semestral
1 0, 050625
1
semestral
2, 5%
i
i
i
i
= +
−
⇔
= +
− ⇔
=
VI – RENDAS 6.3 Rendas fraccionadasValor da renda no momento “6”, corresponde a 6.000 euros:
A entidade terá na sua conta 6.000 euros, imediatamente após ter efectuado o último depósito, se efectuar semestralmente um depósito no valor de 939,30 euros.
(
)
6 6 2,5% 6 2,5%6.000
6.000
6.000
1 0, 025
1
0, 025
939, 30
c s
c
c
s
c
= ×
⇔ =
⇔ =
+
−
=
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 91
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
Exemplo 6.5
A empresa XPTO comprou um equipamento informático através do pagamento de 8 prestações trimestrais iguais a 220 euros cada, a primeira das quais logo no acto da compra, com juros contados a uma taxa de 2% ao trimestre.
a) Qual o valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo no momento da compra.
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
anteriores?
anteriores?
Pretende-se determinar o valor das prestações na data de vencimento da 1ª: trata-se de uma renda de termos renda de termos antecipados
antecipados (o vencimento dos termos ocorre no início de cada período).
termos período em trimestres
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
A renda do exemplo tem a seguinte representação:
220 220 220 …. 220
0 1 2 …. 7 8
O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”, isto é o valor da renda na data de vencimento do primeiro termo.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 93
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
Será que as fórmulas deduzidas anteriormente podem ser aplicadas para a resolução deste problema?
A fórmula do permite obter o valor de todos os termos da renda um período antes do vencimento do primeiro termo. No exemplo, pretende-se obter o valor dos termos na data de vencimento do primeiro term n a o. Então, vem:
(
)
8 2% 8 2%Valor da renda no momento "-1" 220
Valor da renda no momento "0"=220 1 0, 02
a a
= ×
× × +
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
(
)
8 8 2% 1 1 0, 02 220 (1, 02) 220 1, 02 1.643,84 0, 02 a − − + × × = × × =O valor do equipamento informático, caso a empresa pretendesse pagá-lo a pronto pagamento era de 1.643,84 euros.
Continuação do exemplo 6.5:
b) Considere agora que a empresa pretende pagar a totalidade do equipamento no fim do 8º trimestre. Qual o valor a pagar?
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 95
termos período em trimestres
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
Neste caso pretende-se determinar o valor da renda no momento “8”, ou seja um período após o vencimento do último termo. 220 220 220 …. 220 0 1 2 …. 7 8
(
)
8 2% 8 2%Valor da renda no momento "7": 220
Valor da renda no momento "8": 220 1 0, 02
s s
×
× × +
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
(
)
8 8 2% 1 0, 02 1 220 (1, 02) 220 1, 02 1.926, 02 0, 02 s + − × × = × × =Caso a empresa pretendesse pagar o equipamento informático no fim do 8º trimestre deveria entregar 1.926,02 euros.
Repare-se que:
(
)
8FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 97
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
1 1 1 1 termos
períodos VI – RENDAS
Em termos gerais, considere uma renda com n termos antecipados e unitários, imediata, temporária e inteira.
Para uma renda de termos antecipados, vem:
Início do primeiro período: t+1 (coincide com o vencimento do primeiro termo)
Início do último período: t+n Rendas de termos antecipados
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
O cálculo do valor actual da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda na data de vencimento do primeiro termo. No esquema apresentado, em t+1.
O símbolo utilizado é:
, onde
(1
)
n n n
a
a
=a
+i
ɺɺ
ɺɺ
Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:
n n
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 99
VI – RENDAS
Rendas de termos antecipados
O cálculo do valor acumulado da renda de termos antecipados e imediata, refere-se ao cálculo do valor de todos os termos da renda um período após o vencimento do último termo. No esquema apresentado, em t+n+1.
O símbolo utilizado é:
, onde
(1
)
n n n
s
s
=
s
+i
ɺɺ
ɺɺ
Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:
n n
Sɺɺ
= ×c sɺɺ
VI – RENDAS
Rendas diferidas
Exemplo 6.6
A empresa YYY comprou uma máquina através do pagamento de 24 prestações iguais e mensais de 300 euros cada a primeira das quais com vencimento daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de juro mensal de 1%, qual o valor da máquina?
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
Qual a diferença deste exemplo em relação aos
anteriores?
anteriores?
Pretende-se determinar o valor das prestações, 6 meses antes da data de vencimento da primeira prestação. Trata-se de uma renda diferida.renda diferida.
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 101 termos período em meses VI – RENDAS Rendas diferidas
A renda do exemplo tem a seguinte representação:
300 …. 300 300 0 … 5 6 …. 28 29
O que se pretende é determinar o valor da renda no momento “0”. Como fazê-lo?
VI – RENDAS Rendas diferidas
Primeiro calculamos o valor da renda no momento “5”:
(
)
24 24 1% 24 1% 24 1% 24 1% 1 1 0, 01 300 300 6.373, 016 0, 01 A a A A − − + = × ⇔ = × ⇔ =Então, o valor da renda no momento “0”, corresponde a:
(
)
56.373, 016
6.063, 706
1 0, 01
=
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 103
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
1 1 1 1 termos
períodos VI – RENDAS
Em termos gerais, como calcular o valor actual duma renda diferida:
Ao contrário das rendas imediatas, designam-se por rendas diferidas, as rendas para as quais se determina o valor actual numa data anterior ao início do primeiro período da renda. Tal significa, de acordo com o esquema seguinte, que o valor actual é calculado para uma data anterior a t.
Rendas diferidas
VI – RENDAS Rendas diferidas
Assim, o valor da renda no momento “0”, corresponde ao valor actual duma renda temporária, inteira, diferida de t períodos, com n termos normais e unitários.
O símbolo utilizado é:
(
)
1
, onde
1
ta
n ta
n ta
ni
=
+
Para o caso mais geral, onde os termos são iguais a um certo valor constante, designado por c, vem:
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 105
0 1 2 ... t t+1 t+2 ... t+n−1 t+n t+n+1
termos
períodos VI – RENDAS
Rendas temporárias de termos constantes
c c c c
(
1)
t n c a× × +i − n c a× c a× n × +(
1 i)
n c s× c s× n × +(
1 i)
n tA
A
nA
nɺɺ
nS
nSɺɺ
Em esquema, o valor de uma renda temporária de termos constantes, para diferentes datas:VI – RENDAS
Rendas perpétuas
Exemplo 6.7
Um filantropo pretende criar um prémio anual perpétuo, no valor de 4.000 euros, destinado ao melhor aluno de uma universidade. Qual o montante que o filantropo deve disponibilizar hoje por forma a atingir esse objectivo, considerando que o capital rende juros com base numa taxa de juro anual de 5%, com capitalização de juros anual.
a) Considere que o prémio anual deverá começar a ser atribuído de hoje a uma ano.
Trata-se de uma renda perpétua ( renda com número ilimitado renda perpétua
FEUALG Cálculo Financeiro 2009/2010 107 VI – RENDAS Rendas perpétuas 0 1 2 3 ...
∞
4.000 4.000 4.000...
anos termosA quantia que o filantropo deve disponibilizar hoje corresponde ao valor actual da renda perpétua, no momento zero.
Como determinar o valor actual de uma renda perpétua, imediata e de termos normais?