Descrição
A última definição da seção anterior trazia o conceito de comensurabilidade de segmentos. Em continuidade, na Seção 5, os autores trazem à tona o conceito de incomensurabilidade de segmentos, quando dizem: “. . . há pares de segmentos não comensuráveis.” (BARONI; NASCIMENTO, 2005, p. 16)
Iniciam a seção com um exemplo, extraído do livro "The calculus: a genetic approach", de Otto Toeplitz, expondo algumas considerações geométricas
envolvendo o lado e a diagonal de um quadrado qualquer. O exemplo é utilizado para que afirmações com respeito à incomensurabilidade de segmentos possam ser tecidas. Mais ainda, é o exemplo que torna possível aos autores afirmarem que o lado e a diagonal de um quadrado são exemplos de segmentos incomensuráveis, ou seja, que não existe um segmento capaz de medir a ambos (a prova é indireta).
Os autores comentam que, de fato, este é um problema muito antigo; trazem algumas palavras de Wussing (1998) para dizer que o descobrimento da existência de segmentos incomensuráveis ocorreu no seio da escola pitagórica, e que existem controvérsias a respeito da origem dessa descoberta, mais precisamente, sobre qual é o problema que traz a origem da incomensurabilidade: alguns autores atribuem à figura do pentágono, e outros, à do quadrado.
Acrescento aqui que, como a este problema é atribuída a crise da escola pitagórica, uma discussão mais detalhada, quando desejada, pode ser feita a respeito. (KATZ, 1993; WUSSING, 1998; FOWLER, 1999; LINTZ, 1999; OUTROS)
Em posse deste exemplo, os autores reforçam sobre a existência de pares de segmentos incomensuráveis. Destacam que, fixado U, existem segmentos que
não pertencem a ℘ (U) e a diagonal de um quadrado cujo lado é U é um desses segmentos.
A seguir, o Exercício 8 é proposto: "Seja AB ∉℘ (U). Mostre que mAB ∉℘(U),
qualquer que seja o natural m." (BARONI; NASCIMENTO, 2005, p. 19). A intenção
deste exercício é observar que, qualquer que seja U fixado, existe uma infinidade
de segmentos que não pertencem a ℘(U).
Quando os autores, na seção anterior, atribuem a cada segmento fixado U uma classe [(p,q)], eles estabelecem um processo de comparação. Entretanto, considerando a existência dos segmentos que com U são incomensuráveis, que não são comparáveis a U a partir deste processo, é sugestivo que um outro processo de comparação seja estabelecido. Dessa forma, os autores se expressam,
. . . necessitamos criar um novo processo de comparação, bem como criar um novo símbolo que venha traduzir essa comparação, substituindo os símbolos
q
p (ou as classes [(p,q)] !). (BARONI;
NASCIMENTO, 2005, p. 19)
Ainda no término da Seção 5, os autores fazem uma referência relacionada ao processo de comparação que será explicitado mais à frente; eles dizem:
. . . mas queremos adiantar que se trata de um processo que não termina; é o preço a ser pago por não querer deixar de fora um sem fim de segmentos. Se isso causa desconforto ao leitor, talvez seja boa a hora para reler o texto do Fernando Pessoa. (BARONI; NASCIMENTO, 2005, p. 19)
Discussão
Essa seção surge no texto com o objetivo de explicitar a existência de segmentos que não são mutuamente comparáveis (comensuráveis), mostrando,
conseqüentemente, a insuficiência do critério de comparação descrito na seção anterior.
Anterior à apresentação do exemplo que trata da existência de segmentos incomensuráveis, ainda que numa conversa informal entre aluno e professor, surgiu um fato interessante na sala de aula. Detenho-me a esse fato para apresentar um primeiro comentário desta seção, proveniente dos dados pertencentes ao Diário de Campo. Refiro-me às palavras de um dos alunos da turma. Com a maior naturalidade possível, ele disse não acreditar que pudessem existir segmentos não proporcionais. E o interessante foi que, após a fala deste
aluno, outros alunos também se manifestaram concordando com ele. A partir daí pude perceber que essa questão – a incomensurabilidade de segmentos – não era uma questão de fácil aceitação para muitos deles, quem sabe em concordância com nossos antepassados, quando nos remetemos ao contexto do que a história conta sobre a crise da incomensurabilidade.
Atrelado a esse momento, em que o exemplo citado acima estava sendo apresentado na aula, assuntos concernentes à existência de pares de segmentos incomensuráveis foram considerados e comentários dos alunos a respeito do assunto foram realizados, vivências da prática docente, localizados cada um no nível de ensino em que atuavam. Sem dúvida que a presença desta seção do Material foi a responsável por esse momento ímpar. Por conta das discussões e desta possibilidade, o momento foi eleito como gratificante pela turma, não exatamente pelas questões em si, mas pela oportunidade de discuti-las. Segundo alguns comentários, explicito essa possibilidade como de grande importância para os alunos.
Embora o problema da incomensurabilidade não venha no texto a partir de uma perspectiva histórica, pois os autores referem-se aos aspectos históricos no final da seção, o texto abre uma discussão a partir do exposto. Essa referência foi o suficiente para despertar o interesse da turma por informações mais detalhadas
acerca de aspectos históricos relativos ao tema. Alguns alunos trouxeram observações e elementos que puderam contribuir com a exposição, chegando, inclusive, a estendê-las a outros pontos do Material (pertencentes à Seção 9: Comensurabilidade Revista).
Nas pesquisas que tratam dos diversos trabalhos referentes ao tema números reais, citados no Capítulo 1, o conceito de incomensurabilidade foi considerado de
diferentes formas. Depois de apresentar de forma imperativa a necessidade de uma abordagem para o tema no contexto formação do professor, os autores que estudaram mais atentamente esta questão apontaram conclusivamente para uma apresentação dos números reais, na qual o conceito de número irracional deve ser construído a partir da incomensurabilidade de segmentos, faceado a um caráter geométrico. Mais ainda, os autores sinalizam para que neste tema seja feita uma abordagem que o considere a partir do seu desenvolvimento histórico, embora não explicitem o modo pelo qual esta abordagem é concebida. Coloco-me junto a esses autores nesta posição, ao ver a História da Matemática como uma possibilidade/oportunidade para que o tema incomensurabilidade seja apresentado.
Coloco, ainda, que as opiniões de alguns alunos do curso ratificam o que as pesquisas apresentam sobre esta possibilidade. Entretanto, ambos deixaram transparecer dúvidas sobre o modo pelo qual, na prática, isto poderia ser feito. Refiro-me à(s) forma(s) pela qual essa abordagem, esse desenvolvimento, ou, em uma palavra mais comum da literatura, essa inserção poderia ser feita e vejo esta
possibilidade como um desafio.
Uma discussão ampla sobre as possibilidades e dificuldades da inserção da
História da Matemática não somente nos cursos de formação de professores, mas no ensino como um todo, é realizada no campo da Educação Matemática. Diversos são os pesquisadores que se dedicam ou que já trataram de questões relacionadas. (FISCHBEIN, 1995; MIGUEL, 1997; SOARES, 1998; MELO 1999;
FAUVEL e MAANEN, 2000; COBIANCHI, 2001; BATARCE, 2003; GASPAR, 2003; MOREIRA, 2005; OUTROS).
Das dificuldades apontadas em alguns trabalhos, destaco uma que tem a ver com a amplitude do termo inserção da História da Matemática. E, apesar de estas não
serem as intenções deste meu trabalho, gostaria de, ao menos, demonstrar o interesse por tal ao colocar que, junto às minhas intenções futuras de pesquisa, encontra-se esta: a busca por apontamentos que tragam uma forma de desenvolver questões relacionadas a números, mas que, na minha concepção, necessitam de um aprofundamento a respeito deste desenvolvimento, ao caracterizá-lo como uma inserção da História da Matemática.
O que considero é o crédito que a História da Matemática possui ao oferecer oportunidades de contextualizações importantes do conhecimento matemático. É como situar um assunto frente ao seu desenvolvimento na história da humanidade. Digo que
. . . é imprescindível compreender a História da Matemática, não como uma ferramenta para a Educação Matemática, mas como uma Educação Matemática em si. Valorizando a materialização da Matemática nos contextos históricos, a História da Matemática torna-se Educação Matemática. (BATARCE, 2003, p. 25)
Em relação ao tema números, articulações poderão ser feitas numa perspectiva,
tais como a crise dos incomensuráveis no desenvolvimento da ciência grega, que tem conexão com as limitações até hoje presentes na aprendizagem desse conceito. O conceito de número irracional, quando construído a partir do aspecto histórico, abre uma possibilidade maior para que suas relações possam tornar-se mais significativas e compreensíveis para o aluno. “[. . .] Se não se compreende o sentido e a razão de ser dos irracionais, é difícil superar as dificuldades na compreensão de vários conceitos ligados à estrutura dos reais.” (SOARES et al.,
A próxima seção explicitará um processo que possibilitará a comparação de qualquer que seja o segmento AB com um segmento U, dito unitário. A seção será composta de duas subseções, sendo que, em uma delas, será apresentado, digamos, o processo direto, e na outra, da forma como está intitulada – o processo inverso.
4.2.5. Seção 7: O processo de medição de um segmento AB com relação a