Nesta seção, propomos a simulação numérica do problema modelo da injeção de soluções poliméricas em meios porosos, considerando os efeitos de adsorção e retenção mecânica, tal como descrito em (3.47), juntamente com uma isoterma linear dada pela expressão (2.19). Para isso, consideramos um domínio tridimensional constituído por cilindros concêntricos, como apresentado na figura (4.13b). Nesse domínio radial, adotamos o raio externo re = 2m, o raio interno (raio do poço) rw = 0.1m e altura h = 0.50m.
Para discretização do domínio, consideramos uma malha tetraédrica não-estruturada com 209115 elementos tetraédricos. Na figura (4.13a) apresentamos um corte do domínio, onde podemos visualizar que adotamos um maior refinamento na região do poço, com o objetivo de capturar mais precisamente os fenômenos envolvidos na vizinhança do poço injetor.
(a) Corte na Vizinhança do Poço.
(b) Malha Tetraédrica Não–Estruturada.
Figura 4.13 – Domínio Radial Tridimensional com Malha Tetraédrica Não-Estruturada. Para analisar a acurácia do método, propomos confrontar as soluções analítica e numérica para o problema da Injeção de Polímeros em Meios Porosos. Do ponto de vista numérico, as soluções discretas são obtidas pelo método dos volumes finitos Central–Upwind. Além disso, considerando a melhor precisão da reconstrução linear do método Mínimos Quadrados (MQ), os resultados numéricos são apresentados apenas para essa reconstrução.
Soluções analíticas considerando um domínio radial e um meio poroso homogêneo estão disponíveis na literatura (BORAZJANI; BEDRIKOVETSKY, 2017; BORAZJANI et al.,
2018; PIRES; BEDRIKOVETSKY; SHAPIRO, 2006). Considerando a simetria radial, as soluções numéricas são avaliadas sobre um ângulo fixo à uma altura de h = 0.5m, conforme mostrado na figura (4.13b). Vale ressaltar que analogamente ao caso bidimensional, o
campo de velocidade é obtido a partir da solução analítica para escoamento radial. Nas figuras (4.14a), (4.14b), (4.15a) e (4.15b) apresentamos as soluções numéricas tridimensionais para a saturação da fase aquosa do problema da Injeção de Polímeros em Meios Porosos. As curvas foram obtidas pela formulação de volumes finitos Central–Upwind considerando malhas tetraédricas e reconstrução Mínimos Quadrados (MQ) para T = 0.2pvi e T = 0.3pvi. Nas simulações apresentadas nas figuras (4.14) consideramos κ = 0.15 e λ = 0.25m−1. Nas simulações apresentadas nas figuras (4.15) consideramos κ = 0.05 e
λ = 0.05m−1. Por sua vez, nas figuras (4.14c), (4.14d), (4.15c) e (4.15d) confrontamos as soluções analíticas da saturação e da concentração com os cortes unidimensionais ao longo do raio para o método Central-Upwind considerando os tempos T = 0.2pvi e T = 0.3pvi.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.75
(a) Solução Numérica 3d da Saturação.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.75
(b) Solução Numérica 3d da Saturação.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 r(m) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw, EXATA C=C0, EXATA Sw NUMERICA C=C0 NUMERICA Sw ;C = C0
(c) Solução Analítica e Corte Unidimensional.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 r(m) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw ;C =C 0 Sw, EXATA C=C0, EXATA Sw NUMERICA C=C0 NUMERICA
(d) Solução Analítica e Corte Unidimensional.
Figura 4.14 – Soluções Analíticas e Numéricas do problema da Injeção de Polímeros para (a) e (c) T=0.2pvi e (b) e (d) T=0.3pvi, com κ = 0.15, λ = 0.25m−1.
Como podemos observar nas figuras (4.14c), (4.14d), (4.15c) e (4.15d) os resultados numéricos obtidos com o método Central-Upwind são acurados, capturando com precisão e pouca difusão numérica a solução analítica. Observamos que no choque da região com água, os resultados são bastante precisos, como observado nas simulações anteriores. Por
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.75
(a) Solução Numérica 3d da Saturação.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.75
(b) Solução Numérica 3d da Saturação.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw ;C =C 0 C=C0, NUM. Sw, NUM. Sw, EXATA C=C0, EXATA r(m)
(c) Solução Analítica e Corte Unidimensional.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw ;C = C0 C=C0, NUM. NUM. Sw, C=C0, EXATA Sw, EXATA r(m)
(d) Solução Analítica e Corte Unidimensional.
Figura 4.15 – Soluções Analíticas e Numéricas do problema da Injeção de Polímeros para (a) e (c) T=0.2pvi e (b) e (d) T=0.3pvi, com κ = 0.05, λ = 0.05m−1.
outro lado, o segundo choque da saturação ocorre uma difusão numérica, bem como no choque da concentração do polímero.
Com o objetivo de analisar os efeitos da adsorção com uma retenção mecânica constante, nas Figuras (4.16) apresentamos os resultados das simulações considerando λ = 0.05e κ = {0.05; 0.15} para o tempo T = 0.2pvi . Observando os cortes unidimensionais das soluções nas figuras (4.16c) e (4.16d), perceba que, enquanto a posição do choque da concentração e da saturação para κ = 0.15 ocorre em r ≈ 0.7m, para o caso κ = 0.05 o choque está mais adiantando, mais próximo de r ≈ 0.8m. Tal comportamento está diretamente associado ao retardamento provocado pela adsorção instantânea, onde o polímero é rapidamente consumido a medida que é transportado, até que se atinga à adsorção máxima. Perceba que a posição do choque na região com água se mantém inalterada (r ≈ 1m), mesmo variando as taxas de adsorção.Tal fato indica que a velocidade da água não é alterada pela adsorção nos cenários analisados. É importante salientar que, as simulações mostradas neste trabalho tiveram o intuito de validar a formulação discreta
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.75
(a) Solução Numérica 3d da Saturação.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.75
(b) Solução Numérica 3d da Saturação.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 r(m) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw ;C =C 0 C=C0, NUM. Sw, C=C0, EXATA Sw, EXATA NUM.
(c) Solução Analítica e Corte Unidimensional.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw ;C =C 0 C=C0, NUM. Sw, NUM. Sw, EXATA C=C0, EXATA r(m)
(d) Solução Analítica e Corte Unidimensional.
Figura 4.16 – Soluções Analíticas e Numéricas do problema da Injeção de Polímeros para T=0.2pvi, com λ = 0.05m−1 para (a)-(d), κ = 0.15 para (a) e (c) e κ = 0.05
para (b) e (d).
propostas, confrontando as soluções numéricas com soluções analíticas disponíveis na literatura. Para tanto, foi considerado um meios porosos homogêneo. Neste caso, somente a eficiência de deslocamento pode ser avaliada. Para a avaliação do efeito da injeção de polímeros na eficiência de varrido, se faz necessário considerar meios porosos com permeabilidade heterogênea.
5 Considerações Finais
Neste trabalho, propomos uma nova modelagem matemática e computacional para a injeção de soluções poliméricas em meios porosos considerando efeitos de adsorção e de retenção mecânica. O modelo matemático consiste do modelo hidrodinâmico e do movimento da fase água acoplado à equação do transporte do polímero na fase aquosa em regime de convecção-difusão-reação, bem como uma EDO para cinética de retenção. A modelagem computacional das equações convectivas-reativas do modelo matemático foi obtida fazendo uso do método de alta-ordem Central-Upwind de volumes finitos para malhas triangulares e tetraédricas não-estruturadas, juntamente com o método de Runge- Kutta de terceira ordem. Além disso, confrontamos o método Central-Upwind com outros métodos dos volumes finitos, analisando a acurácia de cada formulação discreta.
Para validar a acurácia e estabilidade do método numérico proposto, confronta- mos soluções numéricas e analíticas considerando os problemas hiperbólicos Riemann, Riemann Não–Homogêneo, Buckley & Leverett e Injeção de Polímeros. As simulações foram conduzidas considerando domínios retangular e radial bidimensional com malha triangular regular e não-estruturada, além de um domínio radial tridimensional com malha tetraédrica. Os resultados das simulações obtidos no domínio retangular e radial reprodu- ziram com acurácia os perfis das soluções analíticas. No entanto, para o caso específico do problema da injeção de polímeros, o choque da saturação em torno na descontinuidade da concentração de polímero apresenta difusão numérica significativa. Ainda, ao analisar diferentes reconstruções lineares, concluímos que o método de mínimos quadrados (MQ) apresenta resultados menos difusivos em torno das descontinuidades das soluções. Além disso, observamos que o método Central-Upwind apresenta resultados mais acurados ou equivalentes ao método KT, a depender do problema, e que sempre apresenta resultados mais acurados que o método Upwind em malhas triangulares.
Para trabalhos futuros, propomos incluir no modelo matemático leis que modelem a dependência da porosidade e da permeabilidade variável com a adsorção e da retenção mecânica, além de modelos reológicos que considerem o comportamento não-Newtoniano da solução polimérica. Nesse contexto, a solução para o problema da hidrodinâmica deverá ser resolvido numericamente por um método localmente conservativo, como o método de Elementos Finitos Mistos. Por fim, propomos simulações para injeção de polímeros em escala de reservatórios, incorporando dados de entrada com valores tipicamente utilizados na indústria, permitindo uma modelagem realista dos efeitos das altas velocidades nas vizinhanças dos poços, reologia e retenção de polímeros, bem como suas consequências na injetividade e no fator de recuperação.
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