θ2inicial =0 (5.19)
Figura 5.12:Comportamento das estimativas dos parâmetros do sistema (método dos mínimos
quadrados)
5.4
Saturação do Sinal de Controle
Nesta seção estão expostos os resultados das simulações para o sistema com saturação no sinal de controle. É de fundamental importância esta análise pois todo processo real apresenta uma limitação em relação ao sinal gerado pelo atuador. De acordo com (QUANSER, ), a tensão máxima aceita pelas bombas (atuadores) é de 22V. Como consideramos que os atuadores do sistema podem além de adicionar, remover fluido dos tanques, um valor de saturação negativo de −22V também foi adotado. Visto que os sinais de controle (5.6) e (5.10)
50 CAPÍTULO 5. RESULTADOS histerese foi aplicado na saída dos controladores implementados, atuando de maneira limitar as tensões entre -22V e 22V. A figura 5.13 apresenta o desempenho dos controladores MRAC e GMV para o sistema desacoplado e com a presença do saturador.
Figura 5.13: Desempenho do sistema para os controladores com saturação no sinal de controle
A introdução do saturador pode ocasionar um erro na estimação dos parâ- metros de um controlador adaptativo fazendo com que o sistema se comporte de uma maneira inesperada, apresentando oscilações na variável de processo e podendo até mesmo levá-lo a instabilidade. Tal efeito é denominado wind up e pode ser observado na figura 5.13, onde controlador MRAC em vários instantes não consegue seguir o modelo de referência. Quanto ao controlador GMV, o fenômeno de wind up não foi observado e as estimativas permanecerem corretas.
5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 51 com uma lei anti-windup para sistemas assintoticamente estáveis. A idéia consiste em não levar em consideração as variações nas estimativas para os seguintes casos: Se u>umax e ǫ am p+am <0 , ou u<umin e ǫ am p+am >0 (5.20) Fazer ˙θ1=0 ˙θ2=0 (5.21) Senão ˙θ1= −γ′ am p+amr ǫ ˙θ2=γ′ am p+amy ǫ (5.22)
Foi realizada uma alteração nos ganhos adaptativos dos tanques 1 e 2 para que as estimativas apresentem uma convergência mais rápida, visto que a estratégia anti-windup não atualiza as estimativas em momentos que o sinal de controle esteja saturado. γ′1tanque1 =0.1 γ′2tanque1 =0.1 γ′1tanque2 =0.2 γ′2tanque2 =0.2 (5.23)
Aplicando a lei em questão para controlador implementado na seção 5.2 com os ganhos adaptativos(5.23), podemos comparar os resultados obtidos (figura 5.14).
52 CAPÍTULO 5. RESULTADOS
Figura 5.14: Resposta do sistema para o controlador MRAC anti-windup
O controlador MRAC anti-windup tende a minimizar as oscilações da saída quando o sinal de controle permanece saturado. A saturação leva o sistema em alguns casos a não acompanhar o modelo de referência devido ao limite físico do atuador. A estratégia anti-windup permite que o nível dos tanques recomponha a trajetória do modelo de referência de maneira mais suave. Os índices de desempenho para o controlador MRAC com e sem a estratégia anti-windup são observados nas tabelas 5.6, 5.7 e 5.8 para uma simulação de 1500s. Percebemos que as métricas são reduzidas em aproximadamente 50% para os tanques 1 e 2, enquanto os valores para o tanque 3 são próximos, visto que não há saturação do
5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 53 sinal de controle para atingir a referência aplicada neste tanque.
Após as devidas considerações, podemos comparar o desempenho do contro- lador GMV em relação ao controlador MRAC anti-windup na figura 5.15. Ambos os controladores apresentam o desempenho esperado. O controlador GMV per- mite ao sistema acompanhar as referências no menor intervalo de tempo possível dada a saturação dos atuadores, enquanto o MRAC segue a trajetória do modelo de referência de uma maneira a não apresentar tantas oscilações quando o sinal de controle permanece saturado por um intervalo de tempo considerável.
Tabela 5.6: Índices de desempenho Tanque 1
Índices MRAC Desacoplador MRAC Desacoplador Anti-Windup
ISE 2035 1152
IAE 990.3 550.3
ITAE 6.667 105 3.917 105
Tabela 5.7: Índices de desempenho Tanque 2
Índices MRAC Desacoplador MRAC Desacoplador Anti-Windup
ISE 430.3 207.5
IAE 199.6 99.29
ITAE 1.309 105 0.545 105
Tabela 5.8: Índices de desempenho Tanque 3
Índices MRAC Desacoplador MRAC Desacoplador Anti-Windup
ISE 7.158 6.842
IAE 18.89 18.62
54 CAPÍTULO 5. RESULTADOS
Figura 5.15:Comparativo entre os controladores GMV e MRAC anti-windup
Os sinais de controle saturados aplicados ao sistema na simulação da figura 5.15 podem ser observados nas figuras 5.16 e 5.17.
5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 55
Figura 5.16: Sinal de controle para o controlador GMV
Figura 5.17: Sinal de controle para o controlador MRAC anti-windup
O último teste implementado também realiza um comparativo entre os con- troladores MRAC e GMV, atribuindo uma constante de tempo mais lenta para o modelo de referência (τ=10s). O controlador MRAC foi projetado da seguinte
maneira:
Gm(s) = 0.1
56 CAPÍTULO 5. RESULTADOS θ1real = bbm = 0.2751 =0.363 (5.25) θ2real = amb−a = 1−0.2750.01695 =0.302 (5.26) θ1inicial =0.15 (5.27) θ2inicial =0.15 (5.28) γ′1tanque1 =2 (5.29) γ′2tanque1 =2 (5.30) γ′1tanque2 =2 (5.31) γ′2tanque2 =2 (5.32) γ′1tanque3 =2 (5.33) γ′2tanque3 =2 (5.34)
Neste teste, foi considerado como set-point do controlador GMV a saída do modelo de referência (5.24). Isto permite comparar o desempenho dos controlado- res de uma maneira mais igualitária, visto que nos testes anteriores o controlador GMV tende a seguir a referência da maneira mais rápida possível, enquanto o controlador MRAC tende a seguir o modelo de referência que possui dinâmica mais lenta. Os mesmos valores no projeto do controlador GMV da seção 5.3 foram utilizados. Os resultados para uma referência não constante são apresentados na figura 5.18.
5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 57
Figura 5.18:Comparativo entre os controladores GMV e MRAC
É observado que ambos os controladores apresentam desempenho similar. Os dois seguem o modelo de referência, apesar do GMV apresentar uma certa oscilação nos primeiros segundos, sendo esse o tempo necessário para as estima- tivas convergirem (Figura 5.19). As tabelas 5.10, 5.11 e 5.12 trazem os valores das métricas de desempenho dos controladores.
58 CAPÍTULO 5. RESULTADOS
Figura 5.19: Comparativo entre os controladores GMV e MRAC Tabela 5.9: Índices de desempenho Tanque 1
Índices MRAC Desacoplador GMV Desacoplador
ISE 4.63 361.8
IAE 19.27 41.05
ITAE 2619 578.6
Os valores dos índices ISE e IAE indicam um melhor desempenho para o controlador MRAC, enquanto o índice ITAE favorece o controlador GMV. Como grande parte do erro acumulado pelo controlador GMV provém de instantes iniciais, o critério ITAE tende a favorecer o GMV por aplicar menor penalidade para erros iniciais. Em relação aos sinais de controle gerados (Figuras 5.20 e 5.21), os valores observados são pequenos quando comparados com as outras
5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 59
Tabela 5.10: Índices de desempenho Tanque 2
Índices MRAC Desacoplador GMV Desacoplador
ISE 5.912 359.9
IAE 23.74 41.31
ITAE 4397 636.7
Tabela 5.11: Índices de desempenho Tanque 3
Índices MRAC Desacoplador GMV Desacoplador
ISE 7.109 240.6
IAE 26.04 31.3
ITAE 4697 435.9
simulações realizadas. Isto ocorre devido a alteração na constante de tempo do modelo de referência, tornando a dinâmica sistema menos agressiva e resultando em um menor esforço dos atuadores. Nesse contexto, a saturação do sinal de controle foi observada apenas nos instantes iniciais para o controlador GMV.
60 CAPÍTULO 5. RESULTADOS
Capítulo 6
Conclusões
No presente trabalho os projetos de um desacoplador invertido e dos con- troladores MRAC e GMV são propostos para o controle de nível de um sistema MIMO com três tanques acoplados. Uma modelagem fenomenológica do sis- tema é apresentada, assim como os conceitos principais que envolvem os temas de Desacoplamento de Sistemas e Controle Adaptativo. Os resultados foram obtidos através de simulações, nas quais o desacoplador invertido mostra-se uma alternativa interessante para facilitar o projeto de sistemas do tipo MIMO, reduzindo o acoplamento das variáveis da planta, aumentando o desempenho dos controladores e contribuindo para convergência das estimativas no caso do controlador MRAC.
Em relação ao controlador MRAC, a dinâmica imposta por seu modelo de refe- rência foi atingida. Para o caso em que a saturação atua no sinal de controle, uma lei anti-windup foi aplicada ao controlador, tornando viável sua implementação no processo real. O controlador GMV também apresentou um bom desempenho, rastreando as referências aplicadas calculando o sinal de controle ideal para cada intervalo de amostragem. Comparando os dois controladores implementados, a estratégia GMV possui a vantagem de não ser necessário aplicar o desacoplador ao sistema para que o estimador dos mínimos quadrados convirja. Além disso, o saturador foi introduzido ao sinal de controle sem a necessidade de nenhum ajuste no projeto do controlador.
Como proposta de trabalhos futuros, um desacoplador adaptativo pode ser implementado, onde os elementos do desacoplador são atualizados constan- temente através das estimativas dos parâmetros do sistema. Uma técnica de controle adaptativo centralizada para o caso MIMO pode ser aplicada para efeito de comparação, assim como validar os resultados obtidos neste trabalho por simulações no processo real de tanques acoplados.
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Apêndice A
Matriz de Transferência do Sistema
Desacoplado
Neste apêndice é apresentada a matriz de transferência do sistema desaco- plado Q(s)para o ponto de operação 15cm. Os elementos Q21, Q31 e Q32 devem
possuir valor nulo pois o sistema encontra-se desacoplado, sendo Q(s) uma ma-
triz diagonal. Os cálculos realizados no MATLAB apresentaram elementos não nulos porém com coeficientes de valores muito próximos a zero, provavelmente devido a erros de arredondamento, visto que divisões polinomiais complexas estão envolvidas. A seguir estão expostos os elementos da matriz no formato de linha de comando do MATLAB.
Apêndice B
Funções de Transferência do
Desacoplador Chaveado
O desacoplador chaveado é composto por 48 funções de transferência que são chaveadas de acordo com o nível atual de cada tanque. Cada um dos elementos do desacoplador possui 16 funções de transferência obtidas em diferentes pontos de operação que serão apresentadas neste apêndice.
B.1
Elemento
D
21 PO Tanque1 = 2.5cm / PO Tanque2 = 2.5cm: do211=0.275s−0.01142s2 −0.0004742 +0.02284s+0.0004742 (B.1) PO Tanque1 = 2.5cm / PO Tanque2 = 7.5cm: do212=0.275s−0.01142s2 −0.0002738 +0.01801s+0.0002738 (B.2) PO Tanque1 = 2.5cm / PO Tanque2 = 12.5cm: do213=0.275s−0.01142s2 −0.0002121 +0.01653s+0.0002121 (B.3) PO Tanque1 = 2.5cm / PO Tanque2 = 17.5cm: do214=0.275s−0.01142s2 −0.0001792 +0.01574s+0.0001792 (B.4)68APÊNDICE B. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DO DESACOPLADOR CHAVEADO PO Tanque1 = 7.5cm / PO Tanque2 = 2.5cm: do215= 0.275s−0.006593s2 −0.0002738 +0.01801s+0.0002738 (B.5) PO Tanque1 = 7.5cm / PO Tanque2 = 7.5cm: do216= 0.275s−0.006593s2 −0.0001581 +0.01319s+0.0001581 (B.6) PO Tanque1 = 7.5cm / PO Tanque2 = 12.5cm: do217=0.275s−0.006593s2 −0.0001224 +0.0117s+0.0001224 (B.7) PO Tanque1 = 7.5cm / PO Tanque2 = 17.5cm: do218= 0.275s−0.006593s2 −0.0001035 +0.01091s+0.0001035 (B.8) PO Tanque1 = 12.5cm / PO Tanque2 = 2.5cm: do219= 0.275s−0.005107s2 −0.0002121 +0.01653s+0.0002121 (B.9) PO Tanque1 = 12.5cm / PO Tanque2 = 7.5cm: do2110= 0.275s−0.005107s2 −0.0001224 +0.0117s+0.0001224 (B.10) PO Tanque1 = 12.5cm / PO Tanque2 = 12.5cm: do2111= −0.005107s−9.484 10 −05 0.275s2+0.01021s+9.484 10−05 (B.11) PO Tanque1 = 12.5cm / PO Tanque2 = 17.5cm: do2112= −0.005107s−8.015 10 −05 0.275s2+0.009423s+8.015 10−05 (B.12) PO Tanque1 = 17.5cm / PO Tanque2 = 2.5cm: do2113=0.275s−0.004316s2 −0.0001792 +0.01574s+0.0001792 (B.13)
B.2. ELEMENTO D32 69