BrunoFilipeLopesGaminhaSetembrode2009 AjustedeConvexidadeLIBOR:ocasodosmodelosdeVasicekeCox-Ingersoll-Rox DepartamentodeFísicaUniversidadedeCoimbra

Departamento de Física Universidade de Coimbra

Ajuste de Convexidade LIBOR: o caso dos modelos de Vasicek e

Cox-Ingersoll-Rox

Bruno Filipe Lopes Gaminha

Setembro de 2009

Dissertação submetida à Universidade de Coimbra para a obtenção do grau de

Mestre em Física

na Especialidade de Modelação e Simulação Computacional

Ajuste de Convexidade LIBOR: o caso dos modelos de Vasicek e

Cox-Ingersoll-Rox

Bruno Filipe Lopes Gaminha

Universidade de Coimbra Departamento de Física

Setembro de 2009

Dissertação realizada sob a orientação de

Prof. Doutor Orlando Olavo Aragão Aleixo e Neves Oliveira Prof. Auxiliar do Departamento de Física

Universidade de Coimbra e

Prof. Doutora Raquel Medeiros Gaspar Prof. Auxiliar do Departamento de Gestão do ISEG

Universidade Técnica de Lisboa

A recordação de uma determinada imagem não passa da nostalgia de um determinado momento.

Marcel Proust

Agradecimentos

À minha mãe, à Carolina e a todos os meus amigos e familiares.

Sumário

1 Introdução 1

2 Enquadramento teórico 3

2.1 Definições e Notação . . . . 4

2.1.1 Processos Estocásticos . . . . 4

2.1.2 Martingala . . . . 6

2.1.3 Obrigações e taxas de juro . . . . 8

2.2 Modelos estocásticos para as short rate . . . . 13

2.2.1 Modelos com estrutura temporal afim . . . . 21

2.2.2 Modelo de Vasicek . . . . 23

2.2.3 Modelo Cox, Ingersoll e Ross (CIR) . . . . 26

2.3 Ajuste de convexidade . . . . 28

3 Análise numérica 32 3.1 O modelo de Vasicek . . . . 32

3.1.1 Sensibilidade da taxa de juro instantânea relativamente aos dife- rentes parâmetros . . . . 32

3.1.2 Sensibilidade do preço da obrigação de cupão zero relativamente

aos diferentes parâmetros . . . . 41

3.1.3 Sensibilidade da taxa LIBOR relativamente aos diferentes parâ-

metros do modelo . . . . 45

3.1.4 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente aos diferen- tes parâmetros do modelo . . . . 49

3.2 O modelo de CIR . . . . 57

3.2.1 Sensibilidade da taxa de juro instantânea relativamente aos dife- rentes parâmetros . . . . 58

3.2.2 Sensibilidade do preço da obrigação de cupão zero relativamente aos diferentes parâmetros . . . . 69

3.2.3 Sensibilidade da taxa LIBOR relativamente aos diferentes parâ- metros do modelo . . . . 72

3.2.4 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente aos diferen- tes parâmetros do modelo . . . . 74

4 Conclusões 89 4.1 Taxa de juro instantânea . . . . 89

4.2 Obrigações de cupão zero . . . . 90

4.3 Taxa LIBOR . . . . 90

4.4 Ajuste de convexidade da taxa LIBOR . . . . 91

Lista de Figuras

3.1 Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro k (vari- ância) . . . . 36 3.2 Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro k (valor

esperado) . . . . 37 3.3 Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro θ . . . . 38 3.4 Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro σ . . . . 40 3.5 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao

parâmetro k para σ grande . . . . 42 3.6 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao

parâmetro k para σ pequeno . . . . 43 3.7 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao

parâmetro θ . . . . 44 3.8 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao

parâmetro σ . . . . 45 3.9 Sensibilidade do valor da taxa LIBOR relativamente ao parâmetro k para

σ grande . . . . 46 3.10 Sensibilidade do do valor da taxa LIBOR relativamente ao parâmetro k

para σ pequeno . . . . 47

3.11 Sensibilidade do valor da taxa LIBOR relativamente ao parâmetro θ . . . 48

3.12 Sensibilidade do valor da taxa LIBOR relativamente ao parâmetro σ . . . 49

3.13 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro k . . . . 52

3.14 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro σ . . . 53

3.15 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente à diferença S _T . . . . 54

3.16 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente ao parâmetro θ . . . 55

3.17 Sensibilidade do peso relativo de ajuste de convexidade relativamente ao parâmetro θ . . . . 56

3.18 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente ao parâmetro k . . . 57

3.19 Sensibilidade do peso relativo de ajuste de convexidade relativamente ao parâmetro k . . . . 58

3.20 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente ao parâmetro σ . . . 59

3.21 Sensibilidade do peso relativo de ajuste de convexidade relativamente ao parâmetro σ . . . . 60

3.22 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente à diferença S − T . 61 3.23 Sensibilidade do peso relativo de ajuste de convexidade relativamente à diferença S − T . . . . 62

3.24 Sensibilidade do modelo de CIR relativamente ao parâmetro k . . . . 64

3.25 Sensibilidade do modelo de CIR relativamente ao parâmetro k . . . . 65

3.26 Valor esperado e variância no modelo de CIR . . . . 66

3.27 Sensibilidade do modelo de CIR relativamente ao parâmetro θ . . . . 67

3.28 Sensibilidade do modelo de CIR relativamente ao parâmetro θ . . . . 68

3.29 Sensibilidade do modelo de CIR relativamente ao parâmetro sigma . . . 69

3.30 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao parâmetro k . . . . 70

3.31 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao

parâmetro θ . . . . 71

3.32 Sensibilidade do preço das obrigações de cupão zero relativamente ao parâmetro σ . . . . 72 3.33 Sensibilidade do valor da taxa LIBOR relativamente ao parâmetro k . . . 73 3.34 Sensibilidade do valor da taxa LIBOR relativamente ao parâmetro σ . . . 74 3.35 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro θ . . . . 77 3.36 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro σ . . . 78 3.37 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro k . . . . 79 3.38 Sensibilidade da função F (t, T, U, S ) relativamente à diferença S T . . . . 80 3.39 Sensibilidade da função G(t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro σ . . . 81 3.40 Sensibilidade da função G(t, T, U, S ) relativamente ao parâmetro k . . . . 82 3.41 Sensibilidade da função G(t, T, U, S ) relativamente à diferença S _T . . . . 83 3.42 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente a θ com σ = 0.15 . 84 3.43 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente a θ com σ = 0.10 . 84 3.44 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente a k . . . . 85 3.45 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente a k muito pequenos 85 3.46 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente a σ . . . . 86 3.47 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente a σ com diferentes

valores de k . . . . 86 3.48 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente à diferença S − T

para σ = 0.10 . . . . 87 3.49 Sensibilidade do ajuste de convexidade relativamente à diferença S − T

para σ = 0.15 . . . . 87

3.50 Influência na correcção do ajuste de convexidade . . . . 88

Capítulo 1 Introdução

Ao longo dos séculos XX e XXI, o mercado de dívida foi assumindo um papel central no desenvolvimento económico das sociedades capitalistas modernas. Este mercado é dotado de uma complexidade, competitividade e dinamismo que fazem com que qualquer vantagem competitiva, entre os diferentes actores intervenientes, assuma uma importân- cia fundamental.

Muitos dos produtos transaccionados nos mercados de dívida são, de uma forma ou de outra, não normalizados, originando dificuldades na obtenção do seu valor. A complexi- dade de alguns destes produtos leva a que não seja possível obter fórmulas fechadas para a sua valorização. Um dos procedimentos possíveis para tentar incorporar a complexidade de produtos não standard no preço dos mesmos consiste em ajustar o valor de produtos simples e normalizados, procurando desta forma incorporar a sua complexidade. Este ajuste é aquilo que no mercado de dívida se chama ajustamento de convexidade.

Neste estudo, pretendemos centrar a nossa atenção numa classe muito particular de ajus-

tamentos de convexidade, classe essa que se impõe quando os derivados de taxas de juro

transaccionados não incorporam os intervalos de tempo convencionais. De entre todos

os modelos sujeitos a este tipo de exotismo, analisaremos apenas aqueles que têm sub-

jacentes as chamadas taxas LIBOR. O objectivo deste estudo é implementar em termos

numéricos alguns dos resultados recentes de Gaspar e Murgoci (2008), já que ficou então

demonstrado ser possível obter o ajuste de convexidade como solução de um sistema de

equações diferencial para modelos de taxa de juro com estrutura temporal afim. A análise

aqui apresentada é feita para dois modelos bastante populares da classe afim - os modelos

de Vasicek (1977) e de Cox-Ingersoll-Rox (1985), mas é facilmente generalizável para

qualquer outro modelo da mesma classe.

Capítulo 2

Enquadramento teórico

O conceito de taxa de juro faz parte da vida quotidiana das sociedades modernas e, apesar de ser um conceito amplamente difundido e usado, os conceitos formais em que assenta a noção de taxa de juro são complexos e a sua análise não é linear. A reprodução do com- portamento dos mercados de taxa de juro e dos seus derivados é portanto difícil, complexa mas estruturante.

Uma das formas de modelar o comportamento de sistemas financeiros é através de pro- cessos estocásticos em tempo contínuo. Desta forma, consegue-se uma representação ma- temática para a realidade económica, o que torna a sua análise particularmente elegante e concisa, através do uso de processos de difusão e de equações diferenciais estocásticas.

A exposição e desenvolvimento de um conjunto consistente e congruente deste edifício

teórico passa inicialmente pela definição formal e rigorosa dos diferentes conceitos ne-

cessários à reprodução do comportamento dos mercados de dívida.

2.1 Definições e Notação

2.1.1 Processos Estocásticos

Segundo Evans (2006), um processo estocástico pode ser entendido como uma colecção de de variáveis aleatórias {X(t) ,t ≥ 0} formalmente definido da seguinte forma.

Tomemos (Ω, u, P ) como um espaço de probabilidade. A função X : Ω → < ⁿ é de- signada como uma variável aleatória de n dimensões se, para cada B pertencente a uma colecção de subconjuntos de Borel de < ⁿ , tivermos X ⁻¹ (B) ∈ u.

Em que:

i) A álgebra-σ é uma colecção u de subconjuntos de Ω com as propriedades:

• (i) ∅, Ω ∈ u

• (ii) se A ∈ u, então Ω − A ∈ u

• (iii) se A ₁ , A ₂ , ... ∈ u, então ∪ ^∞ _k=1 A _k , ∩ ^∞ _k=1 A _k ∈ u

ii) Ao tripleto (Ω, u, P ) chamamos espaço de probabilidade desde que Ω seja qualquer conjunto, u seja uma álgebra-σ de subconjuntos de Ω e P a probabilidade de média em u.

Segundo Björk (2004), um processo estocástico X é um processo de difusão se a sua dinâmica local puder ser descrita por uma equação diferencial estocástica dada por

X(t + ∆t) − X(t) = µ(t, X(t))∆t + σ(t, X(t))∆W (t). (2.1)

O termo µ é o responsável pelo drift do processo, σ é o termo responsável pela difusão e ∆W (t) é definido como ∆W (t) = W (t + ∆t) − W (t), em que W é conhecido como processo de Wiener.

Segundo Roepstorff (1994), um processo estocástico W é um processo de Wiener se

possuir as condições:

• W (0) = 0

• Possuir incrementos independentes, ou seja, se r < s ≤ t < u então W (u) − W (t) e W (s) − W (r) são variáveis estocásticas independentes

• Se s < t, a variável estocástica W (t) − W (s) possuir uma distribuição Gaussiana N (0, √

t − s)

• W possuir trajectórias contínuas

A equação (2.1) é para ser entendida em termos infinitesimais, sendo habitual a descrição através de equações diferenciais estocásticas do tipo

dX(t) = µ(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW (t), (2.2)

em que se utiliza o símbolo de diferencial d ao invés de ∆ (já que ∆ → 0) e com uma condição fronteira dada por

X(0) = a. (2.3)

Formalmente, (2.2) e (2.3) é apenas uma representação da equação integral que descreve o processo de difusão

X(t) = a +

Z t 0

µ(t, X(t))ds +

Z t 0

σ(t, X(t))dW (s), (2.4)

e em que ^R ₀ ^t µ(t, X(t))ds é um integral de Riemann e ^R ₀ ^t σ(t, X(t))dW (s) é um integral

de Itô (cf. anexo III).

2.1.2 Martingala

A teoria da integração estocástica está intimamente ligada à teoria das Martingalas pelo que, segundo Björk (2004), a teoria moderna dos derivados financeiros é de facto baseada maioritariamente na teoria das Martingalas.

Sendo X um processo estocástico, é fundamental perceber como definir e como tratar a informação por ele gerada, antes de introduzirmos e explanarmos o conceito de Martin- gala.

A informação gerada por X no intervalo [0, t], de acordo com a notação usada por Björk, é definida através do símbolo F _t ^X . Partindo da informação gerada por X, é possível per- ceber se um evento A ocorreu. Em caso de ocorrência, diremos que A ∈ F _t ^X ou que A é mensurável em F _t ^X .

Vamos definir F _t ^X como a informação gerada por X no intervalo [0, t]. Baseando-nos na observação da trajectória {X(s); 0 ≥≥ t}, é possível perceber se um acontecimento A ocorreu ou não. Escrevemos então que A ∈ F _t ^X ou que A é mensurável em F _t ^X . Se o valor de uma variável estocástica Z puder ser totalmente determinado dando observações da trajectória {X(s); 0 ≥ s ≥ t}, então A ∈ F _t ^X . Se Y é um processo estocástico tal que Y (t) ∈ F _t ^X para todo t ≥ 0, então dizemos que Y é adaptado à filtração {F _t ^X } t≥0 .

Dada uma filtração {F _t } t≥0 , para qualquer variável estocástica Y o símbolo E[Y |F _t ] é interpretado como o valor expectável da variável Y , dada toda a informação disponível em t.

Se Y e Z são variáveis estocásticas e Z é mensurável em F _t , então

E[Z.Y |F _t ] = Z.E[Y |F _t ]. (2.5)

Se Y é uma variável estocástica e se s < t, então

E[E[Y |F _t ]|F _s ] = E[Y |F _s ]. (2.6)

Um processo estocástico X é uma (F t )-martingala se, e apenas se:

• X é adaptado à filtração {F _t } t≥0

• para todo o t, E[|X(t)|] < ∞

• para todo o s e todo o t, com t ≥ s, então E[X(t)|F _t ] = X(s).

Um processo que, para todo o s e t, com s ≤ t, que satisfaz a inequação E [X(t)|F _t ] ≤ X(s), é designado por supermartingala. Da mesma forma, um processo que, para todo o s e t, com s ≤ t, satisfaz a inequação, E[X(t)|F _t ] ≥ X(s) é designado por submartingala.

Das condições que permitem caracterizar o processo estocástico como martingala, aquela que na nossa futura análise é mais relevante é a terceira condição, uma vez que partindo desta condição e da equação diferencial estocástica que caracteriza um processo estocás- tico é possível concluir que uma martingala não possui drift sistemático (Björk, 2004 e Evans, 2006).

Dois corolários muito importante para o nosso estudo e que derivam da análise das carac- terísticas das martingala são:

i) Qualquer processo X definido por X(t) = ^R ₀ ^t g(s)dW (s), em que g é um processo qualquer que garanta as condições de integrabilidade de um integral estocástico, é uma martingala-(F _t ^W );

ii) Assumindo todas as condições de integrabilidade necessárias, um processo estocástico

X representável por uma equação diferencial estocástica é uma martingala se, e apenas

se, a equação diferencial estocástica tiver a forma

dX(t) = g(t)dW (t). (2.7)

2.1.3 Obrigações e taxas de juro

Uma obrigação é um contrato em que, mediante um investimento inicial, são prometi- das ao comprador uma série de cash-flows futuros. A forma mais comum de obrigações (obrigações de cupão fixo) pode ser entendida como um empréstimo que o comprador da obrigação concede ao emitente da obrigação, tendo por isso direito a receber em datas pré-estabelecidas juros (os cupões) e no vencimento ainda o reembolso do capital. Qual- quer obrigação deste tipo pode ser entendida como uma carteira de produtos mais simples que dão ao comprador o direito de receber um montante pré-estabelecido num momento futuro. A estes componentes mais simples chama-se obrigações de cupão zero. Cada obrigação de cupão zero tem apenas uma data de pagamento, T , no futuro. A modelação de todas as obrigações de cupão zero, isto é, para qualquer T , é equivalente a modelar as obrigações com cupão existentes na vida real. Assim, do ponto de vista matemático, o produto de referência são as chamadas "obrigações-T", que são obrigações de cupão zero que vencem em T e que dão direito a receber uma unidade monetária nessa data. O valor em t ≤ T de uma obrigação-T é habitualmente denotado por p(t, T ).

Ao longo da análise e sem perda de capacidade de generalização, vamos assumir a exis- tência de um mercado de obrigações suficientemente regular e rico. Este pressuposto é uma abstracção teórica necessária que não coloca em causa as conclusões que possamos retirar, podendo apenas limitar a sua validade em casos muito excepcionais. Vamos então assumir que o nosso mercado de obrigações é tal que:

• Existem no mercado obrigações-T para todas os tempos de maturidade possíveis;

• A relação p(T, T ) = 1 é válida para todo o T , ou seja, em qualquer instante de tempo a contratualização de uma obrigação com vencimento imediato custará uma unidade de dinheiro;

• Em qualquer instante de contratualização t, o valor da obrigação p(t, T ) é diferen- ciável relativamente ao tempo de maturidade.

O valor das obrigações-T pode ser entendido como um objecto que depende de um ob- jecto estocástico com duas variáveis (t e T ). Se tomarmos a variável t como tendo um valor numérico fixo, percebemos que, nestas condições, p(t, T ) é uma função que explana o valor a pagar pela contratualização de uma obrigação para todos os tempos de maturi- dade possíveis. A representação gráfica obtida nesta situação é conhecida como estrutura temporal da obrigação em t. A estrutura temporal é habitualmente representável através de uma função determinística. Se tomarmos a variável T como tendo um valor numérico fixo, percebemos que nestas condições p(t, T ) é um processo estocástico escalar, cuja representação nos dará o valor, para tempos diferentes, de uma obrigação com tempo de maturidade T . Uma representação gráfica desta situação é tipicamente muito irregular, sendo mesmo semelhante a um processo de Wiener.

Partindo das obrigações-T, é possível definir não só a noção de taxa de juro como um conjunto muito grande de diferentes taxas de juro. Considere-se um contrato obrigaci- onista contratado em t, válido para um intervalo de tempo [S, T ], em que t < S < T . Existem várias taxas de juro implícitas neste tipo de contrato, dependendo da forma como as definimos.

As definições mais importantes são as seguintes, tal como apresentadas por Björk (2004).

Taxa forward para (S,T) contratada em t, com capitalização discreta A taxa forward

para (S,T) com capitalização discreta contratada em t, com aplicação no intervalo de

tempo (S,T) e denotada por L(t; S, T ), é conhecida por taxa LIBOR forward, tal que

L(t; S, T ) = − p(t, T )p(t, S)

(T − S)p(t, T ) . (2.8)

Taxa spot para (S,T) contratada em t, com capitalização discreta A taxa spot para (S,T) com capitalização discreta, denotada por L(S, T ) é conhecida por taxa LIBOR spot, tal que

L(S, T ) = − p(S, T ) − 1

(T − S)p(S, T ) . (2.9)

Taxa forward instantânea, contratada em t, com tempo de maturidade T é definida por

f(t, T ) = − ∂ log p(t, T )

∂T . (2.10)

Taxa instantânea short rate em t é definida por

r(t) = f(t, t). (2.11)

Um conceito que também importa definir com bastante rigor é o conceito de conta bancá- ria B (t). De acordo com Björk (2004), pode definir-se a conta bancária a partir da relação

B _t = e ^R

t 0

r(s)ds

. (2.12)

Esta relação também assume uma forma diferencial, sendo que neste caso a relação é dada por

dB(t) = r(t)B (t)dt, (2.13)

com B(0) = 1.

Se investirmos numa conta bancária em t = 0, teremos em t o valor expresso em (2.12), sendo que r(t) é definida como uma taxa instantânea segundo a qual o valor da conta bancária aumenta. A taxa instantânea também é designada na literatura como taxa spot instantânea. Uma maior elucidação deste conceito pode ser obtida fazendo uma expansão de 1 ^a ordem em t de ∆t, de tal forma que

B(t + ∆t) = B (t)(1 + r(t)∆t). (2.14)

Isto permite afirmar que, num intervalo de tempo pequeno arbitrário[t, t + ∆t], B(t + ∆t) − B (t)

B(t) = r(t)∆t, (2.15)

o que torna claro que a conta bancária cresce em todos os intervalos de tempo ∆t a uma taxa r(t).

Das definições previamente expressas obtemos como corolário lógico a relação

p(t, T ) = p(t, S)e ⁻

R

f(t,u)du

. (2.16)

Estamos agora em condições para apresentar as diferentes abordagens para modelar o mercado de obrigações, sendo que existem fundamentalmente três abordagens distintas:

• Podemos especificar as relações dinâmicas da short rate e posteriormente derivar os preços das obrigações por critérios de não arbitragem;

• Podemos especificar directamente a dinâmica associada ao mercado de obrigações;

• Podemos ainda especificar as dinâmicas das taxas forward instantâneas e, partindo

do corolário apresentado anteriormente, obter um modelo para os preços das obri-

gações presentes no mercado.

Se escolhermos considerar a primeira abordagem, estamos no contexto dos chamados modelos de short rate. De acordo com Björk (2004), a maior parte dos modelos deste tipo parte do pressuposto de que a dinâmica da short rate é passível de ser representada por uma equação diferencial estocástica do tipo

dr(t) = a(t)dt + b(t)dW (t), (2.17)

ou seja, que r segue um processo de difusão. O que distingue os diferentes modelos é a escolha dos processos adoptados a e b, como veremos mais à frente.

Se escolhermos modelar o comportamento do mercado partindo da dinâmica das obriga- ções - segunda abordagem - então, de acordo com o mesmo autor, considera-se a dinâmica do preço das obrigações

dp(t, T ) = p(t, T )m(t, T )dt + p(t, T )v(t, T )dW (t). (2.18)

Finalmente, na terceira abordagem, o comportamento do mercado é modelado a partir da dinâmica das taxas forward

df (t, T ) = α(t, T )dt + σ(t, T )dW (t). (2.19)

Logicamente será possível modelar o comportamento do mercado partindo de qualquer uma destas relações, pelo que é possível estabelecer relações exactas e universalmente vá- lidas para os diferentes parâmetros de cada uma das dinâmicas explanadas anteriormente.

O procedimento por nós escolhido será partir da dinâmica da short rate para chegar ao

preço do cupão zero e ao valor das taxas forward.

2.2 Modelos estocásticos para as short rate

Como já vimos anteriormente, existem formas distintas para proceder à representação e estudo de mercados de obrigações. Identificámos três possíveis formas de encarar o problema da modelação destes mercados. Vamos prosseguir seguindo aquela que é consi- derada a abordagem clássica a este problema, sendo a adoptada pela maioria dos autores nesta matéria (Björk, 2004; Hull, 2005; Benninga e Wiener, 1998), definindo à priori a dinâmica da taxa de juro short rate e, partindo dela obter as diferentes relações que per- mitem perceber e representar uma teoria das taxas de juro.

Assumimos que a representação do comportamento da taxa short rate, numa medida de probabilidade objectiva P , é conseguida através de uma equação diferencial estocástica que assume como forma geral a relação

dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))d W ¯ (t). (2.20)

Uma vez que só o comportamento da taxa de juro estocástica é conhecido à priori, ape- nas podemos conhecer de forma exógena e imediata um outro processo, a conta bancária.

Como já anteriormente discutimos, sendo conhecida a taxa de juro short, é possível defi- nir a conta bancária partindo da sua dinâmica

dB (t) = r(t)B(t)dt. (2.21)

Vamos também considerar que o mercado de obrigações possui disponível em todos os instantes de tempo e para todos os vencimentos. Nesta abordagem, as obrigações são vistas como um produto financeiro derivado da taxa de juro. Esta visão conceptual do mercado impõe duas questões fundamentais que importa ter sempre presente: Será o preço das obrigações determinado de forma unívoca pela dinâmica da taxa de juro short?

Em que condições será o mercado de obrigações livre de arbitragem? Em resposta a estas

perguntas, Björk (2004) diz-nos que o preço de uma qualquer obrigação não será comple-

tamente determinado simplesmente pela especificação da dinâmica da taxa de juro r(t) e pela imposição de um mercado sem possibilidade de arbitragem. Argumenta ainda que

"arbitrage pricing is always a case of pricing a derivative in terms of the price of some underlying assetes. In our market we do not have sufficiently many underlying assetes.

We thus fail to determine a unique price of a particular bond." (pp. 318). Apesar desta dificuldade, sabemos que o valor de uma obrigação tem de possuir pelo menos duas ca- racterísticas fundamentais: (1) o valor de obrigações com diferentes maturidades terá de possuir algum tipo de consistência interna, de forma a que não seja possível a prática de arbitragem no mercado de obrigações e, (2) dado o valor de uma obrigação de referência, o valor de outras obrigações (com menor tempo de maturidade) terá de ser determinado de forma unívoca em função do valor da obrigação de referência e em função da dinâmica da taxa de juro short.

Concretizando as ideias apresentadas, vamos desenvolver um modelo representativo do mercado de obrigações assumindo que (1) existe no mercado de obrigações uma dispo- nibilidade de obrigações para toda a escolha possível de diferentes vencimentos, (2) o mercado de obrigações não permite a prática de arbitragem e (3) para cada vencimento possível, o valor da obrigação de cupão zero pode representar-se da seguinte forma:

p(t, T ) = F (t, r(t); T ), (2.22)

em que F é uma função regular de três variáveis reais.

A função F (t, r(t); T ) possui uma condição fronteira óbvia que advém da própria de- finição de obrigação de cupão zero. No tempo de maturidade, a obrigação de cupão zero possui o valor contratualizado de uma unidade de dinheiro:

F (T, r(t); T ) = 1. (2.23)

A visão desenvolvida sobre o mercado de obrigações e a sua relação com as taxas de juro

permite que, usando a formula de Itô (cf. anexo II), possamos escrever a dinâmica do valor de uma obrigação com vencimento em T , sendo esta dinâmica:

dF (t, r(t); T ) = F (t, r(t); T )α _T dt + F ((t, r(t); T ))σ _T d W ¯ (2.24)

em que

α T =

∂F (t,r(t);T )

∂t + µ ^{∂F (t,r(t);T} _∂r ⁾ + ¹ ₂ σ ^{2 ∂}

^{F (t,r(t);T} _∂

r ⁾

F (t, r(t); T ) (2.25)

e

σ _T = σ ^{∂F (t,r(t);T} _∂r ⁾

F (t, r(t); T ) . (2.26)

Se possuirmos duas obrigações com vencimentos diferentes T e S, é possível construir uma carteira. Assumindo cada uma das carteiras relativas como u _S e u _T , o valor da car- teira terá uma dinâmica dada pela relação

dV = V {u _T dF (t, r(t); T )

F (t, r(t); T ) + u _S dF (t, r(t); S)

F (t, r(t); S) }. (2.27)

Esta relação, juntamente com a relação dinâmica para o valor das obrigações já anterior- mente apresentada, permite concluir que

dV = V { α _S σ _T − α _T σ _S α T − σ S

}dt. (2.28)

Esta relação, juntamente com a exigência de não arbitragem, implica que α _S σ _T − α _T σ _S

α _T − σ _S = r(t), (2.29)

para todo o t com uma probabilidade de 1.

Esta relação permite obter uma relação geral de grande importância, nomeadamente que α _T (t) − r(t)

σ T (t) = λ(t). (2.30)

O processo λ pode ser interpretado como prémio de risco por unidade de volatilidade e é conhecido como preço de risco do mercado. Podemos concluir com base nesta relação e no seu significado que, num mercado sem a possibilidade de arbitragem, todas as obriga- ções, independentemente do seu tempo de maturidade, possuem o mesmo preço de risco do mercado. Note-se que (2.31) não depende de T ou S.

Partindo destes resultados, Björk (2004) formula uma relação fundamental para o estudo dos mercados de dívida. Nestes mercados, o valor das obrigações F (t, r(t); T ) pode ser descrito pelas seguintes equações derivadas parciais, também conhecidas como equação de estrutura temporal

∂F (t, r(t); T )

∂t + {µ − λσ} ∂F (t, r(t); T )

∂r + 1

2 σ ² ∂ ² F (t, r(t); T )

∂ ² r − rF (t, r(t); T ) = 0 (2.31)

com a condição fronteira que provém da própria definição de obrigação F (T, r(t); T ) = 1.

Apesar de possuirmos uma equação de estrutura temporal bem definida, ressalta uma grande dificuldade de tratamento do mercado de obrigações: o preço de risco do mer- cado λ não é determinado dentro do modelo desenvolvido; o seu valor será uma variável exterior ao modelo, uma variável exógena. O mesmo acontece com a especificação das variáveis µ e σ.

De acordo com o teorema de Feynman-Kac (Roepstorff, 1994) a equação de estrutura

temporal (2.32) tem ainda a seguinte representação estocástica

F (t, r(t); T ) = E _t,r ^Q [e ⁻

R

r(s)ds

], (2.32)

em que a medida de martingala Q e as variáveis t e r denotam que o valor expectável será obtido a partir da equação dinâmica

dr(s) = {µ − λσ}ds + σdW (s) (2.33)

com r(t) = r.

O valor da obrigação de cupão zero num instante de tempo t é portanto dado como o valor expectável do pagamento final acordado (no caso será de uma unidade de dinheiro, devido à definição de obrigação de cupão zero adoptada), descontando este valor ao seu valor actual. Este mecanismo de desconto de um valor ao seu valor actual é denominado de deflactor e, neste caso, ele é representado pela expressão e ⁻

R

r(s)ds

. Sendo o valor expectável calculado não na medida de probabilidade objectiva P mas na medida de mar- tingala Q, existe uma medida de martingala para cada escolha possível do parâmetro λ.

Por esta razão, o modelo de mercado de obrigações é exógeno e não completo. Os valores das obrigações não são determinados de forma unívoca, existindo várias medidas de mar- tingala possíveis e, como tal, a possibilidade de determinarmos diferentes valores para as obrigações. O valor das diferentes obrigações será dado em parte pela dinâmica da taxa short na medida de probabilidade objectiva e, em parte, pelas próprias forças subjectivas do mercado. A possibilidade de escolha de diferentes valores para o parâmetro λ significa que existem diferentes visões concebíveis sobre o comportamento do mercado de obriga- ções, sendo todas estas visões consistentes com uma mesma dinâmica da taxa short. Uma escolha prévia do valor de λ tem implícita uma visão sobre os diferentes factores de risco presentes no mercado.

Uma vez determinado o valor de λ, todos as obrigações presentes no mercado serão de-

terminadas pela equação de estrutura temporal e pela dinâmica da taxa de juro short.

Temos então de perceber que modelos podemos desenvolver para a dinâmica da taxa de juro short, sendo que esta será sempre dada, numa medida de probabilidade P pela relação

dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))d W . ¯ (2.34)

Os modelos estocásticos de taxas de juro podem ser catalogados em duas classes distintas:

modelos de equilíbrio e modelos de não-arbitragem (Brigo e Mercurio, 2007).

Os modelos de equilíbrio são construídos assumindo o comportamento das variáveis eco- nómicas e derivando o processo dinâmico para a taxa instantânea. Nestes modelos, a estrutura temporal da taxa de juro é obtida a partir da taxa instantânea. São, por isso, também conhecidos como modelos endógenos.

Os modelos de não-arbitragem são aqueles em que a estrutura temporal da taxa de juro é apropriada directamente do mercado, sendo posteriormente obtidas as variáveis económi- cas relevantes. Nestes modelos, a estrutura temporal da taxa de juro funciona como input, pelo que estes modelos também são conhecidos como modelos exógenos.

A maior parte dos modelos de equilíbrio de um factor descrevem o processo da taxa de juro instantânea, na medida de risco neutral, através de um processo de Itô:

dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dw. (2.35)

Os primeiros modelos estocásticos de taxa de juro propostos na literatura financeira eram homogéneos relativamente ao tempo, ou seja, a sua dinâmica dependia apenas de coefici- entes constantes. O facto de serem modelos homogéneos relativamente ao tempo permitia uma análise cuidada. Por esse motivo, modelos como o de Vasicek (1977) e o de Cox, Ingersoll e Ross (1985) obtiveram grande reconhecimento continuando a ser hoje em dia uma referência, quer para agentes do mercado, quer para estudiosos dos mercados de dí- vida.

No entanto, cedo se percebeu que os modelos homogéneos relativamente ao tempo pro-

duziam estruturas temporais de taxas de juro endógenas. Estes modelos de estruturas

temporais, por terem um número limitado de parâmetros, não permitem uma calibração

satisfatória aos dados do mercado. Outro problema é que algumas formas geométricas associadas às estruturas temporais do mercado não podem ser reproduzidas com estes modelos. Este tipo de modelos levanta assim alguns problemas e introduz uma distinção significativa entre os modelos teóricos e o seu objecto de estudo, o mercado. Apesar de todos os problemas que levantam, eles são fundamentais no estudo e análise do mercado de dívida, não só por razões históricas mas porque permitem uma análise e um tratamento claro das principais problemáticas envolvidas no estudo destes mercados.

Neste trabalho vamos, sem perda de objectividade e utilidade, cingir o nosso estudo a dois modelos clássicos, homogéneos no tempo e endógenos: o modelo de Vasicek e o modelo de Cox, Ingersoll e Ross.

A teoria da modelação de taxas de juro foi originalmente construída tentando descre- ver a dinâmica a uma dimensão para a taxa spot instantânea r. Modelar directamente a dinâmica é muito conveniente, uma vez que permite que todas as quantidades fundamen- tais (taxas e obrigações) sejam definidas por argumentos de não arbitragem.

Como também já vimos anteriormente, a estrutura temporal será completamente deter- minada a partir da equação geral de estrutura temporal

∂F (t, r(t); T )

∂t + {µ − λσ} ∂F (t, r(t); T )

∂r + 1

2 σ ² ∂ ² F (t, r(t); T )

∂ ² r − rF (t, r(t); T ) = 0 (2.36)

com a condição fronteira que provém da própria definição de obrigação F (T, r(t); T ) = 1.

Isto permite afirmar que a estrutura temporal, bem como o valor de todos os derivados

de taxas de juro, são completamente determinados pela especificação da dinâmica da taxa

de juro short na medida de martingala Q.

Em vez de especificarmos µ e λ na medida de probabilidade P , iremos especificar a dinâmica da taxa short r directamente na medida de martingala Q. Este procedimento é conhecido como modelação da martingala e tipicamente é feita a assunção de que r na medida Q possui uma dinâmica dada pela relação

dr(t) = µ(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dW. (2.37)

Na literatura existe um largo número de propostas sobre como especificar a dinâmica de r na medida Q. Os modelos que iremos estudar no nosso trabalho são o modelo de Vasicek, em que esta dinâmica é dada por

dr(t) = (b − ar)dt + σdW, (2.38)

e o modelo de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) em que a dinâmica é dada por

dr(t) = a(b − r)dt + σ √

rdW. (2.39)

O problema com esta abordagem surge quando pretendemos estimar os diferentes parâ-

metros dos modelos na medida de martingala definida. De facto, ao escolhermos modelar

a dinâmica da taxa de juro short na medida de martingala Q, isso quer dizer que os parâ-

metros a, b e σ são válidos para a medida de martingala Q. Quando fazemos observações

no mercado não estamos a observar r na medida de martingala Q mas na medida objectiva

de mundo real P . O que significa que, se aplicarmos mecanismos estatísticos no proces-

samento dos dados observados, não obteremos uma estimativa dos parâmetros na medida

em que estamos a modelar o comportamento das taxas de juro, a medida Q. Björk (2004)

propõe um procedimento para transpor esta dificuldade conhecido como "inverting the

yield curve". Um dos facilitadores do procedimento proposto por Björk é o uso de mode-

los para a dinâmica da taxa de juro que sejam analiticamente manipuláveis. Sabemos da

experiência que os modelos analiticamente mais manipuláveis são os modelos em que a

estrutura temporal é afim.

2.2.1 Modelos com estrutura temporal afim

Benninga e Wiener(1998), Björk (2004) e Brigo e Mercurio (2007) definem que a estru- tura temporal de uma obrigação é afim, se a estrutura temporal {p(t, T ) ^; 0 ≤ t ≤ T, T >

0} tem a forma

p(t, T ) = F (t, r(t); T ), (2.40)

em que F tem a forma,

F (t, r(t); T ) = e A(t,T)−B(t,T)r(t)

, (2.41)

em que A e B são funções determinísticas.

Como já referimos, a existência de uma estrutura temporal afim permite uma tratabili- dade analítica e computacional muito elevada.

Assumindo que na medida martingala Q a dinâmica da taxa de juro short é dada por

dr(t) = a(b − r)dt + σ √

rdW, (2.42)

o facto de a estrutura temporal da taxa de juro short ser afim significa que a equação

∂F (t, r(t); T )

∂t + {µ − λσ} ∂F (t, r(t); T )

∂r + 1

2 σ ² ∂ ² F (t, r(t); T )

∂ ² r − rF (t, r(t); T ) = 0, (2.43)

com a condição fronteira que provém da própria definição de obrigação F (T, r(t); T ) =

1, pode ser reduzida à equação

∂A(t, T )

∂t − {1 + ∂B(t, T)

∂t }r − µ(t, r)B(t, T ) + 1

2 σ ² (t, r)B ² (t, r) = 0 (2.44)

com as condições fronteira dadas por A(T, T ) = 0 e B(T, T ) = 0.

As condições de existência de uma estrutura temporal afim e postula que se µ e σ são da forma

µ(t, r) = α(t)r + β(t), (2.45)

e

σ(t, r) = ^q γ (t)r + δ(t). (2.46)

Quando o modelo admite uma estrutura temporal afim e a sua equação de estrutura é re- presentável por (2.45), torna-se de muito mais fácil resolução, até porque (2.45) é uma equação separável, e por isso equivalente ao sistema de equações diferenciais ordinárias.

∂B(t, T )

∂t + α(t)B(t, T ) − 1

2 γ(t)B ² (t, T ) = −1, (2.47)

∂A(t, T )

∂t = β(t), B(t, T ) − 1

2 δ(t)B ² (t, T ) (2.48)

com as condições fronteira A(T, T ) = 0 e B (T, T ) = 0.

Existe, na prática, uma definição dos valores aceitáveis e mais ajustados dos diferentes

parâmetros ao comportamento do mercado (Zeytun e Gupta, 2007), obtendo de seguida

uma estrutura temporal descritiva do mercado. Os modelos exógenos são, normalmente,

apropriações de modelos endógenos em que os parâmetros do mesmo são substituídos

por parâmetros com uma dependência explícita do tempo, tentando obter desta forma

uma fácil comparação e apropriação da estrutura temporal do mercado e obtendo os valo-

res exactos para os diferentes parâmetros. O principal problema dos modelos endógenos

prende-se com as dificuldades de calibração dos mesmos aos dados do mercado, sendo muitas vezes impossível a reprodução do comportamento do mercado uma vez que, no limite, temos um número finito e limitado de parâmetros passíveis de estimação para des- crever um número infinito de valores no mercado.

2.2.2 Modelo de Vasicek

Em 1977, Vasicek assumiu que as taxas spot instantâneas, na medida de mundo real, tinham uma dinâmica similar a um processo de Ornstein-Uhlenbeck de coeficientes cons- tantes. Numa escolha ajustada do preço de risco no mercado, esta tese significa assumir que r segue um processo de Ornstein-Uhlenbeck de coeficientes constantes, numa medida de risco neutral dada por

dr(t) = k(θ − r(t))dt + σdW (t), r(0) = r ₀ , (2.49)

com r ₀ , k, θ e σ constantes positivas. O que, procedendo a uma integração, nos permite afirmar que, para cada s ≤ t,

r(t) = r(s)e ^−k(t−s) + θ(1 − e ^−k(t−s) ) + σ

Z t s

e ^{−k(t−u)dW (u)} , (2.50)

o que significa que r(t) tem uma distribuição normal com valor médio E(r(t)) e variância Var(r(t)), dados respectivamente por

E(r(t)) = r(s)e ^−k(t−s) + θ(1 − e ^−k(t−s) ) (2.51) e

V ar(r(t)) = σ ²

2k (1 − e ^−2k(t−s) ). (2.52)

É um modelo conceptualmente muito importante porque possui um conjunto de proprie-

dades úteis para a análise de mercados de dívida, nomeadamente: (1) o facto de a equação

dinâmica da taxa spot instantânea ser uma equação linear e de, por isso, poder ser resol- vida e tratada analiticamente; (2) a distribuição associada à taxa spot instantânea ser uma distribuição gaussiana; e (3) os diferentes parâmetros intervenientes na equação dinâmica serem de interpretação financeira explícita e de fácil obtenção no mercado. Apesar da sua enorme importância conceptual e histórica, este modelo tem alguns problemas sérios. As duas principais debilidades apontadas são o de permitir que, com uma probabilidade não nula, as taxas de juro assumam valores negativos e o facto de ser um modelo endógeno.

Ou seja, existe a implicação necessária de, para cada tempo t, a taxa spot instantânea r(t) ter uma probabilidade positiva de ser negativa. Esta possibilidade é, de facto, o maior revés associado a este modelo. É um dado histórico e conceptual a não existência de taxas de juro negativas. No entanto, o facto de a densidade de probabilidade envolvida ser gaus- siana é um garante de maleabilidade não passível de ser obtido com outras densidades de probabilidade.

Como consequência das expressões obtidas para o valor médio E(r(t)) e variância V ar(r(t)), a taxa spot instantânea r(t) tem uma característica muito importante, possui uma regres- são para a média, uma vez que a taxa esperada tende, à medida que t tende para infinito, para θ. Por esta razão, θ é interpretado como o termo médio longo da taxa de juro.

Sabendo que o valor da obrigação de cupão zero em t, com tempo de maturidade T , na medida de risco neutral, é dada por

p(t, T ) = E _t ^Q [e ⁻

R

r(s)ds

], (2.53)

então, no modelo de Vasicek, o valor da obrigação de cupão zero é

p(t, T ) = A(t, T )e −B(t,T)r(t)

(2.54) em que

A(t, T ) = e ^(θ−

2

2k2

)(B(t,T )−T +t)−

B(t,T )

(2.55)

e

B (t, T ) = 1

k (1 − e ^{−k(T −t)} ). (2.56)

Uma questão pertinente que podemos colocar em relação ao modelo de Vasicek na me- dida de risco neutral é, precisamente, como apresentar este modelo na medida de mundo real. Apesar de as previsões de diferentes taxas serem sempre feitas na medida de risco neutral, a medida de mundo real é de uma importância crucial, uma vez que qualquer tentativa de parametrização terá de ser feita nesta medida.

Na medida de mundo real, o modelo de Vasicek apresenta como dinâmica para o nosso processo

dr(t) = (kθ − (k + λσ)r(t))dt + σdW ⁰ (t), r(0) = r 0 , (2.57)

em que λ surge como um novo parâmetro: o contributo para o preço de risco do mercado.

Da comparação entre a dinâmica obtida na medida de risco neutral e a dinâmica obtida na medida de mundo real, facilmente percebemos que, se λ = 0, as duas dinâmicas coin- cidem. Na medida de mundo real, a nossa taxa é novamente expressa como uma equação estocástica diferencial gaussiana. Se impusermos que as dinâmicas sejam da mesma natu- reza para as duas medidas, impomos uma mudança de medida de Girsanov (cf. anexo IV):

dQ dQ 0

= e ⁻

^R

t

0

λ

r(s)

ds+ R

0

λr(s)dsdw

(s)

. (2.58)

Ou seja, na prática assumimos que o preço de risco de mercado λ(t) é tal que

λ(t) = λr(t). (2.59)

2.2.3 Modelo Cox, Ingersoll e Ross (CIR)

O modelo desenvolvido em 1985 por Cox, Ingersoll e Ross, doravante denotado sim- plesmente por CIR, foi desenvolvido com base numa abordagem baseada num equilíbrio geral. Este modelo levou à introdução de uma raiz quadrada no coeficiente do termo de difusão da taxa spot instantânea, termo esse não encontrado no modelo de Vasicek. O mo- delo CIR foi amplamente difundido no estudo de mercados de dívidas porque, tratando-se de um modelo do tipo afim, garante grande maleabilidade matemática conseguindo, no entanto, eliminar a possibilidade da existência de uma probabilidade positiva para taxas negativas.

A formulação deste modelo na medida de risco neutral é

dr(t) = k(θ − r(t))dt + σ ^q r(t)dW (t), r(0) = r ₀ , (2.60)

em que r 0 , k, θ e σ são constantes positivas.

Paralelamente, impomos uma condição auxiliar aos diferentes termos constantes envolvi- dos no processo

2kθ > σ ² , (2.61)

condição esta que garante a não existência de taxas negativas.

A formulação da dinâmica deste processo, na medida de mundo real, é tal que

dr(t) = (kθ − (k + λσ)r(t))dt + σ ^q r(t)dW ⁰ (t), r(0) = r ₀ . (2.62)

Enquanto a mudança de medidas, no caso de Vasicek, foi desenhada de modo a manter

a natureza linear da dinâmica, neste caso, a mudança de medida é desenhada de forma

a manter estrutura de raiz quadrada no processo, garantido dessa forma que r(t) > 0,

particularmente

dQ

dQ ⁰ = e ⁻

R

0

λ

r(s)ds+ R

λ √

r(s)dW

(s)

(2.63) ou, por outras palavras, assumimos que o preço de risco no mercado segue uma dinâmica representada pela relação

λ(t) = λ ^q r(t). (2.64)

De volta à medida de risco neutral, provamos que o processo dinâmico r produz uma dis- tribuição não central de chi-quadrado com valor médio e variância dados respectivamente por

E(r(t)) = r(s)e ^−k(t−s) + θ(1 − e ^−k(t−s) ) (2.65) e

V ar(r(t)) = r(s) σ ²

k (e ^−k(t−s) − e ^−2k(t−s) ) + θ σ ²

2k (1 − e ^−k(t−s) ) ² . (2.66)

Este modelo apresenta, como relações para o preço em t das obrigações de cupão zero com maturidade em T , a relação

p(t, T ) = e A(t,T)−B(t,T)r(t)

(2.67)

em que

A(t, T ) = ln[( 2he ^{(k+h)(T −t)/2}

2h + (k + h)(e ^{(T −t)h} − 1) )

] (2.68) e

B(t, T ) = 2(e ^{(T −t)h} − 1)

2h + (k + h)(e ^{(T −t)h} − 1) (2.69)

com

h = √

k ² + 2σ ² . (2.70)

2.3 Ajuste de convexidade

Muitos derivados de taxas de juro são caracterizados pelo facto de o pagamento depen- der de várias taxas de juro que podem ser observadas num tempo futuro T . Os produtos financeiros por nós analisados são caracterizados pelo facto de o pagamento ocorrer num tempo futuro S (S ≥ T ) diferente daquele a que as taxas de juro envolvidas no derivado se referem. A diferença temporal introduzida por este facto introduz dificuldades no cál- culo do valor do derivado. A prática comum para transpor estas dificuldades consiste em calcular o valor assumindo que o pagamento do derivado se comporta como uma mar- tingala com propriedades conhecidas e, partindo dessa martingala, ajustar o valor com aquilo que é conhecido como um ajuste de convexidade (Gaspar e Murgoci, 2009).

Dada uma taxa de juro y com um vencimento em T e um contrato com pagamento φ(y(T )), a ser feito em S ≥ T , o valor V deste derivado em T é

V (T ) = p(T, S)φ(y(T )). (2.71)

Usando p(., S) como numerário, obtemos o valor do derivado num tempo t qualquer, sendo que t ≤ T ≤ S é dado por

V (t) = E _t ^Q [e ^{− R}

S t

r(u)du

φ(y(T ))] (2.72)

ou

V (t) = p(t, S )E _t ^S [φ(y(T ))], (2.73)

em que r denota a taxa short instantânea, E _t ^Q [.] e E _t ^S [.] denotam o valor expectável con-

dicionado pela filtração F _t na medida de risco neutral Q e na medida futura S.

Se o pagamento fosse uma martingala na medida S então teríamos

V (t) = p(t, S)φ(y(t)). (2.74)

No entanto, na maioria dos casos de interesse, o pagamento é uma martingala numa outra medida de martingala φ e, nesse caso,

φ(y(t)) = E _t ^φ [φ(y(T ))]. (2.75)

Fazendo uso da derivada de Radon-Nikodym temos

φ(y(t)) = E _t ^φ [φ(y(T ))] = E _t ^S [φ(y(T )) dQ ^φ

dQ ^S ] = E _t ^S [φ(y(T ))Λ(T )]. (2.76)

Definimos agora o ajuste de convexidade como a expressão matemática CC ^φ , dada pela relação

E _t ^S [φ(y(T ))] = φ(y(t)) + CC ^φ (t, T, S). (2.77)

Ou, tendo em conta as relações anteriores,

CC ^φ (t, T, S) = E _t ^S [φ(y(T ))] − E _t ^φ [φ(y(T ))]. (2.78)

Produtos financeiros cujo pagamento depende de taxas LIBOR envolvem tipicamente o

pagamento de taxas LIBOR L(T, S ) no fim do período de aplicabilidade da taxa, ou seja

em S, apesar de o valor ter sido determinado em T . Existem produtos financeiros mais

exóticos em que é requerido o pagamento adiantado, ou seja, são produtos cujo paga-

mento depende da taxa L(T, S ) e serão pagos no início do período de aplicabilidade da

taxa LIBOR, em T .

Quando lidamos com produtos de pagamento adiantado, estamos interessados em co- nhecer o valor expectável destes produtos

E _t ^Q [e ^{− R}

T t

r(u)du

L(T, S)] = p(t, T )E _t ^T [L(T, S)] = p(t, T )E _t ^T [L(T, T, S )]. (2.79)

A taxa LIBOR envolvida é uma martingala na medida S mas não na medida de interesse para este caso, a medida em T . Ou seja, E _t ^T [L(T, T, S)] 6= L(t, T, S). A única forma de calcular este valor será recorrendo a um ajusto de convexidade

E _t ^T [L(T, S )] = L(t, T, S) + CC (t, T, S). (2.80)

De forma mais genérica, podemos definir uma correcção quando o valor expectável da taxa LIBOR, numa qualquer medida forward-U , com T ≤ U ≤ S é

CC (t, T, U, S) = E _t ^U (L(T, S)) − L(t, T, S), (2.81)

sabendo que

E _t ^U [L(T, S)] = 1

S − T [E _t ^U [ 1

p(T, S ) ] − 1]. (2.82)

Gaspar e Murgoci (2008), mostraram que para qualquer modelo afim multivariado, o ajuste de convexidade para produtos LIBOR do tipo acima descrito é dado por

CC _a (t, T, U, S ) = 1 S − T

p(t, T)

p(t, S) (e ^F (t,T ,U,S)+G(t,T ,U,S)z

− 1), (2.83)

em que F e G são funções deterministas de (t,T,U,S) passiveis de ser obtidas através do

sistema de equações diferenciais

∂F

∂t + (B (t, S ) − B (t, U ))k ₀ (t)(B(t, T ) − B(t, S)) + Gd(t) − Gk ₀ (t)B(t, U ) +

1

2 Gk ₀ (t)G + Gk ₀ (t)(B(t, T ) − B (t, S)) = 0

F (T ; T, U, S) = 0 (2.84)

∂G

∂t + (B(t, S) − B(t, U ))K(t)(B(t, T ) − B (t, S )) + GE(t) − GK(t)B(t, U ) +

1

2 GK(t)G + GK(t)(B(t, T ) − B (t, S)) = 0

G(T ; T, U, S ) = 0. (2.85)

Trata-se de um resultado bastante geral e que procuraremos implementar para o caso dos modelos afins univariados de Vasicek e CIR.

Os nossos objectivos são, em primeiro lugar, demonstrar como se podem obter as soluções

numéricas para ajustes de convexidade de taxas LIBOR e, em segundo lugar, perceber a

influência que cada um dos parâmetros destes modelos tem no ajuste de convexidade.

Capítulo 3

Análise numérica

Propomo-nos agora perceber a influência de cada um dos parâmetros dos modelos estu- dados no ajuste de convexidade. Para realizar esta análise de sensibilidade vamos abordar o problema de duas formas complementares: (1) tentaremos sempre que possível obter uma versão discretizada das diferentes relações, fazendo para isso uma discretização do modelo através do método de Euler; (2) faremos uso das nossas ferramentas de simulação para analisar a sensibilidade nas diferentes relações em função de cada um dos parâmetros de modelação dos dois modelos estudados, o modelo de Vasicek e o modelo CIR.

3.1 O modelo de Vasicek

Tentaremos, nesta secção, estudar e perceber a influência dos parâmetros intervenientes no modelo de Vasicek na determinação do valor da taxa de juro instantânea, das obriga- ções de cupão zero, da taxa LIBOR e do ajuste de convexidade da taxa LIBOR.

3.1.1 Sensibilidade da taxa de juro instantânea relativamente aos di- ferentes parâmetros

Como já expusemos anteriormente, o modelo de Vasicek apresenta como equação dinâ-

mica para a modelação do comportamento da taxa de juro instantânea a relação

dr(t) = k(θ − r(t))dt + σdW (t), (3.1)

em que k θ σ são constantes cujo valor depende dos dados do mercado que pretendemos simular. Estes parâmetros podem por isso ser vistos como os parâmetros de modelação do nosso sistema e serão eles os parâmetros relativamente aos quais importa perceber a influência.

Se procedermos à discretização da equação dinâmica da taxa de juro instantânea pro- posta por Vasicek, usando o método de Euler (Zeytun e Gupta, 2007) chegamos à equação

r(t i+1 ) = r(t i ) + k(θ − r(t i ))∆t + σ √

∆tW i+1 . (3.2)

Sensibilidade da taxa de juro instantânea relativamente ao parâmetro k

O estudo da sensibilidade do nosso modelo relativamente ao parâmetro k é conseguido substituindo k por um valor tão próximo quanto necessário k + δ _k . De tal forma que a nossa versão discretizada da taxa de juro instantânea será dada por

r(t _i+1 ) = r(t _i ) + (k + δ _k )(θ − r(t _i ))∆t + σ √

∆tW _i+1 . (3.3)

A mudança na taxa de juro instantânea em uma unidade de discretização será portanto dada pela relação

∆ _k r(t _i+1 ) = r _k (t _i+1 ) − r(t _i+1 ) = δ _k (θ − r(t _i ))∆t. (3.4)

Esta relação demonstra que, se variarmos k, o próximo valor da taxa de juro instantânea sobre uma variação δ _k (θ − r(t _i ))∆t será, considerando as duas variações possíveis do parâmetro k, se δ _k > 0, uma de duas classes de resultado possíveis:

(1) se a taxa instantânea actual r(t _i ) possui um valor inferior ao da taxa instantânea a

longo prazo θ, ou seja, se θ − r(t _i ) > 0, vemos que da variação do parâmetro k resultará uma aproximação mais rápida entre o valor da taxa instantânea actual r(t _i ) e o valor da taxa instantânea a longo prazo θ

θ − r(t _i ) > 0 7→ ∆ _k r(t _i+1 ) > 0 (3.5)

(2) se a taxa instantânea actual r(t _i ) possui um valor superior ao da taxa instantânea a longo prazo θ, ou seja, se θ − r(t i ) < 0, vemos que da variação do parâmetro k resultará uma aproximação mais rápida entre o valor da taxa instantânea actual r(t _i ) e o valor da taxa instantânea a longo prazo θ

θ − r(t i ) < 0 7→ ∆ k r(t i+1 ) < 0. (3.6)

Se δ _k < 0 temos, mais uma vez, duas classes de resultado possíveis:

(1) Se a taxa instantânea actual r(t _i ) possui um valor inferior ao da taxa instantânea a longo prazo θ, ou seja, se θ − r(t _i ) > 0, vemos que da variação do parâmetro k resultará uma aproximação mais lenta entre o valor da taxa instantânea actual r(t _i ) e o valor da taxa instantânea a longo prazo θ

θ − r(t _i ) > 0 7→ ∆ _k r(t _i+1 ) < 0 (3.7)

(2) Se a taxa instantânea actual r(t _i ) possui um valor superior ao da taxa instantânea a longo prazo θ, ou seja, se θ − r(t i ) < 0, vemos que da variação do parâmetro k resultará uma aproximação mais lenta entre o valor da taxa instantânea actual r(t _i ) e o valor da taxa instantânea a longo prazo θ

θ − r(t i ) < 0 7→ ∆ k r(t i+1 ) > 0. (3.8)

Desta análise resulta que o valor do parâmetro k não afecta o valor da taxa instantânea

a longo prazo mas possui uma influência decisiva sobre a velocidade com que se dá a convergência entre o valor actual da taxa instantânea e o valor da taxa instantânea a longo prazo.

Sabemos que o modelo proposto por Vasicek para a dinâmica da taxa de juro instantânea assume que à taxa de juro instantânea está associada uma distribuição normal caracteri- zada por um valor expectável

E[r(t)] = r(s)e ^−k(t−s) + θ(1 − e ^−k(t−s) ) (3.9)

e por uma variância

V ar[r(t)] = σ ²

2k (1 − e ^−2k(t−s) ). (3.10) Daqui concluímos que:

lim t→∞ E[r(t)] = θ (3.11)

e

lim t→∞ V ar[r(t)] = σ ²

2k . (3.12)

Ou seja, o parâmetro k não influencia o valor esperado da taxa de juro instantânea a longo prazo, mas influencia o valor esperado da variância da taxa de juro a longo prazo. Um aumento do parâmetro k em δk diminui a variância esperada, diminuindo a volatilidade associada. Ou seja, um aumento do parâmetro k implica uma maior taxa de convergência entre o valor actual da taxa de juro instantânea e o seu limite (taxa de juro instantânea a longo prazo) pelo que, necessariamente, teremos uma variância menor, uma volatilidade menor.

Permitimo-nos concluir que: (1) k é um parâmetro importante na determinação de ins-

trumentos financeiros que são afectados pela volatilidade; (2) k é um parâmetro que não

influencia o valor esperado da taxa de juro a longo prazo mas que tem um papel impor- tante na velocidade de convergência da taxa de juro actual relativamente à taxa de juro a longo prazo e (3) k é um parâmetro que influencia a variância da taxa de juro esperada.

Figura 3.1: Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro k (variância)

Sensibilidade da taxa de juro instantânea relativamente ao parâmetro θ

O estudo da sensibilidade do nosso modelo relativamente ao parâmetro θ é conseguido substituindo θ por um valor tão próximo quanto necessário θ + δ _θ . De tal forma que a nossa versão discretizada da taxa de juro instantânea será dada por

r(t _i+1 ) = r(t _i ) + k(θ + δθ − r(t _i ))∆t + σ √

∆tW _i+1 . (3.13)

A mudança na taxa de juro instantânea em uma unidade de discretização será portanto

dada pela relação

Figura 3.2: Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro k (valor es- perado)

∆ _θ r(t _i+1 ) = r _θ (t _i+1 ) − r(t _i+1 ) = δ _θ k∆t. (3.14)

Esta relação demonstra que, se variarmos θ, o próximo valor da taxa de juro instantânea sofre uma variação δ _θ k∆t.

Esta variação da taxa de juro instantânea será tanto mais importante quanto maior o valor do parâmetro k. Como seria de esperar, uma alteração do valor de θ provoca uma altera- ção proporcional no valor expectável da nossa taxa de juro

E[r(t) _θ ] = r(s)e ^−k(t−s) + θ(1 − e ^−k(t−s) ) + δθ(1 − e ^−k(t−s) ), (3.15)

mas não provoca qualquer alteração no valor expectável da nossa variância

V ar[r(t) _θ ] = σ ²

2k (1 − e ^−2k(t−s) ) (3.16)

porque

E[r(t) _θ ] − E[r(t)] = δθ(1 − e ^−k(t−s) ) (3.17) e

V ar[r(t) θ ] − V ar[r(t)] = 0. (3.18)

Daqui resulta que a variação na taxa de juro a longo prazo será

lim t→∞ E[r(t) _θ ] − E[r(t)] = δθ (3.19) e

lim t→∞ V ar[r(t) _θ ] − V ar[r(t)] = 0. (3.20)

Estes resultados são os esperados porque reforçam a nossa a ideia presente em toda a literatura da interpretação do parâmetro θ como o valor da taxa de juro a longo prazo.

Figura 3.3: Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro θ

Sensibilidade da taxa de juro instantânea relativamente ao parâmetro σ

O estudo da sensibilidade do nosso modelo relativamente ao parâmetro σ é conseguido substituindo σ por um valor tão próximo quanto necessário σ + δ _σ . De tal forma que a nossa versão discretizada da taxa de juro instantânea será dada por

r(t _i+1 ) = r(t _i ) + k(θ − r(t _i ))∆t + (σ + δ _σ ) √

∆tW _i+1 . (3.21)

A mudança na taxa de juro instantânea em uma unidade de discretização será portanto dada pela relação

∆ _σ r(t _i+1 ) = r _σ (t _i+1 ) − r(t _i+1 ) = δ _σ √

∆tW _i+1 . (3.22)

Esta relação demonstra que, se variarmos σ, o próximo valor da taxa de juro instantânea sofre uma variação δ _σ √

∆tW _i+1 .

Esta variação da taxa de juro instantânea poderá ser negativa ou positiva, dependendo do sinal relativo e conjunto de δ _σ com W _i+1 . O valor da variação está altamente dependente do termo de estocacidade.

A alteração do valor de σ não altera o valor esperado da taxa de juro, apesar de aumentar as possíveis variações em torno do valor esperado. A alteração deste parâmetro influen- ciará de modo mais significativo a determinação da taxa de juro instantânea a curto prazo do que a determinação da taxa de juro instantânea a longo prazo

E[r(t) _σ ] = r(s)e ^−k(t−s) + θ(1 − e ^−k(t−s) ) (3.23)

V ar[r(t) σ ] = (σ + δσ) ²

2k (1 − e ^−2k(t−s) ) (3.24)

E[r(t) _σ ] − E[r(t)] = 0 (3.25)

e

V ar[r(t) _σ ] − V ar[r(t)] = ( δσ ² + 2σδσ

2k )(1 − e ^−2k(t−s) ). (3.26)

Daqui resulta que a variação na taxa de juro a longo prazo será

lim t→∞ E[r(t) σ ] − E[r(t)] = 0 (3.27) e

lim t→∞ V ar[r(t) _θ ] − V ar[r(t)] = δσ ² + 2σδσ

2k . (3.28)

Ou seja, a alteração do valor de sigma altera o valor da variância da taxa de juro instan- tânea sem alterar o valor esperado da taxa de juro.

Figura 3.4: Sensibilidade do modelo de Vasicek relativamente ao parâmetro σ