-se da ordem das operações (primeiro a multiplicação e depois a adição) e conclui que o resultado é 14. Nesse caso, seu cálculo está correto para a expressão, mas não é a solução do problema, porque partiu de uma expressão errada.
A primeira situação evidencia a necessidade de que o professor retome com os alunos a ordem das operações, e a segunda sugere que o professor explore mais a ideia de verificação que, no caso desse problema, implicaria confrontar o resultado 14 com o cálculo por substituição direta de valores na figura, como se vê a seguir:
3
4 6
Área = 3 . 6 = 18 ≠ 14
2
Atividade 4
Escreva por extenso uma sentença que for-neça a mesma informação que a expressão x = 5Y fornece.
Uma resposta tipicamente errada seria: “X = número de figurinhas de João e Y = número de figurinhas de Paulo. Logo, Paulo tem o quíntuplo do número de figuri-nhas de João.”
Nesse caso, partindo do enunciado criado pelo aluno, se João tem 3 figurinhas, Paulo terá 15, que é o quíntuplo de 3, ou seja, se X = 3, Y tem que ser igual a 15, o que se verifica pela expressão X = 5Y indicada no enunciado do problema. Para corrigir a resposta do aluno, bastaria trocar Paulo e João na frase que relaciona seus números de figurinhas.
Com relação aos procedimentos de resolução de equações, esta proposta de planejamento su-gere que na 6a série o aluno tome contato com
os métodos de resolução por operação inversa (“desfazer operações”) e por equações equiva-lentes (método da “balança”), e que na 7a série
resolva equações mais complexas usando quais-quer desses métodos. É claro que, com orientação do professor, a prática dos alunos na resolução de equações será encaminhada para um procedi-mento que incorpore ideias de ambos os métodos, porém é importante que o professor compreenda que frases como “muda de lado e troca o sinal” devem ser evitadas, porque, além de sugerirem uma ideia errada, induzem a uma série de equí-vocos, como o de resolver a equação 2 x = 5 como x = 5 − 2 → x = 3, ou a equação x +
×+ =
x
2
3
como x + x = 6
→
x = 3. Nos dois casos, a melhor conduta do professor seria explicitar a opera-ção que está sendo feita:2x = 5 → dividindo ambos os membros por 2,
teremos x =5
2.
x + x+ x= →
2 = 3 3 → multiplicando ambos os
mem-bros por 2, teremos 2x + x = 6, ou seja, 3x = 6. Por fim, dividindo ambos os mem-bros por 3, teremos x = 2.
Na 6a série, a expectativa é de que o aluno
consiga resolver problemas que possam ser traduzidos por equações simples de 1o grau,
por exemplo: = = – , 2 – – 3 1 4 2 x x+3 2 3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x– = x+ , x+ x= –x ,
(
x−)
= = – , 2 – – 3 1 4 2 x x+ 3 2 3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x– = x+ , x+ x= –x ,(
x−)
= = – , 2 – – 3 1 4 2 x x+3 2 3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x– = x+ , x+ x= –x ,(
x−)
= = – , 2 – – 3 1 4 2 x x+3 2 3 4 2 6 2 3 5 3 2 1 1 2 x– = x+ , x+ x= –x ,(
x−)
Na 7a série, a expectativa é de que o aluno
consiga resolver problemas que possam ser traduzidos por qualquer tipo de equação de 1o grau. Citamos, a seguir, alguns exemplos
de equações de 1o grau mais complexas, que
nos parecem mais apropriadas de ser traba-lhadas em uma 7a série:
O estudo de equações de 1o grau constitui em
um tema muito rico para o trabalho com reso-lução de problemas. O aluno deve reconhecer nesse estudo que as equações constituem uma ferramenta importante para a representação e resolução de problemas cujo encaminhamento por meio de recursos aritméticos seria mui-to complicado. Nesse sentido, o professor deve incentivar que os alunos busquem inicialmente solucionar os problemas por meio da Aritmética e que, constatada a difi culdade, saibam utilizar de maneira apropriada o recurso algébrico das equações para encontrar a resposta procurada. A seguir, veremos alguns exemplos de proble-mas que cumprem essa função. Inúmeros outros exemplos podem ser criados ou encontrados nos livros didáticos.
Atividade 5
Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no res-taurante AL GEBRÁ, três amigos estabelece-ram que:
Rui pagaria
f
3
4
do que gustavo pagou; Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a f
terça parte do que gustavo pagou.
que valor da conta coube a cada um dos três amigos?
Em primeiro lugar, é importante que o professor oriente uma estratégia de organização das informações, que pode ser feita por meio de uma tabela. Na montagem dessa tabela,
chamaremos de x a quantia paga por um
dos três amigos e, sempre que possível, o professor deve pedir que os alunos montem
outras tabelas chamando de x a quantia paga por outra pessoa. Essa atividade de mudar o signifi cado da incógnita é útil para o trabalho com a ideia de operação inversa e para a discussão de que, apesar de encontrarmos
valores diferentes para x dependendo de
onde ele esteja na tabela, a resposta fi nal do problema sempre será a mesma, seja qual for a escolha de posição para x.
O equacionamento mais natural é o da Tabela 1 que, por sua vez, recai em uma equação de resolução supostamente já
co-nhecida de um aluno de 7a série. Partindo
da Tabela 1 e do equacionamento obtido, o aluno terá encontrado como resultado para Rui, Gustavo e Cláudia, respectiva-mente, os valores de R$ 31,68, R$ 42,24 e R$ 4,08. Espera-se, portanto, que
equa-cionamentos com a colocação de x como
o valor da conta a ser paga por outra pes-soa que não Gustavo produzam os mesmos resultados finais para cada uma das três pessoas. De posse dessa conclusão, e tendo montado as Tabelas 2 e 3, o aluno pode-rá investigar estratégias de resolução das equações decorrentes dessas duas tabelas, em particular nos interessando as estraté-gias de resolução da equação decorrentes da Tabela 2, que é mais difícil do que as outras. No caso da equação da Tabela 2, o aluno sabe que seu resultado final tem que ser x = 4,08 e, a partir dessa infor-mação, deverá descobrir eventuais erros no seu processo de resolução da equação, se ele não tiver conduzido a esse valor. O erro mais frequente, e que merece um comentá-rio do professor, é:
Ao multiplicar por 4 os dois membros, o aluno escreve a equação:
9(x+10)+12(4x+40)+4x = 312, quando o correto seria 9(x+10)+12(x+10)+4x = 312 ou 9(x+10)+3(4x+40)+4x = 312.
Uma boa estratégia que pode ser siste-matizada ao final dessa discussão para evitar erros como o mencionado é:
1. Aplicamos a propriedade distributiva eliminando parênteses.
2. Frações com o numerador escrito como soma ou subtração devem ser transformadas em frações com numerador simples (apenas um número ou uma letra, ou um número multiplicando uma letra).
3. Multiplicamos os dois membros (termo a termo) pelos denominadores das frações ou, de forma mais direta, pelo MDC dos denominadores.
Nesse caso, a resolução corresponderia às seguintes etapas: 1) 9(x + 10) 4 + 3(x + 10)+ x = 78 2) 9x + 90 4 + 3x + 30 + x = 78 3)) 9x 4 + 90 4 + 3x + 30 + x = 78 4) 9x + 90 + 12x + 120 + 4x = 312 255x = 102→ x = 4,08
Atividade 6
Se de 220 subtrairmos a idade de uma pes-soa , obtemos uma aproximação da frequência cardíaca máxima por minuto que essa pessoa tolera em atividade física intensa. Sabe-se que a frequência cardíaca máxima de Renê é 24
23 da de Bernardo. Se a frequência cardíaca máxi- ma de Renê é igual a 16
3 da idade de Bernardo, determine a idade e a frequên cia cardíaca má-xima dos dois amigos.
Tabela 1 Idade Frequência cardíaca máxima 24(220 x) 23 = 16x 3 − x = 36 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê 220 24(220 x) 23 − − 220 24(220 x) 23 − − Bernardo x 220 − x Tabela 2 Idade Frequência cardíaca máxima 220 – x =16 3 220 – 23(220 – x) 24 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ x = 28 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê x 220 − x Bernardo 220 – x =16 3 220 – 23(220 – x) 24 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 220 – x =16 3 220 – 23(220 – x) 24 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ Tabela 3 Idade Frequência cardíaca máxima x = 184 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê
220
24x
23
−
24x23 Bernardo 220 − x x Tabela 4 Idade Frequência cardíaca máxima x =16 3 220 23x 24 − x = 192 Renê: 28 anos e FCmáx = 192 Bernardo: 36 anos e FCmáx = 184 Renê 220 − x x Bernardo 220 23x 24 − 220 23x 24 −Para a montagem das tabelas, é importante que o aluno compreenda inicialmente
a seguinte informação do enunciado: FCmáx = 220 – I, onde FCmáx é a frequência
24x
23 =
16
cardíaca máxima do indivíduo de idade I. Para compreender essa relação, alguns exemplos podem ser úteis.
Um indivíduo de 20 anos tem frequência
cardíaca máxima 200 porque 220 – 20 = 200.
Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 200 tem 20 anos de idade, porque 220 – 200 = 20. Um indivíduo de 30 anos tem frequência cardíaca máxima 190, porque 220 – 190 = 30. Reciprocamente, um indivíduo com frequência cardíaca máxima igual a 190 tem 30 anos de idade, porque
220 – 190 = 30. Segue que um indivíduo de
idade I tem FC máxima igual a 220 – I, e um indivíduo de frequência cardíaca máxima FCmáx tem idade I igual a 220 – FCmáx.
Na Tabela 3, colocamos x na frequência
cardíaca máxima de Bernardo, o que implica
dizer que sua idade será 220 − x. Como a
frequência cardíaca máxima de Renê é 24 23 da de Bernardo, então a FCmáx de Renê será
24x
23 . A partir da FCmáx de Renê concluímos
que sua idade tem que ser 220 – 24x 23 . Note que o caminho feito para a organização dos dados na Tabela 3 foi:
Tendo em vista a resolução das equações decorrentes de cada uma das tabelas, é importante, mais uma vez, destacar que o
aluno deverá compreender que o valor de x
obtido em cada uma delas é diferente porque diz respeito a uma informação diferente da tabela, porém, as respostas finais sobre as idades e frequências cardíacas máximas de Renê e Bernardo devem ser iguais nas quatro tabelas, o que pode ser utilizado como recurso para corrigir eventuais erros no procedimento de resolução das equações.
um curso de equações necessariamente tem que dar atenção à técnica de resolução, mas não deve dar ênfase maior a ela do que ao uso do raciocínio lógico. Não é razoável que se faça uso de técnicas em problemas de equações nos quais a solução pode ser obtida diretamente pelo uso da heurística1, como
co-mentaremos a seguir.
O ambiente de estudo das equações é extremamente adequado ao exercício da heurística, já que muitas vezes uma equa-ção pode ser resolvida por estratégias dife-rentes das que normalmente faríamos com o uso das técnicas. O exercício de resolver equações por caminhos mais inventivos do que o da técnica é fundamental para o de-senvolvimento do pensamento matemático e, portanto, deve sempre ser incentivado. A seguir, apresentamos uma atividade em que o aluno tem que resolver uma série de equa-ções, mas, na maioria dos casos, as técnicas Para as Tabelas 1, 2 e 4 os caminhos foram:
x
x
Tabela 4x
Tabela 1x
Tabela 21 Segundo o Dicionário Houaiss, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objeto
a descoberta de fatos. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa (edição eletrônica). Rio de Janeiro: Editora
conhecidas por ele não são suficientes para resolver os problemas, o que deve motivar a busca de soluções inventivas. O professor deve observar que na lista incluímos equações de 2o grau, de 3o grau, com frações algébricas,
exponenciais, equações com radicais, equa-ções com mais de uma solução, equaequa-ções sem solução e até equações com infinitas soluções, sendo que todas podem ser resolvidas por um aluno de 7a série sem o uso da técnica.
Atividade 7
a) Basta investigar as potências de 3 até encontrar alguma cuja soma com 1 resulte 82. A resposta é x = 4, porque 34 = 81.
b) O denominador da fração do primeiro membro tem que ser igual a – 5 para que a igualdade seja verdadeira com o segundo membro. Para que x + 1 seja igual a – 5, x tem que ser igual a – 6 .
c) Os números que elevados ao quadrado re-sultam 25 são 5 e –5. É provável que os alu-nos encontrem apenas a resposta positiva, e que se surpreendam com o fato de encon-trarmos duas soluções para uma equação. d) Tirando 2 de 51 resulta 49, o que implica dizer que procuramos um número cujo quadrado seja 49. Resposta: 7 e –7.
e) –3 e 3 são os números cujo quadrado é 9, mas como estamos elevando x + 1 ao quadrado, procuramos x + 1 = –3 e x + 1 = 3, ou seja, x = – 4 ou x = 2.
f) Não existe número real cujo quadrado seja negativo, portanto, a equação não possui solução (em IR).
g) A metade de 9 8 é
9
16. Então, procuramos
um número que elevado ao quadrado resulte 9 16. Resposta: 3 4 e − 3 4 .
h) Como 24 = 16, procuramos um número
que somado a 1 dê 4, que é o número 3. i) Análogo ao anterior, o x procurado é 0. j) Se o produto de dois números é zero, neces sa-ria mente um deles é zero (ou ambos são 0). Segue, portanto, que x é igual a –5 ou 3.
k) Análogo ao anterior, x pode ser 0, –1, –2 ou –3.
l) Não há valor de x que torne a igualdade ver-dadeira, portanto, essa é uma equação “sem solução” (a solução é um conjunto vazio). m) Como fração indica uma divisão, jamais poderemos ter uma fração de numerador diferente de zero que seja igual a zero. Por-tanto, essa é outra equação de solução vazia. n) Se uma fração é igual a 1, necessariamente seu numerador é igual ao seu denominador, o que implica dizer que estamos procurando
o x que resolva a equação x + 2 = 3x.
Resposta: x = 1.
o) Análogo ao anterior. Resposta: x = 5. p) Inicialmente, procuramos um número que elevado ao cubo resulte 64, que é o número 4. Em seguida, a pergunta passa a ser: qual é o expoente de uma potência de 2 para que o resultado seja 4? Resposta: 2. Esse exercício pode ser usado para discutir ou recordar a propriedade (am)n = a m . n.
q) Análogo ao raciocínio dos exercícios j e k. Resposta: −1
2 ou –1.
r) O quadrado de 25 é 625. Então, procu-ramos um número que somado a 3 resulte 625. Esse número é 622.
s) 3x tem que ser igual a 81 para que a
fração do lado esquerdo seja equivalente a 1.
O expoente que faz 3x ser igual a 81 é 4,
que é a resposta da equação.
u) Seja qual for o valor de x, sabemos que x2 e x6 serão números não negativos,
portanto, a equação não possui solução (em IR).
v) Uma vez que os dois membros representam equações de denominador 41, temos que ter 2x – 1 = –13, ou seja, x = – 6.
w) –2 é um número que elevado ao cubo resulta – 8 (nesse exercício o professor pode comentar com os alunos que em um conjunto numérico, que será estudado no futuro, a equação do problema terá outras duas soluções além do –2).
x) De modo análogo ao exercício m e
ao o, o problema não tem solução (o
professor deve aproveitar esse exercício para discutir que x = 0 não é uma solução do problema).
y) Qualquer valor de x resolve a equação,
portanto, é uma equação com infinitas soluções.
Dependendo do interesse da turma, os se-guintes comentários podem ser feitos ao longo da correção dessa atividade:
As equações
f a, h, i, p, s, t e x recebem o
nome de equações exponenciais. Você con-segue imaginar o porquê desse nome? Porque a incógnita se encontra em um expoente.
Na 1
f a série do Ensino Médio, você vai
aprender técnicas para resolver equações exponenciais.
As equações
f b, m, n e o recebem o nome
de equações com frações algébricas. Você consegue imaginar o porquê desse nome? Porque são equações envolvendo frações escritas com incógnitas no denominador. Na 7
f a e na 8a séries, você vai aprender
téc-nicas para resolver equações com frações algébricas.
As equações
f c, d, e, f, g, j, k, l, q, u, v, w e y
recebem o nome de equações algébricas (ou equações polinomiais). O grau de uma equa-ção algébrica varia de acordo com o maior expoente que a incógnita assume quando a equação está escrita na forma mais simples possível. As estratégias de resolução das equações algébricas de 1o grau você
come-çou a aprender na 6a série, e continua
apren-dendo na 7a série. Na 8a série, você aprenderá
técnicas para resolução de equações algébri-cas de 2o grau. Na 3a série do Ensino
Mé-dio, você vai aprender técnicas para resolver algumas equações algébricas de grau maior ou igual a 3.
A equação
f r chama-se equação irracional
(equa-ção que possui a incógnita no radicando). Para sua surpresa, algumas equações para as f
A equação w, para a qual você só encontrou uma solução, possui mais duas soluções no conjunto dos números complexos. Mas fique atento, existem equações que não possuem solução, seja qual for o conjunto numérico assumido, ou seja, sua solução sempre será o conjunto vazio. São exemplos de equações com solução conjunto vazio: l, m e x. Existem muitos outros tipos de equação que f
exploram contextos matemáticos que você ainda não conhece, então, seja bem-vindo ao maravilhoso mundo das equações que você só está começando a aprender (refe-rimo-nos, nesse caso, às equações trigono-métricas, matriciais e logarítmicas). A investigação das equações, que são sen-tenças matemáticas em que aparece o sinal de igualdade (=) e uma ou mais incógnitas, esta-belece quase de forma natural uma porta de en-trada para o estudo das sentenças matemáticas com uma ou mais incógnitas nas quais aparece um sinal de desigualdade (>, <, ou ).
Dois aspectos devem ser destacados na in-trodução ao estudo das inequações. Em pri-meiro lugar, é importante que o professor evite a formulação de regras como “multiplica por negativo e troca o sinal da desigualdade” sem que antes tenha sido trabalhado com seguran-ça uma compreensão significativa de tal “regra prática”. Em segundo lugar, deve-se procurar, na medida do possível, problematizar o uso das inequações em situações concretas de resolução de problemas. A seguir, apresentamos alguns problemas que contemplam esse objetivo.
Atividade 8
A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metros).
a) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que o perímetro da folha seja maior ou igual a 64 m.
2(2x + 4 + x) + 2(x + x + 10 + x) ≥ 64 x ≥ 3 metros.
b) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que a soma dos compri-mentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimen-tos que completam o perímetro da folha. 2(2x + 4 + x + x) < 2(x + 10) + x + x → → x < 3. Nesse caso, é importante que se
observe a figura para identificar a condição de existência de x (para que a figura exista, temos que ter x > 0). Portanto, a resposta do problema deve atender simultaneamente às condições x < 3 e x > 0, o que pode ser escrito, resumidamente, como 0 < x < 3, com x dado em metros.
Atividade 9
Para produzir x litros de uma substância, o custo por litro depende da quantidade produ-zida, ou seja, depende do valor de x. Em dada situação, o custo por litro é expresso pela relação
C = 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa substância desenvolveu um novo processo de produção que pode ser feito ao custo (por litro) dado pela fórmula C = 940 – 1,4x. Pergunta-se:
a) Deseja-se produzir 450 litros da subs-tância. Em qual dos dois processos o custo por litro será menor? E se a quan-tidade a ser produzida for 620 litros? Para x = 450, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 450) = R$ 325,00 por litro, e o novo, um custo de (940 – 1,4 . 450)= = R$ 310,00 por litro. Para x = 620, o processo antigo implica um custo de (1 000 – 1,5 . 620) = = R$ 70,00 por litro, e o novo, um custo de (940 − 1,4 . 620)= R$ 72,00 por litro.
Portan-to, para 450 litros, o custo por litro dado pela fórmula antiga é maior que o dado pela fórmula nova, e para 620 litros a situação se inverte. b) Determine todos os valores de x para os
quais o custo por litro no novo processo de produção é menor do que o custo por litro no processo antigo.
Procura-se a solução da inequação
940 − 1,4x < 1 000 − 1,5x, que é x < 600.
Devemos ainda observar que como x > 0, portanto 0 < x < 600, com x dado em litros.
Atividade 10
Para enviar uma mensagem do Brasil para os Estados unidos via fax, uma empresa co-bra R$ 3,40 pela primeira página e R$ 2,60 por página adicional, completa ou não. Calcule o maior número de páginas possível de uma des-sas mensagens para que seu preço não ultra-passe o valor de R$ 136,00.
Chamando de P o preço em R$ para enviar x
páginas, temos: P = 3,4 + 2,6.(x – 1)
Calcular o maior número de páginas possível para que o preço não ultrapasse R$ 136,00, resume-se a resolver e interpretar a inequação 3,4 + 2,6.(x – 1) ≤ 136, com x inteiro.
Resolvendo a inequação:
3,4 + 2,6x − 2,6 ≤ 136 → x ≤ 52.
O maior número inteiro que é menor ou igual a 52 é o próprio 52, que é a resposta do problema.
Atividade 11
Em um concurso com 20 questões, para cada questão respondida corretamente, o can-didato ganha 3 pontos e, para cada questão res-pondida de forma errada (ou não resres-pondida), perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado o candidato deve totalizar na prova um míni-mo de 28 pontos, calcule o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato seja aprovado no concurso.
Chamaremos de x o número de questões
respondidas corretamente pelo candidato e de 20 – x o número de questões respondidas erradamente ou não respondidas por ele. Se P é o total de pontos obtidos pelo candidato
ao responder corretamente x questões,
então a função que modela o problema é
P = 3x – (20 – x), com x sendo um número
inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 20.
3x – (20 – x) ≥ 28
3x – 20 + x ≥ 28
4x ≥ 48
x ≥ 12. Portanto, no mínimo ele deve acertar 12 questões, totalizando, nesse caso, exatamente 28 pontos.
Atividade 12
Três planos de telefonia celular são apre-sentados na tabela a seguir:
Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minuto
A R$ 35,00 R$ 0,50
B R$ 20,00 R$ 0,80
C R$ 0,00 R$ 1,20
a) qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por mês? Chamando-se de CA , CB e CC o custo total
dos planos A, B e C para x minutos de uso,
teremos:
Para qualquer valor de x maior do que
50 minutos, o plano A será mais barato que os planos B e C.
Considerações sobre a avaliação
Na Situação de Aprendizagem 1, discu-timos a resolução de equações e inequações. No tema equações, demos continuidade à introdução feita na 6a série sobre oassun-to, apresentando situações mais complexas passíveis de equacionamento, bem como equações de 1o grau de complexidade maior
que as apresentadas na série anterior. No que diz respeito às desigualdades, na Proposta Curricular que está sendo apresenta-da, o estudo das inequações tem início na 7a série e prossegue nas séries seguintes.
Na 7a série, entendemos que o assunto deve
ser tratado, sempre que possível, com maior ênfase dada à resolução de problemas e não à tecnicidade, o que não quer dizer que o profes-sor deva abandonar por completo a sistemati-zação de alguns procedimentos de resolução de inequações. lembramos que o estudo das inequações está apenas começando na 7a série
e, certamente, será retomado com aprofunda-mento e outros matizes nas séries seguintes.
uma vez que o aluno estará aprofundando seus conhecimentos sobre equações nesse bi-mestre, é tarefa importante do professor pre-pará-los para uma boa leitura de enunciados b) A partir de quantos minutos, de uso
mensal, o plano A se torna mais vantajoso que os outros dois?
Queremos encontrar o menor valor de x para que CA < CB e CA < CC . C = 35 + 0,5 .x C = 35 + 0,5 .25 = 47,5 C = 20 + 0,8 .x A A B → → → → C = 20 + 0,8 .25 = 40 C = 1,2.x C = 1,2 .25 = 30 B C C
Portanto, para 25 minutos de uso: CC < CB < CA.
CA < CB
35 + 0,5x < 20 + 0,8x, ou seja, x > 50 CB < CC
e para a transposição de linguagens (do tex-to para a álgebra, e vice-versa). A leitura e a interpretação de enunciados será me-lhor, quanto mais o aluno puder praticá-la com orientação do professor. O professor deve evitar concentrar o curso apenas em problemas do tipo “resolva a equação...”, “determine o valor de x...”, etc., sendo preferível que se privilegiem problemas com texto e contexto. Instrumentalizar os
alunos para uma boa leitura de enunciados significa orientá-los para que identifiquem os dados, as relações entre dados e a per-gunta. Em seguida, outra etapa importante é a da transposição às informações coleta-das para a linguagem da álgebra. Nesse mo-mento, o professor deve estar atento para as dificuldades específicas dos seus alunos para que possa elaborar a estratégia certa para a condução do curso.
SITuAçãO DE APRENDIzAgEM 2
COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAçõES NO PlANO
Nesta Situação de Aprendizagem, iremosampliar a noção de localização com base na exploração e na formalização do sistema de coordenadas no plano. Os alunos já trabalha-ram nas séries anteriores com a leitura e a re-presentação de valores numéricos em retas e gráficos. Nesta etapa da escolaridade, preten-de-se que os alunos compreendam o sistema de coordenadas cartesianas como um modo organizado e convencionado para representar objetos e relações matemáticas.
Em outras palavras, eles devem conhecer as principais características do plano cartesiano: que é constituído por dois eixos perpendicula-res entre si, cada qual subdividido em partes iguais, representadas por números positivos e negativos; que o plano é dividido em qua-tro quadrantes, etc. São essas características que fazem do plano cartesiano um sistema apropriado para representar pontos, figuras geométricas, equações e funções. Contudo,
há uma ressalva a se considerar: no plano cartesiano, os pontos representados nos dois eixos correspondem a números reais. Como os alunos ainda não estudaram a formação do conjunto dos reais e a reta real, trabalharemos neste momento apenas com pontos racionais. O que estamos chamando de coordenadas cartesianas é um sistema de coordenadas ra-cionais no plano. A formalização do plano cartesiano será feita posteriormente, a partir do estudo dos números reais e das funções.
Inicialmente, propomos algumas atividades relacionadas à noção de localização antes de introduzir formalmente o sistema de coorde-nadas cartesianas. É importante explorar os conhecimentos prévios dos alunos em situa- ções de localização, tais como a procura de uma rua em um guia de endereços ou a localização de uma cidade em um mapa.
A partir de alguns exemplos conhecidos, dis-cutiremos as principais características de um sistema de localização: a necessidade de um pon-to de referência, as coordenadas e as dimensões envolvidas, as convenções adotadas, etc. Em seguida, destacamos os principais elementos do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto
de origem, a reta numérica, os eixos coordenados, os pares ordenados e o plano cartesiano.
Feito isso, propomos uma série de atividades que têm por objetivo consolidar o conhecimento do sistema de coordenadas cartesianas. As ativi-dades 5 e 6 tratam da representação de figuras geométricas no plano cartesiano. Na atividade 7, propomos um jogo de batalha naval matemático envolvendo coordenadas cartesianas. Da ativida-de 8 em diante, introduzimos as transformações geométricas no plano cartesiano: por meio de operações realizadas com as coordenadas carte-sianas, exploraremos movimentos e transforma-ções de figuras geométricas simples, tais como translação, reflexão, ampliação e redução.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: coordenadas; plano cartesiano; pares ordenados; transformações geométricas. Competências e habilidades: conhecer as principais características do sistema de coordenadas
cartesianas; localizar pontos e figuras geométricas no plano cartesiano; realizar transforma-ções geométricas no plano usando operatransforma-ções com as coordenadas cartesianas.
Estratégias: análise e resolução de situações–problema; uso de um jogo para a familiarização
com o sistema de coordenadas; uso do plano para representar pontos e figuras.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
A ideia de localização
um dos desafios que se colocam para o pro-fessor da 7a série é como introduzir o sistema
de coordenadas cartesianas de uma forma sig-nificativa para o aluno. Sugerimos que se explo-rem, inicialmente, algumas situações e alguns contextos em que a noção de localização seja
familiar aos alunos. um aluno da 7a série
pro-vavelmente já se deparou com algum tipo de problema de localização, como encontrar uma rua em um guia de endereços, achar um livro em uma biblioteca ou, até mesmo, jogar bata-lha naval. Em todos esses exemplos, a noção de coordenada está diretamente envolvida.
estão presentes em uma situação de localização. Ele deverá se apropriar dos termos próprios da Matemática usados para localizar um objeto, tais como: origem, sentido, distância, escala, coorde-nada, reta numerada, eixos coordenados, plano cartesiano, par ordenado, etc. As atividades pro-postas a seguir caminham nessa direção.
Atividade 1 – localização
Solicite aos alunos que tentem localizar o endereço de suas casas usando um guia de ruas. Eles devem consultar uma lista em or-dem alfabética das ruas de sua cidade, que deve conter duas informações: a página onde se encontra o mapa da região e a localização da rua neste mapa. A localização será feita por meio de duas informações: uma referência horizontal e uma referência vertical, ambas representadas por números ou por letras.
Outra ideia que deve ser destacada é que a informação sobre a localização de um objeto parte sempre de um ponto de referência escolhido. No caso do guia de ruas, o ponto de referência é o canto superior esquerdo da página, onde se iniciam as sequências de números e letras. Na próxima atividade, exploramos uma situação em que as informações sobre a localização de um objeto depende do referencial escolhido.
Atividade 2 – Ponto de referência
um empreiteiro deve construir um ralo em uma cozinha seguindo as instruções fornecidas pelo arquiteto na planta a seguir, construída em escala.
R. Vadico R. Mendes Caldeira
R. Rodrigues dos Santos R. Monsenhor Andrade R. Elisa Whitaker
R. João Teodoro R. São Caetano R. São Caetano R. Mauá R. Miguel Carlos R. da Cantareira R. Plínio Ramos R. Antônio Pais Av. Mercúrio Av. do Estado Av. do Estado R. Benjamim de Oliveira
R. Barão de Duprat R. da Cantareira
R. Gen. Carneiro R. Fernandes Silva R. Sampaio Moreira R. da Alfândega R. Santa Rosa R. do Lucas R. do Gasômetro R. do Gasômetro R. Polignano A. Maré Praça São Vito R. M on se nh or A nd ra de B R Á S B O M R E T I R O R 1 A B C D 2 3 4
No mapa acima, a Rua Vadico encontra-se no quadro C4, ou seja, no cruzamento da 3a linha
com a 4a coluna.
Pode-se comentar com os alunos que, nesse caso, utilizou-se uma combinação de letras e números para dar a informação da localização de um ponto desta rua. Poderiam ser duas letras ou dois números, dependendo da convenção estabelecida pelo guia. O cru-zamento das duas informações resultou na localização da região em que se encontra a rua no mapa.
Como achar a localização precisa do ralo por meio da planta fornecida? Se escolhermos
como ponto de referência o canto superior esquerdo da cozinha, então o ralo se encontra a 3,2 metros na direção horizontal e a 0,7 metros na direção vertical em relação ao ponto de referência escolhido. Veja a planta a seguir.
Atividade 3 – localização e dimensões
Para encontrarmos o local de uma casa, precisamos do endereço dela. No caso, precisa-mos saber o nome da rua e o número da casa. Encontrada a rua, basta nos orientarmos pela numeração até localizarmos a casa. Por con-venção, a numeração de uma rua segue um sentido crescente de numeração relacionado à distância em relação ao início dessa rua. Esse início é estabelecido por convenção, e a partir dele numeram-se as residências, com os números pares à direita e os ímpares à esquerda. Assim, a casa de número 250 fica no lado direito da rua, a aproximadamente 250 metros de seu início. Esta situação envolveu a localização de um ponto em determinado espaço de uma dimensão, a saber, da distância da casa até o início da rua. No caso do guia de endereços, para lo-calizar uma rua foram necessárias duas in-formações: a primeira em relação à direção horizontal (representada por letras) e a segun-da em relação à direção vertical (representasegun-da por números). O mesmo ocorre quando que-remos informar a localização de um livro em uma estante. A prateleira informa a dimensão vertical, e a posição do livro na prateleira, a dimensão horizontal. Tal livro encontra-se na 5a prateleira de baixo para cima, e é o 5o da
direita para a esquerda.
um mapa geográfico também envolve a localização de duas direções: a vertical, chamada de latitude, e a horizontal, que é a longitude. O sentido de cada uma dessas di-reções foi estabelecido por convenção: Norte e Sul a partir da linha do Equador para a la-titude, e leste e Oeste a partir do meridiano de greenwich para a longitude. A cidade de Santos, por exemplo, encontra-se 23° 57´ ao Por outro lado, se adotarmos como ponto
Sul do Equador e 46° 20’ a Oeste do meridia-no de greenwich. As três situações descritas envolveram a localização em um espaço de duas dimensões.
Já a posição de um avião em pleno voo en-volve a localização em um espaço de três di-mensões. Além das coordenadas geográficas (latitude e longitude), precisamos determinar a altura em que o avião está viajando, completan-do assim três informações. Outro exemplo é a localização de um livro em uma biblioteca com várias fileiras de estantes. Precisamos informar a fileira em que se encontra a estante, a prate-leira e a posição do livro na prateprate-leira. Três di-mensões, três informações são necessárias.
Atividade 4 – da reta numerada ao plano
O modelo matemático mais usado para lo-calizar pontos em uma dimensão é a reta nu-merada (veja a figura a seguir). Para localizar um ponto com precisão em uma reta são neces-sários três elementos. O primeiro é um ponto de referência ou origem, a partir do qual serão feitas as comparações de distância. O segundo é um sentido de crescimento, de forma que seja possível estabelecer uma sequência crescente de numeração. E, por fim, uma unidade de medi-da, que servirá de parâmetro para a marcação de todos os outros pontos da reta.
Parte-se do pressuposto de que é pos- sível associar cada ponto da reta a um único
número real e cada número real a um único ponto na reta. Essa afirmação não precisa ainda ser justificada para os alunos, uma vez que eles somente vão estudar a construção e a representação dos números reais na 8a série.
Neste momento, basta que eles compreendam que é possível localizar e representar números inteiros e racionais na reta numerada.
Essa correspondência entre pontos e números define um sistema de coordenadas na reta. O nú-mero correspondente a um ponto da reta é cha-mado de coordenada. A coordenada nada mais é do que o endereço de um ponto na reta numerada. A reta numérica, contudo, não é suficiente para localizar pontos em um espaço de duas dimensões. O modelo matemático mais utili-zado para esse fim é o plano. O plano cartesia-no consiste na junção de duas retas numeradas (eixos coordenados), uma horizontal e outra vertical, que se cruzam no ponto de origem.
Do mesmo modo que um número repre-sentava um ponto na reta numerada, um par de números representará um ponto no plano. Cada um desses números corresponderá a um ponto em um dos eixos coordenados. Assim, o endereço de um ponto no plano correspon-de a um par orcorrespon-denado correspon-de números. Essa orcorrespon-de- orde-nação foi convencionada da seguinte forma: o primeiro número corresponde ao eixo horizon-tal, e o segundo, ao vertical. Por exemplo, o ponto correspondente ao par ordenado (3, 2)
encontra-se a 3 unidades de distância da ori-gem na horizontal e a 2 unidades na vertical. O gráfico a seguir mostra a representação de al-guns pares ordenados no plano cartesiano.
ponto é uma coordenada composta por três pontos ordenados (x, y, z).
É importante comentar com os alunos que o nome do sistema de coordenadas cartesia-nas é uma homenagem ao seu criador, o fi-lósofo e matemático francês René descartes, que viveu no século xVII. A ideia de localizar pontos no plano por meio de um sistema de coordenadas representou um grande avanço no estudo da geometria. A partir da cria-ção do sistema de coordenadas cartesianas, a geo metria passou a se apoiar nas técnicas de representação algébrica, permitindo um es-tudo mais analítico das figuras geométricas. Além disso, a própria Álgebra se transformou, pois os valores de uma função puderam ser representados graficamente, permitindo uma análise geométrica das expressões algébricas.
As atividades a seguir têm como objetivo principal familiarizar os alunos com os princi-pais elementos do sistema de coordenadas no plano, por meio da representação de figuras geométricas e das possíveis transformações que podem ser feitas a partir de operações com suas coordenadas: translações, reflexões, am-pliações e reduções. Na atividade 5, serão in-troduzidos os termos abscissa e ordenada para designar as coordenadas do eixo x e do eixo y, respectivamente.
Atividade 5 – Representação de figuras
geométricas no plano
Observe as figuras geométricas representa-das no plano a seguir.
Por convenção, o ponto de origem do plano corresponde ao par ordenado (0, 0), que é o ponto de interseção das duas retas numeradas. O sentido de crescimento no eixo horizontal é da esquerda para a direita, e no vertical, de bai-xo para cima. Os números positivos são repre-sentados à direita e acima do ponto de origem, e os negativos à esquerda e abaixo desse ponto. Os pontos do plano são representados pelos pares ordenados (x, y), no qual x representa os valores associados ao eixo horizontal, e y, os valores associados ao eixo vertical.
No caso da representação de planos no espaço, acrescenta-se mais um eixo coorde-nado perpendicular ao plano, passando pela origem. Assim, no espaço, o endereço de um
1. Determine as coordenadas de seus vértices. As coordenadas dos vértices do quadrado ABCD são A (6, 5), B (4, 7), C (2, 5) e D (4, 3). As do triângulo EFG são E (–2, 1), F (– 8, 5) e G (– 8, 1). As do retângulo HIJK são H (0, –1), I (– 6, –1), J (– 6, – 4), K (0, – 4). As do triângulo LMN são L (6, 0), M (0, – 6) e N (4, – 6).
2. quais pontos possuem a mesma abscissa? Os pontos A e L possuem abscissa 6. Os pontos B, D e N possuem abscissa 4. Os pontos H, K e M possuem abscissa 0. Os pontos I e J possuem abscissa – 6. Os pontos F e G possuem abscissa – 8.
3. quais pontos possuem ordenadas iguais a zero? Somente o ponto L possui ordenada igual a 0. Na próxima atividade, os alunos deverão fazer o caminho inverso, isto é, partindo das coordenadas para representar as figuras geo-métricas no plano cartesiano.
Atividade 6 – desenhando polígonos
Desenhe os seguintes polígonos no plano cartesiano a partir das coordenadas de seus vértices:
1. Triângulo ABC, sendo A (5, 2), B (7, 7) e C (1, 5).
2. quadrado DEFg, sendo D (–3, 2), E (–3, 7), F (– 8, 7) e g (– 8, 2).
3. Hexágono HIJKlM, sendo H (–7, 0),
I (–10, 0), J (–12, –3), K (–10, –6), l (–7, – 6) e M (–5, –3).
4. quadrilátero NOPq, sendo N (7, 0), O (0, –3), P (7, – 6) e q (5, –3)
A familiaridade com os termos abscissa e ordenada pode levar ainda algum tempo. Assim, se os alunos apresentarem dificul-dade nessa atividificul-dade, o professor pode re-formular a pergunta, substituindo o termo abscissa por coordenada x e ordenada por coordenada y. O importante é enfatizar a capacidade leitora dos alunos em relação às coordenadas cartesianas no plano. Outro problema que costuma aparecer é a dificul-dade de leitura de pontos que estejam nos eixos coordenados. Por exemplo, o ponto l situa-se no eixo x, e possui coordenada (6, 0). O ponto H está situado no eixo y, possui
coordenada (0, –1). Deve-se mostrar aos
alunos que todo ponto situado no eixo x será representado por um par ordenado (x, 0), e todo ponto situado no eixo y, por um par ordenado (0, y).
