Simulação virtual

A simulação virtual foi feita de forma integrada entre o Rhinoceros e seu plug-in

Grasshopper.

Foram selecionadas algumas das etapas do código gerado no Grasshopper. Em alguns momentos, a geometria foi gerada no Grasshopper e exportada para o Rhinoceros, e, em outros, a imagem foi importada do Rhinoceros para ser trabalhada no Grasshopper.

O diâmetro estabelecido para o sólido retrátil é de 1 metro, visando facilitar os cálculos para a escala desejada, mas foi usada a constante 0.86 (Evaluation) para melhor visualização do movimento das barras.

As barras e componentes do artefato 1 foram construídas diretamente no Rhinoceros; no caso do artefato 2, essas foram modeladas no Grasshopper, tendo como vantagem a parametrização. Vale destacar a importância de trabalhar com dois monitores simultaneamente (Fig. 60), para acompanhar a geometria gerada pelo código.

Figura 60. Obtenção das barras simétricas

Embora a barra tenha sido extrudada (Fig. 61) o desenvolvimento foi feito com as superfícies planas, deixando a tridimensionalidade para a etapa do modelo físico.

O Rhinoceros tem um plug-in que permite a importação direta de um sólido geométrico; neste, o cuboctaedro (Fig. 62) foi importado. O Grasshopper possui muitos comandos. Vale destacar a praticidade do Preview On, Preview Off, Geo e Bake. Quando o Preview está ligado, a figura aparece na tela do Rhinoceros, mas não é uma geometria. Para que isso aconteça, é preciso usar o Bake, que torna a construção uma geometria propriamente dita. O

Bake foi bastante usado durante as simulações e ao mesmo tempo foram aplicados layers,

permitindo visualizar ou apagar a imagem durante o desenvolvimento do projeto. Isso foi fundamental, uma vez que a geometria é bastante complexa e foram feitas várias simulações. E o Geo é o contrário desse. Ele importa uma geometria do Rhinoceros para o Grasshopper. A grande vantagem disso é que, ao contrário do que muitos imaginam, não há necessidade de ser um especialista em programação para trabalhar com o Grasshopper, uma vez que existem essas possibilidades. A geometria pode ser desenvolvida no Rhinoceros e parametrizada no

Grasshopper.

Figura 62. Intersecção de planos

Com o Array Polar (Fig. 63) foi possível rotacionar o par de barras simétricas ao redor de uma circunferência e depois rotacionar esses círculos de barras entrelaçadas expansíveis.

Figura 63: Array Polar.

armazenadas a partir da criação dos layers, e com o comando Eval (Evaluation) foi criado um intervalo de números que possibilitam a parametrização da estrutura retrátil (Fig. 64), criando assim o movimento de expansão e contração.

Figura 64. Círculos expansíveis.

Em seguida, foram determinados planos para a divisão interna da estrutura retrátil, com o objetivo de criar um sistema que facilite a sua cobertura. Esse estudo é referente ao Artefato 2, pois o modelo do Artefato 1 foi feito com arestas de frequência 3 e, no caso da cobertura, é mais prático trabalhar com múltiplos de frequência 4, devido aos quadrantes que vão facilitar a construção dos planos de simetria para as divisões internas. Quanto maior for o número de divisões, mais arredondada ficará a estrutura. Esse estudo parte de um Poliedro Arquimediano, mas a lógica é bem semelhante para uma geodésica.

A partir dessa parte, foram desenvolvidas várias simulações com o intuito de encontrar a mais adequada, e constatou-se que existem várias possibilidades diferentes. Inicialmente, a divisão intermediária foi feita no poliedro; no entanto, a secção é um hexágono; porém, não é regular (Fig. 65), e para solucionar essa questão foram criados outros dois códigos, um para a divisão da aresta da secção, pertencente à face quadrada, e outra para a aresta da face triangular, que, devido à Semelhança de Triângulos, é metade do tamanho da aresta que passa pela secção meridiana do poliedro.

Para a divisão da circunferência que passa pelo polígono da secção é gerado um novo código, sendo que o ponto inicial é substituído por uma geometria. O ponto é definido no

Rhinoceros e é usado o comando Geo, citado anteriormente para aplicar o Set one Geometry e

importar a geometria. O mesmo procedimento foi feito em relação aos arcos de circunferência (Fig. 66). A partir dessa parte, a questão fica mais complexa, pois o número de divisões da aresta da face quadrada é diferente da aresta da face triangular. No entanto, foram feitas modificações no código inicial para a obtenção dessas duas barras que são diferentes entre si, devido ao ângulo.

Figura 65. Secções do cuboctaedro

Figura 66. Divisão do arco de circunferência em 8 partes iguais

O mesmo procedimento foi aplicado para a aresta da face triangular. Pelo Teorema de Tales, essa é metade da aresta da face triangular da secção meridiana. Neste caso, o arco de circunferência é dividido em 4 partes iguais (Fig. 67), uma vez que a frequência dessa aresta é 2.

Figura 67. Divisão do arco de circunferência relativo em partes iguais

Dessa forma, foram obtidas as barras com aresta de frequência 4 e 2, respectivamente (Fig. 68), relativas à secção do cubocatedro (Fig. 69).

Figura 68. Barras para a secção do poliedro

Esses resultados também poderiam ser obtidos pelo cálculo matemático, como foi mencionado anteriormente; porém, essas são superfícies paramétricas que podem ter alterações a qualquer momento, com o simples movimento de uma barra de rolagem, programada dentro dos intervalos numéricos desejados.

Figura 69. Perspectiva do Cuboctaedro Retrátil obtido

Em seguida, foi montado um modelo físico para testar a mecânica da abertura e fechamento da estrutura. Nessa etapa, foram impressos em 3D as barras e os componentes necessários para a montagem de 2 das 14 faces desse sólido retrátil. Para isso, foi desenvolvida a modelagem dos demais elementos (Fig. 70) no Rhinoceros, de acordo com as necessidades, como, por exemplo, a variação do ângulo diédrico entre duas faces.

Figura 70. Modelagem dos componentes

O ângulo diédrico formado entre o plano que contém a circunferência que passa pelo ponto médio das arestas da face quadrada e o plano que contém essa face quadrada é de 125o26’. Portanto, é necessário fazer uma rotação para que os planos fiquem perpendiculares entre si, para que as barras entrelaçadas obtidas, embora arqueadas, também se mantenham perpendiculares entre si (Fig. 71). Essa constatação foi feita após a montagem do modelo físico e foram realizadas algumas modificações na estrutura, inclusive em relação aos componentes.

Figura 71. Planos perpendiculares

Em virtude da cobertura proposta, foi idealizado um sistema para a união das arestas, criando superfícies que pudessem acompanhar o mecanismo durante a sua transformação (expansão e contração). Nessa etapa, foi observado que para unir as barras é preciso determinar os pontos necessários, uma vez que as arestas pantográficas não são coplanares (Fig. 72).

Figura 72. Simulação do sistema para cobertura

Todos os poliedros platônicos e arquimedianos estão inscritos numa circunsfera. As arestas dos poliedros projetadas nessa circunsfera são trechos de círculos máximos (Lotufo, s.d.). Para dar continuidade ao estudo da geometria necessária para a cobertura, as divisões foram feitas na circunsfera que envolve o volume, as arestas intermediárias, que, nesse caso, são as arestas de frequência quatro, obtidas a partir da divisão do arco que passa pelos pontos médios dos círculos máximos. Para isso, é só substituir a geometria nessa parte do código pelo novo arco de circunferência (Fig. 73) e também alterar o ângulo ao fazer o Array Polar. Esse foi o procedimento para a divisão do arco da circunferência que passa pela secção hexagonal, paralela ao círculo máximo horizontal. Fuller aplicou a teoria dos círculos máximos e a trigonometria esférica no cálculo das geodésicas.

Figura 73. Vista superior do arco obtido

A partir dessa divisão (Fig. 74), existem duas opções para o desenvolvimento do modelo físico. A primeira consiste em usar a aresta de frequência quatro, obtida com o nó estrutural adequado ao valor dos ângulos diédricos entre os planos. No caso da segunda opção, é necessário fazer uma rotação desse plano intermediário, de modo que seja perpendicular aos demais planos, passando pelo ponto médio desses; nesse caso, pode ser usado o nó estrutural de 90o. Para verificar qual é mais prática, serão construídos novos modelos físicos.

No entanto, foi pensada numa terceira opção. Com o modelo de círculos máximos, surgem as subdivisões que seguem (Fig. 75).

Figura 75. Círculos máximos/ Secções do cuboctaedro

Ao rotacionar o plano horizontal, pode-se observar que os círculos são iguais, porém os pontos que dividem a circunferência estão em posições diferentes (Fig. 76), uma vez que um deles foi rotacionado a 350265’, ou seja, metade do ângulo diédrico de 70053’.

Os pontos de intersecção dos círculos máximos que circunscrevem o cuboctaedro com o plano horizontal determinam um hexágono regular (Fig. 77).

Figura 77. Hexágono regular

No caso da circunferência rotacionada a 350265’, a divisão é a mesma; entretanto, os pontos de intersecção dessa com os demais círculos máximos, ou seja, com os planos bissetores, não coincidem com o hexágono regular. Uma vez que os setores angulares são diferentes, foi preciso calcular o tamanho da aresta frequencial.

Para isso, foi feito um rebatimento de planos (Fig. 78) para a nova divisão do arco de circunferência.

Figura 78. Rebatimento de planos

Construí-se para isso um código (Fig. 79) do plano rotacionado para a obtenção das arestas frequenciais proporcionais ao ângulo de curvatura.

Figura 79. Código para a divisão do plano rotacionado

Dessa forma, obteve-se o valor do ângulo da aresta frequencial (Fig. 80).

Em seguida, foi traçado um plano perpendicular (Fig. 81) e criado um novo código (Fig. 82) para a obtenção das demais arestas frequenciais, que são as medianas do triângulo.

Figura 81. Planos perpendiculares

Figura 82. Código para a obtenção do arco relativo às medianas do triângulo

Finalmente, optou-se pela construção da estrutura retrátil obtida a partir dos círculos máximos que passam pelos vértices do cuboctaedro com as respectivas subdivisões (Fig. 83).

Figura 83. Cuboctaedro, círculos máximos e subdivisões

Entretanto, observou-se que as arestas não coincidem em suas extremidades (Fig. 84), o que compromete a confecção de um nó estrutural que ligue ambas.

Figura 84. Detalhe ampliado

Para que as arestas coincidam em seus pontos de encaixe foi proposta a rotação do plano bissetor sobre o P.H. de projeção. AFig. 85 ilustra a complexidade do rebatimento, uma vez que o setor circular pertence a um plano qualquer, que atravessa os planos P.H. e P.V. de projeção. A divisão foi feita no P.H. de projeção; para fazer a rotação do plano qualquer foi preciso usar a função Relocate Gumball.

Pela vista de topo (Fig. 86) pode-se observar a diferença do ângulo relativo a cada setor circular.

Figura 85. Rotação do plano bissetor sobre o P.H. de projeção

Figura 86. Vista de topo do plano bissetor rebatido no P.H. de projeção

Para facilitar a divisão de cada setor circular no Grasshopper, foi feito o rebatimento do círculo bissetor com o hexágono inscrito (que não é regular) sobre o P.H. de projeção (Fig. 87).

Figura 87. Divisão do plano em 3 setores circulares

Em seguida, foi feito o rebatimento dos conjuntos de arestas frequenciais (Fig. 88) obtidas para o plano bissetor.

Figura 88. Rebatimento para os planos de origem

O ângulo central dos setores circulares é diferente e portanto as arestas frequenciais não se interceptam no mesmo ponto (Fig. 89). Isso só ocorre quando as arestas frequencias pertencem ao mesmo setor circular (Fig. 90). Essa questão pode ser solucionada com um nó estrutural adaptado a essa condição. A proposição nesse caso é obter a intersecção desejada, visando a simetria dos nós estruturais.

Figura 90. Ponto de intersecção das arestas frequenciais pertencentes ao mesmo setor circular

Diante do exposto, foi proposto um método para obter a intersecção entre as barras de diferentes setores circulares, visando a construção de um nó estrutural simétrico (Fig. 91). Para isso, é feito o rebatimento das barras do setor circular do plano bissetor (Fig. 92) sobre o P.H. de projeção. Mas para obter o ponto de intersecção, é realizada uma rotação das barras resultantes da divisão da circunferência; os módulos são posicionados das extremidades em direção ao centro (Fig. 93).

Figura 92. Rebatimento das barras

Figura 93. Rotação no sentido da extremidade ao centro

Em seguida, é feita a intersecção entre as barras rotacionadas (Fig. 94) e, dessa forma, é obtido o novo valor da aresta frequencial.

Figura 94. Barras resultantes

Como as barras das extremidades têm a mesma dimensão, essas podem ser ligadas pelo mesmo nó estrutural (Fig. 95). Cada vértice do poliedro expansível é representado por um par de nós.

Figura 95. Sistema de montagem

Essa solução facilita a obtenção de sistemas para a cobertura. Com o software utilizado, no caso, o Rhinoceros, foi possível fazer uma série de estudos para se obter a superfície planificada, usando o comando Tween Curves (Fig. 96). Para a construção do modelo, uma superfície com filamento flexível foi impressa em 3D, pois em algumas situações as superfícies que unem as barras têm dupla curvatura.

Figura 96. Estudo de superfície para estrutura retrátil

A Tabela 6 apresenta os componentes e a quantidade de elementos para a montagem do Cuboctaedro Retrátil obtido a partir dos círculos máximos.

Tabela 6. Quantidade de elementos do Cuboctaedro Retrátil Módulos que partem do Nó

Estrutural 1

Módulos que partem do Nó Estrutural 2

Módulos que partem do Nó Estrutural 3 Nó Estrutural Vértices = 12 1 vértice = 1 par de nós Nó 1 = 12 x 2 = 24

Ponto médio das arestas de face quadrada e face triangular

24 x 2 = 48 unidades +

Centro de cada face quadrada

6 x 2 = 12 unidades

Baricentro do ∆ =8 8 x 2 = 16 unidades

1 nó = 4 Pivots (furos) = 4 conjuntos de 2 módulos cada

1 módulo = 2 unidades

12 x 4 x 4 = 192 unidades

1 módulo = 2 unidades Usadas na sequência que une o centro de cada face quadrada até o ponto médio das arestas frequenciais do quadrado.

1 módulo = 2 unidades Usadas na sequência que une o baricentro (ponto de equilíbrio) de cada face triangular até o ponto médio das arestas frequenciais do triângulo (que coincidem com o ponto médio das faces quadradas). Unidades Vértices = 12 12 x 4 = 24 módulos 24 x 2 = 48 unidades Centro = 6 6 □ x 4 = 24 módulos 24 x 2 = 48 unidades Baricentro = 8 8∆ x 3 = 24 módulos 24 x 2 = 48 unidades Pivots (furos)

1 unidade = 3 furos 1 unidade = 3 furos 1 unidade = 3 furos

Ângulo

Barras Aresta de frequência 2: af2 Aresta mista de frequência

2: af2

Aresta mista de frequência 2:

af2