Sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre

Um módulo bi-graduado de primeiro quadrante pCp,q, dp,qqp,qPZ de R-módulos e

de bi-grau pa, bq é uma coleção de R-módulos tCp,qup,qPZ com homomorfismos dp,q : Cp,q Ñ

Cp a,q b, chamados diferenciais, e que satisfazem

dp,q dp
a,q
b 0.

O primeiro quadrante significa que Cp,q  0 para p   0 ou q   0 (ou ambos). Podemos

calcular as homologias deste módulo bi-grau e construir um novo módulo bi-grau. Se temos novos diferenciais neste novo módulo bi-grau, podemos obter um novo módulo bi-grau, e assim por diante.

Uma sequência espectral de primeiro quadrante (tipo de homologia) é um módulo bi-grau de primeiro quadrante tpE_p,qr , dr_p,qqur¥0 e de bi-grau p
r, r
1q tal que

(i) E_p,qr  0 para qualquer p   0 ou q   0 (ou ambos), (ii) os diferenciais dr_p,q: E_p,qr Ñ E_pr
_{r,q r
1} têm a propriedade

dr_p,q dr_{p r,q
r 1}  0,

(iii) E_p,qr 1 é isomorfo à homologia de E _, em pp, qq coordenada, isto é,

E_p,qr 1  kerpdr_p,qq{impdr_{p r,q
r 1}q.

É fácil ver que quando r ¡ maxtp, qu 2, então E_p,qr  E_p,qr 1     , e denotamos por E_p,q8:

E_p,q8 : E_p,qr  E_p,qr 1    

Definição 1.1. Dizemos que a sequência espectral de primeiro quadrante E _,  tE_p,qr ur¥a

converge à família H  tHnun¥0, e escrevemos

E_p,qa ñ Hp q,

se, para cada n¥ 0, Hn tem uma filtração de submódulos

0 F
1Hn„ F0Hn„    „ Fn
1Hn„ FnHn  Hn,

tal que para qualquer 0¤ p ¤ n,

E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn.

Normalmente, o número a é igual a 1 ou 2.

Lema 1.8. Seja E_p,q2 ñ Hp q. Então, para cada n,

(i) existe um homomorfismo sobrejetor E_0,n2 Ñ E_0,n8 , (ii) E_n,08 „ E_n,02 .

Demonstração. (i) Como E_p,q2  0 para p   0, temos que E_p,qr  0 para todo p   0 e r ¥ 2. Assim, kerpdr0,nq  E_0,nr e logo E_0,nr 1  kerpd0,nq{impdr r_{r,n
r 1}q  E0,n{impdr r_{r,n
r 1}q. Portanto temos os homomorfismos sobrejetores E_0,n2 _{ E0,n}3 _{     E0,n}r _{     E0,n}8 .

(ii) Como E_{n r,1}r
_r  0 para r ¡ 1, temos que E_n,0r 1  kerpdr_n,0q{impdr_{n r,1
r}q  kerpdr_n,0q. Daí E_n,02 … E_n,03 …    … E_n,08 .

Lema 1.9 (Lema de duas linhas). Seja E_p,q2 ñ Hp q e suponha que Ep,q2  0 para todo

q  0, 1. Então para todo n, temos a sequência exata

   Ñ Hn 1ÑEn 1,02 d2 n 1,0 ÝÑ E2 n
1,1 Ñ HnÑ En,02 d2 n,0 ÝÑ E2 n
2,1 Ñ Hn
1 Ñ    .

Demonstração. Como E_p,q2 ñ Hp q, Hn tem uma filtração da forma

0 F
1Hn „ F0Hn „    „ Fn
1Hn „ FnHn Hn

tal que, para cada 0¤ p ¤ n,

E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn.

Por um lado, como E_p,q2  0 para todo q  0, 1, temos que E_p,q8  0. Por outro lado, para

q  0 temos

E_p,03  kerpd2_p,0q{impd2_{p 2,
1}q  kerpd2_p,0q{0  kerpd2_p,0q „ E_p,02 .

É claro que para r ¥ 3, dr_p,q  0. Logo E_p,03  E_p,08 e portanto obtemos a sequência exata 0Ñ E_p,08 Ñ E_p,02 d 2 p,0 ÝÑ E2 p
2,1 Ñ E 2 p
2,1{impd 2 p,0q Ñ 0.

Analogamente, para q 1 temos

E_p3
_2,1  kerpd2_p
2,1q{impd2_p,0q  E_p2
_2,1{impd2_p,0q, e E_p3
_2,1  E_p8
_2,1,

e logo obtemos a sequência exata

0Ñ E_p,08 Ñ E_p,02 d 2 p,0 ÝÑ E2 p
2,1 Ñ Ep8
2,1 Ñ 0. (1.2) Se p ¤ n
2, então E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn 0. Assim 0 F
1Hn     Fn
2Hn.

Desde Fn
2Hn 0, En8
1,1  Fn
1Hn. Daí a fórmula En,08  Hn{Fn
1Hndá-nos a sequência

exata curta

0Ñ E_n8
_1,1 Ñ Hn Ñ En,08 Ñ 0. (1.3)

A partir das sequências exatas (1.2) e (1.3) para p n, obtemos a sequência exata 0Ñ E_n8
_1,1 Ñ HnÑ En,02 ÝÑ E

2

n
2,1 Ñ En8
2,1 Ñ 0. (1.4)

Além disso, a partir das sequências exatas (1.2) para p n 1 e (1.4), obtemos a sequência exata

0Ñ E_{n 1,0}8 Ñ E_{n 1,0}2 Ñ E_n2
_1,1 Ñ Hn Ñ En,02 Ñ En2
2,1Ñ En8
2,1 Ñ 0.

Se continuamos esse processo, obtemos a sequência exata desejada.

Uma filtração canônica tFiC ui¥
1 do complexo

C :    Ñ C3 Ñ C2 Ñ C1 Ñ C0 Ñ 0. é uma cadeia de sub-complexos de C da forma

0 F
₁C „    „ FpC „ Fp 1C „    „ C

tal que, para qualquer p, FpCp  Cp e F
1Cp  0. Em particular, Cp tem a seguinte

filtração de Cp,

0 F
1Cp „ F0Cp „    „ FpCp  Cp.

Teorema 1.4 (Teorema da Convergência Clássica). Suponha que C é um complexo com Cp  0 para p   0.

(i) Qualquer filtração canônica F de C induz uma sequência espectral de primeiro quadrante

(ii) A convergência acima é canônica, isto é, se f : C Ñ C 1 é um morfismo de complexos filtrados, isto é, f pFpC q „ FpC 1, então temos um morfismo das sequências

espectrais

E_p,q1  Hp qpFpC {Fp
1C q ñ Hp qpC q

ÓHp qpf q ÓHp qpf q

E11_p,q  Hp qpFpC 1{Fp
1C 1q ñHp qpC 1q.

Isto significa que para qualquer par pp, qq, temos um diagrama comutativo E_p,qr dr p,q


ÝÑ Er p
r,q r
1 Ó Ó E1r_p,q d1rp,q


ÝÑE1r p
r,q r
1,

no qual, para cada n ¥ 0, induz um homomorfismo Hnpf q como

E_p,n8
_p  FpHnpC q{Fp
1HnpC q Ñ FpHnpC 1q{Fp
1HnpC 1q  E18p,n
p.

Demonstração. Veja (WEIBEL,1994, teorema 5.5.1).

Um bi-complexo é uma família de módulos C _, : pCp,qqp,qPZ com diferenciais

horizontais B_p,q1 de bi-grau p
1, 0q e diferenciais verticais B_p,q2 de bi-grau p0,
1q, tais que B1

p,q
1 Bp,q2  Bp2
1,q B1p,q, isto é, o diagrama a seguir é comutativo:

Cp,q B1 p,q


ÝÑ Cp
1,q ÓB2 p,q ÓBp2
1,q Cp,q
1 B1 p,q
1


ÝÑCp
1,q
1.

Um bi-complexo pode ser considerado, de duas maneiras diferentes, como um complexo na categoria de complexos. Para cada q, a partir do complexo horizontal C _,q com os diferenciais B _,q2  tB2_p,q: Cp,q Ñ Cp,q
1u, conseguimos os morfismos B _,q2 : C ,q Ñ C ,q
1.

É fácil verificar queB _,q
12  B2 _,q 0. Da mesma maneira, para cada p, a partir do complexo vertical Cp, com os diferenciais Bp,1  tBp,q1 : Cp,q Ñ Cp
1,qu, conseguimos os morfismos

B1

p, : Cp, Ñ Cp
1, tais que Bp1
1,  B1p,  0.

Um bi-complexo C _, dá-nos um complexopT Cq , o chamado de complexo total, da forma

pT Cqn :

à

p qn

Cp,q,

com os diferenciais Bn dados por

Bn|Cp,q : Cp,q Ñ Cp
1,q ` Cp,q
1, xÞÑ pB 1

O produto tensorial de dois complexos C 1 e C 2 é um bi-complexo C _, : C 1 bRC 2 de modo que Cp,q  Cp1 bRCq2, B1p,q: Bp1 b idCq2, B 2 p,q : idCp1 b B 2 q.

Portanto, o diferencial Bn do complexo total D : T pC 1 bRC 2q é dado por

Bn : pB 1 pb idCq2 p
1q p_id C1pb B 2 qqp qn. (1.5)

Definimos duas filtrações do complexo total D como

F_n1Dk : à p qk,p¤n C_p1 bRCq2, Fn2Dk: à p qk,q¤n C_p1 bRCq2.

Agora pelo teorema da convergência clássica 1.4, estas duas filtraçãoes induzem duas sequências espectrais de primeiro quadrante. De fato, provamos o seguinte conhecido teorema:

Teorema 1.5. Para quaisquer dois complexos não negativos C 1 e C 2, existem duas sequências espectrais de primeiro quadrante

E11_p,q  HqpCp1 bRC 2q ñ Hp qpT pC 1 bRC 2qq, E21_p,q HqpC 1 bRCp2q ñ Hp qpT pC 1 bRC 2qq, onde d11_p,q: HqpB 1 pb idC 2q e d21p,q : HqpidC 1 b B 2 pq.

Precisamos do teorema acima na construção da sequência espectral de Lyndon- Hochschild-Serre.

Teorema 1.6 (Sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre). Para qualquer subgrupo

normal H de G e qualquer G-módulo M , existe uma sequência espectral canônica de primeiro quadrante

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq.

Além disso, se pα, σq : pG, Mq ÝÑ pG1, M1q é um morfismo na categoria GM tal que αpHq „ H1, H1 um subgrupo normal de G1, então existe um morfismo de sequências espectrais

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq

ÓHppα,Hqpα|H,σqq ÓHp qpα,σq

E12_p,q  HppG1{H1, HqpH1, M1qqñHp qpG1, M1q.

Demonstração. Suponha que F 1 Ñ Z é uma resolução livre de Z sobre ZG. Pelo lema 1.5,

F 1 bGM  pF 1 bH MqG{H. Se C : F 1bH M , então

Mas F 1 Ñ Z é uma resolução livre de Z sobre ZH (veja o lema1.4), assim

HnpH, Mq  HnpF 1bH Mq  HnpC q.

Considere a ação natural de G{H sobre Cp  Fp1 bH M  pFp1b MqH. Seja F Ñ Z uma

resolução livre de Z sobre ZrG{Hs. Pelo teorema 1.5 temos duas sequências espectrais de primeira quadrante

E11_p,q  HqpFp bG{HC q ñ Hp qpT pF b C qq,

E21_p,q  HqpF bG{H Cpq ñ Hp qpT pF b C qq.

Pelo exemplo 1.10, o lema 1.6 e o corolário1.1, temos que

E21_p,q  HqpF bG{HCpq  HqpG{H, Cpq  HqpG{H, Fp1 bH Mq  HqpG{H, p à I ZGq bH Mq à I HqpG{H, ZG bH Mq  à I HqpG{H, ZrG{Hs b Mq  $ ' & ' % à I M se q  0 0 se q  0  $ & % F_p1 bGM se q  0 0 se q  0. Assim, para qualquer q  0, E22_p,q  0. Como E22_p,0 é a homologia de

E21_{p 1,0}Ñ E21_p,0 Ñ E21_p
1,0,

pelo cálculo acima E22_p,0 é a homologia de

F_{p 1}1 bGM Ñ Fp1 bGM Ñ Fp1
1bGM.

Isto implica que

E22_p,q $ & % Hp qpG, Mq se q  0 0 se q  0 .

Daí pelo lema 1.9, E22_p,0  HppT pF b C qq e portanto para qualquer n,

HnpT pF b C qq  HnpG, Mq.

Por outro lado, como Fp é um G{H-módulo livre, utilizando o exemplo 1.10 temos

HqpFp bG{HC q  Hqp à J ZrG{Hs bG{HC q  Hqp à J C q  à J HqpC q  à J ZrG{Hs bG{HHqpC q  pà J ZrG{Hsq bG{HHqpC q  F_p b_G{HHqpC q.

Para calcular E12_p,q, considere a sequência

HqpFp 1bG{HC q Ñ HqpFpbG{HC q Ñ HqpFp
1bG{H C q

que, pelo cálculo acima, é isomorfo ao complexo

Fp 1bG{H HqpC q Ñ FpbG{HHqpC q Ñ Fp
1bG{HHqpC q.

Assim, pela definição das homologias de um grupo,

E12_p,q HppG{H, HqpC qq  HppG{H, HqpH, Mqq.

Observe que a ação de G{H sobre HqpH, Mq foi descrita no corolário1.4. Se Ep,q2 : E12p,q,

então obtemos a sequência espectral

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq.

Pelos argumentos acima, é fácil verificar que a sequência espectral E_p,q2 é canônica.

Corolário 1.8 (Sequência exata de cinco termos). Sejam H um subgrupo normal de G e

M um G-módulo. Então temos a sequência exata

H2pG, Mq Ñ H2pG{H, MHq Ñ H1pH, MqG{H Ñ H1pG, Mq Ñ H1pG{H, MHq Ñ 0.

Demonstração. A partir da sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre associada a

extensão H  G  G{H, obtemos uma filtração de H1pG, Mq, 0 F
1H1 „ F0H1 „ F1H1  H1pG, Mq,

de modo que E_0,18  F0H1 e E1,08  F1H1{F0H1. Portanto, temos a sequência exata 0Ñ E_0,18 Ñ H1pG, Mq Ñ E_1,08 Ñ 0.

Claramente E_1,08  E_1,02  H1pG{H, MHq. Além disso, d22,0 dá-nos a sequência exata 0Ñ E_2,03 Ñ E_2,02 d 2 2,0 ÝÑ E2 0,1 Ñ E 3 0,1 Ñ 0.

É fácil ver que E_0,13  E_0,18 e E_2,03  E_2,08. Portanto os fatos acima implicam a sequˆncia exata

0Ñ E_2,08 Ñ H2pG{H, MHq d2

2,0

ÝÑ H1pH, MqG{H ÝÑ H1pG, Mq Ñ H1pG{H, MHq Ñ 0.

De novo, a partir da sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre temos uma filtração de H2pG, Mq,

0 F
₁H2 „ F0H2 „ F0H2 „ F2H2  H2pG, Mq,

de modo que E_i,28
_i  FiH2{Fi
1H2. Assim, E2,08  H2pG, Mq{F1H2 que dá-nos um homomorfismo sobrejetor

H2pG, Mq  E_2,08.

Agora, combinando este fato com a sequência exata acima obtemos a sequência exata desejada.

Proposição 1.6. Seja M um G-módulo. Seja H um subgrupo normal de índice finito de

G tal que rG : Hs é invertível em M. Então para cada n ¥ 0, o homomorfismo natural HnpH, Mq Ñ HnpG, Mq induz o isomorfismo

HnpH, MqG{H Ñ H npG, Mq.

Em particular, se a ação de G sobre M é trivial e H „ ZpGq, então HnpH, Mq 

HnpG, Mq.

Demonstração. Considere a sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq.

Desde que G{H é finito e rG : Hs é invertível em M, rG : Hs também é invertível em

HqpH, Mq. Assim, pelo teorema 1.6,

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq  0 para todo p ¡ 0.

Sabemos que HnpG, Mq tem uma filtração

0 F
₁Hn „ F0Hn „    „ Fn
1Hn „ FnHn HnpG, Mq

de modo que para qualquer 0 ¤ p ¤ n,

E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn

Mas E_p,n8
_p  E_p,n2
_p  0 para p ¡ 0 e E_0,n8  E_0,n2  HnpH, MqG{H. Portanto

HnpH, MqG{H  F0Hn     Fn
1Hn FnHn HnpG, Mq.

Lema 1.10. Sejam Q um grupo, A um Q-módulo e G : A  Q. Se M é um G-módulo

trivial, então os diferenciais dr_n,0 da sequência espectral de Lyndon-Hochschild-Serre E_p,q2  HppQ, HqpA, Mqq ñ Hp qpG, Mq

são triviais para r ¥ 2 e portanto E_n,08  E_n,02  HnpQ, Mq. Em particular, para qualquer

n ¥ 0, o homomorfismo natural

HnpA  Q, Mq Ñ HnpQ, Mq

Demonstração. A partir do diagrama comutativo com linhas exatas

1Ñ t1u Ñ Q Ñ Q Ñ 1

Ó Ó Ó

1Ñ A Ñ G Ñ Q Ñ 1

obtemos um morfismo das sequências espectrais de Lyndon-Hochschild-Serre

E12_p,q HppQ, Hqpt1u, Mqqñ Hp qpQ, Mq

Ó Ó

E_p,q2  HppQ, HqpA, Mqq ñHp qpG, Mq,

no qual, para todo r ¥ 2 e n ¥ 0, induz o diagrama conmutativo

E1r_n,0 d1rn,0


ÝÑE1r n
r,r
1 Ó Ó E_n,0r dr n,0


ÝÑEr n
r,r
1. Para r  2 temos HnpQ, Mq E12n,0 d12n,0


ÝÑE12 n
2,1 0 Ó Ó HnpQ, Mq  En,02 d2 n,0


ÝÑ E2 n
2,1,

em que claramente implica que d2_n,0 0. Portanto

E_n,03  E_n,02  HnpQ, Mq e E13n,0  E12n,0 HnpQ, Mq. Se r  3, temos HnpQ, Mq E13n,0 d13n,0


ÝÑE13 n
3,2 0 Ó Ó HnpQ, Mq  En,03 d3 n,0


ÝÑ E3 n
3,2,

o qual implica que d3_n,0  0. Analogamente, podemos provar que para todo r ¥ 2, dr_n,0  0, o qual implica claramente que E_n,08  E_n,02  HnpQ, Mq.

Além disso, HnpG, Mq tem uma filtração

0 F
1Hn „ F0Hn „    „ Fn
1Hn „ FnHn HnpG, Mq

de modo que para todo 0¤ p ¤ n, E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn. Já que

HnpQ, Mq  En,08  FnHn{Fn
1Hn  HnpG, Mq{Fn
1Hn,

vemos que o homomorfismo natural HnpG, Mq Ñ HnpQ, Mq é sobrejetor. Isso completa a

Lema 1.11. Sejam H um subgrupo normal de G e K um corpo. Considere a sequência

espectral de Lyndon-Hochschild-Serre

E_p,q2  HppG{H, HqpH, Mqq ñ Hp qpG, Mq,

onde M é um KG-módulo. Então, para cada n¥ 0,

dimKHnpG, Mq ¤ n

¸

p0

dimKEp,n2
p.

Demonstração. Sabemos que HnpG, Mq tem uma filtração

0 F
1Hn „ F0Hn „    „ Fn
1Hn „ FnHn HnpG, Mq

de modo que para todo 0¤ p ¤ n, E_p,n8
_p  FpHn{Fp
1Hn. Portanto

dimKHnpG, Mq  n ¸ p0 dimKEp,n8
p ¤ n ¸ p0 dimKEp,n2
p.

No documento Números virtuais racionais de Betti de grupos solúveis de tipo homológico FPn (páginas 30-39)