Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente aos dife- dife-rentes parâmetros do modelodife-rentes parâmetros do modelo

Como já vimos anteriormente, o ajuste de convexidade das taxas LIBOR é dado pela re-lação CC_a(t, T, U, S) = E_t^U(L(T, S))−L(t, T, S), (3.33) ou seja, CCa(t, T, U, S) = ¹ S−T p(t, T) p(t, S)^(e F(t,T ,U,S)+G(t,T ,U,S)zt −1) (3.34)

em queF eGsão funções deterministas de (t,T,U,S) dadas pelo sistema de equações di-ferenciais

∂F

1 2Gk₀(t)G+Gk₀(t)(B(t, T)−B(t, S)) = 0 F(T;T, U, S) = 0 ∂G ∂t + (B(t, S)−B(t, U))K(t)(B(t, T)−B(t, S)) +GE(t)−GK(t)B(t, U) + 1 2GK(t)G+GK(t)(B(t, T)−B(t, S)) = 0 G(T;T, U, S) = 0.

Conseguimos, deste modo, obter, com base no recente trabalho de Gaspar e Murgoci (no prelo), o ajuste de convexidade como solução de um sistema de equações diferenciais para o modelo de taxa de juro com estrutura temporal afim proposto por Vasicek.

Sabemos que o modelo proposto por Gaspar e Murgoci (no prelo) é válido para o modelo de Vasicek em queE(t) = −k,k(t) = 0,k₀(t) =σ2ed(t) = θ.

Neste caso, o nosso sistema de equações diferenciais que permite determinarF eGé

∂F ∂t + (B(t, S)−B(t, U))σ²(B(t, T)−B(t, S)) +Gθ−Gσ²B(t, U) + ¹₂Gσ²G+ Gσ2(B(t, T)−B(t, S)) = 0 F(T;T, U, S) = 0 ∂G ∂t −Gk= 0 G(T;T, U, S) = 0,

o que permite concluir, tendo em conta a condição fronteira, que:

∂F

∂t + (B(t, S)−B(t, U))σ²(B(t, T)−B(t, S)) = 0

G(t;T, U, S) = 0,

o que, resolvendo o sistema de equações, permite obter uma relação formal perfeitamente definida para as nossas funçõesF(t, T, U, S)eG(t, T, U, S)

F(t, T, U, S) =

1

2k3e⁻2kt(e^−kS−e^−kU)σ2(e^−kT −e^−kS)− 1

2k3e⁻2kT(e^−kS−e^−kU)σ2(e^−kT −e^−kS)

G(t;T, U, S) = 0

Partindo da relação obtida ou partindo da solução numérica baseada no algoritmo de re-solução do problema (cf. Anexo I), é possível realizar uma análise de sensibilidade rela-tivamente aos parâmetros do modelo.

A necessidade de entendimento detalhado da influência de cada um dos parâmetros no valor do ajuste de convexidade impõe que a análise seja feita de duas formas distintas mas complementares. Vimos, através do trabalho de Gaspar e Murgoci (no prelo), que o cálculo do ajuste de convexidade para modelos com estrutura temporal afim era feito atra-vés do cálculo e análise de duas funções auxiliares: a funçãoG(t, T, U, S), que provámos ser sempre nula para o cálculo de ajustes de convexidade para o modelo de Vasicek e a funçãoF(t, T, U, S) que obtivemos analiticamente. Iremos deste modo centrar a nossa atenção na análise de sensibilidade da função auxiliarF(t, T, U, S)e, partindo desta aná-lise, procederemos a uma análise de sensibilidade detalhada do ajuste de convexidade de taxas LIBOR.

Estudo de sensibilidade da função F(t,T,U,S)

Ao procedermos à análise de sensibilidade, o primeiro facto que surge é a independência da função F(t, T, U, S) relativamente ao parâmetro θ. Ou seja, a função F(t, T, U, S)

não possui uma dependência explícita relativamente ao limite da taxa de juro instantâ-nea. Este facto permite concluir que uma qualquer dependência do ajuste de convexidade

relativamente ao parâmetroθ será devida a uma dependência do preço das obrigações re-lativamente a este parâmetro.

Da análise de sensibilidade da funçãoF(t, T, U, S)relativamente ao parâmetrokresultam dois resultados importantes: (1) a parâmetros k com menores valores resultam funções F(0, T, U, S) com maiores valores; (2) para menores valores de k, pequenas variações produzem maiores variações deF(0, T, U, S)do que pequenas variações dekpara maio-res valomaio-res dek. Ou seja, quanto menor for a velocidade de convergência da taxa de juro instantânea relativamente ao seu limite de longo prazo maior a contribuição da função F(t, T, U, S)para o ajuste de convexidade.

Figura 3.13: Sensibilidade da funçãoF(t, T, U, S)relativamente ao parâmetrok

Da análise de sensibilidade da funçãoF(t, T, U, S)relativamente ao parâmetroσsurgem dois resultados: (1) de parâmetrosσcom maiores valores resultam funçõesF(0, T, U, S)

com maiores valores; (2) para maiores valores deσ, pequenas variações produzem maio-res variações deF(0, T, U, S)do que pequenas variações deσem menores valores dek. Ou seja, quanto maior for a volatilidade associada à taxa de juro instantânea, maior será

contribuição da funçãoF(t, T, U, S)para o ajuste de convexidade.

Figura 3.14: Sensibilidade da funçãoF(t, T, U, S)relativamente ao parâmetroσ Da análise de sensibilidade da funçãoF(t, T, U, S)relativamente à diferençaS−T po-demos concluir que: (1) quanto maior o valor da diferença deS−T, maior o valor da funçãoF(0, T, U, S)e (2) variações iguais em torno da diferençaS −T produzem va-riações iguais no valor da função F(0, T, U, S) . Ou seja, quanto maior for a diferença S−T, maior será contribuição da funçãoF(t, T, U, S)para o ajuste de convexidade.

Figura 3.15: Sensibilidade da funçãoF(t, T, U, S)relativamente à diferençaS_T

Estudo de sensibilidade do ajuste de convexidade de taxas LIBOR

Como já vimos anteriormente, o ajuste de convexidade de taxas LIBOR é dado pela rela-ção

CC_a(t, T, U, S) = _S−T^{1 p}_p⁽₍^t,T_t,S)⁾(eF(t,T ,U,S)+G(t,T,U,S)zt−1).

O estudo de sensibilidade do ajuste de convexidade foi realizado procedendo a duas clas-ses de análise diferentes. Para cada um dos parâmetros do modelo foi realizada uma análise de sensibilidade relativamente ao ajuste de convexidade e uma análise de sensibi-lidade relativamente a aquilo que se optou por chamar peso relativo do ajuste de convexi-dade.

O peso relativo de ajuste de convexidade surge como medida da contribuição da correcção do ajuste de convexidade para o valor expectável da taxa LIBOR, numa medida forward-U, comT ≤U ≤S. Ou seja, como

CC_a(t, T, U, S)

EU

em que

CC_a(t, T, U, S) =E_t^U(L(T, S))−L(t, T, S). (3.36)

Da análise de sensibilidade do ajuste de convexidade CC_a(t, T, U, S) relativamente ao parâmetroθconclui-se que existe uma relação de proporcionalidade entreθ e o ajuste de convexidade, sendo que o parâmetrokinfluencia de forma directa o resultado de variações do parâmetro θ, quanto menor o parâmetro k, mais as variações no parâmetroθ produ-zem variações no ajuste de convexidade. Uma vez que a função auxiliarF(t, T, U, S)não depende directamente do parâmetroθ, a dependência relativamente aθ é o resultado da dependência do preço das obrigações expresso na nossa relação do ajuste de convexidade por ^p_p⁽₍^t,T_t,S)⁾. Quanto maior o valor da taxa de juro instantânea a longo prazo, maior o valor absoluto do ajuste de convexidade à taxa LIBOR.

Figura 3.16: Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente ao parâmetroθ Da análise de sensibilidade relativamente ao peso relativo do ajuste de convexidade resulta que, quanto menor o parâmetroθ, maior a correcção introduzida pelo ajuste de

convexi-dade. Logo, maior a relevância financeira deste ajuste na determinação do valor da taxa LIBOR.

Figura 3.17: Sensibilidade do peso relativo de ajuste de convexidade relativamente ao parâmetroθ

Da análise de sensibilidade do ajuste de convexidade CC_a(t, T, U, S) relativamente ao parâmetrok conclui-se que, quanto maior k, menor o ajuste de convexidade. Esta de-pendência também se mantém quando analisado o peso relativo de ajuste do convexidade relativamente ao parâmetrok, porque quanto menorkmaior a correcção introduzida pelo ajuste de convexidade. Logo, maior a relevância financeira deste ajuste na determinação do valor da taxa LIBOR.

Da análise de sensibilidade do ajuste de convexidade CC_a(t, T, U, S) relativamente ao parâmetro σ conclui-se que, quanto maior σ, maior o ajuste de convexidade. Esta de-pendência também se mantém quando analisado o peso relativo do ajuste de convexidade relativamente ao parâmetroσ, porque quanto maior o valor deσmaior a correcção intro-duzida pelo ajuste de convexidade. Logo, maior a relevância financeira deste ajuste na

Figura 3.18: Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente ao parâmetrok determinação do valor da taxa LIBOR.

Da análise de sensibilidade do ajuste de convexidadeCC_a(t, T, U, S)relativamente à di-ferençaS−T conclui-se que, quanto maior a diferençaS−T, maior o ajuste de convexi-dade. Esta dependência também se mantém quando analisado o peso relativo de ajuste de convexidade relativamente à diferençaS−T, porque quanto maior o valor da diferença S−T maior a correcção introduzida pelo ajuste de convexidade. Logo, maior a relevância financeira deste ajuste na determinação do valor da taxa LIBOR.