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Introdução ao método dos elementos finitos para as estruturas de comportamento linear.

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Academic year: 2021

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(1)y Q Jaaó CU/-o .Ánd/.é. INTRODUÇÃOAO MÉTODO DOS ELEMENTOSFINITOS PARA AS ESTRUTURAS. DE COMPORTAMENTO. LINEAR. Ü. Dissertação cle À/mestrado apresentada Escola Politécnica cla Universíclacle. à cle. São Paulo para a obtenção clo Título cle Mestre em Engenharia. D. 3 J. +. Orientador. Décio Leal cle Zagottis. São Paulo, Novembro cle 1975.

(2) igt ! uoíÉu .iFI. PREFÁC10. '. '?lX"=:==-' 'qlÊe.,;;Üy. Este trabalho temcomoobjetivos comp'letalos requisitos..pl ra obtenção do grau de mestre em engenharia e proplcjar. um tex. to para os que se iniciam no estudo do métododos elementosfi ni t o s .. Apresentam-se,no primeiro capa'tufo, conceitos bãs'lhosda teoria. da elasticidade. importantes. no desenvolvimento. do tema. No segundo capitulo desenvolvem se os teoremas varíaclonais. da teoria da elasticidade.. Estabelecem. teoremasda ener. yia potencial total, da energia potencial complementar' total e um conjunto. de outros. teoremas.. com destaque. para. o de dois. cam. pos, devido a Reissner, e o de três campos. devido a OI'lveir'a. Introduz-se no terce'lro caplÍtulos o conce'ito de solução aproximada continua. Inicialmente apresenta modelo gene rico, análogo a todos os modelosconta'nuas. Emseguida aval'ia se o erro global das soluções aproximadasconta'nuas,no caso de serem compatTvels ou equil ibradas, estabelecendo extremos supe-. rior' e infet'ior para a energia de deformaçãoda solução exata. Dedica rto capa'tule ao método dos elementos finitos apl içado ãs estruturas de comportamento l Inear. Apresenta umavisão panorâmicado estãgjo atual do método. referindo aos vários processose modelosderivados. Estabelecemse, pela tivamente ao processo dos deslocamentos,a técnica de discret'lzação propr'lamente. dita. e sua justificativa.. Finalmente. desen. volve se a formulação de vários elementos, correspondentesaos possíveis modelos derivados do processo dos deslocamentos..

(3) Ressalta importâncía das obras de Oliveira lisa a lzol no desenvolvimentode todo o trabalho, e as de Funq lbl e Sokolnikoff lsd, no primeiro cap:Ítulo, de Washizulsbl, no segundo capa'tule,. de Prazer. i 2 : 1, no qua rto. c a pítul. lsol. no terceiro. cao:Ítulo. e Pedra. o.. 0 autor deseja expressar os seus agradecimentosaos professores Dedo Leal de Zagottis, Maurlcio Gertsenchtejn e Vector Manuelde SouzaLima, da Escola Politécnica da Univer.sldadede São Paulo, ao professor pairo Porto, da Escola de Engenhariade Lins, e aos engenheirosJosê de Oliveira Pedra e ManuelPinho de Mjranda, do Laboratõr'io Nacional de EngenhariaCivil de Lisboa, que colaboraramno desenvolvimentodeste trabalho.. Novembro-75. JOGO CYRO ANDRE.

(4) F O R E \l O R D. The purpose of thís work is completing the requirements for obtainíng the master degree in engineer'ingand providíng a text for those who are initiating {n the study of the finite method.. The first chapter refere to the basic concepts of the theory of elasticity being {mportant to the developmentof this theme. In chapter 2 the variatlonal theoremsof the theory of elas tlcity are developed. The total potential energytheorem,the total complementará potential energytheot'em,and a groupof other theorems,are established, emphaslsbeing placedon the ones of two flelds, fl elds , due to Olivei. due to Reissner, and the ones of three ra .. It is introduced, in the thlrd chapter, the conceptof approxíatate. contínuos. solution.. Initially. is presented. a gene. ral modem, analogousto all contínuosmodems.Followlng, the overall errar of the approx'imite continuous solutions is evolua ted, whethercompatibleor in equil ibrlum, by establ'ishlng upper and lower extremes for the deformatlon energy of the exact. sol uti on .. The fourth chapter is dedicated to the fin ite-element. methodas applied to structures of linear behavior. An overall view of the present stage of the method, referring. to the. various processesand modems derived, is presented. It is esta blished, as refers the displacementprocess, the discreting technique proper and its justification. tion. of. various. elemento. corresponding. Finally, the formula to. the. possible. derived from the displacement process, is developed.. modems.

(5) It must be emphasized the importance of the works publisehd by Oliveira ltsl to laol for the development of the entire work, as well as those by Fung 1+1 and Sokolnikoff lszl, in the. first chapter, those by tlashizu lsbl, in the secondchapter, those by Prager lsol. ín the thlrd chaptet's and Pedro lzzl, 'in the fourth chapter. November-75. JOGO CYRO ANDRÉ.

(6) \. T NDl CE. Ca p.. ASPECTOSBÁSICOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE .1 2. Condições de compat'íbjl'idade. 3. Estado tripé o de tensão Equa ções. .5 .6. Teorema do trabalho. .7. Relações tensões-deformações. .8. Lei de Hooke generalizada ... Formulaçãodo problemaelãsti. de equill'br'io. Es ta do n a tu ral. de sol ução. Ca p.. .7. .1 2 . 16. e. .4. .9. l .1. Estado tripé o de deformação .. . e. . . . . . . ' ' ' ' ' '.. . 22. e. 23. e. e. co e. . 20. U nicídad. . 27. e. l . 32. .. .. TEOREMASVARIACIONAIS DA TEORIA DA ELASTICIDADE. 2. 1 2. 2 2. 3. Teorema dos deslocamentos virtuais. Teorema da energia potencial total......'.. Apl'ilação do teoremada energ'la potencial t o t a 1 . . . . . . ' ' ' ' ' . ''''''''.. t,. Teoremadas forças v'lrtua ís Teoremada energia potencial total. 2.6 2.7. 2.8 2.9. e. ee. e. e. 8. eee. 2.8. e e. 2. 13. cc mplementar. ee. e©eee. e. e8. 2 . 15. Aplicação do teoremada energia potencial 2.22 complementar total ......'.''.....'.....'.. Teoremade três campos(ou da energia pote! 2. 27 cial total generalizada)......''.....''''. Aplicação. do teorema. Teoremas varjaclonajs. de 3 campos. derivados. 2 . 31 2.36.

(7) Ca p. MODELO CONTÍNUO GENÉRICO. EXTREMOS DA ENERGIA. 3. 1 3. 2. DE DEFORMAÇÃO. l n t rod u ção . . . . . . ' ' ..''. Modelo conta'nuo genérico ......''''.'''... 3.2.1 Equações de campoe fronteira 3.2.2 - Teorema do trabalho .......'''.'. 3.2.3 - Relações tensões-deformações 3.2.4 - Teoremas varlacíonais ......'''. 3 .3. Conceito. de distância.. generlco. e++. 3.3.1. e. 3. 3. 3 3 . 3. 4 3. 3. 5. 3. 3. 6. pe p. e. ee. e. ao modelo ee. eee. ee. 3. 11. tos básicosda analise fundo e9ee. 3 . 11. funcional apl lcada ; teoria das estritura s Teoremas de m:Ínímo ......'.....'.. 3 . 16 3 .20. nal.pe. 3 .3. 2. Aplicação. 3. 1 3. 2 3. 2 3 .4 3. 5 3. 7. ee. ÇPee. e e. e9e. Anal lse. Hiperesfera das soluções possTve{ Solução aprox'irada õtima ........ Extremos da energia de deformação Condições de contorno em tensões. Aplicações. do calculo. 3.23 3 .26. de extremos. da energia de deformaçãocomcondi3. 3. 7. 3. 28 ções de contorno em tensões ....... Extremos da energia de deformação. Condições de contorno em deslocame! tos. 3. 3. 8. e+++ee. ee. ee. eee. e p. ee. 3 .37. Aplicação do calculo de extremos da energia de deformação com condições de contorno em d eslocamentos .... 3 . 39.

(8) CAP. O UET000 DOS ELEMENTOSFINITOS PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS.. 4. 1 4. 2. Considerações gerais......'''.''''......'. Processo dos deslocamentos ......'.''''''.. 4.2.1 -. +. admissíveis nos elementos 4.2.2 - Modelo compatível ........''''''''. 4.2.3 híbrido em tensões ......'.. 4.2.4. Campos. - Interação. 4. 1 4. 5 4. 5 4. 7 4 . 13. entre os elementos e anã. pise do sistema ......'.....''''''.. 4.3. 4 .4. 4 . 17 Convergência no processo dos deslocamentos. 4 . 21 4 .21 4.3.1 - Conceitos básicos ..........''''''. 4.3.2 Condições de completldade no modelo 4.22 compatível .........''.....'.....'. 4. 3 . 3 Condições de complexidade no modelo 4 .23 hÍbrIdo em tensões ........'....... 4.23 4.3.4 s de convergência ........... Apl ícações do processo dos deslocamentosi +. el a s tic l dad e pl a na. e. 4.4.1. Intr'odução...........'''''.....''. 4.4.2 - Definlçio da geometria do elemento quadril'toro. ..e.e.e.e+.e. ee. B©. e. 4.26 4.26. 4.26. 4.4.3. Modelo conforme derivado do modelo. 4 .4 .4. compatl'vel. Primeira posslbil idade. 4.28 Modelo conforme derivado do modelo compat:ível. Segunda posslbil idade.. 4 .4 . 5. Modelo. não. conforme. derivado. do. 4.33. mo. deão compatível ..........'.'...... Modelo conforme det'ivado do modelo. 4 .40. hTbrjdo em tensões. 4.46.

(9) l .l. CAP. l l .l. ASPECTOS BÁSICOS DA TEORIA DA ELASTICIDADE !!jgç]Q. ]ripJp. No estudo. ]e. deforma ção. do corpo. sólido. substitui. o mesmo por um modelo. matemático,o que se faz considerandoa correspondênciaentre partícula do sólido e ponto geométrico. Sob a ação de certos esforços a posição entre dois pontos do corpo fica alter'ada, o corpo se deforma. Essadeformaçãofica pe! feitamente determinadapelos deslocamentosdos pontos do corpo. Torna-se conveniente utilizar umaabstração de corpo não deformãve]. Entende-sepor corpo não defor'móvelaquele emque as distancias entre os pontos permanecem inalteradas. Dessaforma, os deslocamentosdos pontos do corpo são caracterizados por: deslocamentosde corpo rígido, rotação e translação, e deformação. SÕesta intima parcela ê objeto de analise. Considere-seumcorpo ocupandoumareg'íão V do espaçosna sua posição não deformada, referido a um sistema cartes canoorto99 , 0 xlx2x3 9 'ind'ícado na figura l.l. T*': ' '2 : ''2. Fj. Deformação de um corpo. No corpo não deformado,o quadradoda distância entre dois pontos P(xl; x2; x3) e Q(x) + dxl; x2 + dx2; x3 + dx3) ê dadopela aplicação do teoremade Pitãgoras =. ds'. :. dxÍ. + dxã. + dxã. 6. {j. dx. ({ :1 , 2 , 3 ) ; ( j :1 , 2,3). {. dx. j. ( 1. 1. 1 ).

(10) 1. 2. o corpo ocupando uma região V' do espaço, na sua posição deformada, referido a um sistema cartesiano ortogobons adere-se agora. nal, 0 x.l xJ,xl, , coincidentecom0 x,x.x. . No corpo deformado,o quadradoda distância. entre do'is pontos P'(xl; x;: x;) e Q'(xi + dxl : xl! + dx; ; x; + dx;). trans-. formados de P e Q, ê dado por dx ! d x t. dS2. ( 1 . 1. 2 ). Admitem-se que a transformação de um ponto P da região V em. umponto P' da região V' dadapor: xl. :. x{. (xl ; x2 ; x3 ). (1 .1 .3 ). seja conta'nuae que(1.1.3) apresenteumaUnlca inversa: X. l. estabelecendo-se. (1 . 1 . 4 ). x. (xl ; xl:; xl!) assim. uma correspondência. b'iunl'voca. entre. os pon. to s de V e V' Para assegurar a existência de função inversa admite as funções (1.1.3) sejam de classe C. emV e que o jacobiano J se ia nio nulo em toda a região lszl. As expressões(1.1.1) e(1.1.2). tendo em vista(1.1.3) e (1.1.4) podemser escritas na seguinte forma: 3x. 3x. --'- ";. dx'm. ( 1 . 1. 5 ). ';: '..+ t '.*.. ( 1. 1. 6). ds 2. (l ,J , l,m : 1.2, 3).

(11) 1. 3. A diferença do quadrado dos comprimentos pode ser' então escr.i. ta por:. t. ';:-';::''..t. dx. (1 . 1 . 7). J. (a,B : 1,2,3) ax dS2. ds '. -=a-) '*} ax !. q. dx !. (1 .1 . 8 ). J. J. Definem se então os tensores das deformações ax '. u.. -;t-. ax l.. ( 1. 1 . 9). -ãA-- ',.). e. - ó~B. (âlj tal. 8x a. ( l . l . l o). ax ! l. J. q ue dS2. = 2 E. .. dx. .dx. ( 1. 1. 11 ). dS2. = 2 e. .. dx. !dx!. (1 . 1 . 12 ). 0 censor. E::. foi. introduzido. por. Green. e Sa int. nt,. e é chg.. mado tensos das'deformações de Green. Por analogia com a terminologia. em hídrodinâmica. E:: ê referido. emcoot'denadas ]agrangianasl+l .. como censor das deformações.

(12) 1. 4. 0 tensos e.: fo{ {ntroduzjdo por Cauchy,para deformaçõesiE. flnjtesimais. e por Almans{e Hamel.para deformaçõesfinitas. e ê conhecidocomotensos das deformaçõesde Almansi. Por analogia coma term'ínologia emhidFodlQâmica9eql e refez'ido comotensos das deformações em coordenadas eulerlanas Introduz-se -i. :. xl. lbl. agora o vetou deslocamento - *l. u com componentes (1 . 1 . 13 ). *. que permi te es tabel ecer. (1 . 1 . 14 ). t''... 8x. axl. ( 1. 1. 15). Substituindo(1.1.14) e(1.1.15) em(1.1.9) e(l.l.lO),. respectl. vamente, os tensores das deformações reduzem-se ãs formas:. -l-.{ó... ("-;=s---. ' ó.j) (-l:l&-' +óBj) - 'sjj}. au .. au .. au. 3u. axj. ax{. axl. axj. ]- { ......!. + ....-.J-. + ------9.. 2. l1.1.16). L-}. e. + Por razões que se evjdencjam no parágrafo 1.2 admite-se a fun. ção uj(xl' x2' x3) de classe C3( ou seja, u.l junto comas pr'i meigas, segundase tet'ceiras derivadas são conta'nuas)lszl.

(13) 1. 5 au. 4-- {'... e{ j. e{ j. au. au. l. {:- l. 2. +. (1 . 1 . 17 ). -;;:'-J (óBj. '5.B (Õ,j. au. J. au. a. g.}. ax l. ax l. l. J. As equações(1.1.16) e(1.1.17) são as relações deformaçõesdeslocamentosna sua forma mais geral, no caso de nenhumarestri ção ã grandeza dos deslocamentos. Observe-se que as relações não são l i nea re s.. Introduz-se a hipótese de as primeiras derivadas dos desloca bentos serem desprezíveis em relação ã unidade, o que impl ica que. o quadradoe o produtodas primeiras derivadasparda is de u: sejam. desprezíveis. em relação. ã prõpt'ia. derivada.. Tem-se. então. uma. simpl ifícação notável na expressão(1.1.17), reduzindo-se e:: ao tensos e.i.i das deformações 0,5. (u.i ,j. infinitesimais,. devido ã Cauchy: (1 .1 . 18 ). + uj ,.i. ou emforma desenvolvida cl l. aul axl. cl. 0,5 (.111].. .. -31Z--). c:2 3. 0,5 -=Z.-. c31. 0,5 (.!b. .. -3.:U). 2''. au3 c:3 3. ax{. axà. ( 1 . 1 . 19 ). -=Z-). axà. Portanto no caso dos deslocamentosinfinitesimais, a diferença entre tensos das deformações lagrangiano e euleriano desaparece, emvirtude de ser indiferente se as derivadas dos deslocamentossão calculadas. na posição. do ponto. antes. ou depo is da deformação,. portanto a fronteira da r'egião V do corpo umainvariante.. sendo.

(14) L T ../. 1. 6. A expressão(1.1.18) define umalei de variação linear entre deslocamentos e deformações que com o fato da invariância de fron tenra se refere daqui por diante comoh ipõtese de linear'idade geg mê tr{. ca. As componentesdo tensos das deformaçõescomÍndices iguais têm significado físico de alongamentos, ou seja, mudançade comprimento. por. unidade. de comprimento. na direção. do eixo. de mesmo. índice, conforme se mostra na figura 1.2. Fj g . l. Interpretação fls íca da deformação{nfín itesimal cll. As componentes do tensos das deformaçõescom:i'ndices diferentes têm significado físico de distorções, isto ê, variação angular relativa a duas direções ortogonais, conformese mostra na figura l. 3. :-: : ; ({%.}g-) eiz : 11 f"í +.'z). Fj g. Interpr'etação física da defor'maçãoinfinitesimal. clo.

(15) 1. 7 ] .2. Çondi çõe.s d e c ocupati bilidad. e. As relações deformações:deslocamentos apresentam-se,emvirtu de da simetria do tensos das deformações,comoums ístema de seis equaçõesdiferenciais comtrês funções, u:, incógnitas Conclui-se portanto que as deformaçõesnão podemser arbitrãrjas, devendosatisfazer certas. condições, para que se garanta a exi stência das fu nções ul. As condições de integrabilidade das relações deformações-deslocamentos. referem-se. como condições. de compatibilidade. e o campo. de deformaçõesque observa tais condições diz-se integrãvel. Considere-se o caso em que as relações deformações-deslocameB tos são l ineares, ou seja 0,5. au . (----= 3x. Derivando,. au. + : L). j. (1 . 2 . 1 ). a x]. convenientemente,(1.2.1). 0 ,5. E:j j , k 2. (u j ,j k2. vem. (1 . 2 . 2 ). 'F uj ,{ k t ). ou, compermu taçio de índices F. C. 0 , 5 ( uj , lj =. {k ,j 2. Ek l,j e. +. ='. 'j ! , { k. j. 0, 5 ( uj , kj t. = 0 , 5. ( u k , Ê j. j. u. +. (1 . 2 . 3 ). z , j 'i k. (1 . 2 . 4 ). k,{ j 2. + u. (1 . 2 . 5 ). Ê , k'í j. portanto, combinandoas expressões(1.2.2) C. {j. , k2 + ck! ,'ij. c'í k , Êj. '. c j 2 ,.í k. que são as equaçõesde compatlbiljdade,. a(1.2.5),. obtêm-se (1 . 2 . 6 ). obtidas por Saint-Venant,. em1860, envolvendoderivadas de segundaordemdas componentes das de forma çõe s ..

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(17) 1. 9 Esta claro. que a solução. de(1.2.1). nio õ lírica,. pois. as compo-. nentes das deformaçõescaracterizam a deformaçãopura, e não se considera o movimentode corpo rígido, a menosque se especifiquemo deslocamentou? e as rotações coo.emumcerto ponto. Nessecaso a resposta ê afirmativa de acordo com demonstração desenvolvida, em 1906, por E. Cesaro 1+1, que a seguir se apresenta Seja Po (xo; xo; xo) o ponto do corpo V onde se conhecemas co!. ponentesu? de deslocamentoe ulÍ: de r'otaçio. Pode-seobter as componentes u: de deslocamentosemumponto f, através de umaintegração sobre umacurva conta'nuaque umaPo a P. Lo go. uj. (il. ; i2 ; ;3 ). uj. (i.l ; i 2 ; x 3. ul'. +. ip d .j ' DO. (1 . 2 . 8 ) '. ou. =. -:* íl.+«*. ( 1. 2. 9). Desenvol vendo au. l. au. 0, 5 (. axk. ' axk. +. .!!.&--) . ',' ( ax. Í. au. l /. axk. 3x. (1 . 2 . 10 ). {. obtêm-se au. Í c ik. '. co.ik. ( 1. 2. 11). axk. onde c:. e u:. são, respectivamente os censores das deformações e das ro rações..

(18) l .l o. Introduz. indo(1.2.11). em(1.2.9). vem:. (il;iZ;i3):'j'l.'jkdxk'l.."jkdxK. uj. (1'2'1z). Trata-se agora de obter ujk emfunção de c.ik' o que se faz integrando. a Ultima. parcela. de(1.2.12). por. partes.. Assim,. vem. ,P. ( 1. 2 . 13). -.-'*-: 1.. 'n- - :p «,-. ,P. F. d ( ( x k - k k ) co.i. 1... (ik. (xk. rp. xÍI) «?k. ik). d"lk. a cojk i k). 1.. B*. d x2.. axz. F. (ik. x:). a2 u. k. «?k. (xk. ==+' '*'. ax . ax. ou , o b se rva n do - s e q ue. uk. a 2. 3x ax. ax. 2. 3z u. u. e. ax. -:--=&-). a2 u. (. (1 .2.] 4). axka xj. k. kl. ' axlaxk. axk. e s ta bel e ce - s e. co.i k. dXk. íl.'*-. (;k - xÍI) "?k. (1 . 2 . 15 ). J-:u.-} '*. axk.

(19) l .l l Substituindo(1.2.15). em(1.2.12),. iZ' i3): ug -(ik. ui(il,. vem:. - xk) ujk'l'."jldxl(l.z.lõ) D". onde. '{.. '{. uf:'. **){-:...Ej.&...-3....:u-}. (1 . 2 . 17 ). Os primeiro e segundo termos de(1.2.16) correspondem a. um. movimentode corpo rl'gado, respectivamente,de translação e de ro ta ção .. Admitindo-seque a funçãou. (ii). seja conta'nua,a integral. em(1.2.16), que envolve apenas deformações, deve independer do caminhode integração, ou seja o integrando deve ser umadíferencl al. exa ta .. De acordo com Fung lql, a condição para que u.ll, dxl, seja umadife re ncial exata ê que a ui l. a u.M. axm. (1 . 2 .1 8 ). axR.. ou, emvirtude de (1.2.17) 6mk. ..!=B.. .!..:y.., 3x. axk. axm 2 X. + (i k. k. l. C. {. 3x ax m. ax ax .. m i. k C. im. !k 3x k. a xl.. (i k. .. xk) {. lm axlaxk. .!..=@., a x.i. 3:3-..., axlaxÍ. ( 1. 2. 19).

(20) 1. 12. Comoas parcelas, emque não apareceo termo(ik - xk)8 se anulam, obtêm-se c.il,,mk. (1 . 2 . 20 ). ck2,mi ' cim,gk. + Ckm..l,l. que são as equações de compatibilidade. Fica portanto demonstra do que as equações de compatibilidade são suficientes para garan. tirem a unicidade da solução do sistema de equações(1.2.1). des de. que. po n to. especificados. qual quer. 1 . 3 - Es Lado tri. os. deslocamentos. uo. e. as. rotações. u.ík. em um. Pu. p] o. Considere-seumcorpo no espaçoe a {nteração do mesmo como ambiente. Pode representar esta {nteração através de a) forças de massa,X.i, especificadas por unidade de volumeemtg. do o co rpo .. b) forças de superfícies, F.í, específicadas por unidade de super' fl'cie emtodo o contorno do corpo. Admite-se nas discussões seguintes que a função X.i seja continua de classe C. e a função F.i seja conta'nuana vizinhança de p ( xl ; x 2 ; x 3 )I':l. Seja um corpos ocupando uma região V do espaço refez'ído a um sistema. cartesiano. ortogonal. e considere-se. dentro. do corpo. uma. superfl'cie fechadaA, de volumeV, que define umaparte interna a A e outra externa a A..

(21) 1 . 13. Concei to de tensão. F{ g. Seja umelementoÂA na superfície de Á. cuja normal externa, d'ír'igida do 'enter'ior pat'a o exter'lor9 ê n. A parte externa a à exerce. sobre. a parte. interna. uma força. ÂF'.. Introduz hipótese que para ÂA'- 0 a relação ÂF tende para um l Imite finito ó e que o momento da força ag'Indo em um ponto qualquer. de AA se anule.. Assim. (1 . 3.1 ). a : l imAA..»0 ÂA. chamadovetou tensão, define umcampode tensões. na superfl'cie Ã, função de ponto, que caracteriza a interação entre as partes internas e externas a A. E o princl'plo de tensão de Euler e. Cauchy l +l . E importante observar que o vetar de tensão assim definido, no ponto, permanece o mesmo para outra superfl'cie que apresente no ponto a mesma normal. Varia entretanto se emout-ra super'fTcie. não apr'esentar Levanta-se. então. a mesma normal . o. problema. de. determinar. qualquer plano de not'mal X, por um certo. o vetou. tensão. em. ponto P de coordenadas. (xl;. x2; x3) do corpo. Para resolver o problema estuda equlll'brio de um elemento tetraêdrico PABC do corpo de faces. PÊ.. ralelas aos planos coordenados e ao plano cuja normalunitária ê. i.

(22) 1 . 14. Fj g . 1 . 5. Tensõesnas faces do tetraedro. Se.jadA a área da superfície de not'malii das ou trás área. superfl'cães. PBC = dA,. Logo. para irei. tem B dA cos. R) : dA nl. área PAC B dAo = dA cos. R) : dA n2. área. i). PAB = dA.s = dA cos. (1 . 3.2 ). ; dA n3. 0 volumedo tetraedro ê dado por dV :. ....L-. h dA. (1 . 3 . 3 ). onde h ê a altura do vêrtlce P a base de ;rea dA. Seja o vetou de tensões por P no plano de normal Tem-se então: '+. a.l '. ->. 'a.ij. ej. (1 . 3.4 ). b.

(23) 1 . 15. onde a.i{ são as componentes do vetou ;:. nados x.. Considera-se ail sentido. positivo. do eixo. positivo, x.i.. segundo os eixos coorde. para a normal externa no. quando tem o sentido. positivo. dos. eixos coordenados e. para a normal externa opostaao sentido po sjtivo do eixo x: , quandotem sentido opostoao sentido positivo dos. ei xos coordenados.. Considerem-seagora as componentes de forças que agemno tÊ tra edro na direção de xJ a) na face de normal -;. j. (-a.ij + e'ij) dA.i comlimh--0 Çij dA.l B 0 b) na face de normal i laj. + ej). dA. com l Imh...0 Ej dA. c) forças de volume. + €3) dA -+. (Fj. e. e ei são quantidades Inftntteslmais. onde eil.. Para o equllTbrio. (-a.ij. + eij). '. + €3). (Fj. sendo. que.. a. .. aj. h com limh+0. ej dA. n.. : a.Íj. dA.i + (aj. --t--. no limite + a .. ni. do tetraedro. + ej). deve. dA +. ( 1. 3. 5). h dA. com h+0,. vem. (1 . 3 . 6 ) ( 1. 3. 7 ).

(24) 1. 16 A expressão(1.3.7) quantidades escaleres,. ê devida a Cauchy onde os a{.i são nove componentes de um tensos, o tensos das. tensõese definemcompletamente o estadode tensãoemP, isto ê, qualquer que seja o plano de normal i, por P a tensão correspondentefica definida pelas grandezasa.{. As componentes. all'. a22,. a33. de mesmo I'ndlce. recebem. de tensões normais e as demo ís de tensões de cisalhamento. Observa-se ainda que for'am admitidas poder sempre ser deffnída tTnuo em V. 1.4 - .EaZg.sêp $. no corpo. as hipóteses. e do campo de tensões. o nome. da tensão ser. con. de e q uill'b rio. Seja o elemento em forma paralelep'lpêdlca comfaces paralelas aos planos coar'denados da figura 1.6 e consadere-se o equill' brio. estitfco. do mesmo.. dx. 3. 'ü.'h9.. .'a', \. l. ";,.4t-'';; '.. F{ g. Tensões equilibradas em um elemento paralelepipédico. As tensões agindo nas virias 1.6,. faces. '-:. :g ''-. bem como as forças. são baseadas. de massa.. na continuidade. faces são mostradas na fig. As expressões. das mesmas.. das tensões. nas.

(25) 1. 17. 0 equill'brio estático do elementorequer que a r'esultante de forças e momentos sejamnulos. Para. resultante. (a)). +. de forças. na direção. a al dx2 dx3. a XI. a. tem. dx2 dx3 +. (1 .4.1 ). \. a a21 + (a21 +. de xl,. dx2) dxl. a. dx3. 21. dxl. dx3 +. ax2. a a... +(a31+- 8x. + XI dxl. dx3)dxldx2'a31dxldx2+. dx2 dx3. l ogo. 111 .....!=1Z... -.!=lg--. x. axl. ax2. ax3. (1 .4.2 ). '. anal ogamente a a1 2. !.=Z.g.. ....!.=Z. ...x:. +. ax2. axl. (1 . 4 . 3 ). ax3. .!!u. . .3..!a... -e....:©,. *. axl. ou,. ax2. ax3. '. em forma reduzida. 'l J ,{. + x. J. = 0. (1 .4.4 ). As equações (1.4.4) constituem as equações de equill'br'lo..

(26) L./''. 1 . 18 Para. resultante. a fi guia 1.7,. Fig.. 1.7. de momento. na direção. de 0'x:,. de acordo. com. tem-se. - Tensões que contribuem. para o equill'brio. de momento. na direção Oxa. ('13. ' -3';;!2- dxl). '13 dx2 dx3 -!;Z'+a12. dx2 dx3. +. dx2 dx3 -!;L-. -. (1.4.5). - ('lz ' -3';;iZ-- dxl) dx2 dx3 -!?-. dx3+(a23. ('zz -3;;i'ê-- dx2) d*l. +. +. a a23. d*3 -.S;'t-. dx2). dxl. dx3 dx2. +'22 d*3 d*l -!;L. '''('33 '''-!;;2'1- dx3) dx2 dxl -51-lz-- '33 dx'l dx2 -!>. +.

(27) 1 .1 9. (a32 + --i;;Z'g-. + X3 dxl. dx3). dx2 dx3. dx2. dxl. dx2 dx3 +. . X2 dxl. dx2 dx3. dx3. Div'id'indo-se todos os termos por dxl dxo dx.2e passandoao limite. com dxl-»0,. dxp-+0 e dx.i-»0,. vem:. (1 .4 .6 ). a23 : a32. Analogamente,tomando-seos momentos emrelação a 0'xP e 0'x;. e anula ndo-os , tem (1 . 4 . 7 ). a31 : a1 3 a1 2 : a21. o que implica ser o tensos.das tensõessimétrico É interessante. observar que a simetria. ocorre desde que nio. haja momentos externos proporcionais ao volume, comoocorre na magne toel asticidad e l+l. Faz-se observar que a deduçãodas equaçõesde equíll'brio fg ram. feitas. de modo. a ressaltar. o aspecto. fl'sigo. prejudicando. apresentaçãoformal mais elegante que ê obtida aplicando teorema da divergência (ou de Gauss) e a fórmula de Cauchy.. uma.

(28) 1. 20 Teorema do trabalho. Considere-se um campode tensões a::,. equíl obrado por forças. de massa Xj e de superfl'cie a.i, e um campo integrivel de deforma çoes c.ij' gerado por deslocamentosconta'nuasu.í, suficientemente pequenos para que se possa considerar a linearidade geométrica. Sej a a { n teg ral. ' ;. : /.. a. 1 .]. c. . dV. ( 1. 5. 1). lJ. com dimensãode trabalho, podendo ser interpr'etado comoo traba-. lho interno do campode tensõesa:: pelo de deformações c;.. Obter'fiando. '{. a condição. Í.. 0 .5. de integ;abilidade. de c, ,. lJ. vem:. ( 1. 5. 2). ( u j ,j. e, emvirtude da simetria de a + (l. : lv. ajj. Integrando. + c.i ' lv. u{ ,j. dV. (1 . 5.3). por. (ajj. u-Í),j. ( 1. 5. 3 ) pa nes. vem. dV - Jv a.iJ,J. u.i dV. (1 . 5 . 4 ). ou então, pela apl ilação do teoremada divergência. + (.l. a.ij u.Í nj dE. u' .. V. l J,. U. j dv. (1 . 5 . 5 ). Mas. 'lj. nj. 'ÍJ .J. :. a{. : -Xi. 'm. E. em V. (1 . 5 . 6 ).

(29) 1 . 21. pois o campode tensões ê equilibrado pelas forças de superfl'cie aj e fot'ças +. d e massa X.i.. Logo :. ( 1. 5. 7). Ç.. aj u{ dE + lv ou ern forma. x{ u{ dV. ve toro al. 8.ii dx + l }.'i. Í'. (1 . 5 .8 ). dV. ;v. ondea primeira parcela t'epresentao trabalho das forças externas de superfície e a segundaparcela o trabalho das forças ex ternas de volume pelo campo de deslocamentos. Tem-se então: (1 . 5 . 9 ) expressão. do teorema do trabalho,. que apresenta. o seguinte. enun. cl ado. "0 trabalho de um campo de tensões por um campo de deformações integrãvel é igual ao trabalho das forças externas, que equilibr'am o campode tensões, pelo campode deslocamentos,que gera o campode deformações,admitida v;lida a hipótese da lhe.! rid a d e g e ométr. ic a ". 11 3 l .. Da mesmaforma comose deduzíu o teorema do trabalho das con dições de integrabilidade e de equill'brio poder-se-ia obter as condições de integt'abil idade ou as condições de equill'brio a pal. tir do teoremado trabalho mais as condiçõesde equlll'brio ou mais as condições de integrabilidade, respectivamente. E impor'tante observar que o teorema do trabalho desenvolvido {ndepende das relações tensões-deformações..

(30) 1 . 22 Es ta do na tu ral. Estado natural. ê o estado. em que se encontra. um corpo quando. não sujeito a solicitação. Dessaforma para cada sistema de esforços externos correspondeminfinitos estados de tensão que o equilibram, pelo que ao estado natural correspondem também infinitos estados de tensão, entre os quais aquele de componentes nu las. Estadonatural ê portanto umconceito abstrato de umestado fl'fico de refe rê ncia l i i . Ao cor'po isento de esforços intrl'nsecos, no estado natural diz-se estado neutro de umcot'po. Ao corpo nio isento de esforços intrl'nsecos, no estado natural, diz tado de doaçãode umcorpo. Ao estado natural pode-sefazer corresponder o estado inde9. formado,. de componentes. de deformação. todas. nulas.. de acordo. com. a hipótese que serviu de base ao estudo das relações deformações deslocamentos. Dessaforma, no caso de haver umestado de coa çio instalado no corpo as relações tensões-deformaçõesnão sio homogéneas.. Pode se também estabelecer uma relação homogénea de tensão. defot'mação. Nessecaso correspondeao estado natural umestado de deformaçãode componentes nio nulas, bastandopara isso que se tenha o corpo em estado de coação,sem que se gat'anta a existência de um campo de deslocamentos que o tenha gerado. Consequentemente deixa de ser homogêneã a relação deformação-desloca mento Neste. trabalho. não se consideram. estados. de coação.. Dessa. forma ê simples obter, para as relações tensão-deformaçãoe de formação-deslocamento,. homogeneidade,. bas.ta. considerar. estado neutro corresponde o estado tndeformado. que ao. L.

(31) 1 .23. 1. 7. suoerf:Íci e E Considere-se um incremento das sol icltaçoes Tem-se estio, 6Çe. uma var'loção. do trabalho. or'. exteFnop agua pv- '. ÍV ii 6ul dV + IX ;.i 6uj dX+ IZZal 6 i dE+(1.7.1). sprezandossdeo2ateordemde segunda ordem e reunindo em uma s6 as duas Ultimas. Integrais,. vem:. (1 . 7 . 2 ) 6Çe. l. lv Xi 6ui dy + IX aj 6ui dx. ou, considerando-se o teoremado trabalho: (1 . 7 . 3 ). 6(e. v a'ij. 6 c'ij. dV. Integrando-se a expressão(1.7.3) do cer tn estado.. D,. de. de formação. , vem:. es faria. indeformado atê.

(32) 1. 24. . õ'e : .l. .l.'jj. õ'í.Í dV. õ'í,j dv. : .l..l..í.l. Ó'í.j. dV. (1.7.4). (1 . 7 . 5 ). fa ze ndo:. w3 : IÍ.. 'í.i. 's'í j. ( 1. 7. 6). vem. .. b/: dv. (1 . 7 . 7 ). L. '"::ek'':,. (1 . 7. 8 ). portanto, comparando coma expressão(1.7.6), tem se que a fun ção W3ê exclusiva das componentes de deformaçãoe tal que: ' a LV.. L.

(33) 1 . 25 Conclue. então que as relações. tensões-deformações. são. univocamentedeterminadaspela função densidadede energia de deformação. É importante obter'var que as relações tensões-deformações. obtidas de (1.7.9) não estabelecem umacorrespondência biunlvoca entre. tensões. e defor'mações. .. Isso sõ ocorre quandoas relações tensões-deformaçõessão. monoton'icamente crescenteslzl.. Nestetrabalho sÕeste casoê re. l eva nte. Obtêm-se essa condição através do conceito de material mate. realmente estável estabelecido pelo postulado de estabilidade de Drucker, enunciadoa seguir para o caso de material elástico lel, l. q 9. "Consadere-seumelementono qual este instalado umestado de tensão a.i.i e de deformação c.í.í. Suponha-se que uma solicitação adicional altere de 6a.. o estado de tensão e de 6€.. o esta. do de deformação. Entãoo matei.lal ê materialmenteestiiel se se ve rifíca. a de sig u al da de. 6a.ij 6clj. > 0". Portanto se o material for elástico e materialmenteestiver existe umarelação biunl'vocêentre os censoresde tensãoe de deformação.. Paralelamente aos conceitos de trabalho e de energia de deformação pode-se estabelecer conceitos complementaresque apreseE tam grande interesse, na genes'alízação de certos teoremas. Considere-se então a expressão(1.7.6) e o desenvolvimento. da i nnegral por panes . Logo: D. 6(a. E. ) -. . 'jj. ''lJ. (1 . 7 . 10 ).

(34) 1. 26. e fa zendo D. +. E. .. o lJ. W3. (5a. ( 1 . 7 . 11 ). lJ. vem +. W3 + W3. (1 . 7 . 12 ). ajj. Observando- se que +. a W3. =. (J. [ .]. a. =. 0. (1 . 7 . 13 ). ij e +. a w3. (1 . 7 . 14 ). a a. .. conclui-se que a função l.l.a 6 exclusiva das componentes de tensão e tal. q u e (1 . 7 .1 4 ) se verá fi ca .. Pode-se então def.in ír o funcional. .' : J.''; .«. (1 . 7 . 1 5 ). que recebe o nome de energia potencial complementar de deformação,. sendoportanto a função l{3 denominadadensidadede energia potencial complementar de deformação..

(35) 1. 27. Os funcjonajs U e U+ contêmduas parcelas. A primeira constante, não restituível, correspondenteao estado natural. i qual se atribuí o valor zero. A segundaê a enet'gia potencial p ropri. ámente d i ta. ] . 8 - Lei. de Hooke ge neral i za da. Ummaterial elástico diz-se linear se a função densidade da energia de deformação for uma função quadrãtica das componentes de deformação. Para o material elástico linear, tem-se então: W3. c-i j. (1 . 8 .1 ). E:k!. e de acordo com(1.7.9) obtém-se ( c.ijkl. +. ckl.ij. ) c k2. (1 .8 . 2 ). fa zendo (1 .8 . 3 ). kt vem. =. C. jj kz. C. kt. (1 .8 .4 ). A expressão(1.8.4) estabelece que as componentes de tensão relacionam-se linearmente com as componentes de deformação. Essa relação foi estabelecida por Cauchy, gemer'alizando a leí de Hooke, daT o nomede le í de Hooke generalizada..

(36) 1 . 28. Oscoeficientes C.i.ik!, na forma linear(1.8.4), ponto para ponto. independentes. Se, entretanto,. do ponto,. o corpo. os coeficientes ê considerado. variamde C.i.ikl, forem. elisticamente. homo. ge neo .. A simetria de c,. permite agrupar os coeficientes ek2 e c2k' Formam ím novos coeficientes H. l j kl. =. c l j k l.. Em vírtud H. + c. (1 . 8 . 5 ). jjt k. e de (1 .8.5 ). vem. (1 . 8. 6 ). H. lj kl. das parte. e por outro lado a simetria de a:: determina H. "{ j kl. j'í l k. (1 . 8. 7 ). Verifica-se então que com as condições de simetria dos tens.g res de tensão e de deformaçãoo niimeromáximode constantes elásticas independente ê 36. Mas, em virtude de(1.8.3), tem-se :. H. H. kl{ j. (1 . 8 . 8 ). o que t'eduz a 21 o numero de constantes elásticas independentes. Observa-se que a condição(1.8.8) resulta da existência de W.2 o b s e rva. n do. (1 . 7 . 9). E interessante apresentar emfot'ma expandidaas r'elaçÕesen tre tensões e deformações. Tem-seentão: Hllll. cll + Hl122 e22 + Hl133 e33 +. Hl11 2 e1 2 + Hl1 23 c23 + Hl1 31 c31. (1 .8 . 9 ). L.

(37) 29. a22. H 2 21 1. cll. + H2222 c22 + H2233 c33 + H2212 c1 2 +'. H2223 c23 + H2231 c31. a33. a1 2. a23. + H3322 e22 + H3333 c33 + H3312 c1 2 +. H3 31 1. ell. H332 3. c2 3 + H33 31 c31. HI 2 1 1. cll. Fl1 2 2 3. c23 + HI 231 c31. H 2 31 1. cll. + HI 222 c22 + HI 233 c33. HI 21 2 c1 2. + .H2322 e22 + H2333 c33. l{2 31 2 c1 2. H232 3 c2 3 + H2331 c31. a31. H 31 1 1. cll. + H31 22 c22 + H31 33 c 33. +. 2 H 31'1 1 2. +. cl. H31 2 3 c:23 + H3131 c31 ou. con si dera ndo. al l. os vetõres e. cl l. a22. c22. a33. c33. a1 2. c1 2. a23. c23. a31. e31. 8 .1 0 ).

(38) 1. 30 a le{. de Hooke pode tomar a forma a. =. ij. H. C. (1 . 8 . 11 ). kl. a matei z s imêtr{ ca. onde. HI 122 HI 1 33 H2233. HI 1 1 2. HI 123 HI 1 31. H2 21 2. H2223 HZz31. H221. H22 22. H331. H3322 H3333 H331 2 H3323 n3331. HI 21. HI 222 HI 23 3 HI 21 2 HI 223 HI 231. H231. H2322 H2333 H231 2 H2323 HZ331. H 31. H31 22. 1. H31 33 H31 1 2 H31 23. (1 . 8 .1 2 ). H31 31. Simetrias nas propriedades do material podemfazer baixar o numerode constantes elásticas Independentes. No caso de s Imetria em t'elação a um plano tem se 13 constantes el;sticas Independentes e para simetria emrelação a três planos peFpend'oculares en tre. s{ tem. 9 constantes. elásticas. independentes. lszl.. Aprese2.. ta particular interesse o caso de corpo elastícamente isõtropo, quando o niimero de constantes elásticas independentes t'eduz 2, apresentando-se então a lel de Hooke com o seguinte aspecto. E. {clj+--2v. (ell. tc22+c33)6jJ}. (1 . 8 .1 3 ). A expressão das deformaçõesem função das tensões ê por sua ve z. ci j. zt' ' ''j. -i:;- (a)l + a22 + a33} óij}. (1 . 8.1 4 ).

(39) 1 . 31 Oas expressões(1.8.1),(1.8.2). -l-' 'ij. W3 : W3 :. ou,. a te nde n do. a. e(1.7.12). tem-se. (1.8.15). 'jj. (1 . 8.1 1 ). W3 : W3 : -':-L. (1 .8.1 6 ). H. C. cj.j. Hj{ j.ikl k t ekZ. +. Observa pelo fato de as funções W3e W3serempositi vas definidas, a hipótese de estabilidade material ê intrl'nseca ao matereal elástico linear + Apresentam agora as expressõesde bl.ae W.aemforma des en vol vida. W3:W3:. l. a.ijclj:. l(allcll+a22c22+(1.8.17). + a33 e33+ 2 a12 c12 + 2 a23 c23 + 2 a31 c31). ou, considerandoa expressão(1.8.13) e que W3ê função das defo! mações, W. vem: E. V {. 3. 2 ( 1-2v ). '.-b ';. ou,. a expressão(1.8.14). "; ' : +. (1 . 8.1 8 ). (c)l + c22. 2. + c22:. + c33 ) + c1 2. e que W3 ê função. + c23z + e31 }. das. tensões.. vem. (1 .8.1 9 ) -;7i'FV). (all. ' a22 ' a33y. +. l(all'+a22a+a33z)+a12a+a23. +a31. b. V. b. ©. }.

(40) 1. 32 1. 9. EQlmglgçjg do problema elástico. Unia. da de de sol uçio. A teoria da elasticidade propõeresolver o seguinte proble ma. "Determinar. o estado. de tensão. e deformação. em um corpos. ocupando umacerta região do espaço,verificando a) as relações deformações-deslocamentos(1.1.18) b) as equações de equill'brio(1.4.2) e(1.4.3) c) as relações tensões-deformações (1.7.9) d) três condições por ponto de fronteira a.. n. lJ J U. l. (1 . 9 .1. a.i numaporção EI de E U. numa porção. l. (1 . 9 . 2 ). E2 de E". As grandezas assinaladas com traço superior indicam que as mesmas são fi xadas .. A colocação. do problema ac íma envolve. ções(3 equações de equilíbrio,. 6 relações. um s ístema de 15 equ.! deformações. mentes. 6 relações tensões-deformações) a 15 incógnitas (6 compg nentes das tensões, 6 componentes das deformações e 3 componen-. tes dos deslocamentos) emcada ponto. A hipótese de primeiras derivadas dos deslocamentos pequenas conduza relações deformações-deslocamentos lineares e i invariância da fronteira. portanto ã l inearidade geométrica. A hj. põtese da linearidade das relações tensões-deformaçõesimpl'ica a l i n ea rl. d ade. Se as. f:Ís{. ca. hipóteses. de. linearidade. fl's. lca. e. geométrica. forem. ag.. miudas, as equaçõesde camposão todas l ineares e a fronteira ê invariante, o que permite verificar o principio da superposição:.

(41) 1 . 33 "Uma combinação linear correspondentes. a certas. nova solução. de soluções, das equações de campo,. forças. das equações. de massa. e de. superfície,. de campos correspondente. ê uma. a mesma comb.!. naçãoI'inear de cond'içõesde fronte'iras de forças de massae de superfície das soluçõesprimitivas". Não se. demonstrará. que. o problema. posto. tenha. solução,. mas. que se el a existi r ê anuca. Seja a expressão do teorema do trabalho(1.5.9) V aij cij. e considere pressão. a{ ul dE +. dV. lv xl ui. (1 . 9 . 3 ) d'V. a partir da hipótese de l inearidade fl'saca a ex. (1 .8.1 5 ).. Logo. : '. «.': ' J.*, «,'" : : J."; '" Com a. (1 .9 .4 ). finalidade de se estabelecer a un'icidade do problema,. admita-se a hipótese da existência de duas soluções (1 . 9 . 5 ). ut. ]. u2. 1. (1 . 9 . 6 ). a. .2. 1J. Considerandoo principio da superposiçãoa solução diferen ça. (1 . 9 . 7 ). -{ : «l - " { ,r. "i j. 1. .. n. ' jj. 2. tambémê umasolução, que correspondea fot'ças de massanulas, deslocamentosnulos emE2 e tensões apl icadas nulas emEI'.

(42) L. 1. 34. Para a solução diferença a equação(1.9.4) apresenta 2 ÍV W3 dV '. (1 . 9.8 ). O. visto que as equações(1.9.1) e(1.9.2> devemser verificadas. Comoa função W3ê umaforma quadrãtfca def'ínlda posltlva, a in tegral em(1.9.8) sÕ se anula quandoW3: 0, Isto ê, c{.i B o. as :j j. :. c{ j : '. (1 . 9 . 9 ). c{j :. consequentemente as componentes do tensos das deformaçõessão idênticas para as soluções(1) e(2) e. de acordo coma lel de Hooke. as componentes do tensos. das tensões. para as duas soou. ções também são idênticas. Segue tão que as duas soluções são idênticas e portanto que a solução ê Gn.lca. Demonstrou assim o teoremade Kirchoff. A unicidade da solução, significando que a cada sol lcltação correspondeumünlco campode deformaçõese portanto umúnico campode tensões, nemsemprese garante fora da perfeita l.Ineari dade, mesmo que o material sela elástico. Para que a unicidade ocorra,. deve-se acrescentar as h lpõteses de estabilidade. materl. al e da não ocorrencia de mudançasbásicas nas equaçõesde equl l Tbri o l +l .. Se não atuarem forças. exterlot.es,. as equações cora'esponden. tes ã soluçãodo problemael;stlco são todas homogéneas e portar to veríf'lcadas por componentes nulas de tensãoede deformaçãoe de deslocamento. Essa solução ê a Gn-lcacorrespondente ao esta do natural,. pelo que não são possa'vela estados de coação..

(43) ] . 35 Valores. das incognitas. que respeitem. as equações. de campo. de equjll'brio, as relações tensões-deformações e as condiçõesde fronteira emEI, constituem umasolução equilibrada Valores que verifiquem as relações deformações-deslocamentos, as relações tensões rmaçõese as condiçõesde fronteira em E2' constituem. uma solução compatível. 0 teoremada unicidade podeentão ser enunciadonas seguir. tes formas. "Das soluções equilibradas sõ uma ê compatl'vel" ou. "Das soluções compatíveis sõ umaé equilibrada"..

(44) L L. L. L. L.

(45) 2. 1 CAP. 2. TEOREMAS VARIACIONAIS. DA TEORIA DA ELASTICIDADE. Teorema dos deslocamentos virtuais. 2. 1. Seja umcorpo em equílibrio estático, sujeito ã ação de fo! ças de massaX{, definidas emtodo o volumeV, e de forças de sg perfTcie a{, definidas emumaporção E. da fronteira E. Na porção restante Ep,da fronteira E. tem-se especificados os desloca men tos. ü; .. Q. Fig . 2 .1 - Nota çÕes. Considere. o campode deslocamentos correspondentes ao. estado de equi l ébrio . Introduz. um campo arbitrário classe C3, com a seguinte expressão u l! = u l. + 6u l.. de deslocamentos ul, de. ( 2. 1. 1 ). com as propriedades :lJ. :. 0. 5 (u{ ,J. + u.l,j. ) em V. ( 2 . 1. 2 ). u: arb'itrãr'ío emEI. (2 . 1 . 3 ). ul. (2 .1 .4 ). :. ü{. e«. E2.

(46) L. 2. 2. Obtêm. das equaçõesacima que as variações (5u.isatisfazem. ãs s eguin tes equações. 6c. . : 0 . 5 ( õu l J. '. a rbi. óu.i. trã. em V. ( 2. 1. 5). l 9J. ria. em. ( 2 . 1. 6 ). 2:.. ( 2. 1. 7 ). : 0 em E2. A variação 6u: que satisfaz ãs condições(2.'1.5),(2.1.6) e ( 2 .1 . 7 ) di z - s e vi r tu al.. Seja umcampoqualquerde tensõesequilibrado por forças de massai.Í, emV, e de superfl'cie a.i emEI 0 teorema do trabalho permite então escrever:. . '.. ''.. '" : 1. i. '-. '" ' l;. ;,. (2 .1 .8 ). dE. que exprime a equação do teorema dos deslocamentos virtuais. E interessante. tidade. observar. matemática.. que a expressão(2.1.8). A sua verificação. garante. ê uma éden. que o campo de. tensões a:: seja equ ilibrado pelas forças exteriores de massa, em V. e de superfícies, em EI, nada se estabelecendo sobre os pontos de Eo, onde as tensões exteriores apl icadas não são efe tjvamen te conhecidas. 2. 2. Teoremada Energia potencíal total Considere-se o teorema dos deslocamentosvirtua is. . ',. ''.. «" ' 1.i.. '«,. -" ' 1;.;.. '«.. .,. ( 2 . 2. 1). L.

(47) 2. 3. Sendoo corpo elástico, exêste WQ,dens'idadeda energ'ia de deforma.ção,função exclusiva dos componentesde deformação, tal que '"3 = ai.í, que introduzida na primeira integral da equl j. ção (2.2.1 ) fornece. [.'.."..«:f«-:?-".'" 6 lv. 6W3 dV. ( 2. 2. 2). W3 dV : ÓU. A expressão(2.2.]). toma então o seguinte aspeto. 'l.";'"-l.x,'".'"'l;.õ.'",«;''. u.:.u. Novasimplificação podeser obtida, considerando-se que as forças. externas. de massa e de superfTc'ie. to ê, íntlependem da deformação elástica. sejam conservar-ivas9. do corpo.. Assim:. . :, '".."' I' ;: ' ",.: , ' 1.i, -,."' + 6 1:. aj. uj. ' ' J.«,. e(2.2.4),. v X'i u'l d '«. ( 2 . 2 .4 ). dz. Cona'lderando-se(2.2.3). 6 lv W3 dV. 'lâ. - J.:,. vem. a. u.. dE. V. «. '«. - /:, ;. ", «'. ( 2. 2 . 5).

(48) 2. 4. que pode ser escol to ó. {u. +. P}. =. (2 . 2. 6 ). o. ou. Õ T. :. ( 2. 2. 7). O. onde. u:. ( 2. 2.8 ). dv. W. 3. ?ê a energ ia potencial de deformação, P. =. V. H. U. H. ( 2 . 2 .9 ). dv. ê a energia potencial das forças externas, e. - , 1.«;'«- í. :,. U. {. dv E. l. a.i u.l dE. ( 2 . 2 .1 0 ). ê chamadoenergia potencial total do sistema. A expressão(2.2.7) exprime que a energia potencial total do sistema ê estacionária, para variações virtuais das deformações , ou mal s premi samente. "Entre todas as soluções compatíveis, a que além de compat! vel for equll'ibrada torna a energia potencial total estaciona r{ a '. Observa-se que na dedução acima não se considerou a linearj.. dade das relações tensões r'mações,sendoportanto vãl Ida a conclusãopara materiais elásticos lineares ou não..

(49) 2. 5. É f5cil provar que a energia potencial total não ê sõ estac.ionãria. masm:mima,se ó material for materialmenteestável Essa demonstração pode ser feita comparando a energia potencial total T correspondente aos deslocamentos u. do estadode equilíbrio e a energia potencial total T' correspondente a umcampode deslocamentos u. + 6u., de classe C.a, arb'ítr;r'lo9 mas cona'isten te comos vínculos. Tem-seentão: T'. (u.i + 6uj. W3(clj)}. (ul) dV - lv il. ( 2. 2. 11). : lv {w3 (clj +6cljl óul dV - Itl. a{ 6u{ dE. Q. 'e. desenvolvendo. W3(cjj. + 6c.ij). em sêde. de Taylor,. vem:. aw.. w3(cjj+6cjj):W3(cij)+. t :;;l:\-ó'jj. "3. 6elj+(2.2.12). l. ''kl. que introduzido na expressão(2.2.11) permite obter ,. aw.. -' '".' '",' - - '".' : J.=ü '''. ". J.:,. tJ.. dE. 8zW. ';c. j. ack. jj. 6ekl. dV. ( 2 . 2 .1 3 ).

(50) 2. 6. As três primeiras. parcelas. do lado direito. da expressão. l2.2.13)correspondem ao teoremados deslocamentos v.irtuaís e de acordo com (2.2.3). somam zero.. tJ.. T'. Logo â c,. acij aekl. l J. ( 2 . 2 .1 4 ). 6ckl dV. ou considerando. =31= ''.. ''*'. ãc. 6 c.ij. ( 2. 2 . 15). 6 c kl. ij. 6akl, 6ckl, vem. Ti o.S. e. como,por se. lv. hipótese.,o. 6akl. 6ckl. ( 2. 2.'16). dV. material. ê materialmente. est;vel,. T'. obtém. ( 2 . 2 . 17 ). e o ponto de estacionarldade. ê efetivamente. um ml'mimo. 0 enun-. ciado do teoremapodepois transformar-se no seguinte "Entre. todas as soluções. compatíveis.. a que além de compatT. vel for equilibrada torna ml'numa a energia potencial total, desde que se verifiquem. as hipóteses. de elasticidade.. material e linearidade geomêtrlca'.. estabíl. Idade.

(51) 2.7. Deforma inversa. mostra que o princl'pio variacional para o funcional energia potencial total, fornece as equações de equil:fbrlo.. De fato. na expressão(2.2.10) da energia potencial. total, considerando se umavariação virtual deslocamentos, tem-se X.. ÕT .. l.. -l.I't--. Ó'lj. 6u .. l. dV. óu.i arbitrária. dos. ( 2 . 2 . 18 ). dV. dE. '. ;' mas. ( 2 . 2 . 19 ) v. a113. 6clj. dV '. lv. 'jJ. 6clJ. dV. =. V aij. 0'5. (6u.i,j. + Óuj,{). V. dV. lv 'jj.j 6uldV+lv ('lj. e substitui'ndo. .j. 6u i dV + l. a expressão. a.ij. final. nj. V aij ,j. ] -J.:,. '«."-f,.. J,.. {j. dV. { dE. de(2.2.20) a. ÕT. 6ul ,j. dv. 6u l ). 6u. V aij. a.ij. em (2.2.19),. ( 2. 2 . 20 ). n. 6 6uu . d E J. i. =. ;, -' '«,. \.+. k. vem. 2. \.

(52) L. 2.8 ou. dv +. 6T. V (aij,j. It. ' õll. (aij nj. dE. expressão que fica satisfeita a.ij ,j. + X.i :. ( 2 . 2 . 21. + Xj. 0. para. arbl triplo. , se. ( 2 . 2 . 22 ). em V. e. n . = a.. em E.. ( 2 . 2 . 23 ). Pode enunciar então o seguinte teorema "0 funcional T assume um valor mínimo quando os deslocamentos u{ sio os correspondentesao estado de equil:ébrio. desdeque se verifiquem as hipóteses de elasticidade, estabilidade material e linearidade geomêtrlca". Observa-se que as demonstrações desenvolvidas servem para mostrar. que. os. pontos. de estacionaridade. nimos mesmo que não se considere. correspondem. a total. sempre. idade das soluções. a m.!. compa-. tTvei s. 2.3. Apl ilação do teorema da energia potencial total. Considere-se o caso simples da treliça hlperestãtlca formada por. n barras. prismãticas,. com. uma. das. extremidades. articulada. em. 0 e a outra apoiada fixamente, sol imitada pelos esfot'ços externos PI e P2Bapl'icados em0, comomostra a f'igura 2.2..

(53) 2. 9. Trata-se de obter as equaçõesde equíl:ébrio pela aplicação do teoremada energia potencial total. u2. P. 2 U. P. +': /. /. /. /. (1 ). a; A. C2).. (n-l ). (i. .(n ). n. l A2. An. N. Fj g . 2 . 2. Tremi ça hi pere stã teca. A bart'a de ordemi tem comprimentoL.,área da seção transversal S.. módulo de elasticidade E{ e faz com a horizontal um L. ãngul o d'. .. Serio ma. consideradas. válidas. as hipóteses. da resistência. dos. terá ajs.. Seja u. e u. as componentes de deslocamentono ponto 0. correspondentes a PI e Po. Dessa forma. para a bart'a de ordem i, o deslocamentolongitud'iRaI uç., na seção de abcissa s.ip de l acordo com a figura 2.3, será dado por: S4. us.l. '. - L.t. S.i. cos. a'i. ul. + - L.i. ( 2. 3. 1) sen. al. u2.

(54) 2 . 10. Fj g . 2 . 3. ?. Deslocamentos na barra de ordemi. A expressão(2.3.1) define uma classe arbitrária de desloca mentesconsistente comos vl'nculos. Pode-seobter então as de fjormações longitudinais, através das relações deformações. L. lamentos. L aus j. c.l. as .í. cos a. Lj. e as tensões normais, através. sen a. : E '{ : --l---í''''l' l. ( 2. 3. 2). u2. L{. das relações. E; cos a.. 'j. j. ul +. tensões. rmações:. E: sen a.. "I. ' --J--'l-----t- ":. (z.3.3). l. associadas ao campo de deslocamentos defjn ído por(2.3.1). Para a barra. de ordem i.. a enet'gia. de deformação. ê dada. L L.

(55) u{ vi. lol. '{. d'{. dV. J. -L# ". u{. J V{. 2. Logo. tem. ". 1.{ C{ el d'i. dV .. (2. 3.4). &4 ",' '.; :, ',' :, ',. energ'la de deformaçãoda estrutut'a:. n n U ' .IEI UI ' .IE.l 0.5 E.l elt S.l ll. (2.3.5). Sendo a energ'la potencial das forças externas. Pa. pode tal. (2.3.6 ). UI. escr'evera expressãodo funcional energia potenc'lül to n. T. l. IEI 0.5 E.l e.I' S.l L{. ou. considerando-se(2.3.2).. «. {. + 2 sen al cos al ul u2). /. (2. 3. 7 ). vem:. iil 0.5---T--(cos'. /. PI ul - P2 u2. al ul' + sen' al u2' +(2.3.8) PI ul. P2 u2. E .Interessante.observar que a cada campo de deslocamentos conslâ tentes com os vínculos, cora'esponde um valor da energ'la potenc'l al total.

(56) 2 . 12. Considere-se, agora, a primeira variação do funcional T ÓT '. .lnl{0.5. ----{2. cosa a.i ul. ( 2. 3. 9 ). 6ul +. l. L'. + 2 senoa.i u2 6u2 + 2 sen a.l cos aj(ul. 6u2 + u2 8ul)}}. L PI 6ul - P2 6u2 ou n. 6T. {PI. E1 . S1 . L. (cos'. ( 2 . 3.1 0 ). a{ ul +. l. n. E.. S.. + sen aj cos aj u2)} 6ul - {P2 - {1l -. (seno. a.i u2 +. l. + sben ai cos aj ul )}. 6u2. As condições de equil ébrio cot'respondemã estacionarização do funcional T. Logo, considerando-se que as variações 6u.i e 6u.2 são at'bi trã ri as . vem: ' j 'j PI. (c os2 a.i ul + sen a.i cos ai u2). ( 2 . 3 . 11 ). Lj. e. L'l. E. S. P2-E. ll(senajcosajul+senza.iu2). que são, evidentemente,as equaçõesde equill'brio. ( 2 . 3 . 12 ).

(57) 2. 13. r)btendose ul e u2P correspondentes ã solução equ'ilibrada. peça resolução de(2.3.]1) e(2.3.12), pode-sedeterminar as ten sões aj e as deformaçõescl, através das expressões(2.3.2) e (2. 3). 3. E interessante observar, que consjdet'ando-se(2.3.1) as equações de equílibrio(2.3.11) e (2.3.12) podemser postas na forma E. S. n. PI. Lj. ( 2 . 3 . 13 ). ul' j cos a{'. e. : : !.-;?---. .,. ( 2 . 3 .1 4 ). ;.«. ou, considerando-se(2.3.2) e(2.3.3), n. PI b' .i:l. nas formas. n. E{ S.i c{ cos aj. i:l. '{. ( 2 . 3 . 1 5). S{ cos 'j. e. ( 2 . 3 . 16 ). P2 : iEI Ej Sj cj sen aj = .i;l ai S.i sen a.i 2.4. Teorema das forças v{ rtuais. Seja umcorpo emequil'Íbrío estático, suje'lto ã ação de fo! ças. de massa. perfTcje.. a.l,. X.,. definidas. definidas. em todo. o volume. em uma porção. V.. e de. EI da fronteira. forças. E.. de. sg.. Na po=. ção restante Eo, da fronteira E,tem-se especlfjcado os deslocamentos. u .. l.

(58) 2. 14. Considere-sea: { o campode tensões equilibrado por forças de massasXj. emV, e por forças de superfTcíe ai' emEI ' corcel pendentes is condições de compatibilidade. Dessa forma, tem-se a. . . + X. = 0 em V. ( 2. 4.1 ). a. . n.. ( 2. 4 . 2). l J 9J. l. 0 emEI. Introduz. umconjunto de funções ai.i' de classe C2' emV.. com a seguinte. expressão. l. :. 'lj. ( 2 .4.3 ). 'jj. com as propriedades ajj. 'ij. j + xl. : 0 em V. L J. nj. ' ãj. : 0 em EI. ajj arb'ítrãria em E2. ( 2 . 4 .4 ) ( 2 . 4. 5) ( 2. 4. 6 ). Obtém-sedas equaçõesacimaque as variações 6 a.il satisfazem is condições. :. 6ajj.J. : 0 em V. ( 2 . 4. 7 ) ( 2 . 4 . 8). 6a.lj. nj. 6a. . n . lJ J. '. 0 em EI. arbi traria em EP. ( 2. 4 . 9). A variação 6a.. que satisfaz is condições(2.4.7). (2.4.8) e ( 2 .4 .9). di z - s e vir tu al.

(59) 2 .1 5. Seja umcampoqualquer de deformaçõescjj gerado por umcaE po E. de. 2. deslocamentos. u:. que. satisfaz. ãs. condições. de. contorno. em. 0 teoremado trabalho permite, então, escrever. J. E. ij. 6a.ij dV. óa. =. ( 2.4 .1 0 ). l. E2. que exprime a equação do teorema das forças virtuais.. E interessante observar que a expressão(2.4.10) é umaide! tidade matemática. A sua verificação garante a integrabil idade de c.i.i, emV, e a.s condições de contorno emE2' por parte do caB po de deslocamentosassociado,nadase estabelecendosobre os po! tos de EI onde os deslocamentos não são efetivamente conhecidos. 2. 5. Teorema da Energia. otencjql complementartotal. Considere-seo teoremadas forças virtuais ( 2. 5. 1). l. V clj 6a.lj. Sendoo corpo elástico, existe a função densidadeda ener gia complementar de deformação. Irll;, função exclusiva das compo' nentes de tensão, tal que aW+3 B cqls que 'introduz'ida na pr'i-. aa. medra integral. de(2.5.1). fornece +. ó'lJ. :. l. õalj. dV. W3 dV '. 6 U. dv. . '"; -". ( 2 . 5. 2 ).

(60) 2 . 16 A expressão(2.5.1). lv. toma então o seguinte. 3 dV ' l:z ó'. aspecto. E: O. (z. 5. 3). ondea segundaintegral do primeiro membro,emvirtude da inva riância. do. domínio,. pode. ser. considerada. como. a variação. de. um. funci anal +. P. l2. j. ( 2 . 5. 4 ). 0 teorema das forças virtua ís apresenta-se, então na forma. ' j. "; .«. ( 2. 5. 5). 'J. '" - í,: ''. :. ';' «;. que pode ser escri to 8 {U. + P. ( 2 . 5. 6 ). ou 6T. ( 2. 5 . 7). onde. L L. .' ' J.~;.« ê a energia potencial complementar de deformação,. l 2 . 5. 8 ).

(61) 2 . 17 +. P. l 2a. ( 2. 5 . 9 ). ü{ dE. ê a energia potencial complementardas forças externas e. -' , J.'-;'" - J;:': ', ';. ( 2. 5. 10). é chamado energia potencial complementar total do sistema. A expressão(2.5.7) exprime que a energia potencial complementartotal do sistemaê estacionária para variaçõesvirtuais das tensões, ou mais precisamente "Entre todas as soluções equilibradas, a que além de equil.! brada for compatível, torna a energia potencial complementartotal. es ta cio nã ria" .. É fácil provar que a energia potencial complementartotal não ê sÕ estacionária, mas m:i'numa, se o material for matei.'lalmen te estável. Essademonstraçãopode ser feita comparando a energia potencial. complementar total. T' correspondente. is tensões. a.iJ referentes ã solução compatlível e a energia potencial complâ mental total T , correspondente a um campo de tensões a; = a.ij + óaíj: de classe C2' arbitrário, equíl.ibt''adopor forças demasia X.i, emV, e de superfície ;{, emE.. Dessa forma, tem-se. (a.lj + 6aij. T' (alj). = V {W3 (ajj. . '2. {(a.i. + '5alj. + 6a.i). ) -. ( 2 . 5 . 11 ). =. W3 (ajj)}. - ai } Ü.i d E. dV.

(62) 2 .1 8 + ) em sêri e de Taylor, +. e, desenvol vendo-se W3 (aij. vem:. ( 2 . 5 .1 2 ). w; ('l.j. u3 ('jJ). ' -ll':--. ó'lj. '. L. +. ..L. óa.ij. 2. 6akR,. aa.ij aakl.. L--. que introduzido na expressão(2.5.11) permite obter + 3. +. f.. T. dv. õa. 3a. .. ;'«;. 6a.ij õakl,. aakl As duas primeiras. parcelas. Í,. ( 2 . 5 . 13 ). 6a . Õ . d E +. dv. do lado direito. da expressão. (2.5.13) correspondem ao teoremadas forças virtuais e. de acordo com G?.5.1) somamzero.. Obtêm-se. então: h z l.l. +. +. T. õakl. 2. t. JV. aalj. ( 2 . 5 .1 4 ). dV. aakR,. ;t ....''*.'" ' t í. ''*.''-.. J.. e comoe pOr hipótese.. o matei'ial. ê materialmente. '«. estável,. obtém. se +. T. > O. L. ( 2. 5. 15). portanto, o ponto de estacíonaridade ê realmente umm:ânimo.0 enunciadodo teoremapodepois transformar'-se no seguinte:. L.

(63) 2 .1 9. "Entre todas as soluções equil íbradas. a que, além de equilibrada.. for compatível. torna m:mima a energia. potencial. comple-. mentar total. desde que se verifiquem as hipóteses de elasticidl de, estabíl idade material e linearidade geométrica'. De forma inversa, mostra que o principio var'nacional PÂ. ra o funcional energia potencial complementar total fornece as equações de compatibilidade.. Essa demonstração foi desenvolvi-. da por Richard v. Southwell, em 1936. lbl. Seja a equação varia cional. ÓT+ : lv clj 6alj dv- It2 ü. ( 2. 5. 16 ). ondeas variações 6a.i.i e 6a.t estão sujeitas is seguintes resta'i does. ( 2 . 5. 17 ). õa.iJ j = 0 em V L. 6ai) :. 6alj. nj. :. ( 2 . 5 .1 8 ). 0 em EI. Pode-seintroduzir as restrições(2.5.17) em(2.5.16) coma util'ização de expressões convem'ientes para 6a.l jP que sat'ísfaçam formalmente ãs equações de equilíbrio(2.5.17).. Dessa forma, se-. Ja. 6al1. : +22.33. + +33.22. +23 ,23. 6a22 : 4)33.11 + +11 ,3 3 ' 2 +31 931. 6a33 : +11,22. + +22,11. ' 2 +1 2,12. ( 2 . 5 . 19 ).

(64) 2.20. : =. (5a23. 4)31 ,12. + +12,13 ' 4)11,23 '. +12.23. + +23,21. 4)23,11. =. 6a31:. ' 4)22,31 ' +31,22. =. óa12 : +23.31 + +31,32 ' 4)33,12 ' 4'12,33 com 'bl j. :. 'j. j '. Substitui'ndo as expressões(2.5.19) em(2.5.16), ÍV {'ll('b22,33. + +33,22 ' 2 +23,23). + c2 2 (+3 3 ,1 1 + +1 1 .3 3. '. vem:. (2 . 5. 20). +. 2 d)31 .31 )+. + c33 (+11 ,22 + +22 ,11 ' 2 +12,1 2) + + 2 e23(. 'b31.12. + +12,13. ' 'b1 1.23 '. c31(. 4'12,23. + +23,21. ' 'b22,31. c12((b23,31. 'b23.11). +. ' +31,22). +. + +31,32 ' 'b33,12 ' +12.33)}. dV. +. + IEZ Ü.i 6a.i dX. integrando se duas vezes por partes e, apl içando divergência,. vem:. teorema da.

(65) 2. 21 6T. lv { +ll(c22,33+. c33,22 -. 2. -. 2. ' 2 e23,23) +(2.5.21). + +22 (c1 1 ,33 + c33 ,11 ' 2 e31 .3'1) + + +33 (c)1 ,22 + c22,11 ' 2 c1 2,1 2) + + +12(-2. e33,12 + 2 c23s13 + 2 c31,23 ' 2 c12,33). +. + +23(-2. c11.23. ' 2 c23.11. +. + +31. c22,31. + 2 c23,12. (-2. + i nteqt'al. + 2 c31,21 -. 2. '. 2 c31,22. + 2 c12.31). + 2 c12,32)}. superfTc íe = 0.. Como as funções. +.ij -. são arbitrirjas, 2. = 0. 2. =. c221,33 + e33 .22 ' z e23,23. em V. obtêm r. c11 .33 + c3 3 ,11 ' z c31 ,31 c11 .22 + c22,11l '' zc c1 2,1 2. = 0. c33 ,1 2 + c1 2 , 33 ' c2 3 ,1 3 '. c:31. 23. c1'1 ,2 3 + c23 ,1 1 '. c3] .21 '. c1 2 , 31. c22,31. c23s12. c12,32. 0. = 0. =. que. dV +. + c31922. '. '. :. 0 em V. são as equações de compatibil idade de Saint-Venant.. 2 . 5 22).

(66) 2. 22. 0 tratamento da integral de superfície não set'ã desenvolvido, mas, dele obtêm se que sobre E2 os valores de ul são fixados e as tensões são arbi trã rias. Pode-se enunciar, então, o seguinte teorema "0 funcional T' assume um valor m:mimo quando as tensões. a.: são as correspondentes is condições de compatibilidade,. desdeque se verifiquem as hipóteses de elasticidade, estabil.! dade material e linearidade geométrica". 2.6 -. total Cons.idere-seo caso simples da treliça hiperestãtica, forma da por n barras prjsmiticas, comumadas extremidadesarticu'lado em0 e a outra apoiada fixamente, solicitada pelos esforços externos P. e P., aplicados em 0, como mostra a figura(2.2). Trata-se de obter as equaçõesde compatib'llidade pela aplicaçãoddl teoremada energia potencial complementartotal. A barra de ordem{ tem comprimentoLI, área da seção trans versam. S:,. módulo. de. elasticidade. EI. e faz. com. a. horizontal. um. ângul o a... Serio consideradasv;lidas as hip6teses da res'istência dos ma teríaís. Seja um campo de tensões. a].i. que equíl. abre forças. de massa. nula. emV, e forças PI e P2 aplicadas em0. Cons'adere-se.a.i9 a tensão normal no plano da seção transversal, da barra de ordem i .. Pode-seentão obter as deformaçõeslongitudina is através das relações tensões-deformações a. ( 2. 6.1 ). \.

(67) 2 .23. e os deslocamentoslongitudinais a. u. : ---l-. s. E.i. ''i. ' s'l. ( 2 . 6. 2 ). associadosao campode tensões equilibrado. Para a barra de ordem i, a energia. potencial. complementar. de deformação, ê dada por:. "; ' l«, l:: a2. J.i. J.. e{ 6aj dV a2. {. dv. 2 Ei. Í. a.l. a.i. o. Ej. L- v. 2 E.l. l. Logo, tem-se para a energia potencial. 6a.. dV. ( 2.6 . 3). a z.í S.i L .l. 2 Ei complementar de deformação. da es tru tut.a ''j. .;. «; . ,!.. SI L{. (2.6 .4). 2 Ei. Sendoa energia potencial complementardas forças externas +. P. : o. ( 2. 6. 5 ). v'isto que, os deslocamentos especif'içados são nulos, pode crever a expressão do funcional. total. n +. T. energia potenc'lal. complementar. a! . S , L .. l. l. 2. E. l. (2 .6 .6). j. É enter.essante observar que a. cada campo de tengoes equili:. brado, cor'respondeumvalor da energia potencial complementartg ta l.

(68) ''\. 2.24 +. Considere. agora, a primeira variação do funcional T ( 2. 6 . 7) \. As condições de compatibilidade correspondemi estacionari zaçãodo funcional T+. Observe-seque as variações óa.i são arbi trãr'ias, mas, não independentes entre si. visto que equil'abram fot'ças de massa nulas, em V, e forças de superfl'cie nulas, em E.. Logo, deve peltar, de acordo com (2.3.15) e(2.3.16), as seguintes relações entre as variações virtuais 6aj das ten-. L~-. soes n. {:l. 6'{. Sj ''s. 'j. ( 2. 6. 8). e n. iEI. 6a{ Si sen aj. ( 2 . 6. 9 ). Substituindo-se(2.6.8) e(2.6.9) em(2.6.7) e considerando se a arbitrariedade e a independênciamutuadas variações 6aj' obtêmse (n ) equaçõesque são, ev'identemente,as equaçõesde compa ti bil i dad e.. Exemplificando, considere se a treliça hiperestãtica de três barras prismãticas de mesmo material e de mesma área da seçio transversal da figura 2.4 \. 'bb-. \-b-.

(69) 2 .25. T:'. T". 3). (2 ). A'. Fig. 2.4 De acordo. A. +5o. 2. N-. hiperestãtica. com a equação(2.6.7),. 90o. b;Çb-,,.. de 3 barras. vem:. :? '. .:? '.:.-P ..;.. ',' sendoqt4.eas variações 6a.l devemrespeitar as restrições (2.6.8) e ( 2 . 6 . 9). 6al SI sen al + óa2 S2 sen a2 + 6a3 S3 sen a3 : 0. (b). õal SI cos al + 6a2 S2 cos a2 + 6a3 S3 cos a3 : 0. (c). n. bons.iderandose os valores numéricosas expressões(b) e (c) tomam o seguinte espeto: =Ci:: 6al + ó'2 ' '. 2. Ó'3 ' 0. (d).

(70) 2. 26 e. +'..-'F''.. (e ). ou. (f). 6al. 6a2 e. 6a3 :. (g ). 6a]. que substituídas em (a) fornecem:. (-!L:!-!L - ,,-Z-- -=.t:.CJ:Z-- '. '-. e como dal. ::. é arb'itrir'io. al SI LI. /. -:Z.j.i-.EZ-) 6a.. a3 S3 L3. E2. E3. que ê a equaçãode compatibilidade ('í). ul l. pode ser. vem. a2 S2 L2. EI. ssão. ''''. 1;. e 'independentes. pos ta. ( h). Consi derando. ({ ). (2. 6.2). L. a exprÊ. na forma (j ). uL2 + uL3. que juntamente com as equações de equill'brio permitem determina.r. as tensões a{ e as deformaçõesc:.. L.

(71) 2 .27 2.7. - Teorema d! ra l i z ad a ). Estabeleceu-seanteriormente a partir do teoremados deslocamentosvirtuais o teoremada mTnjmaenergia potencial total "Entre. todas. as soluções. compat'íveis,. a que além de compÕE!. vel for equilibrada torna ml'Rimao funcional, X. u . dV v W3 (cij). ( 2. 7. 1). ; . u . dE. dV. l. energia potencial total, desdeque se vet'ifiquem as hipóteses de elasticidade, estabil idade material e linearidade geométrica'. 0 teorema. ê estabelecido. para. variações. virtuais. do campo. de deslocamentos e variações associadas do campo de deformações,. apresentando,. po. Deseja ções livres. portanto,. variações. l ivres. de um único. cam-. agora enunciar um teoremaque apresente varianos três. campos.. Seja o funcional, energia potencial total, dadopor (2.7.1) a ser estacionarizado, sujeito :scondições subsjdiãrias c , . = 0. 5. lJ. uj ,.i). ( 2 . 7. 2). em V. e. ( 2 . 7. 3 ). u.i : Ü.i em E2. Pela técnica dos multiplicadores de Lagrangeobtêm-seo fu! ci o na l. W3 dV - 1. Xi u{ dV. ' lv aij. {0'5 (u{,j. + uj,. ( 2. 7. 4 ) 1 1. j. u . dE +. dV +. 1.. aj. (ül. ' 2. ©'. -. uj). dE.

(72) 2.28. semcondições subsidiárias, onde a: e al{ são os multipl icadores de Lagrange, com dimensão de tensões, mas arbjtrãrios. Considere semperda de generalidade, variações simêtri cas dos campos de tensões e de deformações. Seja a primeira. variação. do funcional. (2.7.4). com vat'cações. livres dos campostensorjais c;., a!. e u;l e do campovetorial a!. Obtém. então. J.x{. dv. a. 6u. ' lv ajj. l. '; . J.. 6a. {0'5 (6u{,j. {0.5 (uj .j + uj .j). {j. + óu. a;. (ül. -. uj). 'lj}. dV .. }. j ,l. ó'jj. l l. ( 2. 7 . 5). dv. al. } dV +. óuj. dE. dl. Ma s. = V. ':j. Integrando se. . 'ij. âu. por. ( 2 . 7. 6 ). dv. j ,i. V aij {0'5 (6u.i,j dv. i ,j. partes. e apl ícando. o teorema. da divergência,. tem \. í'j. 1. 'lj ,j. dV :. dv. lv. ij. a: lJ. 6u. {. dv. pJ. n . dE J. ( 2. 7. 7 ). a! .. .. l JlJ. óu . d V.

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