CENTRO DE TECNOLOGIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS E ENGENHARIA DE PETRÓLEO
HELTON MAGNO DE ARAÚJO CIRÍACO Orientador: Prof. Adriano dos Santos, D.Sc. Coorientador: Prof. Sidarta Araújo de Lima, D.Sc.
MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS CENTRAL-UPWIND EM
MALHAS NÃO ESTRUTURADAS: APLICAÇÃO À
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO TRANSPORTE DE
POLÍMEROS EM MEIOS POROSOS
Natal, RN
2020
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
HELTON MAGNO DE ARAÚJO CIRÍACO
MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS CENTRAL-UPWIND EM MALHAS NÃO ESTRUTURADAS: APLICAÇÃO À SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO
TRANSPORTE DE POLÍMEROS EM MEIOS POROSOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências e Engenharia de Petróleo da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo.
Orientador: Prof. Adriano dos Santos, D.Sc.
Coorientador: Prof. Sidarta Araújo de Lima, D.Sc.
Natal, RN
2020
Ciríaco, Helton Magno de Araújo.
Método dos volumes finitos Central-Upwind em malhas não estruturadas: aplicação à simulação numérica do transporte de polímeros em meios porosos / Helton Magno de Araújo Ciríaco. -2020.
76 f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Natal, RN, 2020. Orientador: Prof. Dr. Adriano dos Santos.
Coorientador: Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima.
1. Escoamento Bifásico - Dissertação. 2. Transporte de
Polímeros - Dissertação. 3. Método Central-Upwind - Dissertação. 4. Malhas NãoEstruturadas Dissertação. 5. Retenção Mecânica -Dissertação. I. Santos, Adriano dos. II. Lima, Sidarta Araújo de. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 665.6/.7(043)
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS CENTRAL-UPWIND EM
MALHAS NÃO ESTRUTURADAS: APLICAÇÃO À
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO TRANSPORTE DE
POLÍMEROS EM MEIOS POROSOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências e Engenharia de Petróleo da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo.
Aprovada em Natal, 12 de junho de 2020.
Prof. Adriano dos Santos, D.Sc.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Orientador
Prof. Sidarta Araújo de Lima, D.Sc. Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Coorientador
Prof. Adolfo Puime Pires, D.Sc. Universidade Estadual do Norte Fluminense
Examinador
Prof. Márcio Arab Murad, D.Sc.
Laboratório Nacional de Computação Científica Examinador
Josué dos Santos Barroso, D.Sc.
Laboratório Nacional de Computação Científica Examinador
Sidar a Ara jo de Lima J n ADT
Sida a A a de Li a
Marcio Arab Murad Jun 0 0 0 ADT
Agradeço primeiramente aos meus pais pelo suporte incondicional durante minha trajetória acadêmica, aos meus amigos e todos que contribuíram de alguma forma em meu sucesso.
Aos meus estimados orientadores Adriano dos Santos e Sidarta Araújo de Lima pela paciência, dedicação e conhecimento compartilhado.
A injeção de soluções poliméricas em reservatórios de petróleo tem sido um dos métodos de recuperação avançada (EOR) mais aplicado nas últimas décadas. O objetivo principal da técnica é aumentar a viscosidade da solução aquosa, corrigindo a razão de mobilidade desfavorável e aumentando a eficiência de varrido e de deslocamento. Por outro lado, o polímero utilizado está sujeito aos efeitos de adsorção e retenção mecânica podendo provocar um dano à formação e, consequentemente, a perda de injetividade. Nesse contexto, se faz necessário desenvolver modelos computacionais robustos e acurados para analisar a viabilidade técnica e propor cenários ótimos para produção do petróleo. Portanto, neste trabalho é proposta uma nova modelagem matemática e computacional aplicada à injeção de soluções poliméricas em meios porosos. O modelo matemático propõe a Lei de Darcy para as fases água e óleo, onde a viscosidade da fase aquosa é função da concentração do polímero. Além disso, a conservação de massa das fases líquidas governa o escoamento bifásico das fases água e óleo e do polímero. O transporte do polímero na fase aquosa é quantificado por uma equação diferencial transiente no regime convectivo-difusivo-reativo, onde os efeitos reativos estão associados aos fenômenos de adsorção e retenção mecânica. Do ponto de vista computacional, a velocidade de Darcy da fase aquosa é obtida analiticamente e a solução discreta para o movimento da fase aquosa e transporte do polímero são obtidas fazendo uso do método dos volumes finitos Central-Upwind, considerando domínios bidimensionais e tridimensionais em malhas não-estruturadas triangulares e tetraédricas. Finalmente, propomos algumas simulações numéricas com o objetivo de analisar a estabilidade e acurácia da formulação semi-discreta proposta para simular numericamente o transporte de polímeros em meios porosos.
Palavras-chave: Método dos Volumes Finitos; Escoamento Bifásico; Transporte de Polí-meros; Método Central-Upwind; Malhas Não–Estruturadas; Retenção Mecânica; Adsorção.
Polymer flooding in oil reservoirs has been one of the enhanced oil recovery (EOR) methods most applied in the last decades. The main objective of the technique is to increase the viscosity of the water, adjusting the unfavorable mobility ratio and increasing sweep and displacement efficiency. On the other hand, the polymer is subject to the effects of adsorption and mechanical retention, which may cause formation damage, and, in consequence, the injectivity loss. In this context, it is imperative to develop robust and accurate computation models in order to analyze the technical feasibility and to propose optimal scenarios for oil recovery. Therefore, in this work, a new mathematical and computational model applied to polymer flooding in porous media is proposed. The mathematical model proposes the Darcy’s Law for the water and oil phases, where the water viscosity is a function of the polymer concentration. Furthermore, conservation laws for the phases govern the two-phase flow and the flow of polymer. The polymer transport in the water phase is modeled by a transient differential equation in a convection-diffusion-reaction regime, where the reactive effects are associated with adsorption and mechanical retention. From a computational perspective, Darcy’s velocity of the water phase is obtained analytically and the discreet solution for the motion of the water and the polymer transport is obtained making use of the finite volume Central-Upwind method, considering 2D and 3D domains with unstructured meshes. Finally, we propose several numerical simulations aiming to analyze the stability and accuracy of the semi-discrete formulation proposed to numerically the transport of polymer in porous media.
Keywords: Polymer flooding; Two-phase flow; Polymer transport; Central-Upwind Method; Unstructured meshes; Mechanical retention; Adsorption
Figura 2.1 – Perfis da Permeabilidade Relativa das Fases Água e Óleo. Fonte: O autor (2020) . . . 12 Figura 3.1 – Volume de Controle Centrado no Elemento para uma Malha Tetraédrica. 17 Figura 3.2 – Volumes de Controle Auxiliares para uma Malha Triangular. Fonte:
(KURGANOV; PETROVA, 2005) . . . 23 Figura 3.3 – Volume de Controle Auxiliar Central Dj para uma Malha Tetraédrica. 24
Figura 3.4 – Volumes de Controle Auxiliares Djk nas Faces do Volume de Controle. 24
Figura 3.5 – Volumes de Controle Auxiliares Ljk nas Arestas do Volume de Controle. 24
Figura 3.6 – Volumes de Controle Auxiliares Ejk nos Vértices do Volume de Controle. 24
Figura 4.1 – Domínio Retangular Bidimensional com Malha Triangular Regular. . . 35 Figura 4.2 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #1 para T=0.25pvi e
T=0.75pvi. . . 37 Figura 4.3 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #2 para T=0.25pvi e
T=0.75pvi. . . 39 Figura 4.4 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #3 para T=0.1pvi e
T=0.3pvi. . . 42 Figura 4.5 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #4 para T=0.1pvi e
T=0.3pvi. . . 45 Figura 4.6 – Domínio Radial com Malha Triangular Não-Estruturada. . . 47 Figura 4.7 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #1 radial para T=0.15pvi. 49 Figura 4.8 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #1 radial para T=0.5pvi. 50 Figura 4.9 – Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #2 radial para T=0.15pvi. 51 Figura 4.10–Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #2 radial para T=0.5pvi. 52 Figura 4.11–Soluções Analíticas e Numéricas do Benchmark #3 radial para T=2.5 ×
10−2pvi e T=7.5 × 10−2pvi. . . 54 Figura 4.12–Curvas do Fator de Recuperação para Injeção de Água e Injeção de
Polímeros. . . 55 Figura 4.13–Domínio Radial Tridimensional com Malha Tetraédrica Não-Estruturada. 56 Figura 4.14–Soluções Analíticas e Numéricas do problema da Injeção de Polímeros
para (a) e (c) T=0.2pvi e (b) e (d) T=0.3pvi, com κ = 0.15, λ = 0.25m−1. 57
Figura 4.15–Soluções Analíticas e Numéricas do problema da Injeção de Polímeros para (a) e (c) T=0.2pvi e (b) e (d) T=0.3pvi, com κ = 0.05, λ = 0.05m−1. 58
Figura 4.16–Soluções Analíticas e Numéricas do problema da Injeção de Polímeros para T=0.2pvi, com λ = 0.05m−1 para (a)-(d), κ = 0.15 para (a) e (c)
Tabela 2.1 – Dados Experimentais para Viscosidade da Solução Aquosa. Fonte: ( CAN-NELLA et al., 1988) . . . 14 Tabela 3.1 – Constantes do método de Runge-Kutta . . . 31 Tabela 4.1 – Dados de Entrada para Solução do Problema de Buckley & Leverett e
Polímero. . . 41 Tabela 4.2 – Dados de Entrada Adicionais para Solução do Problema do Polímero. . 53
Sw, So saturações da água e do óleo.
φ, φs porosidade e fração de volume sólido.
ρw, ρs massa específica das fases água e sólida em (kg/m3).
Vw, Vo velocidades reais das fases água e óleo em (m/s).
VDw, VDo velocidades de Darcy das fases água e óleo.
VD velocidade de Darcy total das fases.
pw, po pressão das fases água e óleo em (P a).
pc pressão capilar em (P a).
p pressão da mistura de fluidos em (P a). K tensor de permeabilidade do meio poroso. krw, kro permeabilidades relativas às fases água e óleo.
µw, µo viscosidade da água ou solução polimérica e viscosidade do óleo em
(P a · s).
swc, sor saturações de água conata e de óleo residual.
λt mobilidade total das fases em (P a · s) −1
. λw, λo mobilidades das fases água e óleo em (P a · s)
−1
. fw, fo funções de fluxo fracionário das fases água e óleo.
C concentração de polímero em massa de polímero por massa de sólido em (kg polímero/kg fase sólida).
D coeficiente de difusão corrigido para fase água.
σ massa de polímero retida mecanicamente por massa de sólido em (kg polímero/kg fase sólida).
Γ massa de polímero adsorvido por massa de sólido em (kg polímero/kg fase sólida).
R fator de retardamento devido à adsorção. Ω domínio espacial do problema.
∂ΩpN subfronteira do domínio com condição de Neumann para a pressão do fluido.
∂ΩpD subfronteira do domínio com condição de Dirichlet para a pressão do fluido.
∂ΩSw
D subfronteira do domínio com condição de Dirichlet para a saturação de
água.
∂ΩCD subfronteira do domínio com condição de Dirichlet para a concentração de polímero.
n normal unitária orientada para fora do domínio Ω Ωj volume de controle tetraédrico
uj solução média no volume de controle.
∂Ωj faces do volume de controle tetraédrico
∆t passo de tempo.
|Ωj| volume do volume de controle tetraédrico.
xj coordenada do centro de massa do elemento.
ain
jk, aoutjk velocidades de propagação entrando e saindo do volume do tetraedro
em cada face triangular. un
j solução reconstruída no volume de controle.
un
jk solução reconstruída no volume de controle vizinho.
hjk área da face do tetraedro.
ljk comprimento da aresta do tetraedro.
Dj volume de controle auxiliar central.
Djk volume de controle auxiliar na face triangular.
Ljk volume de controle auxiliar na aresta.
wn+1 reconstrução da solução média intermediária.
T tempo adimensional em (pvi). ρ raio adimensional.
Tt tempo total de simulação.
rw raio interno do domínio radial em (m).
re raio externo do domínio radial em (m).
1 Introdução . . . 1
2 Modelagem Matemática da Injeção de Polímeros . . . 5
2.1 Modelagem Matemática do Escoamento Bifásico . . . 6
2.2 Modelagem Matemática do Transporte do Polímero . . . 7
2.2.1 Isotermas de Adsorção . . . 9
2.3 Modelagem Matemática da Hidrodinâmica . . . 11
2.3.1 Modelagem da Viscosidade da Fase Aquosa . . . 13
2.4 Sumário das Equações . . . 14
3 Método dos Volumes Finitos Central-Upwind . . . 16
3.1 Formulação Geral do Método dos Volume Finitos . . . 17
3.2 Algoritmo REA . . . 19 3.3 Método Central-Upwind . . . 20 3.3.1 Reconstrução . . . 21 3.3.2 Evolução . . . 21 3.3.3 Projeção . . . 27 3.3.4 Condição CFL . . . 32
3.4 Aplicação à Modelagem da Injeção de Polímero . . . 32
4 Resultados Computacionais . . . 34
4.1 Simulações em Domínio Retangular com Malha Estruturada . . . 35
4.1.1 Benchmark #1 : Problema de Riemann . . . 35
4.1.2 Benchmark #2 : Problema de Riemann Não Homogêneo . . . 38
4.1.3 Benchmark #3 : Problema de Buckley–Leverett . . . 40
4.1.4 Benchmark #4 : Injeção de Polímeros em Meios Porosos . . . 42
4.2 Simulações em Domínios Radiais Bidimensionais com Malhas Não Estru-turadas Triangulares . . . 46
4.2.1 Benchmark #1 : Problema de Riemann . . . 48
4.2.2 Benchmark #2 : Problema de Riemann Não Homogêneo . . . 49
4.2.3 Benchmark #3 : Injeção de Polímeros em Meios Porosos . . . 51
4.3 Simulações em Domínios Radiais Tridimensionais com Malhas Não Estru-turadas Tetraédricas . . . 56
5 Considerações Finais . . . 60
APÊNDICE B Autovalores do Sistema de Equações para Injeção de
1 Introdução
O desenvolvimento de métodos eficientes para recuperação de petróleo constitui um grande desafio e vem sendo amplamente investigados pelas engenharias e ciências aplicadas nas últimas décadas (ROMERO-ZERÓN, 2012; SHENG, 2013). Nesse contexto, a técnica mais amplamente aplicada consiste no processo de recuperação secundária por injeção de água (SHENG et al., 2015; RAFFA; DRUETTA, 2019). Em linhas gerais, a metodologia consiste em injetar água com o objetivo de deslocar o óleo “in place” e assegurar a manutenção da pressão do reservatório ao longo da produção (WILLHITE,
1986). Em particular, em campos de produção offshore, a técnica é bastante atrativa economicamente devido à disponibilidade de água em abundância. Por outro lado, a técnica se torna limitada a medida que a maior mobilidade da água no meio poroso induz a formação de caminhos preferenciais, reduzindo a eficiência de varrido e de deslocamento (GREEN; WILLHITE et al., 1998).
Neste cenário, as técnicas de recuperação avançada de petróleo (EOR) surgem como uma alternativa promissora para aumentar o fator de recuperação do óleo (LITTMANN,
1988; WILLHITE; SERIGHT, 2010). As técnicas EOR são classificadas em métodos térmicos, miscíveis e químicos. Nos métodos térmicos, um fluido aquecido é injetado no reservatório com o objetivo de reduzir a viscosidade do óleo pesado, mitigando as forças viscosas e facilitando o escoamento (ROSA; CARVALHO; XAVIER, 2006). Por sua vez, nos métodos miscíveis, um fluido é injetado, sob condições controladas, se misturando ao hidrocarboneto e aumento a mobilidade do óleo (ROMERO-ZERÓN, 2012). Além disso, nos métodos químicos, a injeção de um fluido é aplicado com o objetivo de alterar as propriedades físico-químicas dos fluidos e da formação rochosa (RAFFA; DRUETTA,2019). Em particular, a técnica de recuperação avançada de petróleo por injeção de soluções poliméricas é classificada como um método químico e tem sido amplamente investigada e bastante utilizada nas últimas décadas (ROMERO-ZERÓN,2012;SHENG,2013;KAMAL et al., 2015).
O objetivo do método de injeção de soluções poliméricas em reservatórios de petróleo é, principalmente, melhorar a eficiência de varrido e de deslocamento da injeção de água. Para isso, polímeros são utilizados para obter uma solução aquosa com maior viscosidade, permitindo que um volume maior de óleo seja deslocado (THOMAS, 2019). Além disso, a solução polimérica promove a mitigação dos caminhos preferenciais, comumente observados na injeção de água, resultando em uma frente de avanço mais uniforme e um breakthrough mais tardio (LAKE, 1989). No entanto, o polímero utilizado está sujeito aos efeitos de adsorção e retenção mecânica. O primeiro fenômeno surge devido à presença de forças de atração entre o sólido e as partículas do polímero (SORBIE,1991). Por sua vez, na retenção
mecânica as partículas de polímeros são filtradas pelo meio poroso devido ao fenômeno de exclusão pelo tamanho (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; WILLHITE; DOMINGUES,
1977;SZABO et al., 1975; COHEN; CHRIST et al., 1986). Nesse sentido, é fundamental que tais fenômenos sejam considerados na modelagem matemática e computacional do problema.
Neste contexto, o objetivo principal desta qualificação é desenvolver uma modelagem matemática e computacional para o transporte de polímeros em meios porosos. O modelo matemático é obtido fazendo uso das leis de conservação para as fases fluidas e polímero. Para tanto, considerando um escoamento bifásico, o meio poroso é saturado por dois fluidos imiscíveis e incompressíveis, água e óleo (LAKE, 1989; DARDAGANIAN et al.,
1958; SHELDON; JR et al., 1959). Para quantificar o movimento do polímero na fase aquosa postulamos o balanço de massa do polímero, obtendo um modelo matemático resultante que consiste de uma equação do transporte em regime convectivo-difusivo-reativo (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; BEAR, 1979). Em particular, os fenômenos de adsorção/dessorção e retenção mecânica conferem a natureza reativa da equação do transporte dos polímeros. Finalmente, a modelagem matemática da hidrodinâmica das fases água e óleo é obtida utilizando a lei de conservação do momento linear das fases fluidas, quantificada fazendo uso da lei de Darcy (NEUMAN, 1977; HASSANIZADEH,
1986;BEAR, 1979).
Por sua vez, a modelagem computacional visa discretizar o modelo matemático con-siderando um método numérico acurado e computacionalmente eficiente para quantificar o movimento das fases fluidas e transporte do polímero. Nesse contexto, a característica hiperbólica das equações representativas do transporte de polímeros exige a aplicação de métodos que tratem com robustez as descontinuidades da solução (LEVEQUE, 2002;
MOUKALLED et al.,2016). Para tanto, os métodos dos volumes finitos têm sido ampla-mente aplicados, pois discretizam a equação diferencial na forma integral conservativa, o que é particularmente vantajoso na discretização de problemas que possuem choques na solução (LEVEQUE, 1992). Nesse contexto, uma alternativa promissora são os esquemas centrais dos volumes finitos, que além de estáveis, permitem reconstruções de alta ordem, o que resulta em soluções bastante acuradas (NESSYAHU; TADMOR, 1990; KURGANOV; TADMOR, 2000b).
Dentre os métodos pertencentes à família de esquemas centrais de volumes finitos, o Upwind se destaca por sua acurácia, eficiência e simplicidade. O método Central-Upwind é obtido fazendo uso do algoritmo REA (KURGANOV; NOELLE; PETROVA,
2001). Para isso, uma reconstrução linear é utilizada, o que garante a característica de alta ordem do método. Nesse contexto, para garantir a acurácia do método, é fundamental propor técnicas para reconstruções lineares robustas em malhas não-estruturadas. É possível encontrar na literatura, diferentes estratégias para computar as reconstruções
da solução (CHRISTOV; POPOV, 2008; ARMINJON; VIALLON; MADRANE, 1998;
DURLOFSKY; ENGQUIST; OSHER, 1992; BARTH, 1993; MAVRIPLIS, 2003; SHIMA; KITAMURA; HAGA, 2013; SMITH et al.,2007). Destacando as reconstruções propostas por Durlofsky, Engquist e Osher (1992), Christov e Popov (2008) eArminjon, Viallon e Madrane (1998) pela simplicidade de implementação e acurácia dos resultados obtidos.
De posse da formulação semi–discreta do método Central-Upwind, realizamos algumas simulações numéricas considerando malhas triangulares e tetraédricas aplicado à modelagem computacional do transporte de soluções poliméricas em meios porosos. Para tanto, simulamos equações hiperbólicas clássicas em um domínio retangular discretizado por uma malha triangular regular, com o objetivo de analisar diferentes reconstruções lineares e verificar a acurácia do método comparado às soluções analíticas disponíveis na literatura (LEVEQUE, 2002; BEDRIKOVETSKY; CARUSO, 2014; BORAZJANI; BEDRIKOVETSKY,2017;RODRIGUES,2001). Concluímos os resultados computacionais, realizando simulações numéricas em um domínio radial aplicado a injeção de soluções poliméricas em meios porosos proposto neste trabalho.
Vale destacar que o modelo estudado nesta dissertação é uma primeira versão do modelo matemático e computacional resultado do trabalho de pesquisa desenvolvido no âmbito do projeto “Modelagem matemática e computacional do dano à formação durante a injeção de polímeros em meios porosos”, financiado pela Petrobras. O objetivo principal do projeto é desenvolver uma modelagem matemática e computacional para injeção de polímeros em reservatórios de petróleo. O modelo matemático desenvolvido nesta dissertação consiste de um caso particular do modelo que está sendo estudado no referido projeto. Neste contexto, fazendo uso do método de volumes finitos Central-Upwind, discretizamos apenas as equações de conservação de massa da água e do polímero. Para modelagem computacional final que será obtida no projeto de pesquisa, serão incorporados os efeitos de adsorção e retenção mecânica sobre a permeabilidade e porosidade do meio poroso (CHOI et al.,2014;CANNELLA et al.,1988;GRATTONI et al.,2004). Além disso, será quantificado o comportamento não-Newtoniano da solução polimérica (CANNELLA et al., 1988; LUO et al.,2016).
A modelagem discutida nesta dissertação tem aplicações na descrição de importantes efeitos que ocorrem nas vizinhanças dos poços, região onde as velocidades são altíssimas se comparadas com as velocidades no restante do reservatório. Durante a injeção de polímeros, tal característica tem grande impacto nas propriedades reológicas e na retenção de polímeros na vizinhança dos poços. Devido a esse fato, um maior refinamento nas proximidades do poço é fundamental para uma descrição realista de importantes efeitos que ocorrem nas vizinhanças dos poços (escala de centímetros/metros) durante a injeção de polímeros. Sendo assim, serão consideradas malhas triangulares e tetraédricas não-estruturadas, que facilitam a discretização de geometrias complexas e o refinamento local.
Este trabalho é organizado da seguinte maneira. Primeiramente, propomos a modelagem matemática da injeção de soluções poliméricas em meios porosos, obtida fazendo uso da equação do balanço de massa para as fases fluidas e para o transporte do polímero, da Lei de Darcy e de correlações empíricas para as propriedades físicas. No capítulo seguinte, descrevemos a discretização do método Central-Upwind em malhas tetraédricas, além de discutir a estratégia de discretização da formulação semi-discreta do método. Por fim, apresentamos e analisamos as simulações numéricas para equações escalares e o sistema do polímero, comparando as diferentes reconstruções. Ao final, trazemos um resumo da análise dos principais resultados obtidos nas simulações e também facilitam o refinamento local.
2 Modelagem Matemática da Injeção
de Polímeros
Neste capítulo, descrevemos o modelo matemático que governa o escoamento bifásico de fluidos imiscíveis, bem como o transporte de polímeros incorporando os efeitos dos fenômenos de adsorção e retenção mecânica, característicos do movimento de polímeros em meios porosos (SORBIE, 1991; WILLHITE; DOMINGUES, 1977; GOGARTY et al.,
1967). O objetivo principal da modelagem matemática é propor um sistema de equações diferenciais que permitam quantificar de forma acurada e realista o movimento das fases fluidas, o transporte do polímero e os fenômenos de retenção e adsorção do polímero, possibilitando analisar a influência dos fenômenos envolvidos nas curvas de produção e injetividade durante a injeção de soluções poliméricas em meios porosos (NEEDHAM; DOE et al., 1987; GLEASURE et al., 1990; SORBIE; ROBERTS et al., 1984).
Neste contexto, o modelo matemático é deduzido fazendo uso das leis de conservação das fases fluidas. Para tanto, considerando um escoamento bifásico, os vazios do meio poroso são preenchidos por dois líquidos água e óleo. As fases fluidas são assumidas imiscíveis e incompressíveis com um meio poroso rígido (LAKE, 1989; DARDAGANIAN et al., 1958;
SHELDON; JR et al.,1959). Para quantificar o movimento do polímero na fase aquosa postulamos o balanço de massa do polímero. O modelo matemático resultante consiste de uma equação do transporte considerando um regime convectivo-difusivo-reativo (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970). Vale destacar que durante a injeção de soluções poliméricas o fenômeno de exclusão pelo tamanho dá origem a retenção mecânica das partículas e as forças de atração/repulsão entre o sólido e as partículas do polímero provocam a adsorção do polímero na superfície da fase sólida (SHAH, 2012;SORBIE,1991). Tais fenômenos conferem a natureza reativa da equação do transporte dos polímeros.
Para a modelagem matemática da hidrodinâmica das fases água e óleo, comumente fazemos uso da lei de conservação do momento linear das fases fluidas. Neste trabalho, a conservação do momento linear é quantificada fazendo uso da lei de Darcy (NEUMAN,
1977; HASSANIZADEH, 1986; LAKE, 1989). A lei de Darcy estabelece uma relação linear entre a velocidade média e o gradiente de pressão de cada fase fluida. Embora tenha sido proposta inicialmente para escoamentos monofásicos, onde a constante de proporcionalidade é dada pela condutividade hidráulica (BEAR, 1979), a lei de Darcy foi estendida para escoamento multifásico incorporando a permeabilidade relativa da fase (HASSANIZADEH; GRAY, 1980). Para quantificar a permeabilidade relativa postulamos clássicas leis constitutivas do tipo Brooks & Corey (COREY, 1994; ALPAK et al., 1999;
pela razão da permeabilidade hidráulica e viscosidade do fluido. A permeabilidade é obtida pela lei de Kozeny–Carman, como comumente é feito na literatura (HUTTEN, 2016; HAN et al., 2019). Além disso, dependência da viscosidade da fase aquosa e concentração do polímero é modelada considerando leis empíricas obtidas a partir de dados experimentais. (CANNELLA et al., 1988; LUO et al., 2016)
2.1
Modelagem Matemática do Escoamento Bifásico
Seja um domínio Ω ∈ R3 com fronteira ∂Ω associado a um meio poroso
homo-geneizado constituído microscopicamente por uma fase sólida e vazios. Os vazios são preenchido por dois líquidos, que assumimos como água e óleo, considerados imiscíveis e incompressíveis. Denotando Sw e So a saturação das fases água e óleo, definido como a
fração de volume do poro ocupado por cada fluido, respectivamente. Considerando o meio poroso rígido, a equação da conservação de massa de cada fluido é dada por (MUSKAT,
1981;DULLIEN, 2012; PARKER, 1989)
φ∂Sw
∂t +∇ · (φSwVw) = 0, (2.1)
φ∂So
∂t +∇ · (φSoVo) = 0, (2.2)
onde φ é a porosidade do meio e Vα com (α = w, o) as velocidades das fases água e óleo,
respectivamente. Assumindo que os vazios estão totalmente preenchidos pelas fases água e óleo, temos que
Sw + So = 1. (2.3)
A velocidade de Darcy de cada fase líquida é definida na forma (BEAR, 1979;
HÖLTING; COLDEWEY, 2019)
VDw := φSwVw e VDo := φSoVo, (2.4)
onde VDα com (α = w, o) são as velocidades de Darcy das fases água e óleo,
respectiva-mente.
óleo são reescritos em termos da velocidade de Darcy na forma
φ∂Sw
∂t +∇ · VDw = 0, (2.5)
φ∂So
∂t +∇ · VDo = 0. (2.6)
Agora, definindo a velocidade de Darcy total VD como a soma das velocidades de
Darcy de cada fase fluida, temos que (MOREL-SEYTOUX et al., 1973)
VD:= VDw + VDo. (2.7)
Somando as equações (2.5)–(2.6) e substituindo as expressões (2.3) e (2.7) obtemos a equação para balanço de massa total para as fases água e óleo, dado por
∇ · VD = 0. (2.8)
2.2
Modelagem Matemática do Transporte do Polímero
Para deduzir uma equação para o transporte de polímero na fase aquosa fazemos uso da lei de conservação de massa do polímero. Denotando ¯C = ¯C(x, t) a concentração aparente do polímero no volume de controle, o balanço de massa é dado por (BEAR; BACHMAT, 2012;LAKE, 1989)
∂ ¯C
∂t +∇ · ¯CVt = Q( ¯C), (2.9)
onde Vt é a velocidade total que o polímero é transportado e Q( ¯C) é o termo de fonte
associado aos fenômenos de adsorção e retenção mecânica do polímero. O fluxo total do polímero é decomposto nos fluxos convectivo e difusivo. Para o fenômeno convectivo o polímero é transportado devido à velocidade da fase fluida (BEAR; BACHMAT, 2012;
LAKE, 1989). Adicionalmente, o fluxo difusivo está associado à existência de gradientes de concentração comumente quantificado pela clássica Lei de Fick (BEAR; BACHMAT,
2012; BEAR,1979). Nesse contexto, denotando C0 = C0(x, t)a concentração real de massa
fluxos convectivo e difusivo na forma
∂
∂t(φSwC
0
) +∇ · (φSwC0Vw) =∇ · (D∇C0) + Q(C0), (2.10)
onde Vw é a velocidade da fase aquosa e D é o tensor de segunda ordem associado ao
coeficiente de dispersão hidrodinâmica. Vale salientar que o tensor D é comumente obtido tomando o coeficiente dispersão hidrodinâmica D? na fração volumétrica da fase aquosa.
Para tanto, consideramos uma relação empírica dada por D = φSwD? (LAKE,1989).
Por sua vez, o termo de fonte na equação (2.10) quantifica a massa de polímero retida/produzida pela fase sólida devido aos fenômenos físico-químicos de adsorção, bem como a massa de polímero retida pelo meio poroso devido ao fenômeno de retenção mecânica. Para o fenômeno de adsorção, postulamos que a taxa de variação da massa do polímero atraído pela superfície da fase sólida depende da concentração do polímero e composição da fase sólida (WILLHITE; DOMINGUES, 1977; SORBIE, 1991). Além disso, a taxa de variação da massa do polímero retido mecanicamente pelo meio poroso depende da concentração do polímero e geometria dos poros. Nesse contexto e fazendo uso da expressão (2.4), a equação (2.10) pode ser reescrita em uma forma mais específica dada por φ∂ ∂t(SwC 0 ) +∇ · (VDwC0) =∇ · (D∇C0)− ∂ ∂t((1− φ)ρsσ)− ∂ ∂t((1− φ)ρsΓ) , (2.11) onde σ := σ(x, t) é a massa de polímero retida mecanicamente por massa da fase sólida e Γ := Γ(x, t) é a massa de polímero adsorvida/dessorvida por massa da fase sólida com (1− φ), ρs sendo a fração de volume e massa específica da fase sólida, respectivamente.
Considerando a fase sólida incompressível e o meio poroso rígido, a equação (2.11) é dada em termos da massa do polímero por massa de água na forma
φ∂ ∂t(SwC) +∇ · (VDwC) =∇ · (D∇C) − ρs(1− φ) ρw ∂σ ∂t − ρs(1− φ) ρw ∂Γ ∂t, (2.12) onde C = C(x, t) é a concentração de massa de polímero por massa de água e ρw é
a massa específica da fase água. O balanço de massa das partículas retidas é obtido considerando que a taxa de variação da massa de polímero retido é proporcional ao fluxo convectivo de polímeros em suspensão na fase aquosa, dado por (SANTOS; ARAUJO,
2015; DÁBROWSKI, 1988)
ρs(1− φ)
∂σ
∂t = λ (σ) ρw|Vw| φSwC, (2.13) onde o fator de proporcionalidade λ = λ (σ) é comumente denominado de coeficiente de retenção. Rearranjando a derivada temporal no termo de adsorção em (2.12) e utilizando a definição (2.4), as equações (2.12) e (2.13) são reescritas na forma
∂ ∂t(φRSwC) +∇ · (VDwC) =∇ · (D∇C) − ρs(1− φ) ρw ∂σ ∂t, (2.14) ∂σ ∂t = λρw ρs(1− φ)|V Dw| C, (2.15)
onde o coeficiente R = R (Sw, C) assume a forma
R (Sw, C) = 1 +
ρs(1− φ)
ρwφSwC
Γ(C, Sw). (2.16)
2.2.1 Isotermas de Adsorção
Durante a modelagem computacional proposta assumimos que a adsorção das partículas poliméricas na superfície da fase sólida é instantânea, podendo ser representada por isotermas de adsorção (SORBIE, 1991; LEE; FULLER, 1985; THENG, 2012). Tal hipótese tem sido considerada por diferentes autores, que mostraram boa concordância com dados experimentais quando isotermas de adsorção são consideradas (CHAUVETEAU; LECOURTIER,1988;LAKATOS; LAKATOS-SZABO; TOTH, 1981; SZABO et al., 1975;
SORBIE, 1991). Entretanto, diversos autores (SORBIE, 1991; RAMIREZ et al., 1980;
SORBIE et al., 1989) argumentam que a adsorção cinética (e não instantânea) pode ser considerada em algumas situações. Particularmente, em casos onde a velocidade é alta (como na vizinhança dos poços), a hipótese de adsorção instantânea pode ser não realista.
Sorbie (1991) sugere que polímeros são moléculas com grande número de segmentos. Por isso, quando adsorvidas, se aderem a vários sítios de adsorção, sendo improvável a dessorção. Em outras palavras, segundo Sorbie (1991) a adsorção pode ser considerada irreversível e dada por:
∂Γ ∂t
= kad(Γmax− Γ) , (2.17)
onde kad é uma constate da taxa de adsorção e Γmax é a capacidade máxima de adsorção.
uma cinética de adsorção do tipo Langmuir, temos:
∂Γ ∂t
= kad(Γmax− Γ) C, (2.18)
É importante destacar que, no caso da equação acima, só teríamos equilíbrio quando a taxa de variação temporal da adsorção tender para zero. Entretanto, nesse caso, o equilíbrio é atingido assintoticamente quando t tende para infinito (ver Santos e Araujo
(2015)).
Neste trabalho serão consideradas apenas isotermas de adsorção. Entretanto, vale salientar que cinéticas de adsorção são análogas às cinéticas de retenção mecânica e simplifica substancialmente a dedução da formulação semi–discreta que será obtida no próximo capítulo, pois remove a não linearidade contida no termo parabólico da equação (2.14) (SORBIE,1991; DANG et al.,2014). Considerando uma isoterma linear, temos que
Γ(C, Sw) = αC com α = κ
ρwSwφ
ρs(1− φ)
. (2.19)
Por sua vez, a isoterma de Langmuir é dada na forma
Γ(C, Sw) = αC 1 + βC com α = κ ρwSwφ ρs(1− φ) e β = γρw C?, (2.20)
onde κ, γ ∈ R são constantes obtidas experimentalmente com {ρw,ρs,(1 − φ),C?} sendo a
massa específica da água, massa específica da fase sólida, fração volumétrica da fase sólida e concentração volumétrica de referência, respectivamente.
Substituindo a isoterma linear (2.19) no coeficiente (2.16) obtemos
R (C, Sw) = (1 + κ) . (2.21)
Analogamente, para a isoterma de Langmuir temos
R (C, Sw) = 1 + κ 1 + βC . (2.22)
2.3
Modelagem Matemática da Hidrodinâmica
Nesta seção, propomos a lei de conservação do momento linear para modelagem matemática da velocidade média das fases água e óleo. Nesse contexto, considerando o escoamento em meios porosos, a lei de conservação do momento linear é comumente quantificada pela Lei de Darcy (BEAR, 1979;NEUMAN, 1977; HASSANIZADEH, 1986). Tal equação é amplamente utilizada para escoamento de fluidos em meios porosos e estabelece uma relação linear entre o fluxo volumétrico e o gradiente de pressão da fase fluida. Portanto, denotando VDw e VDo as velocidades de Darcy das fases água e óleo,
considerando um escoamento bifásico em meios porosos e efeitos gravitacionais desprezíveis, a Lei de Darcy é dada na forma (MUSKAT, 1981;MOREL-SEYTOUX et al., 1973)
VDw(Sw, C) =− Kkrw(Sw) µw(C) ∇p w, (2.23) VDo(So) = − Kkro(So) µo ∇p o, (2.24)
onde K é o tensor de permeabilidade hidráulica e a tripla {krα, µα, pα} com α = {w, o}
denotando as permeabilidades relativas, viscosidades e pressões das fases água e óleo, respectivamente.
As pressões da fase aquosa (pw) e da fase óleo (po) são termodinamicamente
relacionadas através da equação de estado que introduz o conceito de pressão capilar. Portanto, denotando pc= pc(Sw) a pressão capilar, temos que (MOREL-SEYTOUX et al.,
1973)
pc(Sw) = pm− pn. (2.25)
onde pm é a pressão da fase não molhante e pn da fase molhante. Portanto, considerando
que a rocha é molhável à água, temos
pc(Sw) = po− pw. (2.26)
Vale destacar que durante a recuperação avançada de petróleo por injeção de soluções poliméricas, a inclusão do polímero na fase água aumenta significativamente a viscosidade da solução aquosa (SORBIE,1991;FLORY,1953). Nesse contexto, na equação da velocidade de Darcy (2.23), a viscosidade foi modificada µw = µw(C) com o intuito
de incorporar a dependência entre a viscosidade da água e a concentração de polímero. Por sua vez, para as permeabilidade relativa krw = krw(Sw) e kro = kro(So)propomos leis
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Sw 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 krw ;kro krw kro swc (1 ! sor)
Figura 2.1 – Perfis da Permeabilidade Relativa das Fases Água e Óleo. Fonte: O autor (2020)
constitutivas do tipo de Brooks-Corey na forma
krw(Sw) = krw0 Sw− swc 1− sor− swc nw e kro(So) = kro0 So− sor 1− sor− swc no , (2.27) onde {k0
rα, nα} com α = {w, o} são parâmetros obtidos experimentalmente e o par {swc, sor}
as saturação residuais das fases água e óleo, respectivamente (BEAR, 1979; SHOJAEI; GHAZANFARI; MASIHI, 2015). Curvas típicas de permeabilidade relativas em função da saturação da fase aquosa são apresentadas na Figura 2.1 (COREY,1994; BROOKS; COREY, 1964;MENDES,2008)
As funções auxiliares para as mobilidades total e das fases líquidas são definidas na forma λw(Sw, C) := krw(Sw) µw(C) , (2.28) λo(So) := kro(So) µo , (2.29) λt(Sw, C) := krw(Sw) µw(C) +kro(1− Sw) µo , (2.30)
Para modelagem matemática proposta, assumimos os efeitos capilares desprezíveis, isto é, pw = po = p, como comumente é feito para o escoamento bifásico em meios porosos
(LAKE, 1989; CHEN; HUAN; MA,2006;ROSA; CARVALHO; XAVIER, 2006). Porém, é importante salientar que tal hipótese pode ser imprecisa no contexto de injeções de soluções poliméricas, pois existem fenômenos complexos adicionais que podem influenciar fortemente as forças capilares (BROSETA et al.,1995;BARREAU et al.,1997). Como por exemplo, a molhabilidade da rocha e a tensão interfacial dos fluidos podem ser alteradas na presença da molécula do polímero, o que implica diretamente sobre a pressão capilar (BARREAU et al., 1997; BARREAU et al., 1999). Além disso, em alguns cenários, o aumento de pressão na vizinhança do poço devido à perda de injetividade pode resultar no desprendimento do óleo residual (JR et al.,2006;KOH et al., 2015). Nesse contexto, as partículas de óleo desprendidas podem causar um dano à formação adicional, afetando a pressão capilar a medida que os diâmetros do poros mudam (JR et al., 2006; KOH et al.,2015). No entanto, no modelo proposto, consideramos que as forças viscosas dominam o escoamento, se sobrepondo às forças capilares. Para que isso seja válido, admitimos a hipótese de que a velocidade do fluido é alta (SORBIE; CLIFFORD, 1988; GUO et al.,
2019; MYKKELTVEDT,2014;SERIGHT et al.,2012).
Portanto, para dedução de uma expressão para velocidade de Darcy total, fazemos uso das definições (2.28)–(2.30) e substituindo as igualdades (2.23)–(2.24) na definição (2.7) obtemos
VD =−λtK∇p. (2.31)
Definimos as funções de fluxo fracionário da fase água (fw) e da fase óleo (fo) na
forma (CHAVENT; JAFFRÉ, 1986)
fw(Sw, C) := λw(Sw, C) λt e fo(So) := λo(So) λt . (2.32)
Portanto, fazendo uso das definições (2.32) e substituindo (2.28)–(2.30) em (2.23)– (2.24) temos que
VDw = fwVD e VDo= foVD. (2.33)
2.3.1 Modelagem da Viscosidade da Fase Aquosa
Para modelagem da reologia da fase aquosa devemos propor uma função que quantifique a dependência da viscosidade da fase aquosa com a concentração de polímero. Para tanto, partimos dos dados experimentais disponíveis na Tabela 2.1 proposto por
Cannella et al.(1988), que estima a viscosidade da fase aquosa para diferentes concentrações do polímero (CANNELLA et al., 1988; LUO et al.,2016).
C (ppm) µw (cp) 0 1,0 300 8,6 600 26,0 1200 102,0 1600 1000,0
Tabela 2.1 – Dados Experimentais para Viscosidade da Solução Aquosa. Fonte: ( CAN-NELLA et al., 1988)
De posse dos dados experimentais disponíveis na Tabela 2.1, utilizamos o método dos mínimos-quadrados para obter uma função aproximante que quantifique a dependência da viscosidade e concentração de polímero. Postulando uma função exponencial, o modelo matemático para reologia da fase aquosa é dada na forma
µw(C) = µw 0e(1,856×10
−3C)
, (2.34)
onde µw 0 é a viscosidade da água dada em P a · s e C é dado em ppm.
2.4
Sumário das Equações
Para obter o modelo matemático foi consideradas as hipóteses que o meio poroso é rígido, os fluidos são imiscíveis e incompressíveis, os efeitos gravitacionais e a pressão capilar são desprezíveis, o fluido polimérico é Newtoniano, a adsorção ocorre em equilíbrio termodinâmico e que os fenômenos de adsorção e retenção mecânica não alteram as propriedades físicas do meio poroso. Portanto, o modelo matemático consiste das equações para o balanço de massa total (2.8), velocidade de Darcy total (2.31), equação para o escoamento bifásico (2.5), equação do transporte do polímero (2.14) e equação para cinética de retenção (2.15). O modelo matemático resultante para o processo de recuperação avançada de petróleo por injeção de soluções consiste em: dados os parâmetros de entrada físico–químicos do modelo {ρw, ρs, µo, φ, (1 − φ), sor, swc, kro0 , krw0 , no, nw}, as funções
σ(x, t)} satisfazendo ∇ · VD= 0, VD =−λtK∇p, φ∂Sw ∂t +∇ · (fwVD) = 0, ∂ ∂t(φRSwC) +∇ · (fwVDC) = ∇ · (D∇C) − ρs(1− φ) ρw ∂σ ∂t, ∂σ ∂t = ρw ρs(1− φ) λ (σ) fw|VD| C, (2.35a) (2.35b) (2.35c) (2.35d) (2.35e)
com R = R(C, Sw)definido pela expressão (2.16) e µw = µw(C) por (2.34) na forma
R(C, Sw) = 1 + ρs(1− φ) ρwφSwC Γ(C, Sw) e µw(C) = µw 0e(1,856×10 −3C) , (2.36)
sujeito às condições iniciais
Sw(x, 0) = Sw0(x), C(x, 0) = C0(x), σ(x) = σ0(x) (2.37) e condições de contorno p(x, t) = 0 sobre ∂ΩpD, −λt(Sw, C) K∇p · n = ¯Q(x) sobre ∂ΩpN, Sw(x) = s(x) sobre ∂ΩSDw, C(x) = c(x) sobre ∂ΩCD, (2.38) onde ∂Ωp D ∪ ∂Ω p
N = ∂Ω e n a normal unitária com ¯Q(x) denotando uma vazão prescrita,
s(x), c(x) a saturação de água e concentração de polímero prescritas, respectivamente, e ∂ΩSw,C
D =x ∈ ∂Ω p
N : ¯Q(x) < 0
3 Método
dos
Volumes
Finitos
Central-Upwind
Neste capítulo, deduzimos o método numérico aplicado a uma equação diferencial hiperbólica, adotando uma equação na forma não conservativa generalizada, representativa das equações para o movimento das fases e transporte do polímero em meios porosos. A discretização se baseia no método de alta ordem dos volume finitos Central-Upwind em malhas não-estruturadas (KURGANOV; PETROVA,2005; KURGANOV; NOELLE; PETROVA, 2001; CHRISTOV; POPOV, 2008).
O objetivo principal é derivar um modelo discreto estável e acurado aplicado às equações para o escoamento bifásico e transporte do polímero obtidas no capítulo 2. As equações discretas possibilitarão analisar a acurácia e eficiência do método dos volumes finitos Central-Upwind em simular numericamente cenários para injeção de polímeros em meios porosos, considerando domínios tridimensionais em malhas tetraédricas não estruturadas. Para tanto, inicialmente deduzimos a formulação geral clássica do método dos volumes finitos para equações não conservativas, discutindo algumas estratégias de discretização e fazendo as considerações iniciais do método Central-Upwind (KURGANOV; PETROVA, 2005;KURGANOV; NOELLE; PETROVA,2001). Em seguida, descrevemos as etapas do algoritmo REA posposto por Godunov (1959) que será utilizado para dedução do método Central-Upwind (GODUNOV, 1959; KURGANOV; TADMOR,2000a).
Nesse contexto, de posse da solução inicial reconstruímos a solução dentro de cada volume finito utilizando uma função polinomial linear, fazendo uso dos métodos que denominaremos Reconstrução Mínimos Quadrados (MQ), Reconstrução Interpolante dos Vizinhos (ITPVZ) e Reconstrução Plano de Ângulo Mínimo (MAPR) (ARMINJON; VIALLON; MADRANE,1998; DURLOFSKY; ENGQUIST; OSHER, 1992; CHRISTOV; POPOV,2008). Em seguida, a equação diferencial hiperbólica é discretizada nos volumes auxiliares, comumente denominados volumes duais (KURGANOV; TADMOR, 2000a;
NESSYAHU; TADMOR,1990). A solução no centro de cada volume de controle é obtida utilizando uma definição de média. Vale destacar que, utilizando a metodologia proposta por Kurganov, Noelle e Petrova (2001), será deduzida uma formulação semi-discreta para o método Central-Upwind que consiste de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (KURGANOV; NOELLE; PETROVA,2001). Portanto, para discretização da EDO resultante utilizamos o método de Runge-Kutta de alta ordem (KURGANOV; TADMOR,2000a;KURGANOV; NOELLE; PETROVA,2001). Finalmente, o método dos volumes finitos Central-Upwind é aplicado ao sistema de equações diferenciais proposto para modelagem da injeção de polímeros em meios porosos deduzidos no capítulo 2.
3.1
Formulação Geral do Método dos Volume Finitos
Para dedução do método dos volumes finitos Central-Upwind adotamos uma equação diferencial hiperbólica na forma não conservativa generalizada. Vale destacar, que a forma da equação diferencial proposta é representativa das equações (2.35c) e (2.35d), que modelam o escoamento da fase aquosa e transporte do polímero, deduzida no capítulo anterior. Denotando Ω ⊂ R3 o domínio com o intervalo de tempo (0, T ] ⊂ R, o problema
modelo consiste em: Encontrar u = u(x, t) : Ω × (0, T ] → R sujeito à equação diferencial não conservativa dada na forma
∂u
∂t +∇ · F(u) = q(u) em Ω × (0, T ]. (3.1) onde F : Im{u} → R3 o fluxo convectivo e q : Im{u} → R o termo de fonte.
Ωj
Figura 3.1 – Volume de Controle Centrado no Elemento para uma Malha Tetraédrica. Para obter a discretização da equação diferencial utilizando os métodos clássicos dos volumes finitos centrados no elemento (cell centered), o problema modelo (3.1) é reescrito na forma integral dentro do volume de controle genérico Ωj, construído em torno de cada
ponto da malha, tal como apresentado na Figura (3.1). Tal fato assegura a característica conservativa do método, o que agrega acurácia no cômputo da aproximação numérica de equações diferenciais (LEVEQUE, 2002; MOUKALLED et al., 2016). Denotando Ωj o
volume de controle construído em torno de cada ponto xj da malha (ver Figura (3.1)),
integrando o problema modelo (3.1) no volume de controle e intervalo de tempo [tn, tn+1],
temos que tn+1 Z tn Z Ωj ∂u ∂t +∇ · F dΩdt = tn+1 Z tn Z Ωj q(u)dΩdt. (3.2)
Aplicando o teorema de Gauss, obtemos Z Ωj tn+1 Z tn ∂u ∂tdtdΩ + tn+1 Z tn Z ∂Ωj F· ndSdt = Z Ωj tn+1 Z tn q(u)dtdΩ, (3.3)
onde n é o vetor normal exterior à fronteira do volume de controle.
Fazendo uso do Teorema Fundamental do Cálculo na derivada temporal, temos que Z Ωj un+1− un dΩ + tn+1 Z tn Z ∂Ωj F· ndSdt = Z Ωj tn+1 Z tn q(u)dtdΩ. (3.4)
Para avaliar as integrais temporais na equação integral (3.4), se faz necessário propor algum método de integração numérica obtendo a função de fluxo e termo de fonte nos tempos tn+1 e tn. Neste contexto, os métodos de integração que envolvam o tempo
tn+1 dão origem à família de métodos denominados implícitos (MOUKALLED et al., 2016;
FEISTAUER et al.,2003). Por outro lado, os métodos de integração que se restringem ao tempo tn dão origem à família de métodos denominados explícitos (MOUKALLED et al.,
2016; FEISTAUER et al., 2003). Por exemplo, podemos avaliar as integrais temporais da função de fluxo e do termo de fonte usando a regra de integração do retângulo a partir do tempo tn, o que resulta em um método explícito dado por
Z Ωj un+1− un dΩ + ∆t Z ∂Ωj F (un(x))· ndS = ∆t Z Ωj qn(x)dΩ. (3.5)
Definimos a solução média da variável em cada volume de controle na forma
uj := 1 |Ωj| Z Ωj u(x)dΩ, (3.6)
onde |Ωj| é o volume do volume de controle Ωj.
Agora, assumimos o termo de fonte constante dentro de cada volume e substituindo (3.6) em (3.5), obtemos a formulação geral dos métodos explícitos, dada por
un+1j = unj − ∆t |Ωj|
Z
∂Ωj
As diferentes formulações numéricas para o método dos volumes finitos explícitos, estão fortemente associadas à integração numérica precisa do fluxo sobre a fronteira do volume de controle (LEVEQUE, 1992). Portanto, na formulação acima a integral do fluxo é intencionalmente mantida na forma integral. Em geral, os métodos explícitos são computacionalmente eficientes, tendo em vista que podem ser aplicados para sistemas de equações hiperbólicas sem a necessidade de resolução de um sistema linear (FREIRE; SILVEIRA; FERREIRA,2012). Por outro lado, os métodos explícitos são condicionalmente estáveis com a condição de estabilidade regida pela condição de Courant-Fredrichs-Lewy (FEISTAUER et al., 2003; LEVEQUE, 2002).
Além disso, os métodos que utilizam a estrutura da formulação explícita (3.7) se baseiam na aproximação da integral do fluxo sobre a fronteira do volume de controle. Tal estratégia se torna mais simples, porém sua maior desvantagem está no fato que a aproximação pode resultar em métodos instáveis ou imprecisos numericamente (LEVEQUE,
2002). Por exemplo, podemos propor uma aproximação do fluxo através de uma média aritmética das soluções do volume de controle com os respectivos vizinhos. No entanto, a forma discreta para o método será numericamente instável (LEVEQUE, 2002). Citando outro exemplo, o método de Lax-Wendroff é obtido fazendo uso de uma expansão em série de Taylor (MISHRA, 2010; LEVEQUE, 2002). Embora, a série de Taylor melhore a acurácia dos métodos, os termos de alta ordem da série podem gerar oscilações espúrias, especialmente em torno de descontinuidades (MISHRA, 2010; LEVEQUE,2002).
Uma alternativa bastante eficiente para discretização de equações hiperbólicas con-siste nos métodos baseados no algoritmo REA (Reconstruct–Evolve–Average) (GODUNOV,
1959). O algoritmo REA é o ponto de partida para uma extensa família de métodos de volumes finitos, incluindo os métodos de alta-ordem (HASLE; LIE; QUAK, 2007). Nesse contexto, destacamos o método (KT) proposto por Kurganov e Tadmor (2000a), bem como o método Central-Upwind proposto por Kurganov, Noelle e Petrova(2001) que são baseado no algoritmo REA (KURGANOV; TADMOR, 2000a; KURGANOV; NOELLE; PETROVA, 2001). Na próxima subseção, discutimos o método dos volumes finitos explí-cito Central-Upwind que será utilizado para discretização do modelo matemático para o movimento das fases fluidas e transporte de polímeros em meios porosos.
3.2
Algoritmo REA
Nesta seção, descrevemos o algoritmo REA, do inglês Reconstruct-Evolve-Average, inspirado pelo método proposto por Godunov (1959) (HIRSCH, 1990;GODUNOV, 1959). O algoritmo REA é uma estratégia que fundamenta uma vasta família de métodos numéricos que são caracterizados pelas propriedades ótimas de estabilidade e acurácia (LEVEQUE,
dos esquemas centrais, que utiliza uma interpolante constate por partes no interior de cada volume de controle (NESSYAHU; TADMOR,1990). Por sua vez,Nessyahu e Tadmor(1990) estenderam essas ideias, originando o método NT, o qual introduz interpolantes lineares por partes na reconstrução da solução. Mais recentemente, a reconstrução de alta-ordem foi aplicada na dedução do método construído por Kurganov e Tadmor (2000a) (KT) e
Kurganov, Noelle e Petrova (2001) (Central-Upwind), que se baseiam nas informações locais do problema de Riemann para evoluir a solução. Nesse sentido, esses métodos se mostraram mais acurados que os anteriores, que usavam informações globais para evolução.
Nesse contexto, para construir o método de alta–ordem Central Upwind baseado em esquemas centrais (cell centered) adotamos os seguintes passos do algoritmo REA: § Passo R(reconstruct): Fazendo uso da solução média no volume de controle ¯un
j e
uma aproximação para o gradiente da solução ∇u(xj, tn), reconstruímos a solução u (x, tn)
dentro de cada volume de controle, fazendo uso de um polinômio linear un
j(x) na forma u (x, tn)≈ ne X j=1 unj(x)χj(x)≈ ne X j=1 ¯ unj +∇¯unj · (x − xj) , ∀x ∈ Ωj, (3.8)
onde xj é a coordenada do centro de massa do volume de controle, ∇¯unj é o gradiente da
solução média, ne é o número total de volumes de controle do domínio e χj é uma função
característica tal que χj := 1 se x ∈ Ωj, χj := 0 caso contrário.
§ Passo E (evolve): Evoluímos a equação diferencial sobre a malha auxiliar ou dual, utilizando como dado inicial as reconstruções obtidas no Passo Reconstrução (R).
§ Passo A (average): As soluções aproximadas nos volumes duais obtidas no Passo Evolução (E) são reconstruídas utilizando a interpolante proposta no Passo Reconstrução (R) e integradas sobre o volume de controle original.
3.3
Método
Central-Upwind
Nesta seção, descrevemos a discretização do problema modelo (3.1) fazendo uso do método Central-Upwind para malhas tetraédricas (KURGANOV; PETROVA, 2005). Para tanto, utilizamos o algoritmo REA discutido na seção anterior. Vale destacar, que na etapa da projeção obtemos uma formulação final na forma semi-discreta, onde a contribuição dos volumes de controle duais nos vértices e nas arestas do tetraedro são desprezadas (KURGANOV; NOELLE; PETROVA, 2001; KURGANOV; PETROVA, 2005).
3.3.1 Reconstrução
Denotando Ω ⊂ R3 um domínio de interesse e Ω
j uma partição tetraédrica do
domínio (volume de controle) construída em torno do centro de massa do tetraedro xj
tal que Ω = ∪ne
j=1Ωj e Ωi∩ Ωj =∅, ∀i 6= j com ne o número de partições do domínio (ver
Figura 3.1). Dentro de cada volume de controle Ωj construímos uma interpolante linear
definida na forma (3.8).
Para obter as aproximações do gradiente da solução (3.8), se faz necessário o uso de reconstruções que considerem a complexidade da geometria dos volumes de controle triangulares/tetraédricos. Diferentemente da discretização em malhas ortogonais, onde a regularidade da malha permite o uso da reconstrução MinMod, em malhas triangula-res/tetraédricas existem métodos dedicados ao cômputo do gradiente. Nesse contexto, um dos métodos pioneiros aplicados a malhas triangulares foi desenvolvido por Durlofsky, Engquist e Osher (1992), o qual vamos denotar por Interpolante dos Vizinhos (ITPVZ) (DURLOFSKY; ENGQUIST; OSHER, 1992). Além desse, uma extensão foi proposta por Christov e Popov (2008) comumente denominado Minimum-Angle Plane Reconstruc-tion (MAPR) (CHRISTOV; POPOV, 2008). Uma característica dos métodos (ITPVZ) e (MAPR) é que ambos dispensam uso de limitadores, pois a construção do método garante a monotonicidade da reconstrução (CHRISTOV; POPOV,2008;DURLOFSKY; ENGQUIST; OSHER, 1992). Uma outra alternativa promissora é o método denominado Mínimos Quadrados, denotado por (MQ). Tal método demonstrou bons resultados nas simulações propostas por Arminjon, Viallon e Madrane (1998) e Dahoe e Cant (2004). Uma breve discussão das tecnicidades envolvidas em cada método está disponibilizada no apêndice A.
3.3.2 Evolução
Uma vez obtidas as funções interpolantes em cada volume de controle no passo da reconstrução (3.8), procedemos com a discretização da equação diferencial (3.1) nos volumes de controle auxiliares. Para tanto, tais volumes são construídos utilizando as informações da propagação das ondas do problema de Riemann (KURGANOV; TADMOR, 2000b;
KURGANOV; NOELLE; PETROVA, 2001). Em um sistema de equações diferenciais hiperbólicas, as ondas se propagam segundo um dado inicial descontínuo com velocidades de propagação definidas pelos autovalores da matriz jacobiana da função de fluxo (TORO,
2013; TRANGENSTEIN, 2007). Para definir os limites dos volumes de controle auxiliares, fazemos uso das velocidades de propagação em cada face dos tetraedros Ωj (ver Fig.
3.1)(KURGANOV; TADMOR, 2000b; KURGANOV; NOELLE; PETROVA, 2001). A dificuldade maior na obtenção dos volumes auxiliares em malhas tetraédricas é devido ao surgimento de poliedros não convexos nos vértices e arestas dos volumes, o que não é observado em malhas ortogonais (KURGANOV; TADMOR, 2000b; KURGANOV;
NOELLE; PETROVA,2001). Portanto, denotando un
j(x)as reconstruções lineares obtidas
nos volumes de controle Ωj com unjk(x) as reconstruções nos volumes vizinhos Ωjk, as
velocidades de propagação em cada face triangular do volume de controle Ωj são definidas
na forma ainjk :=− min min M ∈Ωj∩Ωjk λ1Vjk unj(M ) , min M ∈Ωj∩Ωjk λ1Vjk unjk(M ) , 0 , (3.9) aoutjk := max max M ∈Ωj∩Ωjk λNVjk unj(M ) , max M ∈Ωj∩Ωjk λNVjk unjk(M ) , 0 , (3.10)
onde λ1 ≤ · · · ≤ λN são os N auto-valores da matriz jacobiana e Vjk o vetor fluxo normal
à face, dado por
Vjk(w) :=
∂F(w)
∂u · n, (3.11)
onde n é vetor unitário normal à face e w é o argumento da função.
Comumente, ao invés de considerarmos todos os valores M ∈ Ωj∩ Ωjk ao longo das
faces dos volumes de controle, Kurganov e Petrova (2005) propõe avaliar a solução apenas no centro de massa da face. Portanto, denotando Mj(k)o centro de massa do triângulo
Ωj ∩ Ωjk, as expressões (3.9)–(3.10) são reescritas na forma (KURGANOV; PETROVA,
2005)
ainjk =− minλ1Vjk unj (Mj(k)) , λ1Vjk unjk(Mj(k)) , 0 (3.12)
aoutjk = maxλNVjk unj (Mj(k)) , λNVjk unjk(Mj(k)) , 0 (3.13)
De posse das velocidades de propagação (3.12)–(3.13), os volumes de controle auxiliares são definidos fazendo o produto entre o passo de tempo ∆t e as velocidades de propagação construídas em torno das faces dos volumes de controle. Na Figura 3.2 apresentamos um típico esboço dos volumes de controle auxiliares construídos para o método Central–Upwind em malhas triangulares (KURGANOV; PETROVA, 2005). Na figura podemos perceber que na construção do volume auxiliar surgem: um volume de controle central triangular Dj; três volumes de controle retangulares laterais em torno de
cada aresta do triângulo Djk := D+jk∪ D −
jk; e três polígonos em cada vértice do triângulo
Ejk := Ejk+ ∪ E −
jk, onde os sobrescritos + e − denotam à fração do volume auxiliar inscrita
e circunscrita no volume de controle Ωj, respectivamente.
A construção dos volumes auxiliares em domínios tridimensionais com malhas tetraédricas consiste de uma extensão do esquema proposto em domínios bidimensionais
com malhas triangulares. Nas Figuras (3.3)–(3.6) apresentamos os volumes auxiliares que surgem em domínios tridimensionais com malhas tetraédricas. Na Figura (3.3) temos o volume de controle tetraédrico central Dj. Além desse, temos quatro volumes de controle
na forma de um prisma triangular em torno de cada face do tetraedro Djk (ver figura
(3.4)), seis poliedros nas arestas do tetraedro Ljk (ver figura (3.5)) e quatro poliedros em
cada vértice do tetraedro Ejk (ver figura (3.6)).
Dj Dj2 D−j1 D+ j1 Ej1 Ej2 Ej3
Figura 3.2 – Volumes de Controle Auxiliares para uma Malha Triangular. Fonte: ( KUR-GANOV; PETROVA, 2005)
Os volumes de controle nas faces inscrito e circunscrito |D+ jk| e |D
−
jk|, bem como o
volume total |Djk| podem ser calculadas na forma
|D+ jk| = ∆ta in jk(hjk− O(∆t)) , (3.14) |D− jk| = ∆ta out jk (hjk − O(∆t)) , (3.15) |Djk| = |D+jk| + |D − jk| = ∆t a in jk+ a out jk (hjk− O(∆t)) , (3.16)
onde hjk é a área da face e O (∆t) é um termo que depende do tempo e das velocidades
de propagação que surgem dos volumes auxiliares das arestas e vértices. Na figura (3.4), observamos uma representação da construção de dois volumes auxiliares nas faces. Perceba no detalhe da projeção do volume auxiliar que a dimensão da altura do prisma triangular é obtida pelo produto do ∆t e a soma das velocidades de propagação. Utilizando a igualdade (3.16) temos que
|Djk| = ∆t ainjk+ a out
jk hjk− O (∆t)2 . (3.17)
Dj
Figura 3.3 – Volume de Controle Auxiliar Central Dj para uma Malha
Tetraédrica. Djk ∆ t a in jk + a o u t j k
Figura 3.4 – Volumes de Controle Auxilia-res Djk nas Faces do Volume
de Controle. Ljk ljk − O (∆ t) O(∆t) O (∆ t)
Figura 3.5 – Volumes de Controle Auxilia-res Ljk nas Arestas do Volume
de Controle. O (∆ t) O(∆t) O (∆ t) Ejk
Figura 3.6 – Volumes de Controle Auxili-ares Ejk nos Vértices do
Balbás e Qian (2009), os volumes dos volumes de controle das faces Ljk e dos vértices Ejk
assumem as seguintes estimativas
|L+ jk| = O (∆t) 2 , |L−jk| = O (∆t) 2 , |Ljk| = O (∆t)2 , (3.18) |E+ jk| = O (∆t) 3 , |E− jk| = O (∆t) 3 e |Ejk| = O (∆t)3 . (3.19)
Para ilustrar as igualdades acima, na figura (3.5) apresentamos o detalhe do volume auxiliar da aresta e a projeção de um corte coplanar à base. Perceba que a base do poliedro das arestas é limitada por retângulos com áreas da ordem O ((∆t)2). Nesse contexto, a
sobreposição do retângulos da base pode ser vista com um limite superior (upper bound) da base do poliedro. Portanto, se a área de cada um dos três retângulos é O ((∆t)2) a
área sobreposta total também é O ((∆t)2). Consequentemente, podemos concluir que o
volume auxiliar na aresta é O ((∆t)2). De maneira análoga, consideramos a superposição
nos poliedros que compõem o volume auxiliar do vértice na figura (3.6) como sendo um limite superior. Dessa forma, observando que tais poliedros têm a mesma base dos volumes auxiliares e que as alturas são O(∆t) (ver detalhe da figura (3.6)), podemos concluir que cada poliedro é O ((∆t)3), assim como o volume auxiliar sopreposto no vértice.
Por sua vez, o volume do volume de controle central |Dj| é calculado na forma
|Dj| = |Ωj| − 4 X k=1 |D+ jk| − 6 X k=1 |L+ jk| − 4 X k=1 |E+ jk|. (3.20)
Substituindo as expressões (3.14), (3.18) e (3.19) em (3.20) obtemos
|Dj| = |Ωj| − ∆t 4
X
k=1
ainjkhjk− O (∆t)2 . (3.21)
De posse dos volumes de controle auxiliares Dj, Djk, Ljk e Ejk, podemos obter a
solução evoluída associada a formulação dos volumes finitos Central–Upwind (KURGANOV; PETROVA,2005). Seguindo as etapas do processo de evolução, a equação diferencial é integrada no interior dos volumes de controle auxiliares. Inicialmente, discretizamos o problema modelo (3.1) sobre os volumes de controles nas faces Djk. Portanto, realizando
solução média evoluída ¯wn+1 em cada volume auxiliar das faces, dada por ¯ wn+1(Djk) := ¯wn+1|Djk = 1 |Djk| Z D+jk unj(x)dΩ + Z Djk− unjk(x)dΩ − ∆t |Djk| Z ∂Djk F(unj(x))· nds − Z D+jk qnj(x)dΩ− Z Djk− qjkn(x)dΩ . (3.22)
Analogamente, evoluindo o problema modelo (3.1) nos volumes de controles das arestas Ljk temos que
¯ wn+1(Ljk) := ¯wn+1|Ljk = 1 |Ljk| Z L+jk unj(x)dΩ + Z L−jk unjk(x)dΩ − ∆t |Ljk| Z ∂Ljk F(unj(x))· nds − Z L+jk qnj(x)dΩ− Z L−jk qjkn(x)dΩ . (3.23)
Além disso, evoluindo o problema modelo (3.1) nos volumes de controles dos vértices Ejk obtemos ¯ wn+1(Ejk) := ¯wn+1|Ejk = 1 |Ejk| Z Ejk+ unj(x)dΩ + Z Ejk− unjk(x)dΩ − ∆t |Ejk| Z ∂Ejk F(unj(x))· nds − Z Ejk+ qjn(x)dΩ− Z Ejk− qjkn(x)dΩ . (3.24)
Finalmente, evoluímos a equação no volume de controle central Dj dada na forma
¯ wn+1(Dj) := ¯wn+1|Dj = 1 |Dj| Z Dj unj(x)dΩ− ∆t |Dj| Z ∂Dj F(unj(x))· nds + ∆t |Dj| Z Dj qjn(x)dΩ. (3.25)
As equações integrais (3.22)–(3.25) representam as soluções evoluídas intermediárias construídas em cada volume auxiliar (ver Figuras (3.3)–(3.6)). Vale ressaltar que as integrais serão avaliadas no próximo passo do algoritmo, onde deduziremos a formulação semi-discreta.
3.3.3 Projeção
De posse das soluções intermediárias (3.22)–(3.25) obtidas nos volumes de controle auxiliares na seção 3.3.2, calculamos a solução final un+1
j projetando as reconstruções dos
volume auxiliares nos volumes de controle reais (KURGANOV; NOELLE; PETROVA,2001;
KURGANOV; PETROVA,2005). Para tanto, utilizando a expressão (3.8), construímos uma interpolante polinomial por partes wn+1 = wn+1(x) dentro de cada volume auxiliar.
A solução final un+1
j é obtida realizando uma média definida na forma
un+1j := 1 |Ωj|
Z
Ωj
wn+1j (x)dΩ. (3.26)
Seguindo o procedimento proposto por Kurganov e Petrova (2005), deduzimos uma formulação semi-discreta para o método. Tal procedimento resulta numa formulação numérica mais simples de implementar, evitando o esforço de obter as reconstruções e integrais sobre os volumes auxiliares dos vértices e arestas (KURGANOV; PETROVA,
2005). Para dedução da formulação semi-discreta, partimos da definição clássica da derivada dada por
duj
dt := lim∆t→0
un+1j − unj
∆t . (3.27)
Combinando as expressões (3.26)–(3.27) com (3.20), reescrevendo o domínio de integração em termos dos volumes de controle auxiliares (ver Figuras (3.3)–(3.6)), temos que duj dt = lim∆t→0 1 ∆t 1 |Ωj| 4 X k=1 Z D+jk wn+1(x)dΩ + 1 |Ωj| 6 X k=1 Z L+k wn+1(x)dΩ + 1 |Ωj| 4 X k=1 Z Ek+ wn+1(x)dΩ + 1 |Ωj| Z Dj wn+1(x)dΩ− unj . (3.28)
Na expressão acima para avaliar a integral sobre Dj, assumindo uma interpolante
wn+1 constante por parte, no volume de controle tetraédrico central temos que
Z
Dj
wn+1dΩ = |Dj| ¯wn+1(Dj) . (3.29)
Utilizando a estimativa (3.18) e (3.19) obtida por Kurganov e Petrova (2005) e
Balbás e Qian (2009), as integrais nos volumes de controle dos vértices E+ k e L + k assumem a forma Z L+jk wn+1(x)dΩ =O (∆t)2 e Z Ejk+ wn+1(x)dΩ =O (∆t)3 . (3.30)
Além disso, utilizando o fato que |D+
jk| ≈ O (∆t)
dada pela expressão (3.14) e que o gradiente da solução só depende da solução média e não depende de ∆t, Kurganov, Noelle e Petrova (2001) e Kurganov e Petrova (2005) propõem que a integral do termo do gradiente da função interpolante assume a estimativa O ((∆t)2). Portanto, considerando
uma interpolante linear wn+1 = wn+1(x)as integrais sobre D+
jk em (3.28) assumem a forma
Z
D+jk
wn+1(x)dΩ = D+jk w¯n+1(Djk) +O (∆t)2 . (3.31)
Substituindo as igualdades (3.29)–(3.31) em (3.28) e tomando o limite ∆t → 0, obtemos duj dt = 4 X k=1 lim ∆t→0 Djk+ ∆t|Ωj| ¯ wn+1(Djk) ! + lim ∆t→0 1 ∆t |Dj| |Ωj| ¯ wn+1(Dj)− unj . (3.32)
Perceba que as integrais referentes aos volumes de controle auxiliares nas arestas e nos vértices foram desprezadas no limite ∆t → 0 uma vez que são O ((∆t)2) e O ((∆t)3),
respectivamente. Além disso, utilizando a expressão (3.14), a equação (3.32) é reescrita na forma duj dt = 1 |Ωj| 4 X k=1 ainjkhjk lim ∆t→0w¯ n+1(D jk) + lim ∆t→0 1 ∆t |Dj| |Ωj| ¯ wn+1(Dj)− unj . (3.33)
