Controle adaptativo com desacoplamento aplicado a um sistema de tanques acoplados MIMO

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UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE CENTRO DETECNOLOGIA

PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIAELÉTRICA

Controle Adaptativo com Desacoplamento

Aplicado a um Sistema de Tanques

Acoplados MIMO

Thiago Ferreira Paulo

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Dissertação de Mestrado apresentada

ao Programa de Pós-Graduação em En-genharia Elétrica e de Computação da UFRN (área de concentração: Automa-ção e Sistemas) como parte dos requisi-tos para obtenção do título de Mestre em Ciências.

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UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Catalogação da Publicação na Fonte. Paulo, Thiago Ferreira.

Controle adaptativo com desacoplamento aplicado a um sistema de tanques acoplados MIMO / Thiago Ferreira Paulo - Natal, RN, 2015

65 f. : il.

Orientador: André Laurindo Maitelli

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Controle adaptativo – Dissertação. 2. Sistemas MIMO – Dissertação. 3. Desacoplamento de sistemas – Dissertação. 4. Tanques acoplados – Dissertação. 5. Controlador MRAC – Dissertação. 6. Controlador GMV – Dissertação. I. Maitelli, André Laurindo. II. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. III. Título.

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Controle Adaptativo com Desacoplamento

Aplicado a um Sistema de Tanques

Acoplados MIMO

Thiago Ferreira Paulo

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Agradecimentos

Agradeço a Deus, por iluminar minha trajetória.

À minha mãe Elizabeth Ferreira Pires Paulo (in memoriam), em quem busco forças sempre.

Ao meu pai, pela extrema dedicação, incentivo e orientação em todos os momen-tos da minha vida.

Aos meus irmãos e minha namorada pela união e companheirismo. Ao professor André Maitelli pela orientação e apoio.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação da UFRN pelo conhecimento transmitido.

Aos meus amigos do Laboratório de Automação em Petróleo pela ajuda e suporte. Aos meus colegas de curso que foram de fundamental importância na minha formação acadêmica e pessoal.

Aos meus amigos e familiares que estão sempre presentes. Ao PRH-PB 20 pelo apoio financeiro

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Resumo

O controle de sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output) é muitas vezes realizado por vários controladores monovariáveis clássicos que operam com limitações e apresentam baixo desempenho. Técnicas de controle adaptativo são uma alternativa interessante para aumentar o desempenho desses sistemas, como por exemplo os controladores MRAC (Model Reference Adaptive Control), que quando bem projetados, permitem que a dinâmica da planta seja alterada de maneira a seguir um modelo de referência. O presente trabalho apresenta uma estratégia de desacoplamento para um sistema MIMO de três tanques acoplados e o projeto de dois controladores adaptativos aplicados ao processo, sendo o primeiro um controlador MRAC, e o segundo um controlador auto-ajustável GMV (Generalized Minimum Variance). Os resultados foram obtidos através de simulações, nas quais o desacoplamento do sistema se mostrou uma alternativa interessante para facilitar o projeto de sistemas do tipo MIMO. Ambos os controladores implementados apresentaram o desempenho esperado, visto que o controlador MRAC tende a atingir a dinâmica imposta por seu modelo de referência, enquanto o controlador GMV rastreia a referência aplicada calculando o sinal de controle ideal em cada intervalo de amostragem.

Palavras-chave: Controle Adaptativo, Sistemas MIMO, Desacoplamento de

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Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas v

Lista de Abreviaturas e Símbolos vii

1 Introdução 1

2 Revisão Bibliográfica 3

3 Referencial Teórico 7

3.1 Controle Adaptativo . . . 7

3.1.1 Histórico . . . 7

3.1.2 Estrutura do Controlador . . . 8

3.1.3 Controle Adaptativo Direto/Indireto . . . 9

3.2 Desacoplamento de Sistemas . . . 10

3.2.1 Desacoplador Ideal . . . 11

3.2.2 Desacoplador Simplificado . . . 12

3.2.3 Desacoplador Invertido . . . 12

3.3 MRAC . . . 13

3.4 Controlador auto-ajustável GMV . . . 16

3.4.1 Método dos Mínimos Quadrados Recursivo . . . 17

3.4.2 Implementação do controlador GMV . . . 19

4 Metodologia 23 4.1 Sistema de Tanques . . . 23

4.2 Desacoplador Invertido . . . 27

(10)

5 Resultados 33

5.1 Sistema Desacoplado . . . 33

5.2 Controlador MRAC . . . 36

5.3 Controlador GMV . . . 43

5.4 Saturação do Sinal de Controle . . . 49

6 Conclusões 61 Referências Bibliográficas 62 A Matriz de Transferência do Sistema Desacoplado 65 B Funções de Transferência do Desacoplador Chaveado 67 B.1 Elemento D21 . . . 67

B.2 Elemento D32 . . . 69

(11)

Lista de Figuras

3.1 Estrutura de um Controlador Adaptativo (ÅSTRöM;

WITTEN-MARK, 1995) . . . 9

3.2 Estrutura de um Controlador Adaptativo Direto (IOANNOU; SUN, 1996) . . . 9

3.3 Estrutura de um Controlador Adaptativo Indireto (IOANNOU; SUN, 1996) . . . 10

3.4 Estrutura de um Desacoplador para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) . . . 11

3.5 Estrutura de um Desacoplador Invertido para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) . . . 13

3.6 Arquitetura do controlador MRAC . . . 14

3.7 Arquitetura do controlador GMV . . . 21

4.1 Sistema de Tanques Acoplados . . . 24

4.2 Representação de D(s) pelas matrizes Dd(s)e Do(s) (GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) . . . 27

4.3 Disposição final dos elementos do desacoplador . . . 29

4.4 Divisão do tanque em diferentes pontos de operação . . . 30

4.5 Esquema exemplo do elemento D21 do desacoplador chaveado . . 31

5.1 Comparativo para o sistema em malha aberta com desacoplador e sem desacoplador . . . 34

5.2 Comparativo para o sistema em malha aberta entre o desacoplador PO 15 e o desacoplador chaveado . . . 36

5.3 Resposta do sistema com o controlador MRAC . . . 39

5.4 Estimativas dos parâmetros do controlador MRAC . . . 40

5.5 Resposta do sistema com o controlador MRAC . . . 41

5.6 Sinal de Controle . . . 42

5.7 Resposta do sistema com o controlador GMV para diferentes pe-ríodos de amostragem . . . 44

(12)

5.8 Resposta do sistema com o controlador GMV . . . 45

5.9 Resposta do sistema para os instantes iniciais da simulação . . . . 46

5.10 Sinal de Controle . . . 47

5.11 Resposta do sistema com desacoplador amenizando o acoplamento entre as variáveis . . . 47

5.12 Comportamento das estimativas dos parâmetros do sistema (mé-todo dos mínimos quadrados) . . . 49

5.13 Desempenho do sistema para os controladores com saturação no sinal de controle . . . 50

5.14 Resposta do sistema para o controlador MRAC anti-windup . . . . 52

5.15 Comparativo entre os controladores GMV e MRAC anti-windup . . 54

5.16 Sinal de controle para o controlador GMV . . . 55

5.17 Sinal de controle para o controlador MRACanti-windup . . . 55

5.18 Comparativo entre os controladores GMV e MRAC . . . 57

5.19 Comparativo entre os controladores GMV e MRAC . . . 58

5.20 Sinal de controle para o controlador MRAC . . . 59

(13)

Lista de Tabelas

5.1 Índices de desempenho Tanque 3 . . . 35

(14)

(15)

Lista de Abreviaturas e Símbolos

MIMO - Multiple Input Multiple Output

MRAC -Model Reference Adaptive Control

GMV -Generalized Minimum Variance

SISO - Single Input Single Output

ANFIS - Adaptive Neural Fuzzy Inference System

M.I.T - Massachusetts Institute of Technology

ISE -Integrated Square Error

IAE - Integrated Absolute Error

ITAE -Integrated of the Time multiplied by Absolute Error G(s) - Matriz de transferência do sistema

D(s) - Matriz de desacoplamento do sistema

Q(s) - Matriz do sistema desacoplado (processo aparente)

C(s) - Matriz de controladores

Do(s) - Matriz auxiliar do desacoplador invertido

Dd(s)- Matriz auxiliar do desacoplador invertido

I - Matriz identidade

r - Referência aplicada ao sistema

y - Saída do sistema

qit - Vazão de entrada do tanque

qot - Vazão de saída do tanque

Kmt - Constante da bomba

at - Área do orifício de saída dos tanque

At - Área do tanque

Lt - Nível dos tanque

Vpt - Tensão aplicada a bomba

g- Aceleração da gravidade

Lot - Ponto de operação do tanque

u - Sinal de controle

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b - Parâmetro do sistema

um - Sinal de controle do modelo de referência

am - Parâmetro do modelo de referência

bm - Parâmetro do modelo de referência

θ - Vetor de estimativas ǫ - Erro de estimação

J - Função objetivo

γ- Vetor de ganhos adaptativos

p- Operador diferencial

x - Vetor de regressores

yre f - Referência aplicada ao sistema

ρ- Fator de ponderação do sinal de controle

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Capítulo 1

Introdução

Estratégias de controle adaptativo vêm ganhando destaque nos últimos anos em aplicações que envolvem não-linearidades significativas, variações paramé-tricas, ou pouco conhecimento a respeito das plantas tratadas. A necessidade de desenvolver sistemas com capacidade de aprendizagem e tomada de decisão em situações de incerteza, principalmente nas áreas de controle de processos e aviação foi, segundo (ÅSTRöM, 1996), o que motivou os primeiros estudos sobre o tema no final da década de 1950. O MRAC (Model Reference Adaptive Control) é um exemplo de controlador adaptativo em que o desempenho desejado do sistema é expresso através de um modelo de referência, tendo como finalidade fazer com que o comportamento da planta seja similar ao do modelo para um determinado sinal de entrada. Para isso, é necessário um mecanismo de ajuste (ou lei adaptativa) que visa estimar os parâmetros do controlador, sendo esse mecanismo usado para ajustar os parâmetros do controlador com base no erro entre a saída da planta e a do modelo de referência.

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2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

adaptativos foram selecionados por apresentar bom desempenho em sistemas dessa natureza. Optou-se também pelo uso de uma estratégia de desacoplamento, visto que o processo é multivariável e as variáveis envolvidas possuem certo acoplamento. Com isso, a influência de uma variável nas outras é minimizada e o problema em questão pode ser visualizado como três problemas de controle para o caso SISO (Single Input Single Output), sendo cada um referente a um tanque. A combinação das estratégias de desacoplamento e controle adaptativo permite simplificar a abordagem do problema, visto que o projeto de um contro-lador adaptativo MIMO é uma tarefa mais complexa do que a implementação realizada, composta por três controladores SISO. A presença do desacoplador também tende a aumentar a eficiência do controle, rejeitando as perturbações e otimizando a convergência das estimativas envolvidas. Para a obtenção dos resultados via simulação, a modelagem do sistema foi baseada em uma planta didática da Quanserpara controle de nível.

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Capítulo 2

Revisão Bibliográfica

Este capítulo apresenta a revisão de alguns trabalhos recentes na literatura relacionados a estratégias de controle adaptativo em sistemas do tipo MIMO, visto que esse é o tema central do trabalho.

Em (SHAH; RASMUSSEN; ALLEYNE, 2004) é utilizada uma estratégia de controle adaptativo multivariável para um sistema de ar condicionado automo-tivo. Sistemas desse tipo possuem uma dinâmica altamente não-linear devido às propriedades do fluído e às relações termodinâmicas envolvidas. Inicialmente, um modelo físico do sistema validado experimentalmente é exposto, e sua identi-ficação é realizada de maneira recursiva através de um algoritmo de estimação de parâmetros para o caso MIMO. O algoritmo é baseado no método dos mí-nimos quadrados estendido. No seu estudo, um Regulador Linear Quadrático é projetado com a finalidade de tratar problemas do tipo servo (seguidor de referência) e de rejeição a perturbações. As variáveis de interesse são a pressão do evaporador e temperatura do sistema, sendo essas variáveis controladas de maneira coordenada através da válvula de expansão e do fluxo de ar no eva-porador respectivamente. As perturbações são representadas por variações na rotação do compressor, e no fluxo de ar no condensador, no intuito de simular condições diferentes de dirigibilidade. Segundo o autor, a aproximação MIMO adaptativa demonstrada com sucesso provê condições favoráveis no que diz respeito a qualquer futura validação do método utilizado emhardware.

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não-4 CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

linear tem recebido grande atenção especialmente nas últimas duas décadas. Esse tipo de estrutura apresenta uma arquitetura de controle simples de implementar, sendo capaz de utilizar informações conhecidas do sistema, mas ao mesmo tempo não depender fortemente dessas informações para apresentar um desempenho aceitável. Um comparativo entre as metodologias adaptativas e os controladores clássicos é exposto, sendo as estratégias de controle clássicas insuficientes para atingir as especificações de desempenho associadas ao modelo de referência. Em relação as técnicas adaptativas, elas se mostraram bem eficientes na compensação das dinâmicas não-lineares, principalmente quando o sistema é submetido a variações nos parâmetros durante os testes.

Em (CARVALHO; HEMERLY; RIBEIRO, 2008), o método de realimentação de saída em conjunto com redes neurais é aplicado em um modelo de helicóptero com dois graus de liberdade. O objetivo do trabalho é a validação de uma das estratégias de controle apresentadas por (CARVALHO; HEMERLY, 2008) com dados experimentais reais. O controle do sistema MIMO é simplificado em uma estrutura composta por dois sistemas SISO para os dois eixos de movimento da planta. Um modelo de referência é utilizado em conjunto com a técnica de linearização entrada-saída. Sendo essa uma estratégia voltada para sistemas SISO, e por se tratar de um problema MIMO, o uso de um elemento adaptativo (rede neural multicamadas) faz com que os efeitos das dinâmicas não-lineares de cada canal sejam compensados, assim como o acoplamento entre as variáveis. Os resultados experimentais obtidos foram satisfatórios para a validação da estratégia de controle.

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5 (FREITAS; BAUCHSPIESS, 2007) utiliza uma estratégia adaptativa neuro-fuzzy (ANFIS -adaptive neural fuzzy inference system) em um processo de controle de nível de um sistema de três tanques acoplados. O sistema apresenta caracterís-ticas não lineares, é de terceira ordem, e uma análise multivariável do problema é realizada considerando duas entradas (bombas) e duas saídas (nível dos tanques). A lógicafuzzynormalmente faz uso de um conhecimento prévio do sistema ou de um especialista para determinar o seu conjunto de regras, o que pode ser muito complexo em processos desse tipo para se obter um bom desempenho. A ideia do ANFIS é utilizar redes neurais artificiais para o treinamento das estruturas

fuzzy a partir de um conjunto de dados do processo, facilitando o projeto do controlador. Os resultados apresentados foram satisfatórios, sendo o desempenho do controlador adaptativo neuro-fuzzy comparado a um controlador adaptativo por alocação de pólos. Além disso, foi realizada uma análise de sua robustez em relação a alterações nos parâmetros do processo e nas constantes das válvulas.

(SILVA et al., 2015) projeta um controlador GMV para um sistema de dis-tribuição de água. O controle atua na variação de velocidade de rotação de um conjunto motor-bomba e a na variação da abertura de válvulas de controle. Seu objetivo é racionalizar o uso da água e energia elétrica, na tentativa de aumentar a eficiência energética dos conjuntos motor-bomba, e reduzir as perdas de água envolvidas no processo. Segundo o autor, a variação da demanda de água ao passar do tempo gera contínuas alterações nas condições de operação das redes hidráulicas. Além disso, o controle simultâneo de pressão em diversos pontos de medição da rede, utilizando equipamentos com características diferentes torna o sistema complexo, justificando assim o fato de uma técnica adaptativa ser ado-tada. O projeto da estratégia GMV com estimação dos parâmetros pelo método dos mínimos quadrados recursivo é apresentado, assim como sua aplicação em uma planta experimental de distribuição de água. Os experimentos realizados mostram a eficácia do controlador adaptativo para o sistema em diversas condi-ções de operação, enfatizando a economia de energia e água, que obteve redução de até 19,2% para o sistema atuando na condição mais desfavorável.

(22)

6 CAPÍTULO 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

(23)

Capítulo 3

Referencial Teórico

3.1 Controle Adaptativo

De acordo com (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995) um controlador adapta-tivo é um controlador que pode modificar seu comportamento em função das alterações na dinâmica do processo e de suas perturbações. Dessa maneira, os parâmetros do controlador são ajustáveis e existe um mecanismo de estrutura não linear responsável pelo ajuste desses parâmetros. (HASSAN, 2002) recomenda o uso desse tipo de controle para sistemas que apresentam dinâmicas com va-riações ao longo do tempo, processos conhecidos com incerteza, ou até mesmo desconhecidos. Além de sistemas com a presença de atuadores não-lineares, e sistemas que sofram alterações nas suas condições de operação, ou na natureza de suas perturbações.

3.1.1 Histórico

Pesquisas na área de controle adaptativo tiveram início na década de cin-quenta, tendo como motivação o projeto de pilotos automáticos para aeronaves que operavam em diversas velocidades e altitudes. Concluiu-se que um con-trolador de ganhos constantes não era suficiente para resolver o problema em questão, e foi adotada como primeira solução o controle por escalonamento de ganho (Gain Scheduling). Em seguida, as primeiras tentativas com esquemas por modelo de referência e métodos de auto-sintonia (Self Tunning) dos parâmetros dos controladores foram propostos. Assim como as regras de sensibilidade e a regra do "M.I.T", que apresentavam um bom desempenho sobre certas restrições. Em 1958, Kalman apresentou o conceito de um controlador auto-ajustável com a identificação dos parâmetros de uma planta linear (SASTRY; BODSON, 1989).

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8 CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO

para o desenvolvimento do controle adaptativo. Teorias de espaço de estados e estabilidade foram introduzidas. Havia também resultados importantes na teoria de controle estocástico. A programação dinâmica, introduzida por Bellman, aumentou a compreensão dos processos adaptativos. No final dos anos 70 e inicio dos anos 80, provas de estabilidade de sistemas adaptativos apareceram, embora sob várias suposições restritivas. O esforço de juntar ideias de controle robusto e identificação de sistemas tinha uma relevância particular. A investiga-ção da necessidade dessas suposições geraram novas e interessantes pesquisas na robustez do controle adaptativo, assim como em controladores universalmente estabilizáveis. Pesquisas no final da década de 80 e inicio da década de 90 deram maior percepção de robustez aos controladores adaptativos. Os avanços nos estudos de sistemas não lineares levaram também a um aumento significante da compreensão do tema. Surgiram muitos experimentos em controle adaptativo tanto em laboratórios, como na indústria. O rápido progresso em microeletrônica foi de grande importância e a interação entre teoria e prática resultou em um vigoroso desenvolvimento em campo. Como resultado, controladores adapta-tivos começaram a aparecer comercialmente no começo dos anos oitenta. Esse desenvolvimento teve forte aceleração e técnicas adaptativas são aplicadas de diversas maneiras em grande parte dos controladores comercializados hoje em dia. (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995)

3.1.2 Estrutura do Controlador

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3.1. CONTROLE ADAPTATIVO 9

Figura 3.1: Estrutura de um Controlador Adaptativo (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995)

3.1.3 Controle Adaptativo Direto/Indireto

Um sistema de controle adaptativo pode ser classificado como direto ou indireto. Para uma estrutura direta, os parâmetros do controlador são estimados diretamente. Para isso se faz necessária uma etapa de parametrização das variáveis do controlador em função dos parâmetros da planta, sendo o mecanismo de ajuste o único elemento responsável pela atualização do controlador. A estrutura de um controlador adaptativo direto é demonstrada na figura 3.2. Para o caso indireto, o processo é composto por duas etapas. A primeira responsável apenas pela estimação dos parâmetros da planta, e a segunda responsável pelo cálculo dos parâmetros do controlador através das estimativas, apresentando assim um elemento intermediário quando comparado com o caso direto. A figura 3.3 apresenta o modelo de um sistema indireto.

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Figura 3.3: Estrutura de um Controlador Adaptativo Indireto (IOANNOU; SUN, 1996)

3.2 Desacoplamento de Sistemas

Grande parte dos sistemas multivariáveis apresentam interações entre suas entradas e saídas. O controle eficiente desses sistemas é um problema com-plexo no contexto de controle de processos, visto que métodos de controle já consolidados para casos de sistemas SISO nem sempre podem ser estendidos diretamente para o caso MIMO (CHEN; ZHANG, 2006). Uma das maneiras de tratar o acoplamento entre as variáveis presentes em um sistema MIMO é através de métodos de desacoplamento. Tais métodos tendem a minimizar os efeitos que uma variável do sistema exerce sobre a outra, tornando possível realizar um estudo mais simples do problema para cada conjunto de entradas e saídas. Podemos por exemplo desenvolver controladores específicos para cada par de entrada e saída, ao invés de uma análise centralizada utilizando técnicas de controle MIMO mais avançadas. Um sistema de controle descentralizado com uma matriz de desacoplamento pode ser projetado combinando um controlador

C(s) com um bloco compensador D(s), de tal maneira que o controlador

visua-lize o processo aparente Q(s) como um conjunto de processos completamente

(27)

3.2. DESACOPLAMENTO DE SISTEMAS 11 VáZQUEZ; MORILLA, 2011). A figura 3.4 apresenta a estrutura convencional de um desacoplador para um sistema TITO (Two Inputs and Two Outputs), sendo

d11,d12,d21,d22 os elementos deD(s),c1,c2 os elementos deC(s)e g11, g12,g21,

g22 os elementos da matriz de transferência G(s) - Equação (3.1). A matriz D(s)

deve ser projetada de maneira que G(s)D(s) resulte na matriz de transferência

diagonalQ(s) - Equação (3.2).

D(s) = d11 d12

d21 d22

!

G(s) = g11 g12

g21 g22

!

Q(s) = q11 0

0 q22

!

C(s) = c11 0

0 c22

! (3.1) Q(s) =G(s).D(s) (3.2)

Figura 3.4: Estrutura de um Desacoplador para um sistema TITO (GARRIDO; VáZQUEZ;

MORILLA, 2011)

De maneira geral, as técnicas de desacoplamento convencionais são classifica-das em três tipos: desacoplador ideal (ideal decoupling), desacoplador simplificado (simplified decoupling) e desacoplador invertido (inverted decoupling). (GAGNON; POMERLEAU; DESBIENS, 1998) apresenta um estudo comparativo entre os três métodos, onde a estabilidade, robustez e implementação dos modelos são estudadas. Para o autor, a escolha do método de desacoplamento é uma ta-refa relativamente complexa, visto que cada técnica apresenta suas vantagens e limitações.

3.2.1 Desacoplador Ideal

(28)

12 CAPÍTULO 3. REFERENCIAL TEÓRICO Q(s) =G(s).D(s)

D(s) =G(s)−1Q(s) = g22q11 −g12q22

−g21q11 g11q22

!

(3.3) A equação (3.3) define o desacoplador ideal (Ideal Decoupling) proposto por (LUYBEN, 1970). Tal método permite que os elementos do controladorc11 ec22

sejam sintonizados de acordo com os elementos atribuídos à matriz aparente do processo Q(s). Apesar de seu esquema refletir em uma maior facilidade no

projeto e sintonia do controlador, sua estrutura na maioria das vezes pode levar a expressões complexas de D(s), de difícil realização.

3.2.2 Desacoplador Simplificado

Um segundo método denominadosimplified decoupling (LUYBEN, 1970) é vas-tamente utilizado na literatura, tendo como sua maior vantagem a simplicidade dos elementos envolvidos. Sua matriz de desacoplamento é descrita por:

D(s) = 1 − g₁₂ g11

−g_g21₂₂ 1

!

(3.4) Resultando na seguinte matriz de transferência Q(s):

Q(s) =G(s).D(s) = g11− g12g21

g22 0

0 g22− g12_g₁₁g21

!

(3.5) O desacoplador simplificado permite uma maior facilidade no projeto da matriz de desacoplamento D(s), porém os elementos de Q(s) tornam-se mais

complexos visto que são compostos por somas de funções de transferência. Tal característica muitas vezes dificulta a sintonia dos controladores.

3.2.3 Desacoplador Invertido

Na tentativa de evitar complexidade dos elementos deQ(s)na implementação

(29)

3.3. MRAC 13

Figura 3.5: Estrutura de um Desacoplador Invertido para um sistema TITO (GARRIDO;

VáZQUEZ; MORILLA, 2011)

A partir desta estrutura, (WADE, 1997) desenvolveu uma nova estratégia de desacoplamento denominada inverted decoupling que apresenta as mesmas funções de transferência da matrizD(s) utilizadas no desacoplador simplificado

(3.4) e uma matriz aparente do sistema mais simples, assim como o desacoplador ideal (3.6). Diante do exposto, este método foi utilizado no presente trabalho pois oferece os benefícios de ambos os desacopladores citados anteriormente e uma implementação mais simples e direta. Uma descrição matemática mais detalhada do desacoplador invertido é apresentada na seção 4.2 para um processo 3x3.

D(s)−1=Q(s)−1G(s) = 1 − g12

g₁₁

−g21

g22 1

!

= g11

q₁₁ −gq₁₁12 g₂₁

q22

g₂₂ q22

!

Paraq11=g11 eq22 =g22:

Q(s)−1G(s) = 1 − g12

g₁₁

−g21

g22 1

!

(3.6)

3.3 MRAC

(30)

de um mecanismo de ajuste (lei adaptativa) dos parâmetros do controlador. De acordo com (ÅSTRöM; WITTENMARK, 1995), esse mecanismo é baseado no erro entre a saída da planta e a saída do modelo de referência, e pode ser obtido de diversas maneiras: utilizando o método do gradiente, a regra do MIT ou apli-cando a teoria da estabilidade. No presente trabalho a regra do MIT é utilizada. A figura 3.6 apresenta a arquitetura de um controlador MRAC.

Figura 3.6: Arquitetura do controlador MRAC

Seja uma planta genérica de primeira ordem (3.7) : ˙

y=−ay+bu (3.7)

O modelo de referência (3.8) : ˙

ym=−amym+bmum (3.8)

E o controlador descrito por:

u=θ1r−θ2y (3.9)

Sendora referência aplicada ao sistema. Substituindo (3.9) em (3.7): ˙

y=−ay+b(θ1r−θ2y)

˙

(31)

3.3. MRAC 15 Comparando (3.10) e (3.8) e considerando que a planta deve se comportar como o modelo de referência, temos quey=ym eum =r, logo:

θ1=b_bm (3.11)

θ2= am_b−a (3.12)

Para aplicar a regra do MIT, definimos o erro de estimação ǫ e a seguinte

função objetivo J:

ǫ=y−ym (3.13)

J(θ1,θ2) = 1₂ǫ2 (3.14)

A fim de realizarmos a estimação dos parâmetros do controlador, devemos minimizar a função objetivo na direção negativa de seu gradiente. Sendo γ o

ganho adaptativo e θ o vetor de parâmetros do controlador, temos:

˙

θ=−γ∂J

∂θ =−γǫ ∂ǫ

∂θ (3.15)

A equação (3.15) apresenta a regra do MIT. A taxa de convergência das estimativas dos parâmetros do controlador está diretamente relacionada ao ganho adaptativo γ. Quanto maior o valor de γ, maior a velocidade que as estimativas

convergem, porém para valores muito elevados o comportamento das estimativas torna-se imprevisível. A derivada parcial ∂ǫ

∂θ é denomida derivada de sensibilidade

do sistema. Tal derivada expressa como o erro ǫ é influenciado pelo vetor θ.

Decorre da equação (3.10) que a saída do sistema em malha fechada é dada por:

y= bθ1

p+a+bθ2r (3.16)

sendo p=d/dt o operador diferencial. As equações de sensibilidade (3.17) e

(3.18) são obtidas através das derivadas parciais do erro de estimação em relação aos parâmetros do controladorθ1 eθ2:

∂ǫ ∂θ1 =

b

p+a+bθ2r≈

b

p+amr (3.17)

∂ǫ ∂θ2 =−

b2_θ 1

(p+a+bθ2)2r=−

b

p+a+bθ2y≈ −

b

(32)

Essas equações não podem ser aplicadas diretamente pois os parâmetros da plantaaebsão desconhecidos. Por isso devemos utilizar aproximações, das quais uma das possíveis é a seguinte: p+a+bθ2≈p+am. Isso decorre da equação

(3.12) quando consideramos que à medida que as estimativas dos parâmetros tendem a convergir, o comportamento do sistema deve acompanhar o modelo de referência. Levando em consideração a aproximação citada e a equação das estimativas dos parâmetros do controlador (3.15) temos :

˙

θ1=−γ ∂J

∂θ1 =−γǫ

∂ǫ

∂θ1 =−γ

b

p+amr

ǫ (3.19)

˙

θ2=−γ ∂J

∂θ2 =−γǫ

∂ǫ ∂θ2 =γ

b

p+amy

ǫ (3.20)

Combinando os parâmetrosb, am e γ (3.21), podemos normalizar os filtros

para apresentarem ganho unitário, resultando em:

γ′= γb

am (3.21)

˙

θ1=−γ′

am

p+amr

ǫ (3.22)

˙

θ2=γ′

am

p+amy

ǫ (3.23)

3.4 Controlador auto-ajustável GMV

(33)

3.4. CONTROLADOR AUTO-AJUSTÁVEL GMV 17

3.4.1 Método dos Mínimos Quadrados Recursivo

A identificação do sistema é uma etapa fundamental em estratégias de controle adaptativo indiretos. Métodos de identificação têm como objetivo desenvolver ou aprimorar uma representação matemática de um sistema físico utilizando dados experimentais, como por exemplo suas entradas e saídas. Tais técnicas são largamente utilizadas para casos em que os parâmetros da planta sejam pouco conhecidos, desconhecidos ou sofram variações ao longo do tempo. No presente trabalho o método dos mínimos quadrados recursivo é utilizado para estimar os parâmetros do sistema desacoplado. A estimação é feita em tempo real enquanto o processo se encontrar operando, sendo assim considerado um método "on-line"de estimação. Considerando o seguinte conjunto de entradas e saídas medidas:

n

u(0) u(1) ... u(N)o ny(0) y(1) ... y(N)o (3.24)

Definimos as seguintes matrizes:

θ=                    a1 a2 ... an · · · b1 b2 ... bm                    y=      

y(1)

y(2)

...

y(N)

      e=       e1 e2 ... en       x=       

−y(0) ... −y(1−n) ... u(0) ... u(1−m)

−y(1) ... −y(2−n) ... u(1) ... u(2−m)

... ... ... ... ...

−y(N−1) ... −y(N−n) ... u(N−1) ... u(N−m)

(34)

Temos que:

y=xθ+e (3.26)

O problema consiste em encontrar o vetorθque contém os parâmetros do sistema,

dados os vetoresxey. Para isso, devemos escolher os valores deθque minimizam

a seguinte função erro:

J= N

∑

k=1

e2(k) =eTe= (y−xθ)T(y−xθ) (3.27)

Minimizamos J igualando a zero o seu gradiente em função deθ: ∂J

∂θ

θ=θˆ=0

∂(yTy−yTxθ−θTxTy+θTxTxθ)

∂θ

θ=θˆ=0

(3.28) Resultando em:

−2xTy+2xTxθˆ=0

ˆ

θ= (xTx)−1xTy (3.29)

A equação (3.29) apresenta o cálculo das estimativas para o método os mínimos quadrados. Para a versão recursiva do estimador, ajustamos as equações (3.26) e (3.29) considerando N+1 amostras, resultando em (3.30) e (3.31) :

        

y(1)

y(2)

...

y(N)

y(N+1)

         =             

−y(0) ... −y(1−n) ... u(0) ... u(1−m)

−y(1) ... −y(2−n) ... u(1) ... u(2−m)

... ... ... ... ...

−y(N−1) ... −y(N−n) ... u(N−1) ... u(N−m)

... ... ... ... ... ... ...

−y(N) ... −y(N+1−n) ... u(N+1) ... u(N+1−m)

             θ+         

e(1)

e(2)

...

e(N)

e(N+1)

           

Y(N)

...

y(N+1)

  =   

X(N)

...

xT₍_N₊₁₎



 θ+



 

E(N)

...

y(N+1)



 

(35)

3.4. CONTROLADOR AUTO-AJUSTÁVEL GMV 19 ˆ

θN+1= (XNT+1XN+1)−1XTN+1YN+1

ˆ

θN+1= (XTN+1XN+1)−1XTN+1



 

YN

...

yN+1



 

ˆ

θN+1=



  h

XT

N ... xN+1

i    XN ... xT N+1

      −1 h XT

N ... xN+1

i    YN ...

yN+1



 

ˆ

θN+1= (XTNXN+xN+1xTN+1)−1[XTNYN+xN+1yN+1]

(3.31)

Definimos a matriz de covariância:

PN+1= (XTNXN +xN+1xTN+1)−1 (3.32)

Utilizando o lema da inversão de matrizes, temos:

PN+1= [I−(1+xTN+1PNxN+1)−1PNxN+1xTN+1]PN (3.33)

Substituindo (3.33) em (3.31) obtemos as equações do estimador:

KN = (1+xTN+1PNxN+1)−1PNxN+1

ˆ

θN+1=θˆN+KN(yN+1−xTN+1θˆN)

PN+1= [I−KNxTN+1]PN

(3.34)

3.4.2 Implementação do controlador GMV

Dado um sistema discreto de primeira ordem descrito por:

y(k+1) =−ay(k) +bu(k) (3.35)

Podemos escrever y(k+1) em função da variação do sinal de controle ∆u₍k₎

subtraindo a equação (3.36) de (3.35):

(36)

Resultando em:

y(k+1)−y(k) =−a[y(k)−y(k−1)] +b[u(k)−u(k−1)]

y(k+1) =−ay(k) +y(k)−ay(k−1) +b∆_u₍_k₎ y(k+1) = (1−a)y(k) +ay(k−1) +b∆u₍k₎

(3.37) O sinal de controle pode ser calculado minimizando a função de custo J (3.38) em relação a variação do sinal de controle ∆u₍k₎, sendo y_{re f} a referência aplicada

ao sistema e ρ o fator de ponderação de∆u₍k₎:

J= [y(k+1)−yre f(k+1)]2+ρ∆u(k)2 (3.38)

Substituindo (3.37) em (3.38):

J= [(1−a)y(k) +ay(k−1) +b∆u₍k₎₋y_{re f}₍k₊1_)]2₊_ρ∆u₍k₎2 (3.39)

Minimizando J (3.39):

∂J

∂∆u₍k₎ =0

∂J

∂∆u₍k₎ =2[(1−a)y(k) +ay(k−1) +b∆u(k)−yre f(k+1)] +2ρ∆u(k) =0 ∆_u₍_k₎₍_b2₊_ρ_{) =}_b_[(_ay₍_k₎₋_y₍_k₎₋_ay₍_k₋₁_{) +}_y_{re f}₍_k₊₁_)]

∆u₍k_{) =} b

(b2+ρ)[(ay(k)−y(k)−ay(k−1) +yre f(k+1)]

(3.40) Como ∆u₍k_{) =}u₍k₎₋u₍k₋1₎, chegamos a expressão do sinal de controle

aplicado a cada intervalo de tempo, onde os parâmetros do sistema a e b pelo princípio de equivalência a certeza (SIMON, 1956) (THEIL, 1957) devem ser substituidos pelas estimativas obtidas através do método dos mínimos quadrados:

u(k) = 1

1+ρ_b

"

(ay(k)−y(k)−ay(k−1) +yre f(k+1)

b

#

(37)

3.4. CONTROLADOR AUTO-AJUSTÁVEL GMV 21

(38)

(39)

Capítulo 4

Metodologia

Este capítulo apresenta a metodologia utilizada neste trabalho, incluindo alguns conceitos e a fundamentação matemática dos temas envolvidos. Na seção 4.1 é feita uma descrição do sistema de tanques e sua modelagem fenomenológica. A seção 4.2 traz o equacionamento do desacoplador invertido para um sistema 3x3 e sua aplicação no processo.

4.1 Sistema de Tanques

(40)

24 CAPÍTULO 4. METODOLOGIA

Figura 4.1: Sistema de Tanques Acoplados

Realizando uma modelagem fenomenológica do processo, a dinâmica da planta pode ser representada da seguinte maneira:

• Tanque 1

qi1=Km1Vp1 (4.1)

qo1=a1p2gL1 (4.2)

˙

L1= qi1_A−qo1 1 =−

a1

A1

p

2gL1+K_Am1

1 Vp1 (4.3)

• Tanque 2

qi2=Km2Vp2+a1p2gL1 (4.4)

qo2=a2p2gL2 (4.5)

˙

L2= _Aa1 2

p

2gL1− _Aa2 2

p

2gL2+K_Am2

(41)

4.1. SISTEMA DE TANQUES 25

• Tanque 3

qi3=Km3Vp3+a2p2gL2 (4.7)

qo3=a3p2gL3 (4.8)

˙

L3= _Aa2 3

p

2gL2− _Aa3 3

p

2gL3+K_Am3

3 Vp3 (4.9)

Sendo,

qit- vazão de entrada

qot - vazão de saída

Kmt - constante da bomba

at - área do orifício de saída

At - área do tanque

Lt - nível

Vpt- tensão aplicada a bomba

g− aceleração da gravidade

Parat=1,2,3 referente a cada tanque.

Linearizando as equações (4.3), (4.6) e (4.9) por expansão em série de Taylor, considerando os pontos de operação Lo1,Lo2, Lo3 e as variáveis∆L1=L1−Lo1,

∆L₂₌L₂₋L_o₂e∆L₃₌L₃₋L_o₃, temos: ∆L˙₁₌₋a1

A1

r g

2Lo1

∆L₁₊ Km1 A1

∆V_p₁ (4.10) ∆L˙₂₌ a1

A2

r g

2Lo1

∆L₁₋ a2 A2

r g

2Lo2∆L2+

Km2

A2 ∆Vp2 (4.11)

∆L˙₃₌ a2 A3

r g

2Lo2

∆L₂₋ a3 A3

r g

2Lo3

∆L₃₊Km3 A3

∆V_p₃ (4.12)

(42)

26 CAPÍTULO 4. METODOLOGIA Kmt=16.5cm3/s

at =0.1781cm2

At =60cm2

g=978.07cm/s2

Lo1=Lo2=Lo3=15cm

A partir das equações linearizadas, considerando Lt as saídas do sistema e

V ptas entradas, obtemos a seguinte matriz de transferência da planta:

Lt=

   L1 L2 L3   Vpt=



 

Vp1

Vp2

Vp3



 

Lt =G(s)Vpt=



 

G11(s) G12(s) G13(s)

G21(s) G22(s) G23(s)

G31(s) G32(s) G33(s)

     

Vp1

Vp2

Vp3





 (4.13)

G(s) =

        0.275

s+0.01695 0 0

0.004662

s2₊_0.0339s₊_0.0002874 _s₊0.275_0.01695 0

7.903 10−5

s3₊_0.05s2₊_0.0008s₊_4.872∗10−₆ _s2₊_0.0339s0.004662₊_0.0002874 _s₊0.275_0.01695

       

A matriz de transferência é composta de maneira que cada elementoGij

cor-responde a função de transferência da saídaido sistema em relação a sua entrada

(43)

4.2. DESACOPLADOR INVERTIDO 27

4.2 Desacoplador Invertido

(GARRIDO; VáZQUEZ; MORILLA, 2011) apresentam em seu trabalho as expressões de um desacoplador invertido de uma maneira generalizada para processos n×n, e suas condições para que seja realizável. Um desacoplador ideal

é dado pela equação (4.14), e tem como objetivo tornar a análise do sistema MIMO tão simples como uma matriz de transferência diagonal (não possue acoplamento entre suas variáveis):

D(s) =G−1(s)Q(s) (4.14)

Sendo D(s) uma matriz nxn com os elementos do desacoplador e Q(s) uma

matriznxn com as funções de transferência do sistema desacoplado.

Dada a complexidade do cálculo deD(s), o método do desacoplador invertido propõe que a estrutura dessa matriz seja representada pela equação (4.15). Desse modo, D(s) é escrita em função das matrizes Do(s) eDd(s) que compõem uma

malha com realimentação positiva, ilustrada na figura 4.2.

Figura 4.2: Representação de D(s) pelas matrizes Dd(s) e Do(s) (GARRIDO; VáZQUEZ;

MORILLA, 2011)

(44)

Considerando a inversa da matriz D(s) para simplificar a análise, temos:

D(s)−1= (I−Do(s).Dd(s))Dd(s)−1

=Dd(s)−1−Do(s) (4.16)

Invertendo a equação (4.14) e substituindo-a em (4.16), obtemos:

Dd(s)−1−Do(s) =Q(s)−1G(s) (4.17)

A equação (4.17) pode ser utilizada para calcular os elementos do desacoplador. A matrizDd(s)deve ser não singular e pode ser escolhida de maneira que seja uma matriz diagonal. Já a matriz Do(s) possui elementos nulos em sua diagonal

visto que uma determinada saída do desacoplador não influencia sua respectiva entrada. Dessa maneira as expressões (4.18) e (4.19) definem o desacoplador para um sistema 3x3:



  

1

dd11 −do12 −do13

−do21 _dd1₂₂ −do23

−do31 −do32 _dd1₃₃

    =     g11

q₁ gq12₁ gq13₁ g₂₁ q2 g₂₂ q2 g₂₃ q2 g₃₁ q3 g32 q3 g33 q3     (4.18)

Escolhendo os elementos da diagonal principal da matriz Dd unitários e

considerando que a matriz Q(s) deve apresentar os mesmos valores da diagonal

principal de G(s):

dd11=dd22=dd33=1

q1=g11 q2=g22 q3=g33

(4.19)



 

1 −do12 −do13

−do21 1 −do23

−do31 −do32 1

  =    

1 g12

g11

g₁₃ g11

g₂₁ g22 1

g23

g22

g31

g₃₃ gg32₃₃ 1



  

(4.20) Substituindo os valores da matriz G(s) (4.13) na equação (4.20) temos os

seguintes termos:

do12=0 (4.21)

(45)

4.2. DESACOPLADOR INVERTIDO 29

do21 = −0.0046s−7.9 10 −5

0.275s2₊_0.0093_s₊_{7.9 10}−5 (4.23)

do23=0 (4.24)

do31= −7.9 10

−5_s₋_{1.34 10}−6

0.275s3₊_0.013_s2₊_0.00023_s₊_{1.34 10}−6 (4.25)

do32 = −0.0046s−7.9 10 −5

0.275s2₊_0.0093_s₊_{7.9 10}−5 (4.26)

A disposição final dos elementos do desacoplador incorporados ao sistema pode ser observada na figura 4.3.

Figura 4.3: Disposição final dos elementos do desacoplador

A matriz de transferência final do sistema desacoplado Q(s) está exposta no

Apêndice A. Como esperado os elementos da diagonal principal de Q(s)

corres-pondem aos mesmos elementos da diagonal principal da matriz G(s), enquanto

seus demais elementos apresentam funções de transferência com coeficientes de valores muito próximos a zero.

4.2.1 Desacoplador Invertido Chaveado

(46)

pontos de operação e realizar o chaveamento destes de acordo com a situação em que o sistema se encontrar. Considerando que os sinais de referência do sistema excursionem na faixa de 0 a 20cm, foram definidos para cada um dos tanques quatro pontos de operação. Para os intervalos entre 0-5cm, 5-10cm, 10-15cm, 15-20cm temos respectivamente os seguintes médios de operação 2,5cm, 7,5cm, 12,5cme 17,5cm(Figura 4.4).

Figura 4.4: Divisão do tanque em diferentes pontos de operação

Os elementos da matriz de desacoplamento foram então calculados levando em conta as diversas possibilidades em que os níveis dos tanques possam se encontrar. Por exemplo, para o elemento D21 que compensa a influência da

entrada 1 no tanque 2, consideramos 16 funções de transferências distintas, visto que tanto o tanque 1 como o tanque 2 podem operar em quatro pontos de operação diferentes. O mesmo ocorre para os elementos D31 e D32 que

apresentam 16 possibilidades cada (no caso de D31, foram considerados os

(47)

4.2. DESACOPLADOR INVERTIDO 31 através de um multiplexador que possui como entrada um mecanismo de seleção. Este mecanismo é responsável por verificar o ponto de operação de cada tanque em determinado instante de tempo, permitindo que a função de transferência adequada seja utilizada. A figura 4.5 mostra um esquema exemplo do elemento

D21 do desacoplador chaveado. Todas as funções de transferência calculadas

estão presentes no Apêndice B .

(48)

(49)

Capítulo 5

Resultados

Algumas simulações no Matlab/Simulink foram realizadas para verificarmos o comportamento do sistema desacoplado e o desempenho dos controladores implementados.

5.1 Sistema Desacoplado

(50)

34 CAPÍTULO 5. RESULTADOS

Figura 5.1: Comparativo para o sistema em malha aberta com desacoplador e sem desacoplador

A fim de verificarmos a eficácia do método do desacoplador chaveado (seção 4.2.1), aplicamos diferentes sinais de entrada em cada um dos tanques para o sistema em malha aberta. O nível do tanque 1 é mantido em 2.5 cm, enquanto uma entrada oscilatória é aplicada ao tanque 2. Em relação ao tanque 3, o sinal aplicado faz com que os valores de referência excurcionem entre os pontos de operação escolhidos no projeto do desacoplador chaveado. O comportamento da planta para o desacoplador projetado para o ponto de operação de 15 cm e para o desacoplador chaveado pode ser observado na figura 5.2. O tanque 3 apresenta melhor desempenho com a atuação do desacoplador chaveado, acompanhando de maneira mais eficiente as mudanças de referência, além de minimizar o efeito das perturbações geradas pelo sinal oscilatório do tanque 2. O mesmo ocorre para o tanque 2 nos instantes iniciais da simulação, enquanto o tanque 1 ainda se encontra em regime transitório.

(51)

5.1. SISTEMA DESACOPLADO 35

ISE=

Z ∞

0 e(t) 2 _dt

IAE=

Z ∞

0 |e(t)| dt

ITAE=

Z ∞

0 t|e(t)| dt

(5.1) A tabela 5.1 exibe os valores das métricas do erro de rastreamento no tanque 3 para o sistema com o desacoplador chaveado e para o sistema com o desaco-plador no ponto de operação 15cm. O desacodesaco-plador chaveado, como esperado, proporciona um melhor desempenho ao sistema, visto que os índices devem ser minimizados. Sendo assim, esta será a estratégia utilizada para as simulações apresentadas nas próximas seções.

Tabela 5.1: Índices de desempenho Tanque 3

Índices Desacoplador Chaveado Desacoplador PO15 ISE 453.4 1371

IAE 298.6 520.8 ITAE 3.144 104 _{5.636 10}4

(52)

Figura 5.2: Comparativo para o sistema em malha aberta entre o desacoplador PO 15 e o

desaco-plador chaveado

5.2 Controlador MRAC

(53)

5.2. CONTROLADOR MRAC 37 e valores para os ganhos adaptativos. Em relação ao modelo de referência, considerando uma planta de primeira ordem, para um sistema com constante de tempoτ=1s e ganho unitário temos a seguinte função de transferência:

Gm(s) = 1

s+1 (5.2)

A constante de tempo deve ser um valor não muito alto, pois consequen-temente tornaria lento o desempenho do controlador. Assim como não pode ser um valor muito pequeno, pois tende a gerar um sinal de controle elevado. Após a realização de alguns testes, a constante de tempo τ=1sfoi atribuída. Tal

constante resulta em um tempo de estabilização do sistema de aproximadamente 4τ=4s para um critério de erro de 2%.

Por tratarmos de uma planta cujos parâmetros são conhecidos, podemos calcular os parâmetros do controlador a partir dos da planta:

θ1= b_bm =_0.2751 =3.6364 (5.3)

θ2= am_b−a =1−_0.2750.01695 =3.5793 (5.4)

Foram considerados os seguintes valores iniciais das estimativasθ1 eθ2:

θ1_inicial =1,5 (5.5)

θ2_inicial =1,5 (5.6)

Os ganhos adaptativos foram atribuídos empiricamente para cada um dos tan-ques. Ganhos altos apesar de diminuir em tempo necessário para as estimativas convergirem, podem levar o sistema a oscilar e não seguir o modelo de referência. Já valores pequenos de ganhos tendem a tornar a convergencia das estimativas muito lenta:

γ₁′_tanque₁ =0.01 (5.7)

γ₂′_tanque₁ =0.01 (5.8)

γ₁′_tanque₂ =0.05 (5.9)

(54)

γ₁′_tanque₃ =0.5 (5.11)

γ₂′_tanque₃ =0.5 (5.12)

(55)

5.2. CONTROLADOR MRAC 39

Figura 5.3: Resposta do sistema com o controlador MRAC

(56)

Figura 5.4: Estimativas dos parâmetros do controlador MRAC

O sistema desacoplado possui estimativas que se aproximam bastante dos valores reais dos parâmetros do controlador θ1 e θ2. No caso do sistema

(57)

5.2. CONTROLADOR MRAC 41

Figura 5.5: Resposta do sistema com o controlador MRAC

As tabelas 5.2 e 5.3 exibem as métricas de desempenho dos controladores MRAC sem desacoplamento, com o desacoplador projetado no ponto de operação 15cm e no desacoplador chaveado. O erro de estimação (4.33) foi levado em consideração no cálculo dos índices visto que o objetivo do controlador MRAC é fazer com que a planta acompanhe o modelo de referência. Apenas os resultados dos tanques 2 e 3 são apresentados, visto que o tanque 1 apresenta o mesmo comportamento para os 3 casos pois não possui acoplamento. A simulação para obtenção dos índices teve duração de 10.000s.

(58)

Índices MRAC MRAC Desacoplador PO15 MRAC Desacoplador Chaveado ISE 230.50 88.43 67.43

IAE 798.8 346.4 276.4 ITAE 40.71 105 _{14.04 10}5 _{9.66 10}5

Índices MRAC MRAC Desacoplador PO15 MRAC Desacoplador Chaveado ISE 330.6 9.596 8.351

IAE 742.9 74.94 72.22 ITAE 37.43 105 _{3.288 10}5 _{3.171 10}5

vezes para os critérios IAE e ITAE e 40 vezes para o critério ISE. Uma comparação entre o desacoplador projetado no ponto de operação 15cm e o desacoplador chaveado pode ser realizada, mostrando que o segundo minimiza os índices principalmente em relação ao segundo tanque. A figura 5.6 apresenta o sinal de controle no teste realizado para o sistema com desacoplamento.

(59)

5.3. CONTROLADOR GMV 43

5.3 Controlador GMV

O projeto do controlador GMV consiste em definir o valor inicial para a matriz de covariância P (3.32), o fator de ponderação do sinal de controle(ρ) e

período de amostragem para a discretização do sistema. Usualmente, a matriz de covariância deve ser inicializada com valores elevados. Portanto, após alguns testes o seguinte valor foi escolhido:

Pinicial =1015I (5.13)

O comportamento do sistema com ponderação do sinal de controle não apresentou resultados satisfatórios, logo o controlador foi projetado com fator de ponderação nulo:

ρ=0 (5.14)

(60)

Figura 5.7: Resposta do sistema com o controlador GMV para diferentes períodos de amostragem

(61)

Figura 5.8: Resposta do sistema com o controlador GMV

Nos instantes iniciais o sistema apresenta um comportamento oscilatório para os três tanques. Isso ocorre pois as estimativas dos parâmetros da planta ainda não convergiram (Figura 5.9). Passado o período transitório da convergência das estimativas, observamos que as referências são seguidas a cada intervalo de amostragem.

(62)

um saturador ao sinal de controle para limitar seus valores, estudo que será demonstrado na seção 5.4.

Figura 5.9: Resposta do sistema para os instantes iniciais da simulação

(63)

Figura 5.10: Sinal de Controle

(64)

Índices GMV GMV Desacoplador ISE 944.4 927.5

IAE 98.16 92.57 ITAE 1.394 104 _{1.27 10}4

Índices GMV GMV Desacoplador ISE 156.2 191.9

IAE 43.68 43.4 ITAE 6614 5971

A fim de identificar o comportamento das estimativas dos parâmetrosθ1eθ2

obtidos através do método dos mínimos quadrados recursivo, discretizamos a função de transferência G11 (4.13) pelo método do segurador de ordem zero com

período de amostragem 1s, obtendo:

G(z) = 0.2729

z−0.9844 (5.15)

A função de transferência discreta (5.14) representa o comportamento dos 3 tanques para o sistema desacoplado, visto que G11 =G22=G33(4.13). Apesar

de (4.13) definir a modelagem para o sistema linearizado em torno do ponto de operação 15cm, a variação dos parâmetros quando o sistema é linearizado em torno de outros pontos de operação é pequena. Portanto comparando a equação (5.14) com os parâmetros a serem estimadosaeb da equação (3.35), concluímos que os valores reais de θ1e θ2correspondem a:

θ1_real =0.2729 (5.16)

θ2_real =−0.9844 (5.17)

Considerando os valores iniciais das estimativas nulos, a figura 5.12 apresenta o comportamento das estimativas do sistema que tendem a convergir para os valores reais de maneira rápida nos primeiros segundos da simulação.

(65)

5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 49

θ2_inicial =0 (5.19)

Figura 5.12:Comportamento das estimativas dos parâmetros do sistema (método dos mínimos

quadrados)

5.4 Saturação do Sinal de Controle

(66)

histerese foi aplicado na saída dos controladores implementados, atuando de maneira limitar as tensões entre -22V e 22V. A figura 5.13 apresenta o desempenho dos controladores MRAC e GMV para o sistema desacoplado e com a presença do saturador.

Figura 5.13: Desempenho do sistema para os controladores com saturação no sinal de controle

A introdução do saturador pode ocasionar um erro na estimação dos parâ-metros de um controlador adaptativo fazendo com que o sistema se comporte de uma maneira inesperada, apresentando oscilações na variável de processo e podendo até mesmo levá-lo a instabilidade. Tal efeito é denominadowind upe pode ser observado na figura 5.13, onde controlador MRAC em vários instantes não consegue seguir o modelo de referência. Quanto ao controlador GMV, o fenômeno de wind upnão foi observado e as estimativas permanecerem corretas.

(67)

5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 51 com uma leianti-winduppara sistemas assintoticamente estáveis. A idéia consiste em não levar em consideração as variações nas estimativas para os seguintes casos: Se

u>u_max e ǫ am p+am

<0 , ou u<u_min e ǫ am p+am

>0 (5.20)

Fazer

˙

θ1=0 ˙θ2=0 (5.21)

Senão

˙

θ1=−γ′

am

p+amr

ǫ θ˙2=γ′

am

p+amy

ǫ (5.22)

Foi realizada uma alteração nos ganhos adaptativos dos tanques 1 e 2 para que as estimativas apresentem uma convergência mais rápida, visto que a estratégia

anti-windup não atualiza as estimativas em momentos que o sinal de controle esteja saturado.

γ′₁_tanque₁ =0.1

γ′₂_tanque₁ =0.1

γ′₁_tanque₂ =0.2

γ′₂_tanque₂ =0.2

(68)

Figura 5.14: Resposta do sistema para o controlador MRAC anti-windup

(69)

5.4. SATURAÇÃO DO SINAL DE CONTROLE 53 sinal de controle para atingir a referência aplicada neste tanque.

Após as devidas considerações, podemos comparar o desempenho do contro-lador GMV em relação ao controcontro-lador MRACanti-windupna figura 5.15. Ambos os controladores apresentam o desempenho esperado. O controlador GMV per-mite ao sistema acompanhar as referências no menor intervalo de tempo possível dada a saturação dos atuadores, enquanto o MRAC segue a trajetória do modelo de referência de uma maneira a não apresentar tantas oscilações quando o sinal de controle permanece saturado por um intervalo de tempo considerável.

Índices MRAC Desacoplador MRAC Desacoplador Anti-Windup

ISE 2035 1152

IAE 990.3 550.3 ITAE 6.667 105 _{3.917 10}5

Índices MRAC Desacoplador MRAC Desacoplador Anti-Windup ISE 430.3 207.5

IAE 199.6 99.29 ITAE 1.309 105 _{0.545 10}5

Índices MRAC Desacoplador MRAC Desacoplador Anti-Windup ISE 7.158 6.842

IAE 18.89 18.62

(70)

Figura 5.15:Comparativo entre os controladores GMV e MRAC anti-windup

(71)

Figura 5.16: Sinal de controle para o controlador GMV

Figura 5.17: Sinal de controle para o controlador MRAC anti-windup

O último teste implementado também realiza um comparativo entre os con-troladores MRAC e GMV, atribuindo uma constante de tempo mais lenta para o modelo de referência (τ =10s). O controlador MRAC foi projetado da seguinte

maneira:

Gm(s) = 0.1

(72)

θ1real = b_bm = _0.2751 =0.363 (5.25)

θ2_real = am_b−a = 1−_0.2750.01695 =0.302 (5.26)

θ1_inicial =0.15 (5.27)

θ2_inicial =0.15 (5.28)

γ′₁_tanque₁ =2 (5.29)

γ′₂_tanque₁ =2 (5.30)

γ′₁_tanque₂ =2 (5.31)

γ′₂_tanque₂ =2 (5.32)

γ′₁_tanque₃ =2 (5.33)

γ′₂_tanque₃ =2 (5.34)

(73)

Figura 5.18:Comparativo entre os controladores GMV e MRAC

(74)

Figura 5.19: Comparativo entre os controladores GMV e MRAC

Índices MRAC Desacoplador GMV Desacoplador ISE 4.63 361.8

IAE 19.27 41.05 ITAE 2619 578.6

(75)

IAE 23.74 41.31 ITAE 4397 636.7

IAE 26.04 31.3 ITAE 4697 435.9

simulações realizadas. Isto ocorre devido a alteração na constante de tempo do modelo de referência, tornando a dinâmica sistema menos agressiva e resultando em um menor esforço dos atuadores. Nesse contexto, a saturação do sinal de controle foi observada apenas nos instantes iniciais para o controlador GMV.

(76)

(77)

Capítulo 6

Conclusões

No presente trabalho os projetos de um desacoplador invertido e dos con-troladores MRAC e GMV são propostos para o controle de nível de um sistema MIMO com três tanques acoplados. Uma modelagem fenomenológica do sis-tema é apresentada, assim como os conceitos principais que envolvem os sis-temas de Desacoplamento de Sistemas e Controle Adaptativo. Os resultados foram obtidos através de simulações, nas quais o desacoplador invertido mostra-se uma alternativa interessante para facilitar o projeto de sistemas do tipo MIMO, reduzindo o acoplamento das variáveis da planta, aumentando o desempenho dos controladores e contribuindo para convergência das estimativas no caso do controlador MRAC.

Em relação ao controlador MRAC, a dinâmica imposta por seu modelo de refe-rência foi atingida. Para o caso em que a saturação atua no sinal de controle, uma leianti-windupfoi aplicada ao controlador, tornando viável sua implementação no processo real. O controlador GMV também apresentou um bom desempenho, rastreando as referências aplicadas calculando o sinal de controle ideal para cada intervalo de amostragem. Comparando os dois controladores implementados, a estratégia GMV possui a vantagem de não ser necessário aplicar o desacoplador ao sistema para que o estimador dos mínimos quadrados convirja. Além disso, o saturador foi introduzido ao sinal de controle sem a necessidade de nenhum ajuste no projeto do controlador.

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Referências Bibliográficas

CARVALHO, F. G. M. de; HEMERLY, E. M. Adaptive elevation control of a three degrees-of-freedom model helicopter using neural networks by state and output feedback. In: ABCM Symposium Series in Mechatronics. [S.l.: s.n.], 2008. v. 3, p. 106–113.

CARVALHO, F. G. M. de; HEMERLY, E. M.; RIBEIRO, M. P. Controle adaptativo descentralizado de um modelo de helicóptero com dois graus de liberdade utilizando realimentação de saÍda e redes neurais artificiais. In: Congresso Brasileiro de Automática. [S.l.: s.n.], 2008.

CHEN, P.; ZHANG, W. Improvement on an inverted decoupling technique for a class of stable linear multivariable processes. In: ISA Transactions. [S.l.: s.n.], 2006. v. 46, p. 199–210.

CLARKE, D. W.; GAWTHROP, P. J. Self-tuning controller. In: Proc. of the Institution of Electrical Engineers. [S.l.: s.n.], 1975. v. 122, p. 929–934.

COLóN, D.; ROSA, M. B. Controle adaptativo para um sistema de três tanques. In: Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA. [S.l.: s.n.], 2012.

FREITAS, A. A.; BAUCHSPIESS, A. Controle neuro-fuzzy de processo de nível multivariável. In: Anais do VIII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, SBAI. [S.l.: s.n.], 2007.

GAGNON, E.; POMERLEAU, A.; DESBIENS, A. Simplified, ideal or inverted decoupling? In: ISA Transactions. [S.l.: s.n.], 1998. v. 37, p. 265–276.

GARRIDO, J.; VáZQUEZ, F.; MORILLA, F. An extended approach of inverted decoupling.Journal of Process Control, v. 21, 2011.

GOSMANN, H. L.Um Sistema Multivariável de Tanques Acoplados para Avaliação de Técnicas de Controle. Dissertação (Mestrado) — Faculdade de Tecnologia da Universidade de Brasília, Brasília, DF, 2002.

HASSAN, M. Y. Notes of lecture course in adaptive control for the 4th class of control engineering in the control and systems engineerings. Notas de Aula. 2002. IOANNOU, P. A.; SUN, J.Robust Adaptive Control. [S.l.]: Prentice-Hall, 1996.

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64 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

KANAMORI, M.; TOMIZUKA, M. Model reference adaptive systems with input control of linear saturation. In: Proceedings of the 2004 IEEE. [S.l.: s.n.], 2004. p. 1318–1323.

LUYBEN, W. L. Distillation decoupling. AIChE Journal, v. 16(2), p. 198–203, 1970. PAULO, T.; MAITELLI, A. Controle adaptativo com desacoplamento aplicado a um sistema de tanques mimo. In: Congresso Rio Automação. [S.l.: s.n.], 2015. p. 1–10.

QUANSER. Quanser Coupled Water Tank Experiments. Disponível em:

http://engineering.nyu.edu/mechatronics/Control_Lab/Water_Tank_Manual.pdf. Acesso em: 16 de julho de 2015.

SASTRY, S.; BODSON, M.Adaptive Control - Stability, Convergence, and Robustness. [S.l.]: Prentice-Hall, 1989.

SHAH, R.; RASMUSSEN, B. P.; ALLEYNE, A. G. Application of a multivariable adaptive control strategy to automotive air conditioning systems.Int. J. Adapt. Control Signal Process, v. 18, n. 2, p. 199–221, 2004.

SHINSKEY, F.Process Control Systems: Application, Design and Adjustment. [S.l.]: McGraw-Hill, 1988.

SILVA, M. J. G. et al. Generalized minimum variance control for water distribution system. IEEE Latin America Transactions, v. 13, n. 3, p. 651–658, 2015. SIMON, H. A. Dynamic programming under uncertainty with a quadratic criterion function. Econometrica, v. 24, p. 74–81, 1956.

ÅSTRöM, K. J. Adaptive control around 1960.IEEE Control Systems, 1996. ÅSTRöM, K. J.; WITTENMARK, B. Adaptive Control. [S.l.]: Addison-Wesley Publishing Company, 1995.

THEIL, H. A note on certainty equivalence in dynamic planning.Econometrica, v. 25, p. 346–349, 1957.

WADE, H. L. Inverted decoupling: a neglected technique. ISA Transactions, v. 36(1), p. 3–10, 1997.