nos seguir tes termos I' 'l

"Considerem-se campos contínuos e arbitrários de tensões

(al.i

:

a.ii) e deformações (c.l j

:

cj.i) e um campo conta'nuo at'bl-

tr;rio de deslocamentos (u.), definidos em todos os pontos do dg.

m:Ínio V ocupado pelo corpo. Considet"e-se também um campo vetar.!

al arbitrário de tensões (a{) definido na fronteira E. Seja W3

a função densidade de energia de deformação, não necessariamente

quadrãtica, mas continua e de primeiras derivadas conta'nuas, das componentes de deformação. Então se

a ) c{ j 0.5 (uj ,j + uj ,i ) em V

-:k ' 'q' " "

a! = a! . n . em E

c ) u.í : Ü.Í em E2

d) al : ;j em EI

o funcional (2.7.4) é estacionário e.t'eciprocameBte, se o funn cional(2.7.4) for estacionário, as condições a), b). c) e d) dS. vem verifica r-se"

2.8 _{Apl ilação do teQrgplq qç çrçs .ca;gl211}

Considere caso simples da treliça h'iperestãtlca. forma da por ril barras prlsmãticas, com uma das extremidades articulada em 0 e a outra apoiada fixamente, sol lc'atada pe'los esforços ex-

ternos PI e Pa, apl'içados em 0, como mostra a figura 2.5. -Tra».

ta de obter as equações de compatibilidade e equill'brio pela

apl ilação do teorema de três campos.

IK-' I'D=' t'N'Í I'P'i-. t'PÕ'r IFo21 }Fo 22 IFo21 IFe2n-l l Fo 2n

2 . 32

A barra de ordem i tem comprimento L:, área de seção trans-

versal S:, módulo de elasticidade E: e faz com a horizontal um

ângulo a. .

Serão consideradas v;lidas as hipóteses da resistência dos ma teria i s .

Considere-se uma função linear arbitrar'ía de deslocamentos

Para a barra de ordem i seja u, e uo as componentes de desloca-

mentos do ponto 0 e uoj e uoj as componentes de deslocamentos do ponto A.i, referidas ao s ístema 0xlx2' _Z . -:

u2

x l

u zi+ -fl-- ( u2- B' 2 1 )

uo 2i

B 6 li

Fig. 2.6 - Deslocamentos na barra de ordem {

A

Desta forma, de acordo com a figura 216. .q deslocamento longitudinal, us., de um ponto da seção de abcissa s.i. feri dado

PO r : '

u s .i

'=

s .

l

( u l ulli)} cos aj + ( 2 . 8.1 )

+ {

u;j

' -T:--

(u2

- ug{)}

sen 'l

'j

( 2 . 8 . 2 )

"';, ". - .'' '.; .. . -b..=J.it...- ;'" '.

a s . L.i ' L.i '

ul ' u 2 ' u?i são val odes a rbi trãri os

Para a barra de ordem i, seja a:, uma função constante a!

bítriría, a tensão normal num ponto do plano da seção transver-

sal e c:, uma outra função constante arbitrária, a deformação

longitudinal de um ponto qualquer.

A energia de deformação da estrutura, de acot'do com (2.3.5)

será dada por:

n

u : { :l u .

n

i EI 0 . 5 E i c{ S{ Li ( 2 . 8 . 3 ) Pode-se então escrever' a expressão do funcional F

n i EI 0. 5 Ei c { S.i L.i

. l:!. ., ..z-4

PI ul P2 u2 + l 2 . 8.4 ) ' l l n u 2 ' u ã{

) cos a{ + ( ,) sen a.Í} S.i L.i

L

l L j

n

.l EI a.i c.i S.i L.l

n

u?j ' r;j ugj )

onde F?.i e F;.i são as componentes de força nos pontos A.i, refez.i

das ao sistema 0x.xo.

É interessante observar que as quantidades independentes sy. je'itas a var'cações no func'tonal F são: as tensões norma'is a.is

as deformações long'itud'ina'is c.i9 os deslocamentos lona'itud'lna'is

u. e a s força s F:i'l l

çzç/llal\aGiU ic \A:jvl\A \A f/ 1111\lly yllulrHV HV 'n'-v-w

n

6F :

i1l

E{ ci SI Lj '5c{ - PI 6ul - P2 õu2 +(2.8.5)

' .EI 6aj {(-!t-:--l!.!.t-) cos 'i + (-'ll'Z-.=-!Zi-) sen aj} sj Lj

L i ' L j ' ' '

{( 6ul - '5uoj) cos a{ +(6u2 - 6u2{) sen aj Sj Lj - i:l aj 6cj S.i Lj n ul'l ' 6 r;j u;{ ) - j 1l n al F L L \ L 0 0 ( F 6u 1 1 1 {

-g,

o u

ÕF : .Í;l (c.j E.i - ai) S.i L.i 6c.i +

n

+

l;l

{{(-

n ( 2 . 8 . 6 ) . .. . 1 . \ ç l '''' 'j' ' 'i' 'l '{ n

+ ( IEI a.i Sj cos aj - PI) 6ul +

n

+ ( .ÍEI a.i Sj sen aj - P2) 6u2

j:l (aj Sj cos al + F?j

iêl (al Sj sen ai + F j

6F

[

Í «?,

,!.

«g.

À estacionarização do funcional F correspondem as equações

de campo e fronteira do problema elástico. Logo, considerando

se que as variações 6c.i, 6a{, 6ul' 6u2' 6ul-Í9 6u2iP

são arbitrárias e mutuamente independentes, vem:

''?: . '-;,

a. : E . c ,

.t.E

( 2 .8 .7 )

''; .l ' (-!z..=-:Zl-) ;'" 'l

n

i EI a.i S.i cos aj : PI

n

i EI a.i S.i sen aj = P 2 aj :lS{ cos a{ + F?{

a{ S{ sen aj + F;i

-?,

u;{ : 0

ou, observando as duas Ultimas equações de(2.8.7), vem

aj = E.i c.i ( 2 . 8. 8)

Ç

2 . 3 6 n i1l 'i S{ cos 'j P] P2 n j1l '{ S{ se" -j a. S . cos a. l l l '-?: ai

sl

sen aj :

-rgj

Obtendo-se u. e uo das equações de(2.8.8) pode-se determi nar as tensões normais a;, as deformações lona ítud mais ci, os deslocamentos longitudinais u. e as forças F?. e F::, o que re

solve completamente o problema: +

\

2 . 9 Teoremas varjacjona ís derivados

Foram apresentados atê aqui do'is teoremas de um campos o da energ ía..potencial total e o da energia potencial complementar to tal e um teorema de três campos» também chamado de teorema gene-

ralizado da energia potencial total.

A partir do teorema de três campos pode-se obter vários ou- tros teoremas variacionais, {ncluTdos os teoremas de um lírico campos introduzindo equações conven'lentes na expressão do func'ig na 1 ( 2 . 7 . 4 ) .

Introduzindo as equações subsidiárias

ci j 0. 5 (U.i ,j + uj , em V ( 2 . 9 . 1 )

o funcional do teorema de três campos

F =

) -

.":h.p'"'l.i.".'"

l,,;.«..,.

( 2 . 9 . 3 )

' lv 'lj {0'5(ul.j + uj,j) - cij} dv ' IÍtZ al(ül

ul ) dE

reduz-se ao funcional T do teorema da mínima energia potencial

to tal

T =

=

lv

W3 (cij

)

dV X.i u.l d V _{1 1 al u . d E}

( 2 . 9.4 )

com as cond.ições subsidiárias

(2.9.1) e(2.9.2)

Considere-se agora a introdução da equação

a! . n . = a! em E ( 2 . 9 . 5 )

no funcional F do teorema de três campos, que se reduz a

rl

'

lvW3(clj)

dV

-lvij

uj dV

-ltl

a{

u{ dE+(Z.9.6) =

}

+ lv

alj {0'5 (u{.j

+

uj.{l c . .} d V +l J '

+ ItZ

jj nj

(ü{ -

uj

)

dE

Desta forma o número de quantidades independentes sujeitas a variações no funcional FI passa a ser 15 (aij' c.ij. u.l)

2.38

r)bserva-se que o teorema varjacíonal pode ser obtido pela esta- cionarizaçio de FI apresentando variações arbitrárias e mutuameD.

te independentes dos campos de tensões (6ai{), de deformações

(ócq{) e de deslocamentos(6u:).

Seja. portanto, a primeira variação de FI

8FI

.Jb.

V 6 € . . d V ( 2 . 9 . 7 ) C V (ajj,j + Xj) '5uj dV + lv o' 5 (" j ,j c.ij} 6aij dV +

It.

(ajj nj

-

ãj) 6u{ dE

+ IZ.

6aij nj(Üi u.i ) d E L L obtida de acordo com a técnica util ízada atê agora

0

teorema

variacional

apresenta tão da seguinte forma

"Em presença de(2.9.7), se se tiver

';= ( 2 . 9 . 8) a , , . + X , = 0 em V '{ j 0.5 (u{,j + uj,{) em V ajj nj : aj em EI u.Í : u.i em E 2

L

o funcional FI ê estacionário. De forma inversa, se o funcional FI for estacionário., ocorrem as expressões(2.9.8)".

E interessante observar que as condições de estacionaridade de FI são as equações de campo e condições de fronteira do pro-

bl ema el ãs tic o.

Outro teorema variacional que pode ser obtido ê o devido a Reissner, com o estabelecimento do func'tonal Fn, obt'ído pela 'in-

trodução da função densidade da energia complementar de deforma-

çãop W3 (a.ij)+ em lugar da função dens'idade da energ'ia de defor-

mação, W3(cij), no funcional FI' Assim com a equação:

W3 ( c.i j') _{cjj W3 (alj) e" V} ( 2 . 9 . 9 )

no func{ ona.l FI 8 obtêm-se

rR : ' lv w3 ('lj) dv - lv ij "{ v + ( 2 . 9 . 1 0 )

' J.

_{O. 5 (u.i,j + uj ,i ) d V +}

_it

₂ nj (ü{ u.Í ) d E [l u . d E

Desta forma o numero de quantidades independentes suje itas a variações no funcional FR passam a ser nove (a.i j e u.i). 0 teorg.

ma varjacional pode ser obtido pela estacionar'ização do funcio-

nal FR apresentando variações arbjtrãrias e mutuamente indepen

dentes dos campos de tensões(6a.il) e de deslocamentos(6u.).

L L

2 .40

+

6FR _{V aa:: 0.5(uj,j+uj,i)}õaljdV-(2.9.11)}

lv(ij

+

aij,j) 6ui dV

+ ItZ

6a j nj(al

u.) dE +

''' 1;

_'1

h.j

"j

- ai) '",

«'

obtida de acordo com a técnica utilizada atê agora.

0 teorema variaclonal apresenta então da seguinte forma "Em presença de(2.9.11), se se t'iver

aw, aa; .i + (U.i ,j + u j ,{ em V ( 2 . 9 .1 2 )

'jj ,j ' x{

em V 'jj' nj : ãi 'm ZI uj : üi em E2

o funcional F. ê estacionário. De forma inversa, se o funcional F. for estacionário ocorrem as expressões(2.9.12)".

0 teorema de Reissner, por permitir variações l ivres dos campos de tensões e de deslocamentos, apresenta um teorÊ ma de dois campos. E interessante observar que o teorema de nn PF.AH +n{ n npimo'ipQ t.pnrpma de dois campos, apresentado em

Rei s s n l u hll

L

Outro funcional pode ser obtido. integrando se por partes,

no funcional FR) a parcela que contém ul .i. Assim, observando- s e que

V aij 0'5(u{,j + uj,l) dV ' lv aij ui,j dV ( 2 . 9 . 1 3 )

lv (ajj uj),j dV a, . l J 9 J . u . d Vl

J;

nj uÍ d E ' lv ajj ,j u{ dV vem

. "; ''..' '« - l.

X.i ) u.i d V + ( 2 . 9 .1 4 )

+ ,EI(a.lj nj - Õ.i) u.í dZ + IZ ajj nj Üi dE

Novas restrições estabelecidas através das equações

ajj ,j + Xj : 0 em V ( 2 . 9 . 1 5 )

nj : aj em EI ( 2 . 9 .1 6 )

levam ao funcional

V w+ (alj) dV + IZ, ajj nj ÕI dE ( 2 . 9 .1 7 )

B

L L

2 .4 2

Desta forma o numero de quantidades independentes sujeitas a variações no funcional T+passam a ser seis(ajj), envolvendo

variações livres de um Único campo..

Observando que T+ = e-se enunciar o seguinte teg.

rema va nacional

"Entre todas as soluções equilibradas, a que além de equíl.l brada for compatível, torna máximo o funcional T , desde que se verifiquem as hipóteses de elasticidade, estabilidade material e

linearidade geomê trica'.

É interessante a sequência dos teoremas variacionais, par' tindo do teorema das deformações virtuais, estabelecendo os teo- remas da energ'ia potenc'ial total ml'n'ima, de.três camposs de Reissner e o relativo ao funcional T"= - T .

Essa transformação de T em T' ê conhecida como transforma- ção de Friedrich. A solução do problema elástico caracterizada por um mTnímo do funcional T, também o ê por um máximo do funcig.

.Sej.a o funcional energia potencial complementar total

+ na l T

-' ' J.

«: ai j ) dV - = a . õ . d E : ' . ' ( 2 .9 .1 8)

sujeito ãs cond'íções subsidiárias

L alj ,j + X{ em V ( 2 . 9.1 9) e alj nj : aj em EI (2 .9.20)

Então, de acordo com a técnica dos multiplicadores de Lagrange, pode-se estabelecer um novo funcional

lv W3 ('jj) dV - IEp '{ j '

( 2 . 9 . 21 )

+ IV (ajj,j + ii) ui dV + Itl(ai - ajj nj) uj dE

e observando-se que

+

W3 (alj) ) :: ajj cjj ' W3 (cij) em V a iJ,j V = ( 2 . 9 . 2 2 ) u ! d V l ( 2 . 9 . 2 3 ) V (alj u{),j dV

r.

u ! . d V l 9 J

J,

u ! n . d E l J o . 5 ( u : ,j + u.l ,{ ) dV a . . n . : a. em E l J J l ( 2 . 9 . 2 4 ) a expres sao +

de F pode ser transformada em

+

F

v W3 ('jj) dV + lv !{ uj dV ( 2 . 9 . 2 5 )

1. '.l {'.; nl,j ''' ";,''

c.ij } dV +

L

2 . 4 4

Comparando-se(2.9.25) com(2.9.3) e observando-se que a substituição de aj, ajj e u.i por aj' a.ij e u.i não afeta senão a

notação, vem:

+

F ( 2 . 9 . 2 6 )

Considerando-se(2.9.26), observa-se que de forma totalmen- te análoga poder-se partir do teorema das forças v'írtuais e estabelecer entre outros os teoremas variacionais da energia po- tencial complementar total, de Reissner, de três campos e o relê tive a um func tonal T = -T

A expressão (2.9.26) permite ainda observar que mesmo sendo

os teoremas de um campos teoremas de mínimo, o func'tonal F ê m:m-

imo para as condições do teorema da energia potencial total,

mas mãx.imo para as condições do teorema da energia potencial coy.

plementar total. 0 teorema geral não podem portanto, ser ma'is

que um teorema de estacionaridade.

Um..resumo interessante do que foi exposto ê apresentado em

< E: 0 h- l E 'Q 0 'u'u 0

CAP. 3 - MODELO CONTíNuo GENÉRICO.

EXTREMOS DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

3.1 - 1ptrodução

Estabeleceu teriormente um modelo tridimensional que

permite determinar a solução exala do problema el;stjco. Hã cer tos tipos de estrutura, ente'etanto. cujo comportamento permite simpl ificações notáveis na sua análise. Essas simpl ificações ob têm-se pela introdução de campos de grandezas generalizadas, re gidas por equações de tratamento ma ís fácil que as gerais, e ain

da distribui'das continuamente em um doma'nio. que conforme o t'ipo

da estrutura temi uma, duas ou três dimensões lisa.

Tem então um conjunto de modelos para a analise estrutu-

ral. Esses modelos, que nada mais são do que aproximações do mg

dela trldimens tonal, por serem análogos entre si e análogos ao tridimensional permitem constituir um modelo genérico do qual tg dos os outros são gerados li71. Daqui para a frente faz

tarte referência ao modelo genérico.

A aproximação das soluções obtidas pelos modelos conta'nuos

pode ser aval fada pelo erro global cometido. Recorre para i.! se a dois métodos: o da determinação de I'ímites super'ior e infe pior de certas grandezas e o estudo da convergência para a solu-

ção exata de uma sucessão de soluções aproximadas.

0 primeiro método sÕ pode ser utilizado no caso das soou

ções serem compatíveis ou equilibradas. Desenvolve-se o mesmo

pela apl lcação i teoria das estruturas de conceitos de analise

funcional . cujos elementos básicos são enunciados.

0 segundo método ê geral. Apl lca-se também ao caso de vio- lação simultânea das cond'lções de equílibrio e compatibll idade. Ele será apresentado quando se tratar do método dos elementos fi

3 . 2

É interessante observar que a convergencia pode aparecer na

teoria das estruturas em outra situação li71.

É o caso de uma sequência de soluções exatas convergindo pg.

ra uma aprox'amada, como ocorre, por exemplos na teoria das cas

cas quando a solução exata do modelo tridimensional converge pa-

ra a solução exala da teoria das cascas com a espessura tendendo

para zero. 0 tratamento desse assunto encontra nas referênci

a s 1 : ' 1 e l ' ' l .

3. 2 - Modem

o

cont:ínuo aenérjco

3 . 2 . 1 _{Equações de campo e fronteira}

0 modelo genérico será caracterizado por três tipos de gra!

dezas generalizadas:as tensões, as deformações e os deslocamen

tos. Formam com essas grandezas os respect'avos vetÕres al9 Ess.as grandezas relacionam-se entre si através das equa-

ções U € j ' m a. + X i m de eq uil T b ri o ( 3 . 2 . 1 ) cj : Djm Um deformações-deslocamentos ( 3 . 2 . 2 ) a{ : al (ej) tensões-deformações ( 3 . 2 . 3 ) definidas e contínuas em um doma'nio D l imitado por uma fronteira F onde as equações de equill'brio tomam a forma

e onde são fixadas as condições de contorno a_j

Õm em FI (parte da fronteira onde se fi xam a s tensões )

( 3 . 2 . 5 )

u = u

m m em Fo (parte da fronteira onde se

fixam os desl ocamentos).

( 3 . 2 . 6 )

Nas expressões ac'íma tem X. e P. vetÕres de forçam res- pectivamente, por unidade de volume e por unidade de superfície;

Djm e cm{ operadores diferenciais e Nmi matriz que define a ori

entação da normal em cada ponto da fronteira

Desta forma a analise estrutural , pelo modelo genét'ico, li

cita-se i resolução do sistema de equações(3.2.1) a(3.2.4) ob-

servando ãs condições de contorno(3.2.5) e(3.2.6).

Um campo de tensões diz equil'obrado se observa is equa-

ções(3.2.1). Um campo de deformações diz-se íntegrãvel se ob-

serva ãs equações (3. 2. 2).

Um conjunto de campos verificando(3.2.1),(3.2.3),(3.2.4) e (3.2.5) constitui uma solução equilibrada. Um conjunto de caE

pos verificando(3.2.2),(3.2.3) e(3.2.6) constitu'l uma solução

compatl'vel. Uma solução que seja compat:ível e equilibrada ê a

solução exata correspondente ao modelo genérico.

Qualquer tentativa de resolução do sistema(3.2.1) a (3.2.6)

ser; prejud içada pela sua heterogeneidade. Deve se portanto prg

curar formular o problema, por el imitação. em termos de incógni- tas de mesma natureza. Duas possibilidades básicas se apresentam:

a formulação em tensões e em deslocamentos que conduzem, respec- tivamente. ao processo das tensões e ao processo dos des.locamen-

3 . 4

3.2.2 - Teorema do trabal ho

Seja um campo de tensões aj equilibrado qualquer e um campo de deformações c: {ntegrãvel qualquer.

C on sidere- se a { n teg ral

D 1 1 d D ( 3 . 2 . 7 )

admitindo valida a transformação

10 i Dim Um dD : Ir Um Nmi aÍ dF - IÍ0 Um Emi a{ dD (3.2.8)

e, de acordo com (3.2.1), (3.2.2) e(3.2.4), vem

D 1 1 dD : l Xm u.. dD + l F Pm Um dF ( 3 . 2 . 9 )

que é a expressão do teorema do trabalho para o modelo genérico.

As equações de equ íll'brio e as relações deformações-desloca

mentes determinam a expressão do teorema do trabalho. Com prece

dimento análogo, a expressão do teorema do trabalho mais as equa

ções de equill'brio (ou relações deformações-deslocamentos) deter

minam as relações deformações-deslocamentos(ou equações de equj

l T bri o )

Considere-se agora uma solução equilibrada e uma variação virtual do campo de deslocamentos. Decorre pela aplicação do

teorema do trabal ho

. '. '', -' : J.

:«

Irl m 6um dF

( 3 . 2 . 1 0 )

que ê a expressão dos deslocamentos virtuais para o modelo gene

De maneira análoga. considerando-se uma solução compatível

e uma variação virtual do campo de tensões, decorre pela aplica

ção do teorema do tra banho:

D j 'i d D _{IrZ Um 6Pm dF}

( 3 . 2 . 1 1 )

que é a expressão do teorema das forças vjrtuals

3 . 2 Relações tensões-deformações

Sendo a estrutura elástica, estabelecem-se as relações-tens sões-deformações(3.2.3), de forma lírica, através de

a; :

-!!.!Eii..L

(3.Z.IZ)

a €

l

onde W ê função exclua'iva das deformações9 def'in'ida em todo o d2 mT nio D

Admite-se no que se segue a estabilidade material, ou seja,

na vizinhança de um dado estado de deformação, se, uma solicita-

ção adicional altera de (Sa o estado de tensão e de 6c o estado

de deformação verifica-se a desigualdade

6a. 6c. > 0_{1 1} ( 3 . 2 .1 3 )

Consequentemente faca estabelecida uma relação bíunTvoca entre

tensões e deformações.

A energia de deformação e a energia complementar de deforma.

ção são dadas, respectivamente, por:

IJ( e dD

u : _j

D

t L 3 . 6 e u , lo t{ o l 3 . 2 . 1 5 ) onde + H = a . c . ( 3 . 2 . 1 6 )

ê função exclusiva das tensões, visto que

( 3 . 2 . 1 7 )

a cj

e, com a propri eda d e +

aw:.l?jl : .

aal l

( 3 . 2 . 1 8 )

Obtêm l inearidade nas relações tensões-deformações se a função W for quadrãtica, isto ê, se

W = 0 . 5 € . H . . c .

1 1 J J ( 3 . 2 . 1 9 )

onde Hl] ê uma matriz simétrica não singular

Substitu indo(3.2.19) em(3.2.12) e(3.2.16) obtêm-se, res oectjvamente: as relações lineares tensões-deformações (lei de

Hoo ke)

a.i ( 3 . 2. 20 )

( 3 . 2. 21 )

''i'

"I ''ij 'j e porta n to:

U

3.2 .4 - Teoremas varia Sej a o funci anal

Í. « '. - J. :« «« '' - J.. '. ". '- '

+ 10 a'l(Dim um ' cl) dD + ITZ Pm(Üm ' Um) dF

e considere-se a primeira variação de R com variações tes d e a.i, e.l,

6R B ID '': .l dD n ID Xm 6um dD

Iri m 6um dF + 10 6a'i(D.im Um - c'l) dD +

+ 10 'i (Dlm 6um ' 6c.l) dD + Irz 6Pm (Üm - um) dF

Iro Pm 6um dF l l ci onai s l ( 3 . 2 . 2 2 ) ( 3 . 2 . 2 3 ) ( 3 . 2 . 24 ) ndepende! (3 . 2 . 25) u e P de a_{{ '} m m

L

3 . 8

Admitindo-se

valida a

transformação(3.2.8), obtêm-se

ÓR '

l.

_{J D '}

(-1l-!:'l--

_{a c{} - a{) 6ci _l dO + (3.Z.ZÕ)

' lo Ó'{ (Oim "m ' ci) dO - 1 0 Xm _{Irl m 6um dF +}

IF (Nmi all

dF _{(Emi al) 6um dD +}

+ IrZ Pm (Üm um) dF Irz Pm 6um dF ou J D 6 cl al ) 6c.i d D + ( 3 . 2 . 2 7 ) + lO l (Djm Um r -

',) '' - 1. m« ' :.. ',

) 6 um dD + f r .

Ir(nm{ ai ' Pm) 6um dF + Ir.(Pm ' Pm) 6um dF +

IrZ 6Pm (Üm - Um) dF

A expressão(3.2.27) permite enunciar o seguinte teorema

'Considerem mpos contínuos e arbitrários de tensões

a:, de deformações c: e de deslocamentos u., definidos e cont:í-

nuos no domínio D. Considere-se também um campo arbitrário de tensões Pm' definido na fronte'íra F, e seja W(cj) definida, con

tTnua e de derivadas primeiras continuas em todo o dom:Ín'io. En

( 3. 2.28) e, = D . u em D i lm m a. + X = 0 em D i m ( 3 . 2 . 29) aw(cj ) a c.f a, em D _{( 3 . 2 . 30)} Pm : Nm.i ai em F ( 3 . 2 . 31 ) Pm : Pm em FI (3.2 .32) Um : Üm em F2 ( 3 . 2 . 3 3 )

o funcional R é estacionário, e reciprocamente, se o funcional R

ê estacíonirio as condições(3.2.28) a(3.2.33) devem se verlfl- c a r ' l ' ' l

Decorre do teorema, acima enunciado, dois outros teoremas:

a) 'entre todas as soluções compat:Íveis a que além de compat:ível

for equil'íbrada estacionar'lza o funcional energia potencial to

ta l

. w('P '' - 1. X« "« dD

(3. 2 .34 )

. Pm Um dF : U + P' , FI

b) 'entre todas as soluções equilibradas a que além de equilibra da for compatl'vel estacionariza o funcional energia potencial

compl ementa r teta l

T+ B JD W+(aj) dD - IFo Pm Üm dF ' U+ + P '.

r.'

3 .1 0

Os funcionais T e T' não são sÕ estacionãrjos, mas mínimos,

para a solução exata, desde que se admita vãl ida a hipótese de

estabilidade material. De fato, analisando ncional T ob

têm-se para a sua primeira variação

ÕT - l. ..:.l.IE.'l-- Ó'i dO

i

6u dD

m m ( 3 . 2 . 36 )

Pm 6um dF

ou, de acordo com (3.2.8)

6T

(-Emi aj Xm) 6um dD + ( 3 . 2 . 3 7 )

Ir (Nmi ai - Pm) 6um dF

e pa ra a. s egunda va ri a ção

6aT B ID (-Em{ a.i - Xm) 6'Um dD + ( 3 . 2 . 38 )

Ir (Nmi ai - Õm) 6'um dF (Em.i 6a.i) 6um dD +

. 1.

m«. 6u m dF

ou, considerando-se(3.2.8), tem-se

expressão sempre positiva, que justifica a afír'matava anterior para o funcional T. Desenvolvimento análogo com o funcional T'

l eva a id êntica co ncl usão.

3. 3 - C oncei to de d{ s tânc i a _{Aplicação ao modem o genérico}

3 . 3 . 1 _{Elementos básicos da analise funcional}

Um conjunto V de elementos x.y, ..., chamados vetores. é um espaço vetorial ou linear sobre um campo de números F. se

a) a quaisquer dois elementos x e y pertencentes a V esta asso-

ciado um terce'lro elemento z, também pertencente a V. chamado

soma daqueles dois e que se {nd'ica por x + yP

b) a qualquer elemento x pertencente a V e a qua'lquer numero y de F esta associado o elemento yx, pertencente a V. chamado pro duto de y por x.

As operações acima devem ainda sat'isfazer os seguintes pos

tul ados

a.l ) x + y : y + x

a.2) x + (y + z) : (x + y) + z

a. 3) existe um el emen to 0 tal q ue

chamado elemento zero.

0 elemento 0 ê

a.4) a cada elemento x corresponde um elemento .

x + (-x) : 0

.+

3 . 1 2

b . 1 ) 1 x : x

b.2) a (Bx) : (aB)x

b.3) (a + B) x : ax + Bx

b.4) a(x + y) : ax + ay

l ' l

Os vetores x. y, z,...9 v9 de um espaço vetoria'l V são li

nearmente dependentes se existem niimeros a, B9 y, .... O, tal

que

( 3 . 3 .1 )

ax + By + yz 0v

se verlfiquecoma, B. y,..., O não todos nulos. Sea, B,

y, ..., O forem todos nulos, então os vetores x, y. z, zem nearmente independen tes.

D'iz que um espaço V ê n-dimens tonal se contêm n vetores

linearmente Independentes e qua ísquer n + l vetores são l Inear

mente dependentes. Qualquer conjunto de n vetores l inearmente

independentes. em um espaço n-dimensionar recebe o nome de base Seja el , e2. ... , en uma base de V e

v dj

L

x : EI el + €2 e2 + + I' ' ' n ' np (3 . 3. 2 )

um vetou de V. Os números €1' E2P '''' en são chamados coordena

das de x relat'ivamente ã base e., eo. .... e..

Dado um subconjunto S de V, o conjunto de todas as combina

ções l Ineares dos elementos de S ê um subespaço vetorlal ou l ing

ar de V. Diz completo se o subconluntoScontém uma base de y

Um conjunto de elementos chama-se espaço métrico, se a cada

par de elementos x e y corresponde um número real d(x,y), chama- do distância entre x e y,satisfazendo os postulados:

c.l ) d(x.y) : d(y.x)

c. 2) d(x.y) 0 se e somente se

c.3) d(x,z) ! d(x.y) + d(y.z)

A expressão c.3) designa-se desigualdade triangular

Um espaço vetorial diz-se normalizado se a cada elemento x, oertencente a V esta associado um número real, chamado norma de

x e indicado por l

lxll,

satisfazendo aos postulados d . 1 ) 1 1 x l l : 0

d . 2 ) 1 1 x l se e somente se d . 3 ) 1 1 x + y l

ISllxll+

lv l l

d. 4 ) l

l.x

l

l

- . l

lxll-

nümero real

Se a cada par de vetores x e y, em um espaço vetorial V se bre um campo de números reais R. esta associado um número real

(x,y) , tal que

e.l ) (x,y) ; (y.X)

e.2) (Xx,y) : À (X,y) real

e.3) (xl + x2. y)

(XI ,y) + (x2'y)

e.4)(x,x) à 0 e(x,x)-0 se e somente se

L.

3 . 1 4

IJm espaço vetorial no qual um produto interno esta definido

di z-se um es pa ço d e Hll bert. +

Do postulado e.4) decorre imediatamente

(x - Xy, x - Xy) ? 0 ( 3 . 3 . 3 )

ou

x: (y,y) _{2À (x .y) + (x ,x) : 0} ( 3 . 3. 4 )

qualquer que seja o numero real X. Consequentemente o discrim{ cante deve ser negativo ou nulo, ou seja

(x,y):

$

(x.x) (y.y) ( 3 . 3 . 5 )

expressão designada por desigualdade de Schwarz

E sempre possa'vel definir norma e distância em um espaço de

Hi l ber t, es ta bel ecend o

x'l l : + / (x ,x ) ( 3 . 3 . 6 )

( 3 . 3. 7 )

d(x,y) : l lx-vl l

Realmente. os postulados d.l), d.2) e d.4) decorrem imedia

tamente de(3.3.6) e o d.3) pode-se verificar com o aux:ÍI to da

desigualdade de Schwarz. Considere-se

llx+vll: : (x + v, x + x) (x,x) + 2(x,y) + (y,y) ( 3 . 3. 8)

+ alguns autores chamam espaço de Hilbert somente ao espaço veta

real, com produto interno definido, de dimensão infinita. Caso

No documento Introdução ao método dos elementos finitos para as estruturas de comportamento linear. (páginas 74-191)